2024年江蘇南通蘇北七市高三三模高考數(shù)學(xué)試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024屆蘇北七市高三第三次調(diào)研測試數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2、回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無效.3．本卷滿分為150分，考試時間為120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知三個單位向量滿足，則向量的夾角為（

）A． B． C． D．3．某同學(xué)測得連續(xù)7天的最低氣溫分別為（單位：），若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)的2倍，則（

）A．2 B．3 C．6 D．74．已知為復(fù)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件5．已知，則（

）A． B． C． D．6．設(shè)數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．65 B．127 C．129 D．2557．已知函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)．若，則（

）A．23 B．24 C．25 D．268．已知一個正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，8，側(cè)棱長為，則該正四棱臺內(nèi)半徑最大的球的表面積為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知，則（

）A． B．C． D．10．在正方體中，為的中點，是底面上一點，則（

）A．為中點時，B．為中點時，平面C．滿足的點在圓上D．滿足直線與直線成角的點在雙曲線上11．已知，則（

）A． B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．設(shè)a為實數(shù)，若函數(shù)在處取得極大值，則a的值為．13．已知隨機(jī)變量．若，則，若，則的方差為．14．已知是橢圓的左、右焦點，是上一點．過點作直線的垂線，過點作直線的垂線．若的交點在上（均在軸上方，且，則的離心率為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．在中，角的對邊分別為．(1)求；(2)若的面積為邊上的高為1，求的周長．16．如圖，在直三棱柱中，，．(1)當(dāng)時，求證：平面；(2)設(shè)二面角的大小為，求的取值范圍．17．已知函數(shù)．(1)若，求的最小值；(2)設(shè)數(shù)列前項和，若，求證：．18．已知拋物線的焦點為，直線過點交于兩點，在兩點的切線相交于點的中點為，且交于點．當(dāng)?shù)男甭蕿?時，．(1)求的方程；(2)若點的橫坐標(biāo)為2，求；(3)設(shè)在點處的切線與分別交于點，求四邊形面積的最小值．19．“熵”常用來判斷系統(tǒng)中信息含量的多少，也用來判斷概率分布中隨機(jī)變量的不確定性大小，一般熵越大表示隨機(jī)變量的不確定性越明顯．定義：隨機(jī)變量對應(yīng)取值的概率為，其單位為bit的熵為，且．（當(dāng)，規(guī)定．）(1)若拋擲一枚硬幣1次，正面向上的概率為，正面向上的次數(shù)為，分別比較與時對應(yīng)的大小，并根據(jù)你的理解說明結(jié)論的實際含義；(2)若拋鄭一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，設(shè)表示正面向上的總次數(shù)，表示第次反面向上的次數(shù)（0或1）．表示正面向上次且第次反面向上次的概率，如時，．對于兩個離散的隨機(jī)變量，其單位為bit的聯(lián)合熵記為，且．（?。┊?dāng)時，求的值；（ⅱ）求證：．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】通分，根據(jù)數(shù)字特征即可判斷兩集合之間關(guān)系.【詳解】，，因為表示所有的奇數(shù)，而表示所有的整數(shù)，則，故選：A.2．C【分析】對等式兩邊同平方即可得，再利用向量數(shù)量積定義和向量夾角范圍即可得到答案.【詳解】，即，，即，則，因為，夾角，故選：C.3．D【分析】根據(jù)題意分析可知：平均數(shù)為，中位數(shù)為2，列式求解即可.【詳解】由題意可知：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，除外，將數(shù)據(jù)按升序排列可得，結(jié)合的任意性可知中位數(shù)為2，則，解得.故選：D.4．A【分析】正向可得，則正向成立，反向利用待定系數(shù)法計算即可得或，則必要性不成立.【詳解】若，則，則，故充分性成立；若，設(shè)，則，，則，或與不一定相等，則必要性不成立，則“”是“”的充分非必要條件，故選：A5．B【分析】展開同平方并結(jié)合二倍角的正弦公式即可得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】展開得，兩邊同平方有，即，解得，故選：B.6．B【分析】降次作差得，再利用等比數(shù)列通項公式即可得到答案.【詳解】時，，則.時，，，是2為首項，2為公比的等比數(shù)列，，故選：B.7．C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性推出函數(shù)關(guān)于直線對稱和關(guān)于點對稱，則得到其周期，再計算其一個周期內(nèi)的和，最后代入計算即可.【詳解】為偶函數(shù)，則則關(guān)于對稱，為奇函數(shù)，則，即，則關(guān)于點對稱，則由其關(guān)于對稱有，則，則，作差有，為周期函數(shù)，且周期為4，因為，，則，因為，，則，，則，，，故選：C.8．D【分析】先求出正四棱臺的高，再分析出最大內(nèi)切球與四側(cè)面及下底面相切，再根據(jù)三角函數(shù)得到其半徑大小，最后利用球的表面積公式即可.【詳解】作出如圖所示正四棱臺，其中為正四棱臺的高，為其斜高，

因為正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，8，側(cè)棱長為，則，，，因為，故半徑最大的球不與上下底面同時相切，，則，則，過作正四棱臺的截面，截球得大圓，則該圓與等腰梯形兩腰和下底相切，則，則，則更確定最大內(nèi)切球與四側(cè)面及下底面相切，

即該正四棱臺內(nèi)半徑最大的球半徑，球的表面積為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是得到正四棱臺內(nèi)半徑的最大的球是與側(cè)面和底面同時相切的，再求出其高，得到側(cè)棱與底面夾角，作出軸截面圖形，再求出最大球半徑.9．AC【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期即可判斷A；根據(jù)其對稱性即可判斷B，利用整體法求出函數(shù)值域即可判斷C；求導(dǎo)并舉出反例即可判斷D.【詳解】對A，周期為，故A對；對B，令，，則，若成立，則關(guān)于對稱，令，解得，因為，則B錯誤；對C，，故C正確；對D，，當(dāng)時，則，則D錯誤，故選：AC.10．BCD【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)向量，對A計算即可判斷；對B利用線面平行的判定定理即可判斷；對C，計算得，則得到其軌跡；對D，根據(jù)線線夾角公式得到關(guān)于的方程，化簡即可.【詳解】不失一般性，設(shè)正方體棱長為2，如圖建系，因為為的中點，則，對A，為中點，則，與不垂直，故A錯誤.對B，為中點時，，因為，則四邊形為平行四邊形，則，因為平面，所以平面，故B正確；對C，令，在以為圓心，為半徑的圓上，故C正確；對D，，，化簡得，其為雙曲線方程，故D正確，故選：BCD.11．AD【分析】結(jié)合圖象和指、對函數(shù)之間的關(guān)系即可判斷AB；利用切線不等式即可判斷C；利用不等式即可判斷D.【詳解】對A，由圖可知：與交點，與的交點，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)為一對反函數(shù)知：，關(guān)于對稱，故，，故A正確；對B，由A知，故B錯誤；對C，由知，則，設(shè)，，則，則當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；則，則恒成立，即，當(dāng)時取等；令，則有，因為，則，即，故C錯誤；對D，設(shè)，，則，則當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；則，即在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時取等，令，則，即，因為，則，則，故，故D正確.故選：AD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題AB選項的關(guān)鍵是充分利用圖象并結(jié)合指、函數(shù)的關(guān)系，而CD選項的關(guān)鍵在于兩個不等式和的運用.12．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出的值即可．【詳解】解：，令，解得；或，若函數(shù)在處取得極大值，則，解得，當(dāng)時，，，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.滿足題意.故答案為：．13．0.4##64【分析】由題意可知：，根據(jù)方差的性質(zhì)可得；根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得.【詳解】由題意可知：，即，所以；因為，且，所以.故答案為：0.4；64.14．##【分析】設(shè)，可得的方程，聯(lián)立方程求得，結(jié)合對稱性可知，進(jìn)而列式求，即可得離心率.【詳解】設(shè)，，由題意可知：，則直線的斜率，可知的方程為，同理可得：的方程為，聯(lián)立方程，解得，即，因為在上，可知關(guān)于x軸對稱，且，則，可得，又因為，即，由題意可得：，整理得，解得或（舍去），則，所以的離心率為.故答案為：.【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．15．(1)(2)【分析】利用正弦定理和三角恒等變換得，則得到的大小；（2）利用三角形面積公式得，再結(jié)合余弦定理得的值，則得到其周長.【詳解】（1）因為，由正弦定理，得，即，即.因為在中，，所以.又因為，所以.（2）因為的面積為，所以，得.由，即，所以.由余弦定理，得，即，化簡得，所以，即，所以的周長為.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，得出相關(guān)向量，求出，再結(jié)合線面垂直的判定即可；（2）求出相關(guān)法向量，得到，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可得到其范圍.【詳解】（1）以為基底建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，.當(dāng)時，，所以，所以，所以.又平面平面，所以平面.（2），設(shè)平面的一個法向量為，則，即，不妨取.因為平面，所以平面的一個法向量為.所以，所以.又因為，易知在上單調(diào)遞減，所以.17．(1)0(2)證明見詳解【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可得的最小值；（2）當(dāng)時顯然成立，當(dāng)，結(jié)合（1）可得，進(jìn)而可得，利用裂項相消法分析證明.【詳解】（1）因為，則，因為，則，且，當(dāng)時，則，可得；當(dāng)時，則，可得；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.（2）因為，若，則，滿足；若，由（1）可知：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，令，可得，且，可得，所以；綜上所述：.18．(1)(2)(3)3【分析】（1）設(shè)直線的方程為，再聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，最后根據(jù)焦點弦公式得到，則得到拋物線方程；（2）首先得到，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)得到兩條切線方程，再計算出的坐標(biāo)，求出值則得到相關(guān)點坐標(biāo)，即可求出；（3）首先證明出，再計算出的表達(dá)式，從而得到其最小值.【詳解】（1）由題意，直線的斜率必存在.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，所以當(dāng)時，，此時，所以，即.所以的方程為.（2）由(1)知，，則，代入直線得，則中點.因為，所以，則直線方程為，即，同理，直線方程為，所以，，所以.因為，即，此時，所以直線的方程為，代入，得，所以，所以.（3）由（2）知，所以直線方程為，代入，得，所以，所以為的中點.因為在處的切線斜率，所以在處的切線平行于，又因為為的中點，所以.由(1)中式得，所以，因為直線方程為，所以.又到直線的距離，所以，(當(dāng)且僅當(dāng)時取“”)所以，所以四邊形的面積的最小值為3.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵是找到，再結(jié)合焦點弦和點到直線距離公式得到的表達(dá)式，從而得到其最小值.19．(1)答案見解析(2)（i）；（ii）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)定義代入計算，再比較大小