9.1.2 三角形的內(nèi)角和與外角和 華東師大版數(shù)學(xué)七年級下冊素養(yǎng)提升練習(xí)(含解析)

9.1.2三角形的內(nèi)角和與外角和基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點1三角形的內(nèi)角和1.(2023河北石家莊三模)已知三角形一個內(nèi)角的度數(shù)為70°,則x+y的值為()A.180B.110C.100D.702.(2023河南周口太康期末)在△ABC中,∠A=10°,∠B=60°,則△ABC的形狀是()A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形3.【跨學(xué)科·物理】(2023河南鄭州中原三模)物理課上,小明研究一個小木塊沿斜坡向下滑動時的運動狀態(tài),如圖,∠C=90°,∠B=13°,小木塊(△DEF)在AB上,且EF∥AC,則∠DFE的度數(shù)為()A.13°B.77°C.87°D.63°4.如圖,在△ABC中,BD是∠ABC的平分線,CE是△ABC的AB邊上的高,∠ACB=60°,∠ADB=100°,求∠A和∠ACE的度數(shù).知識點2三角形的外角及其性質(zhì)5.(2023福建漳州模擬)如圖,∠CBD是△ABC的外角,∠A=38°,∠CBD=68°,則∠C的度數(shù)是()A.68°B.40°C.38°D.30°6.(2022河南信陽浉河期末)如圖所示,下列結(jié)論正確的是()A.∠1>∠B>∠2B.∠B>∠2>∠1C.∠2>∠1>∠BD.∠1>∠2>∠B7.【一題多解】(2023吉林吉大附中期中)如果將一副三角板按如圖所示的方式疊放,那么∠α的度數(shù)是()A.75°B.100°C.105°D.135°8.【教材變式·P78例1】(2023山西運城垣曲期末)如圖,AD平分∠BAC,∠B=35°,∠ADC=82°,則∠C=°.

9.(2023福建福州格致中學(xué)鼓山校區(qū)期末)如圖,CE是△ABC的外角∠ACD的平分線,且CE交BA的延長線于點E,若∠B=36°,∠E=24°,則∠BAC=°.

10.(2023河南商丘民權(quán)期末)如圖,△ABC中,BE⊥AC于點E,AF平分∠CAB,交BE于點F,∠C=78°,∠CBA=38°,求∠AFB的度數(shù).知識點3三角形的外角和11.【新獨家原創(chuàng)】【一題多解】如圖,在△ABC中,沿虛線截去∠C,若∠1+∠2=240°,則∠C的度數(shù)為()A.60°B.70°C.80°D.65°12.(2023福建省泉州實驗中學(xué)期中)若一個三角形的三個外角度數(shù)的比為1∶4∶4,則此三角形最大內(nèi)角的度數(shù)為°.

13.∠1和∠2是△ABC的外角,若∠A=90°,如圖①,則∠1+∠2的度數(shù)為;若∠A=60°,如圖②,則∠1+∠2的度數(shù)為;若∠A=α,如圖③,則∠1+∠2的度數(shù)為.

圖①圖②圖③能力提升全練14.(2023山東聊城中考,5,★☆☆)如圖,分別過△ABC的頂點A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°,∠EBC=80°,則∠ACB的度數(shù)為()A.65°B.75°C.85°D.95°15.(2023吉林松原前郭期末,6,★☆☆)在△ABC中,∠A=12∠B=13∠C,則△ABC是(A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無法確定16.【一題多變·運用三角形的角平分線求角的度數(shù)】【雙內(nèi)角平分線模型】(2023四川成都都江堰、邛崍期末,6,★★☆)如圖,在△ABC中,BM平分∠ABC,CM平分∠ACB,∠A=72°,則∠M=()A.126°B.54°C.102°D.108°[變式1·條件變成一條內(nèi)角平分線和一條外角平分線]【內(nèi)外角平分線模型】(2023河北滄州十四中期中,11,★★☆)如圖,BP是∠ABC的平分線,CP是∠ACM的平分線,若∠ABP=20°,∠ACP=50°,則∠A+∠P=()A.70°B.80°C.90°D.100°[變式2·條件變?yōu)閮蓷l外角平分線]【雙外角平分線模型】(2023福建省泉州實驗中學(xué)期中,7,★★☆)如圖,△ABC的兩個外角的平分線相交于點O,若∠A=80°,則∠O=()A.40°B.50°C.60°D.80°17.(2023山東煙臺棲霞月考,14,★☆☆)如圖所示的圖形中,α+β=°.

18.【易錯題】(2022黑龍江哈爾濱香坊風(fēng)華中學(xué)月考,19,★★☆)已知BD、CE是△ABC的高,直線BD、CE相交所成銳角的度數(shù)為40°,則∠BAC的度數(shù)是.

19.【一題多解】(2023河南安陽滑縣實驗學(xué)校期末,19,★★☆)閱讀材料:探究不規(guī)則圖形中的角之間的關(guān)系時,可以通過作輔助線將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為三角形,利用三角形內(nèi)角和與內(nèi)外角的關(guān)系得出結(jié)論.如圖1,想要找到∠BDC與∠BAC+∠B+∠C之間的關(guān)系時,通過連結(jié)AD并延長到點E,得到△ABD和△ADC,進而得出∠BDC=∠BAC+∠B+∠C的結(jié)論.請你應(yīng)用材料中的方法,探究圖2中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).圖1圖2素養(yǎng)探究全練20.【推理能力】【跨學(xué)科·物理】(2022河南許昌建安期中)實驗證明平面鏡反射光線的規(guī)律是:射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等.閱讀以上材料并解決下列問題.(1)如圖,一束光線m射到平面鏡a上,被a反射到平面鏡b上,又被b反射.若被b反射出的光線n與光線m平行,且∠1=50°,求∠2及∠3的度數(shù).解:易知∠1=∠4,∠5=∠6,∴∠7=180°-∠1-∠4=,∵m∥n,∴∠2+∠7=180°,∴∠2=180°-∠7=,∴∠5=∠6=,根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°,知∠3=180°-∠4-∠5=.

在(1)中,①若∠1=55°,則∠3=;②若∠1=40°,則∠3=.

(3)由(1)(2),請你猜想:當(dāng)兩平面鏡a、b的夾角∠3為多少度時,可以使任何射到平面鏡a上的光線m,經(jīng)過平面鏡a、b的兩次反射后,入射光線m與反射光線n平行?請你寫出推理過程.

答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.B由題圖可知,x+y=180-70=110.故選B.2.A∵∠A=10°,∠B=60°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-10°-60°=110°,∴△ABC是鈍角三角形.故選A.3.B∵∠C=90°,∠B=13°,∴∠A=180°-∠C-∠B=77°,∵EF∥AC,∴∠DFE=∠A=77°.故選B.4.解析∵∠DBC+∠ACB+∠BDC=180°,∠BDC+∠ADB=180°,∴∠ADB=∠DBC+∠ACB,∴∠DBC=∠ADB-∠ACB=100°-60°=40°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABC=2∠DBC=80°,∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=40°.∵CE⊥AB,∴∠AEC=90°,∴∠ACE=90°-∠A=50°.5.D∵∠CBD是△ABC的外角,∴∠CBD=∠A+∠C,即68°=38°+∠C,∴∠C=68°-38°=30°.故選D.6.D由題圖知∠1>∠2,∠2>∠B,∴∠1>∠2>∠B.故選D.7.C解法一:如圖,由題意可得∠1=30°,則∠2=45°-∠1=45°-30°=15°,∴∠α=90°+∠2=105°.故選C.解法二:如上圖,∵∠1=30°,∴∠3=180°-(30°+45°)=105°,∴∠α=∠3=105°.故選C.8.51解析∵∠ADC是△ABD的外角,∴∠BAD=∠ADC-∠B=82°-35°=47°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD=94°,∴∠C=180°-∠B-∠BAC=51°.9.84解析∵∠B=36°,∠E=24°,∴∠ECD=∠B+∠E=36°+24°=60°.∵CE為∠ACD的平分線,∴∠ACD=2∠ECD=120°.又∵∠ACD=∠B+∠BAC,∴∠BAC=∠ACD-∠B=120°-36°=84°.10.解析∵∠C=78°,∠CBA=38°,∴∠CAB=180°-∠C-∠CBA=180°-78°-38°=64°.∵AF平分∠CAB,∴∠EAF=∠FAB=12∠CAB=32°.∵BE⊥AC,∴∠AEB=90°,∴∠AFB=∠EAF+∠AEF=32°+90°=122°11.A解法一:如圖.∵∠1+∠2=240°,∴∠3+∠4=360°-240°=120°,∴∠BCA=180°-(∠3+∠4)=60°.解法二:如上圖,∵∠1+∠2=240°,∴∠5=360°-∠1-∠2=360°-240°=120°,∴∠BCA=60°.故選A.12.140解析∵三角形的三個外角度數(shù)的比為1∶4∶4,∴最小外角的度數(shù)為11+4+4×360°=40°,∴三角形最大內(nèi)角的度數(shù)為180°-40°=140°13.270°;240°;180°+α解析題圖①中∠A的鄰補角為90°,根據(jù)三角形的外角和為360°知∠1+∠2+90°=360°,所以∠1+∠2=270°;題圖②中∠A的鄰補角為120°,根據(jù)三角形的外角和為360°知∠1+∠2+120°=360°,所以∠1+∠2=240°;題圖③中∠A的鄰補角為180°-α,根據(jù)三角形的外角和為360°知∠1+∠2+180°-α=360°,所以∠1+∠2=180°+α.能力提升全練14.B∵AD∥BE,∴∠ADC=∠EBC=80°,∵∠CAD+∠ADC+∠ACB=180°,∠CAD=25°,∴∠ACB=180°-25°-80°=75°,故選B.15.B設(shè)∠A=x°,則∠B=2x°,∠C=3x°.由∠A+∠B+∠C=180°,得x+2x+3x=180,解得x=30,故∠C=30°×3=90°,∴△ABC是直角三角形.故選B.16.A∵BM平分∠ABC,CM平分∠ACB,∴∠MBC=12∠∠MCB=12∠ACB,∴∠MBC+∠MCB=12(∠ABC+∴∠M=180°-(∠MBC+∠MCB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∵∠A=72°,∴∠M=90°+12×72°=126°.故選方法解讀雙內(nèi)角平分線模型:如圖,在△ABC中,BD、CD分別是∠ABC和∠ACB的平分線,則∠BDC=90°+12∠[變式1]C∵BP是∠ABC的平分線,CP是∠ACM的平分線,∠ABP=20°,∠ACP=50°,∴∠ABC=2∠ABP=40°,∠ACM=2∠ACP=100°,∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°,∠ACB=180°-∠ACM=80°,∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°,∵∠PBC=20°,∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°,∴∠A+∠P=90°,故選C.方法解讀內(nèi)外角平分線模型:如圖,△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線和外角∠ACD的平分線相交于P點,則∠P=12∠[變式2]B∵∠A=80°,∴∠ACB+∠ABC=100°,∴∠ECB+∠DBC=260°,∵∠CBD、∠BCE的平分線相交于點O,∴∠OBC=12∠DBC,∠OCB=12∠ECB,∴∠OBC+∠OCB=12×260°∴∠O=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-130°=50°,故選B.方法解讀雙外角平分線模型:如圖,△ABC的外角∠CBE與∠BCF的平分線相交于點D,則∠D=90°-12∠17.85解析如圖,∵∠3+∠4=180°-40°=140°,∠1=∠3,∠4=∠2,∴∠1+∠2=140°,又∵70°+α+∠1=180°,∠2+β+65°=180°,∴70°+α+∠1+∠2+β+65°=360°,∴α+β=360°-70°-65°-140°=85°.18.140°或40°解析①當(dāng)∠BAC為鈍角時,如圖1,分別延長BD、CE交于點F,∵BD、CE是△ABC的高,∴∠BEF=∠CDF=90°,∵∠F=40°,∴∠BAC=∠EAD=360°-90°-90°-40°=140°;②當(dāng)∠BAC為銳角時,如圖2,設(shè)BD、CE交于點F,∵BD、CE是△ABC的高,∴∠AEC=∠ADB=90°,∵∠BFE=40°,∴∠BAC=360°-90°-90°-(180°-40°)=40°.綜上所述,∠BAC的度數(shù)為140°或40°.易錯點本題的易錯之處是忽略分類討論而漏解.19.解析解法一:如圖①,連結(jié)AF并延長至點M.∵∠BAC=∠BAM+∠CAM,∠BFM=∠B+∠BAM,∠CFM=∠C+∠CAM,∴∠BFC=∠BFM+∠CFM=∠BAC+∠B+∠C.∵∠D+∠E+∠EFD=180°,∠EFD=∠BFC,∴∠D+∠E+∠BFC=180°,∴∠BAC+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.解法二:如圖②,連結(jié)BC,∵∠E+∠D+∠EFD=∠FBC+∠FCB+∠BFC,∠EFD=∠BFC,∴∠E+∠D=∠FBC+∠FCB,∴∠A+∠ABF+∠ACE+∠D+∠E=∠A+∠ABF+∠ACE+∠FBC+∠FCB=∠A+∠ABC+