專題08 絕對值-2024年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接 （解析版）

第第頁專題08絕對值1.理解并掌握絕對值的代數(shù)意義和幾何意義；2.會求已知數(shù)的絕對值；能解含絕對值的方程；3.能利用絕對值的意義求最值?！舅伎?】下圖中點(diǎn)A與原點(diǎn)之間的距離是多少？點(diǎn)B與原點(diǎn)之間的距離是多少？【思考2】一個數(shù)的絕對值與這個數(shù)有什么關(guān)系?1.絕對值1）絕對值的概念：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)的絕對值，記作．2）絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．3）絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；的絕對值是．即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么．可整理為：，或，或4）絕對值具有非負(fù)性，取絕對值的結(jié)果總是正數(shù)或．即：2.有理數(shù)的比較大小1）兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而?。?）正數(shù)大于零，零大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)．3）利用數(shù)軸：在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)大．3.歸納：=1\*GB3①絕對值等于它本身的數(shù)是：非負(fù)數(shù)；=2\*GB3②絕對值大于它本身的數(shù)是：負(fù)數(shù)；=3\*GB3③絕對值等于它的相反數(shù)的數(shù)是：非正數(shù)；=4\*GB3④絕對值最小的有理數(shù)是：0；=5\*GB3⑤絕對值最小的正整數(shù)是：1；=6\*GB3⑥絕對值最小的負(fù)整數(shù)是：-1．考點(diǎn)1、絕對值的概念與意義【解題技巧】一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作a.例1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)絕對值的意義即可求解．【詳解】解：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了求一個數(shù)的絕對值，熟練掌握絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·福建莆田·七年級統(tǒng)考期末）在數(shù)軸上表示任何一個有理數(shù)的絕對值的點(diǎn)的位置，只能在數(shù)軸上（）A．原點(diǎn)兩旁B．任何一點(diǎn)C．原點(diǎn)右邊D．原點(diǎn)或其右邊【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)及絕對值的定義解答即可．【詳解】解：∵任何非數(shù)的絕對值都大于，∴任何非數(shù)的絕對值所表示的數(shù)總在原點(diǎn)的右側(cè)，∵的絕對值是0，∴的絕對值表示的數(shù)在原點(diǎn)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對值及數(shù)軸的定義，解答此題的關(guān)鍵是熟知以下知識：（1）數(shù)軸上原點(diǎn)右邊表示的數(shù)都大于，原點(diǎn)左邊表示的數(shù)都小于；（2）一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，的絕對值是．例3．（2023·河北保定·?？寄M預(yù)測）下列說法錯誤的是（

）A．相反數(shù)是它本身的數(shù)是 B．絕對值是它本身的數(shù)是正數(shù)C．的絕對值是它本身 D．有理數(shù)的相反數(shù)仍是有理數(shù)【答案】B【分析】依次判斷各個說法即可進(jìn)行解答．【詳解】解：絕對值是它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)（0和正數(shù)），故B錯誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相反數(shù)和絕對值的相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是熟記相關(guān)知識點(diǎn)．變式1．（2023·四川遂寧·七年級校考階段練習(xí)）的絕對值是()；絕對值等于8的數(shù)是()．【答案】/【分析】負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；絕對值等于8表示該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為8．【詳解】解：，絕對值等于8的數(shù)是．故答案為：①，②．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值，解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)和0的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)．變式2．（2023·四川廣安·統(tǒng)考二模）的絕對值的相反數(shù)是（

）A．2023 B． C． D．【答案】B【分析】先求解絕對值，再求解相反數(shù)，從而可得答案.【詳解】解：的絕對值的相反數(shù)是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對值與相反數(shù)的含義，熟記絕對值與相反數(shù)的概念是解本題的關(guān)鍵.變式3．（2022秋·甘肅慶陽·七年級統(tǒng)考期中）下列說法正確的是（

）A．有理數(shù)的絕對值一定比0大B．有理數(shù)的相反數(shù)一定比0小C．如果兩個有理數(shù)的絕對值相等，那么這兩個數(shù)相等D．互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等【答案】D【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)以及相反數(shù)的定義分別分析得出答案．【詳解】解：、有理數(shù)的絕對值一定大于等于0，故原說法錯誤，不符合題意；B、正有理數(shù)的相反數(shù)一定比0小，故原說法錯誤，不符合題意；C、如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個數(shù)互為相反數(shù)或相等，故原說法錯誤，不符合題意；D、互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等，故此選項(xiàng)正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值和相反數(shù)，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．變式4．（2022·河南駐馬店·七年級校考期末）如果，下列的取值不能使這個式子成立的是（

）A． B．0 C．1 D．取任何負(fù)數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)絕對值的非負(fù)性判斷即可．【詳解】解：，為非負(fù)數(shù)，為非正數(shù)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的意義，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2、絕對值方程【解題技巧】根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，解方程即可。例1．（2022秋·廣東東莞·七年級?？茧A段練習(xí)）已知，則_____．【答案】或【分析】根據(jù)絕對值的意義，分類討論即可求解．【詳解】解：∵∴或，解得：或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值方程，掌握絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·湖南岳陽·七年級?？茧A段練習(xí)）先閱讀下列解題過程，然后解答后面兩個問題．解方程：．解：當(dāng)時，原方程可化為，解得；當(dāng)時，原方程可化為，解得；所以原方程的解是或．(1)解方程：．(2)當(dāng)為何值時，關(guān)于的方程．①無解；②只有一個解；③有兩個解．【答案】(1)或．(2)①當(dāng)時，方程無解；②時，方程只有一個解；③時，方程有兩個解．【分析】（1）首先要認(rèn)真審題，解此題時要理解絕對值的意義，要會去絕對值，然后化為一元一次方程即可求得．（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)分類討論進(jìn)行解答．【詳解】（1）當(dāng)時，原方程可化為，解得；當(dāng)時，原方程可化為，解得；所以原方程的解是或．（2）①∵，∴當(dāng)，即時，方程無解；②∵，∴當(dāng)，即時，，即，∴時，方程只有一個解；③∵，∴當(dāng)，即時，，∴時，方程有兩個解．【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對值符號的一元一次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)絕對值的性質(zhì)將絕對值符號去掉，從而化為一般的一元一次方程求解．變式1．（2022秋·廣東廣州·七年級?？茧A段練習(xí)）若，則的值為_____．【答案】6或0【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡，可得m值．【詳解】解：∵，∴，∴，即或，故答案為：6或0．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值，解題的關(guān)鍵是掌握化簡絕對值的方法．變式2．（2022春·河北承德·七年級統(tǒng)考期中）數(shù)軸上，表示與2的點(diǎn)之間的距離是，表示與的點(diǎn)之間的距離是，即數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于較大數(shù)與較小數(shù)的差，若不知道數(shù)軸上兩數(shù)的大小，則表示數(shù)與的點(diǎn)之間的距離可以表示為，利用上述結(jié)論解決如下問題．若，求的值．【答案】或【分析】根據(jù)題意可知表示的意義為數(shù)x與數(shù)5的距離為3，由此分當(dāng)時，當(dāng)時兩種情況討論求解即可．【詳解】解：由題意得表示的意義為數(shù)x與數(shù)5的距離為3，當(dāng)時，則，解得；當(dāng)時，則，解得；綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解絕對值方程，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3、絕對值的化簡求值【解題技巧】絕對值化簡步驟：①判斷絕對值符號里式子的正負(fù)；②將絕對值符號改為小括號：若正數(shù)，絕對值前的正負(fù)號不變（即本身）；若負(fù)數(shù)，絕對值前的正負(fù)號改變（即相反數(shù)）.③去括號：括號前是“＋”，去括號，括號內(nèi)不變；括號前是“－”，去括號，括號內(nèi)各項(xiàng)要變號.④化簡.注意：注意改絕對值符號時與去括號時是否需要變號，且變號的正確性。例1．（2023秋·云南文山·七年級統(tǒng)考期末）若x是一個有理數(shù)，且，則（

）A． B． C．4 D．-2【答案】C【分析】根據(jù)判斷在數(shù)軸上的位置，從而判斷和的正負(fù)性，通過絕對值的非負(fù)性的解出答案.【詳解】解：在數(shù)軸上在的左邊，的右邊，為負(fù)數(shù)，為正數(shù)故答案選：【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對值的非負(fù)性，在解題過程中是否能通過已知條件判斷絕對值里面數(shù)的正負(fù)性是解題的關(guān)鍵.例2．（2022秋·河南南陽·七年級?？茧A段練習(xí)）有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖：(1)比較大?。ㄌ睢啊被颉啊碧枺賍_____；②______；③______；(2)化簡：．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)的特點(diǎn)，比較大?。?）利用絕對值的定義去絕對值，去括號，合并同類項(xiàng)．【詳解】（1）解：由數(shù)軸可得：；；；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了有關(guān)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的簡單應(yīng)用，做題關(guān)鍵要掌握實(shí)數(shù)的大小比較，去絕對值．變式1．（2023·河南焦作·七年級?？计谥校?shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，且(1)若，求a的值．(2)用“”把a(bǔ)，，b，c連按越來．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意得到，根據(jù)得到，結(jié)合已知條件得到，即；（2）根據(jù)，即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了化簡絕對值，有理數(shù)與數(shù)軸，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023秋·海南·七年級統(tǒng)考期末）已知有理數(shù)，，，且．(1)在如圖所示的數(shù)軸上將a，b，c三個數(shù)表示出來；(2)化簡：．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)，，，且．即可求解．（2）先判斷、、的正負(fù)號，即可化簡．【詳解】（1）解：，，，且．．在數(shù)軸上將，，三個數(shù)在數(shù)軸上表示出來如圖所示：（2）解：根據(jù)數(shù)軸位置關(guān)系，可得：、、．．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，數(shù)軸以及絕對值，解決本題的關(guān)鍵是、、的正負(fù)性．考點(diǎn)4、絕對值的非負(fù)性【解題技巧】（1）根據(jù)絕對值的非負(fù)性“若幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個非負(fù)數(shù)必為0”，即若a+b=0，則a=0且b=0．（2例1.（2023·綿陽市·九年級一模）若與互為相反數(shù)，則的值為（）A．1 B．-1 C．5 D．-5【答案】B【分析】據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和等于0列式，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b，然后相加即可的解．【詳解】解：∵與互為相反數(shù)，∴+＝0，∴，，解得：，，∴故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的性質(zhì)和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個非負(fù)數(shù)的和為0時，這幾個非負(fù)數(shù)都為0．例2．（2022秋·云南楚雄·七年級校考階段練習(xí)）對于任意有理數(shù)，下列式子中取值不可能為0的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)絕對值的非負(fù)性即可得出答案．【詳解】解：A．當(dāng)時，，則，故A選項(xiàng)不符合題意；B．當(dāng)時，，故B選項(xiàng)不符合題意；C．，則，不可能為0，故C選項(xiàng)符合題意；D．當(dāng)時，，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是掌握任何數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，兩個非負(fù)數(shù)的和一定為非負(fù)數(shù)．變式1．（2023秋·貴州安順·九年級統(tǒng)考期末）代數(shù)式的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)絕對值是非負(fù)性進(jìn)行解答即可．【詳解】∵，∴當(dāng)，代數(shù)式取得最小值，即取最小值2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，任意一個數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．變式2．（2023秋·甘肅酒泉·七年級統(tǒng)考期末）若，則_______．【答案】4【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出，的值，代入代數(shù)式計算即可．【詳解】根據(jù)題意得：解得：則故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個非負(fù)數(shù)的和為0，這幾個非負(fù)數(shù)都為0．考點(diǎn)5、有理數(shù)大小比較【解題技巧】有理數(shù)的大小比較法則：正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)，其絕對值大的反而?。?．（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）有理數(shù)，，0，中，絕對值最大的數(shù)是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】根據(jù)絕對值的定義分別求出四個數(shù)的絕對值，再比大小即可得到答案．【詳解】解：∵，∴絕對值最大的數(shù)是，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值的定義和有理數(shù)比較大小，熟知絕對值的定義是解題的關(guān)鍵：正數(shù)和0的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)．例2．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）下列有理數(shù)大小關(guān)系判斷正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)絕對值的意義和有理數(shù)比較大小的法則對各組數(shù)進(jìn)行逐一比較即可．【詳解】解：A、∵，，∴，故本選項(xiàng)錯誤；B、∵，∴，故本選項(xiàng)錯誤；C、∵，，∴，故本選項(xiàng)錯誤；D、∵，，∴，故本選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了絕對值的意義，有理數(shù)的大小比較，掌握好正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)相比較，絕對值大的反而小是本題的關(guān)鍵．變式1．（2023·重慶九龍坡·一模）在，，0，8，這四個數(shù)中，絕對值最大的數(shù)是（

）A． B． C．0 D．8【答案】A【分析】根據(jù)絕對值的意義，有理數(shù)的大小比較即可求解．【詳解】解：∵，，，,∴，∴絕對值最大的數(shù)是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了求一個數(shù)的絕對值，有理數(shù)的大小比較，熟練掌握絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022秋·浙江·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）下列兩數(shù)比較大小，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)比較大小的方法即可求解．【詳解】A、，而，故選項(xiàng)錯誤；B、，而，故選項(xiàng)錯誤；C、，故選項(xiàng)正確；D、，而，故選項(xiàng)錯誤；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)大小的比較及絕對值等知識點(diǎn)，熟練掌握上述知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．變式3．（2022秋·安徽蚌埠·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，數(shù)軸上的A，B，C三點(diǎn)所表示的數(shù)分別為a，b，c，其中A，B兩點(diǎn)間的距離與B，C兩點(diǎn)間的距離相等，如果，那么該數(shù)軸的原點(diǎn)O的位置應(yīng)該在（

）A．點(diǎn)A的左邊 B．點(diǎn)B與C之間，靠近點(diǎn)BC．點(diǎn)A與B之間，靠近點(diǎn)A D．點(diǎn)A與B之間，靠近點(diǎn)B【答案】B【分析】根據(jù)絕對值是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，分別判斷出點(diǎn)A、B、C到原點(diǎn)的距離的大小，從而得到原點(diǎn)的位置，即可得解．【詳解】∵，∴點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離最大，點(diǎn)C其次，點(diǎn)B最小，又∵，∴原點(diǎn)O的位置是在點(diǎn)B與C之間，靠近點(diǎn)B．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是理解絕對值的概念．考點(diǎn)6、絕對值的實(shí)際應(yīng)用【解題技巧】常見三種應(yīng)用：1）質(zhì)量問題，絕對值越小，越接近質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)；2）小蟲爬行問題，判斷小蟲是否能重回原點(diǎn)，將所有數(shù)據(jù)相加與0相比較，求距離時是各數(shù)的絕對值，與數(shù)的正負(fù)性無關(guān)；3）數(shù)軸上數(shù)的表示問題，點(diǎn)向左移動時，原數(shù)減去移動的距離；點(diǎn)向右移動時，原數(shù)加上移動的距離。例1．（2023秋·河北廊坊·七年級?？计谀┬钔瑢W(xué)檢測了4個足球，其中超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，從輕重的角度看，最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先比較各個數(shù)的絕對值，絕對值最小的數(shù)，表示它離標(biāo)準(zhǔn)最近．【詳解】解：∵．∴從輕重的角度看，最接近標(biāo)準(zhǔn)的是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正負(fù)數(shù)和它們的絕對值．從輕重的角度看，最接近標(biāo)準(zhǔn)的是絕對值最小的數(shù)．例2．（2022·河南·商丘市七年級期末）創(chuàng)建文明城期間，一天上午，志愿者小明從柒悅城出發(fā)，乘坐3路公交車，始終在該線路的公交站點(diǎn)做志愿者服務(wù)，3路車為神火大道上南北方向直線上的公交線路，小明坐車范圍北起火車站，南至香君路口，途中共設(shè)12個上下車站點(diǎn)，如圖所示：下午，小明到A站下車時，本次志愿者服務(wù)活動結(jié)束，如果規(guī)定向南為正，向北為負(fù)，當(dāng)天的乘車站數(shù)按先后順序依次記錄如下（單位：站）：＋5，－2，＋6，－11，＋8，＋1，－3，－2，－4，＋7；若相鄰兩站之間的平均距離為0.8千米，求這次小明志愿服務(wù)期間乘坐公交車行進(jìn)的總路程是多少千米？【答案】39.2千米【分析】計算所有站數(shù)絕對值的和，再乘以相鄰兩站之間的平均距離即可．解：由題意得，（千米）故這次小明志愿服務(wù)期間乘坐公交車行進(jìn)的總路程是39.2千米．【點(diǎn)睛】本題考查正負(fù)數(shù)和絕對值的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，理解題中正負(fù)號代表的意義是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022秋·山東青島·七年級?？茧A段練習(xí)）一批零件超過規(guī)定長度記為正數(shù)，短于規(guī)定長度記為負(fù)數(shù)，越接近規(guī)定長度質(zhì)量越好．檢查其中四個，結(jié)果如下：第一個為0.13mm，第二個為mm，第三個為mm，第四個為0.15mm，則質(zhì)量最好的零件為（

）A．第一個 B．第二個 C．第三個 D．第四個【答案】C【分析】根據(jù)絕對值最小的是最接近標(biāo)準(zhǔn)的，可得答案．【詳解】解：∵，∴mm的誤差最小，第三個零件最好；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，先比較絕對值，再判斷．變式2．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）一只可愛的小蟲從點(diǎn)O出發(fā)在一條直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正數(shù)，向左爬行的路程記為負(fù)數(shù)，小蟲爬行的各段路程(單位：cm)依次記為：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行過程中，如果小蟲每爬行1cm就獎勵2粒芝麻，那么小蟲一共可以得到多少粒芝麻?【答案】小蟲一共可以得到108粒芝麻．【分析】小蟲一共得到的芝麻數(shù)與爬行的方向無關(guān)，只與爬行的距離有關(guān)，因此只需要把每次爬行的距離的路程的絕對值相加得到爬行的總距離，最后求解芝麻數(shù)即可．【詳解】小蟲爬行的總路程為：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)小蟲得到的芝麻數(shù)為54×2＝108(粒)答：小蟲一共可以得到108粒芝麻．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于理解，小蟲一共得到的芝麻數(shù)與爬行的方向無關(guān)，只與爬行的距離有關(guān)．考點(diǎn)7、絕對值的幾何意義【解題技巧】幾何意義：表示x到點(diǎn)a的距離（1）找零點(diǎn)（分界點(diǎn)）；（2）根據(jù)零點(diǎn)將數(shù)軸分段；（3）利用“數(shù)形結(jié)合”思想，求解絕對值的值（幾何法）；或者根據(jù)分段情況，分析絕對值內(nèi)式子的正負(fù)，去絕對值（代數(shù)法）。注：（1）一個式子中有多個絕對值式子時，x前的系數(shù)必須相同才可以用該“數(shù)形結(jié)合”的方法；（2）分段的時候，切不可遺漏數(shù)軸上的點(diǎn)，也不可重復(fù)討論。例1.（2022·山東濟(jì)寧·七年級期末）大家知道，，它在數(shù)軸上的意義是：表示5的點(diǎn)與原點(diǎn)（即表示0的點(diǎn)）之間的距離．又如式子，它在數(shù)軸上的意義是：表示6的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離．類似地，式子在數(shù)軸上的意義是______．【答案】表示a的點(diǎn)與表示-5的點(diǎn)之間的距離【分析】利用絕對值的意義即可求解．【詳解】解：因?yàn)?，它在?shù)軸上的意義是：表示5的點(diǎn)與原點(diǎn)（即表示0的點(diǎn)）之間的距離，式子，它在數(shù)軸上的意義是：表示6的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離，所以式子在數(shù)軸上的意義是表示a的點(diǎn)與表示-5的點(diǎn)之間的距離．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值，掌握絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．例2.（2022·湖南邵陽·七年級期末）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離記作．當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)為原點(diǎn)時，不妨設(shè)A點(diǎn)在原點(diǎn)．如圖所示，則，當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時：（1）如圖所示，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊，不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).則（2）如圖所示，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè).則（3）如圖所示，點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩邊，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)的右側(cè)，則回答下列問題：(1)綜上所述，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離_______________．(2)數(shù)軸上表示3和的兩點(diǎn)A和B之間的距離_______________．(3)數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)A和B之間的距離_________．如果，則x的值為________．(4)若代數(shù)式有最小值，則最小值為_______________．【答案】(1)(2)8(3)，(4)7【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)的位置即可得出答案；（2）按照數(shù)軸上的位置進(jìn)行計算即可；（3）根據(jù)數(shù)軸進(jìn)行計算，列方程解絕對值方程即可；（4）根據(jù)絕對值的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．(1)解：綜上所述，數(shù)軸上兩點(diǎn)A和B之間的距離；故答案為：；(2)解：數(shù)軸上表示3和的兩點(diǎn)A和B之間的距離；故答案為：8；(3)解：數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)A和B之間的距離如果，∴，∴或，解得或，則的值為-2或-8；故答案為；-2或-8；(4)解若代數(shù)式有最小值，的值即為-5與2兩點(diǎn)間的距離，此時最小，最小值為|2?（?5）|＝7，則最小值為7．故答案為7．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，以及絕對值，絕對值方程，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．變式1.（2022·河南安陽·七年級期末）若x為任意有理數(shù)，表示在數(shù)軸上x表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，表示在數(shù)軸上x表示的點(diǎn)到a表示的點(diǎn)的距離，則的最小值為________．【答案】4【分析】根據(jù)|x-a|表示數(shù)軸上x與a兩數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，可知當(dāng)x處于-1和3之間時，|x-3|+|x+1|取得最小值，即為數(shù)軸上-1和3之間的距離．【詳解】解：∵|x-a|表示數(shù)軸上x與a兩數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，∴|x-3|+|x+1|表示數(shù)軸上數(shù)x與3和數(shù)x與-1對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離之和，∴當(dāng)-1≤x≤3時，代數(shù)式|x-3|+|x+1|有最小值，最小值為3-x+x+1=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上的兩點(diǎn)之間的距離，明確|x-a|表示數(shù)軸上x與a兩數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離是解題的關(guān)鍵．變式2.（2023?廣西七年級月考）同學(xué)們都知道，|3﹣（﹣1）|表示3與﹣1之差的絕對值，實(shí)際上也可理解為3與﹣1兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：（1）求|3﹣（﹣1）|＝．（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4，這樣的整數(shù)是．【分析】（1）3與﹣1兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點(diǎn)之間的距離為3﹣（﹣1）＝4；（2）利用數(shù)軸解決：把|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4理解為：在數(shù)軸上，某點(diǎn)到3所對應(yīng)的點(diǎn)的距離和到﹣1所對應(yīng)的點(diǎn)的距離之和為4，然后根據(jù)數(shù)軸可寫出滿足條件的整數(shù)x．【解答】解：（1）|3﹣（﹣1）|＝4；（2）式子|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4可理解為：在數(shù)軸上，某點(diǎn)到3所對應(yīng)的點(diǎn)的距離和到﹣1所對應(yīng)的點(diǎn)的距離之和為4，所以滿足條件的整數(shù)x可為﹣1，0，1，2，3．故答案為4；﹣1，0，1，2，3．【點(diǎn)評】本題考查了絕對值：若a＞0，則|a|＝a；若a＝0，則|a|＝0；若a＜0，則|a|＝﹣a．也考查了數(shù)軸．變式3．（2022秋·江蘇南京·七年級?？茧A段練習(xí)）如果對于某一特定范圍內(nèi)的任意允許值，P=|1-4x|+|1-5x|+|1-6x|+|1-7x|+|1-8x|的值恒為一常數(shù)，則此值為_________.【答案】1【分析】因?yàn)镻=|1-4x|+|1-5x|+|1-6x|+|1-7x|+|1-8x|的值恒為一常數(shù)，即P的值與x無關(guān)，因此化簡后不含x項(xiàng)，根據(jù)絕對值的意義化簡得出答案．【詳解】的值恒為一常數(shù)，P的值與x無關(guān)，,且且且且，，==1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查絕對值的意義和計算方法，理解并掌握絕對值的意義和計算結(jié)果為常數(shù)的意義是解此題的關(guān)鍵．A級（基礎(chǔ)過關(guān)）1．（2022秋·廣東佛山·七年級校考階段練習(xí)）如圖，檢測4個足球，其中超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，從輕重的角度看，最接近標(biāo)準(zhǔn)的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先比較各個數(shù)的絕對值，絕對值最小的數(shù)，表示它離標(biāo)準(zhǔn)最近．【詳解】解：∵，且，∴最接近標(biāo)準(zhǔn)的是C．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了正負(fù)數(shù)和它們的絕對值．從輕重的角度看，最接近標(biāo)準(zhǔn)的是絕對值最小的數(shù)．2．（2022秋·廣東深圳·七年級校考期末）的相反數(shù)（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)絕對值、相反數(shù)的意義即可得出答案．【詳解】解：∵，又∵的相反數(shù)是，∴的相反數(shù)是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值、相反數(shù)的意義，掌握絕對值、相反數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期末）、、、四個點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則這四個點(diǎn)表示的四個數(shù)中絕對值最大的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】絕對值的幾何意義是指數(shù)軸上表示這個數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，由圖可知，點(diǎn)與原點(diǎn)的距離最大，則表示的數(shù)的絕對值最大．【詳解】由圖可知表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)，∴這四個點(diǎn)表示的四個數(shù)中絕對值最大的是故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值的幾何意義，理解絕對值的幾何意義是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·四川眉山·七年級?？计谥校┫铝姓f法正確的有（

）①0是絕對值最小的有理數(shù)；②相反數(shù)大于本身的數(shù)是負(fù)數(shù)；③數(shù)軸上原點(diǎn)兩側(cè)的數(shù)互為相反數(shù)；④兩個數(shù)比較，絕對值大的反而?。瓵．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】利用有理數(shù)大小比較，絕對值、相反數(shù)的定義，數(shù)軸的意義判定即可．【詳解】解：0是絕對值最小的有理數(shù)，①正確；相反數(shù)大于本身的數(shù)是負(fù)數(shù)，②正確；數(shù)軸上在原點(diǎn)的兩側(cè)且到原點(diǎn)的距離相等的數(shù)互為相反數(shù)，③錯誤；兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小，④錯誤，所以這四個說法中正確的有2個，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值，相反數(shù)，數(shù)軸的意義，有理數(shù)大小比較，掌握這些定義是正確判斷的前提．5．（2022·重慶初三模擬）下列命題正確的是（）A．絕對值等于本身的數(shù)是正數(shù)B．絕對值等于相反數(shù)的數(shù)是負(fù)數(shù)C．互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等D．絕對值相等的兩個數(shù)互為相反數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)絕對值和相反數(shù)的概念分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．【解析】A、絕對值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)，原命題是假命題；B、絕對值等于相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)，原命題是假命題；C、互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等，是真命題；D、絕對值相等的兩個數(shù)相等或互為相反數(shù)，原命題是假命題；故選：C．【點(diǎn)睛】此題借助絕對值和相反數(shù)的概念考查了命題與定理，命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．6．（2023秋·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期末）已知有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，則將有理數(shù)，1，按從小到大的順序用“＜”連接起來是_____．【答案】【分析】通過觀察可知a、為負(fù)數(shù)，且b的絕對值大于a的絕對值，a的絕對值大于1，即可解答．【詳解】解：因?yàn)閍、為負(fù)數(shù)，且b的絕對值大于a的絕對值，a的絕對值大于1，可得：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)大小的比較，由于引進(jìn)了數(shù)軸，我們把數(shù)和點(diǎn)對應(yīng)起來，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，二者互相補(bǔ)充，相輔相成，把很多復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，在學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．7．（2022秋·新疆阿克蘇·七年級統(tǒng)考期中）的最小值是______．【答案】【分析】根據(jù)解答即可．【詳解】解：，當(dāng)時，的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對值，熟知絕對值具有非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知有理數(shù)、、，在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則化簡后的結(jié)果是______．【答案】【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)進(jìn)行化簡，然后根據(jù)整式的加減進(jìn)行計算即可【詳解】解：由數(shù)軸得：，，，，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷式子的符號，化簡絕對值，整式的加減運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·廣東揭陽·七年級統(tǒng)考期末）若，則______．【答案】【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出算式，求出x、y的值，代入計算．【詳解】解：∵∴，，解得：，，則．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握當(dāng)幾個非負(fù)數(shù)相加和為0時，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0是解題的關(guān)鍵．10．（2023·湖南長沙·校聯(lián)考二模）如果，那么_____．【答案】【分析】根據(jù)絕對值的定義解答即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值，解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)的絕對值等于本身，負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)．11．（2023秋·廣東云浮·七年級?？计谀┍容^大?。篲________．（填“>”“<”或“=”）【答案】【分析】分別將兩個數(shù)化簡后，利用有理數(shù)比較大小的法則進(jìn)行比較．【詳解】解：∵，，又∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)大小的比較，相反數(shù)的意義，絕對值意義．將要比較的兩數(shù)進(jìn)行化簡是解題關(guān)鍵．12．（2023秋·廣西南寧·七年級南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┮阎?，在數(shù)軸上的位置如圖所示，所對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，．(1)填空：，之間的距離為______，，之間的距離為______．(2)化簡：．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，求出距離即可；（2）根據(jù)數(shù)軸可以得出，即有，，，進(jìn)而有，去掉絕對值符號，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）∵數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，∴A、B之間的距離為，B、C之間的距離為，故答案為：，；（2）由圖，根據(jù)數(shù)軸可得：，∴，，，∴，∴，∴值為．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置判定式子的正負(fù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，絕對值的幾何意義，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末）（1）在數(shù)軸上分別表示出下列三個數(shù)：，，，（2）有理數(shù)m、n在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示：①在數(shù)軸上分別表示出數(shù)，，②把，，，這四個數(shù)從小到大用“”號連接．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②【分析】（1）先化簡各數(shù)，再在數(shù)軸上表示各數(shù)即可；（2）①由，再利用相反數(shù)的含義在數(shù)軸上描出，即可；②利用數(shù)軸比較，，，的大小即可．【詳解】解：（1）∵，，，在數(shù)軸上表示如下圖，（2）①∵，∴，在數(shù)軸上分別表示數(shù)，如下圖；②由數(shù)軸可得：．【點(diǎn)睛】本題考查的是在數(shù)軸上表示有理數(shù)，相反數(shù)的含義，絕對值的含義，絕對值的化簡，利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．14．（2022秋·山西·七年級統(tǒng)考期末）對于有理數(shù)a，b，n，d，若，則稱a和b關(guān)于n的“相對距離”為d，例如，，則2和3關(guān)于1的“相對距離”為3．(1)和4關(guān)于1的“相對距離”為________．(2)若a和5關(guān)于2的“相對距離”為6，求a的值．【答案】(1)7(2)或【分析】（1）根據(jù)“相對距離”的定義直接列式計算即可；（2）根據(jù)“相對距離”的定義列出關(guān)于a的方程，解方程即可．【詳解】（1）解：由題意得，．故答案為：7；（2）解：由題意得，，解得，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義、有理數(shù)的加減運(yùn)算和絕對值，理解“相對距離”的概念是解決此題目的關(guān)鍵．B級（能力提升）1．（2023春·吉林長春·七年級?？茧A段練習(xí)）若，則a的值可以是（）A．5 B．3 C．1 D．【答案】A【分析】利用絕對值的意義，即可解答．【詳解】解：，，，的值可以是5，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值，熟練掌握絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·黑龍江佳木斯·七年級校考期末）若，則和的關(guān)系為（

）A．和相等B．和互為相反數(shù)C．和相等或互為相反數(shù)D．以上答案都不對【答案】C【分析】由絕對值相等的兩個數(shù)可能相等也可能互為相反數(shù)即可選出答案．【詳解】解：若，則有，即和相等或互為相反數(shù)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值的相關(guān)性質(zhì)，牢記兩個數(shù)的絕對值相等，則這兩個數(shù)相等或互為相反數(shù)是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·江蘇南京·七年級?？茧A段練習(xí)）若是有理數(shù)，則的值（）A．是負(fù)數(shù) B．是非負(fù)數(shù) C．必是正數(shù) D．無法確定【答案】B【分析】分，，三種情況求出的值，即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)時，的值是正數(shù)，當(dāng)時，的值是0，當(dāng)時，的值是0，綜上分析可知，的值為非負(fù)數(shù)，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值的意義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正數(shù)的絕對值是它本身，0的絕對值是0，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)．4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知，則下列結(jié)論中成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)得到，再根據(jù)絕對值性質(zhì)求解即可得到答案；【詳解】解：∵，∴，∴，故選B；【點(diǎn)睛】本題考查去絕對值符號及等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等式得到．5．（2020秋·河南鄭州·七年級?？计谥校┊?dāng)______時，有最值，最值是__________________．【答案】【分析】先確定的最小值為，由此得到，確定有最小值．【詳解】解：∵，即的最小值為，∴，∴有最小值，最小值是，此時，即，故答案為：，．【點(diǎn)睛】此題考查了絕對值的性質(zhì)，一個數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)，正確理解絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·四川達(dá)州·七年級?？计谥校c(diǎn)A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離，若x是一個有理數(shù)，且，則______．【答案】4【分析】根據(jù)x的取值范圍，分別判斷x-1與x+3的正負(fù)，然后根據(jù)絕對值的性質(zhì)求解即可.【詳解】∵，∴，，∴原式【點(diǎn)睛】此題主要考查了兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡.7．（2022秋·浙江·七年級專題練習(xí)）問題提出：學(xué)習(xí)了|a|為數(shù)軸上表示a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之后，小凡所在數(shù)學(xué)興趣小組對數(shù)軸上分別表示數(shù)a和數(shù)b的兩個點(diǎn)A，B之間的距離進(jìn)行了探究：（1）利用數(shù)軸可知5與1兩點(diǎn)之間距離是；一般的，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間距離為．問題探究：（2）請求出|x﹣3|+|x﹣5|的最小值．問題解決：（3）如圖在十四運(yùn)的場地建設(shè)中有一條直線主干道L，L旁依次有3處防疫物資放置點(diǎn)A，B，C，已知AB＝800米，BC＝1200米，現(xiàn)在設(shè)計在主干道L旁修建防疫物資配發(fā)點(diǎn)P，問P建在直線L上的何處時，才能使得配發(fā)點(diǎn)P到三處放置點(diǎn)路程之和最短？最短路程是多少？【答案】（1）4，；（2）2；（3）B，2000米，【分析】（1）數(shù)軸上表示5和1的兩點(diǎn)距離為4，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間距離為；（2）|x﹣3|+|x﹣5|表示的點(diǎn)到3和5兩點(diǎn)距離和，由到數(shù)軸上兩個點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)取在這兩點(diǎn)之間，最小距離即是這兩個點(diǎn)的距離即可；（3）到數(shù)軸上三個點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)即是中間那個點(diǎn)，最小值是左右兩邊二點(diǎn)之間的距離．【詳解】解：（1）數(shù)軸上表示5和1的兩點(diǎn)距離為4，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間距離為；故答案為：4，；（2）∵|x﹣3|表示x的點(diǎn)到3的點(diǎn)的距離，|x﹣5|表示x的點(diǎn)到5的點(diǎn)的距離，到數(shù)軸上兩個點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)取在這兩點(diǎn)之間，最小距離即是這兩個點(diǎn)的距離，∴|x﹣3|+|x﹣5|的最小值為，（3）∵到數(shù)軸上三個點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)即是中間那個點(diǎn)，最小值是左右兩邊二點(diǎn)之間的距離，∴當(dāng)配發(fā)點(diǎn)P在點(diǎn)B時，到三處放置點(diǎn)路程之和最短；即：最小距離和=AB+BC=800米+1200米=2000米．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值及數(shù)軸上點(diǎn)距離，題目難度較大，解題關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，理解絕對值的幾何意義．8．（2022春·山東七年級期中）閱讀以下例題：解方程：，解：①當(dāng)時，原方程可化為一元一次方程，解這個方程得；②當(dāng)時，原方程可化為一元一次方程，解這個方程得；③當(dāng)，即時，原方程可化為，不成立，此時方程無解．所以原方程的解是或．(1)仿照例題解方程：．(2)探究：當(dāng)b為何值時，方程滿足：①無解；②只有一個解；③有兩個解．【答案】(1)或；(2)①當(dāng)時，方程無解；②當(dāng)時，方程只有一個解；③當(dāng)時，方程有兩個解．【分析】（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)，進(jìn)行分類討論；（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)解決此題．【詳解】（1）解：①當(dāng)時，原方程可化為一元一次方程解這個方程得x＝1；②當(dāng)時，原方程可化為一元一次方程，解這個方程得x＝﹣2；③當(dāng)時，即，原方程可化為，不成立，此時方程無解．所以原方程的解是或；（2）解：∵，根據(jù)例題分三種情況：①當(dāng)，即時，不符合題意，∴方程無解；②當(dāng)，即時，，解得，，∴方程有一個解．③當(dāng)，即時，，此時，即解得，，即解得，，即，∴方程有兩個解；【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程，絕對值，熟練掌握解一元一次方程，絕對值的定義上解決本題的關(guān)鍵．9．（2022秋·遼寧撫順·七年級統(tǒng)考期中）閱讀材料：小蘭在學(xué)習(xí)數(shù)軸時發(fā)現(xiàn)：若點(diǎn)M，N表示的數(shù)分別為，3，則線段的長度可以這樣計算或，那么當(dāng)點(diǎn)M，N表示的數(shù)分別為m，n時，線段的長度可以表示為或．請你參考小蘭的發(fā)現(xiàn)，解決下面的問題．在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B，C分別表示數(shù)a，b，c給出如下定義：若，則稱點(diǎn)B為點(diǎn)A，C的雙倍絕對點(diǎn)．(1)如圖1，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)在數(shù)軸上分別表示數(shù)，5，6，在這三個點(diǎn)中，點(diǎn)是點(diǎn)A，C的雙倍絕對點(diǎn)；(2)點(diǎn)B為點(diǎn)A，C的雙倍絕對點(diǎn)①，，求b的值；②，，求c的值．【答案】(1)E(2)①或3；②或【分析】（1）根據(jù)雙倍絕對點(diǎn)的定義可列式計算即可求解；（2）①根據(jù)雙倍絕對點(diǎn)的定義可列式計算即可求解；②由已知條件結(jié)合新定義可得，再分兩種情況：①當(dāng)時，②當(dāng)時，列算式計算即可求解．【詳解】（1）解得或，∴點(diǎn)E是點(diǎn)的雙倍絕對點(diǎn)，故答案為：E；（2）①因?yàn)?，點(diǎn)B為點(diǎn)A，C的雙倍絕對點(diǎn)所以因?yàn)?，所以，解得?；②因?yàn)辄c(diǎn)B為點(diǎn)A，C的雙倍絕對點(diǎn)所以又因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以，或，?dāng)時，，解得；所以，或當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，解得：綜上，c的值為或【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值，數(shù)軸，有理數(shù)的減法，屬于新定義題型，注意分類討論解問題．10．（2022秋·浙江·七年級專題練習(xí)）小張、小潘、小王和小昊住在同一條東西走向的街上，分別記為A、B、C和D四點(diǎn)，規(guī)定向東為正，以B為原點(diǎn)畫成如下圖所示的數(shù)軸．“十一”假期，他們準(zhǔn)備結(jié)伴去溫州樂園，現(xiàn)有網(wǎng)約車來載他們?nèi)ィ?1)從數(shù)軸看，點(diǎn)C表示的數(shù)是，點(diǎn)D表示的數(shù)是．(2)如果網(wǎng)約車從原點(diǎn)出發(fā)，依次接上小潘、小王和小昊后，再向西行駛2000個單位長度接到小張．請問小張家的位置在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少？并將其在數(shù)軸上表示出來．(3)如果網(wǎng)約車先接小張、小潘和小王，車應(yīng)停在哪里使他們?nèi)俗叩穆烦讨妥钚?？最小路程是多少?4)觸類旁通：的最小值是．（直接寫出答案）【答案】(1)，；(2)，數(shù)軸見解析；(3)車應(yīng)停在B處，使他們?nèi)俗叩穆烦讨妥钚?，最小路程?500；(4)8．【分析】（1）看數(shù)軸即可得點(diǎn)C和點(diǎn)D表示的數(shù)；（2）根據(jù)題意列式求解即可；（3）根據(jù)題意可得他們?nèi)俗叩穆烦讨蜑椋?，分，，，四種情況化簡式子即可得結(jié)果；（4）由（3）可得，當(dāng)時，取得最小值，代入計算即可．【詳解】（1）解：由數(shù)軸可得，點(diǎn)C表示的數(shù)是：，點(diǎn)D表示的數(shù)是：，故答案為：，；（2）（2）由題意可得，小張家的位置在數(shù)軸上表示的數(shù)是：，在數(shù)軸上表示如下圖所示，；（3）（3）設(shè)車停的位置在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x，則他們?nèi)俗叩穆烦讨蜑椋?，?dāng)時，，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，由上可得，當(dāng)車停的位置在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為0時，他們?nèi)俗叩穆烦讨妥钚?，答：車?yīng)停在B處，使他們?nèi)俗叩穆烦讨妥钚。钚÷烦淌?500；（4）（4）由（3）可得，當(dāng)時，取得最小值，此時，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸與絕對值的綜合題，懂得用絕對值表示兩點(diǎn)間的距離是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·江蘇·七年級期末）如圖，數(shù)軸上有點(diǎn)a，b，c三點(diǎn)．（1）用“<”將a，b，c連接起來．（2）b－a______0（填“<”“>”，“＝”）；（3）化簡|c－b|－|c－a|＋|a－1|；（4）用含a，b的式子表示下列的最小值．①|(zhì)x－a|＋|x－b|的最小值為_______；②|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值為_______．【答案】（1）c＜a＜b，（2）＞，（3）b-1；（4）①b﹣a；②b﹣c．【分析】（1）比較有理數(shù)的大小可以利用數(shù)軸，它們從左到右的順序，即從小到大的順序（在數(shù)軸上表示的兩個有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大）；（2）先求出b﹣a的范圍，再比較大小即可求解；（3）先計算絕對值，再合并同類項(xiàng)即可求解；（4）根據(jù)絕對值的性質(zhì)以及題意即可求出答案．【詳解】解：（1）根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)得：c＜a＜b；（2）由題意得：b﹣a＞0；（3）|c﹣b|﹣|c﹣a|+|a﹣1|＝b﹣c﹣（a﹣c）+a﹣1＝b﹣c﹣a+c+a﹣1＝b-1；（4）由圖形可知：①當(dāng)x在a和b之間時，|x﹣a|+|x﹣b|有最小值，∴|x﹣a|+|x﹣b|的最小值為：x﹣a+b﹣x＝b﹣a；②當(dāng)x＝a時，|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|＝0+b﹣a+a﹣c＝b﹣c為最小值．故答案為：①b﹣a；②b﹣c．【點(diǎn)睛】考查了數(shù)軸，通過比較，可以發(fā)現(xiàn)借助數(shù)軸用幾何方法化簡含有絕對值的式子，比較有關(guān)數(shù)的大小有直觀、簡捷，舉重若輕的優(yōu)勢．C級（培優(yōu)拓展）1．（2022秋·江蘇無錫·七年級?？计谥校┮?guī)定：，．例如，．下列結(jié)論中，正確的個數(shù)是（）①能使成立的的值為或；②若，則；③式子的最小值是；④式子的最大值是．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用題目的新規(guī)定和絕對值的意義對每個結(jié)論進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，∴或，∴或，∴①的結(jié)論正確；∵，，∴，∵當(dāng)時，∴，∴②的結(jié)論正確；∵，又∵當(dāng)時，有最小值，∴③的結(jié)論錯誤；∵，又∵當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，|，∴當(dāng)時，式子的最大值是，∴④的結(jié)論正確，綜上，正確的結(jié)論有：①②④，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的意義，求代數(shù)式的值，應(yīng)用新定義和絕對值的性質(zhì)解題是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022秋·河南南陽·七年級統(tǒng)考期中）若a為有理數(shù)，則表示的數(shù)是（

）A．負(fù)數(shù) B．正數(shù) C．非負(fù)數(shù) D．非正數(shù)【答案】D【分析】分類討論a的符號情況，分別找到的正負(fù)，得出結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，表示的數(shù)為非正數(shù)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的意義和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是分類討論a的不同正負(fù)情況對應(yīng)的結(jié)果．3．（2023春·浙江·七年級期末）方程的整數(shù)解共有（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．2022【答案】C【詳解】根據(jù)絕對值的意義，方程表示整數(shù)到與的距離和等于到與的距離的和，進(jìn)而得出為與2022之間的整數(shù)，據(jù)此即可求解．【分析】解：方程的整數(shù)解是1011至2022之間的所有整數(shù)，共有1012個．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的意義，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，理解絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·重慶江津·七年級統(tǒng)考期末）在解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題時，常常用到數(shù)形結(jié)合思想，比如：的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)的距離，的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)的距離．結(jié)合以上知識，下列說法中正確的個數(shù)是（

）①若，則或；②若，則；③若，則；④關(guān)于的方程有無數(shù)個解．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】應(yīng)用絕對值的幾何意義進(jìn)行判定即可得出答案．【詳解】解：①若，可得，則則或2023；所以①說法正確；②若，幾何意義是數(shù)軸到表示數(shù)1的點(diǎn)和表示數(shù)3的點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，即可得出；所以②說法正確；③當(dāng)時，則，所以③說法不正確；④因?yàn)榈膸缀我饬x是到數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)的距離和等于3的點(diǎn)，即時滿足題意，所以有無數(shù)個解，故④說法正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題重要考查了數(shù)軸及絕對值，熟練掌握數(shù)軸及絕對值的幾何意義進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）對于有理數(shù)a，b，c，d，給出如下定義：如果．那么稱a和b關(guān)于c的相對距離為d，如果m和3關(guān)于1的相對距離為5，那么m的值為_________．【答案】4或/或4【分析】根據(jù)新定義可列等式，結(jié)合絕對值的性質(zhì)計算可求解m值．【詳解】解：由題意得，即，∴或，解得或，故答案為4或．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，兩點(diǎn)間的距離，絕對值方程，根據(jù)新定義列出方程是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·福建泉州·七年級校聯(lián)考期中）已知，則的最大值是________．最小值是________．【答案】【分析】先討論∶、、的最小值，根據(jù)它們的積是36，分別得到、、的值，再討論x、y、z的最大最小值，代入計算出代數(shù)式的最大值和最小值．【詳解】解：∵，，，∴，，，當(dāng)時，x最小取，最大取2，當(dāng)時，y最小取，最大取2，當(dāng)時，z最小取，最大取3∴的最大值為∶，的最小值為∶，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的意義，主要運(yùn)用了分類討論的思想．根據(jù)積得到各個絕對值的和分別是多少是解決本題的關(guān)鍵．7．（2023秋·遼寧鞍山·七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料并回答問題：的含義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即，也就是說，表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)0對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；因此可以推斷表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)1對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．例如，，就是在數(shù)軸上到1的距離為2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)，即為或；回答問題：(1)若，則的值是______；(2)利用上述方法解下列方程：①；②【答案】(1)(2)①或，②或【分析】（1）根據(jù)表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)0對應(yīng)點(diǎn)之間的距離，求解即可；（2）①根據(jù)，表示在數(shù)軸上與3的距離為2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)，求出答案；②根據(jù)，表示在數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到表示數(shù)1與表示數(shù)3的距離之和為8，求出答案．【詳解】（1）解：，數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，因此或，故答案為：；（2）①在數(shù)軸上到3的距離為2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)，或．②在數(shù)軸上到1和3的距離和為8的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)，或．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值的幾何意義，讀懂并理解題目材料，會利用絕對值的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．【閱讀】表示3與1的差的絕對值，也可理解為3與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；可以看作，表示3與的差的絕對值，也可理解為3與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．【探索】(1)數(shù)軸上表示5與的兩點(diǎn)之間的距離是___________；(2)①若，則x=___________；②若使x所表示的點(diǎn)到表示2和的點(diǎn)的距離之和為5，所有符合條件的整數(shù)的和為___________；【動手折一折】小明在草稿紙上畫了一條數(shù)軸進(jìn)行操作探究：(3)折疊紙面，若1表示的點(diǎn)和表示的點(diǎn)重合，則4表示的點(diǎn)和___________表示的點(diǎn)重合；(4)折疊紙面，若3表示的點(diǎn)和表示的點(diǎn)重合，①則表示的點(diǎn)和___________表示的點(diǎn)重合；②這時如果A，B（A在B的左側(cè)）兩點(diǎn)之間的距離為且A，B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則點(diǎn)A表示的數(shù)是___________，點(diǎn)B表示的數(shù)是___________；【拓展】(5)若，則x=___________．【答案】(1)6(2)①1或，②(3)(4)①，②，(5)或【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離的求法解題即可；（2）①根據(jù)題意可得方程或，求出x的值即可；②根據(jù)絕對值的幾何意義可知時，，求出符合條件的整數(shù)x即可；（3）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出折痕點(diǎn)，再求解即可；（4）①利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出折痕點(diǎn)，再求解即可；②設(shè)A點(diǎn)表示的數(shù)是x，則B點(diǎn)表示的數(shù)是，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出x，即可求解；③根據(jù)①②結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求，（5）根據(jù)絕對值的幾何意義，分情況討論即可．【詳解】（1）表示5和兩點(diǎn)之間的距離是，故答案為6；（2）①，或，解得或，故答案為：1或；②要使x所表示的點(diǎn)到表示和2的點(diǎn)的距離之和為5，，與2的距離是5，，x是整數(shù)，x的值為，，，0，1，2，所有符合條件的整數(shù)x的和為，故答案為：；（3）1表示的點(diǎn)和表示的點(diǎn)重合，折疊點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是0，4表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，故答案為：；（4）①3表示的點(diǎn)和表示的點(diǎn)重合，折疊的點(diǎn)表示的數(shù)是，，表示的點(diǎn)和表示的點(diǎn)重合，故答案為：；②設(shè)A點(diǎn)表示的數(shù)是x，則B點(diǎn)表示的數(shù)是，解得∴點(diǎn)A表示的數(shù)，點(diǎn)B表示的數(shù)是，故答案為：，．（5）則或或或或不成立，或解得或．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期中）數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．我們知道絕對值的幾何含義為數(shù)軸上一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．如意義為表示5的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也可理解為，即5到0點(diǎn)的距離．又如表示5、3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；一般地，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，那么A、B之間的距離可表示為．(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是___________，數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是___________，數(shù)軸上表示1和的兩點(diǎn)之間的距離是___________；(2)利用上面的知識回答：數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A、B之間的距離是___________，如果，那么x的值為___________；(3)應(yīng)用：小明媽媽要租房，使小明到學(xué)校與媽媽到上班地點(diǎn)距離和最小，若把租房地記作x，媽媽上班地點(diǎn)記作1，小明學(xué)校記作2，那么距離和|的最小值是：___________．(4)拓展：的最小值是：___________．【答案】(1)3，3，4(2)，1或(3)1(4)625【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式直接得出即可；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式直接得出即可；（3）根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，即可得到答案；（4）x在25～26之間和最?。驹斀狻浚?）解：根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得：；故答案為：；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得：=，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得，故答案為：，或1；（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，x在1～2之間，即；故答案為：1；（4）由（3）可知x在25～26之間，，故答案為：625．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸和絕對值，解題的關(guān)鍵是數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，兩點(diǎn)之間線段最短這兩個知識點(diǎn)的運(yùn)用．10．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）學(xué)習(xí)了絕對值我們知道，，用這一結(jié)論可化簡含有絕對值的代數(shù)式．如化簡代數(shù)式時，可令和，分別求得和，我們就稱和分別為|和|的零點(diǎn)值在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值，可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)、不遺漏的五個部分，可在演草本上畫出數(shù)軸，找到對應(yīng)的部分然后進(jìn)行分類討論如下：①當(dāng)時，原式；②當(dāng)時，原式