專題21 探究與表達(dá)規(guī)律專項(xiàng)訓(xùn)練-2024年小升初數(shù)學(xué)無(wú)憂銜接 （解析版）

第第頁(yè)專題21探究與表達(dá)規(guī)律專項(xiàng)講練1.通過(guò)具體的問(wèn)題情境，經(jīng)歷在實(shí)際問(wèn)題中探索規(guī)律的過(guò)程；2.能歸納具體問(wèn)題中蘊(yùn)含的規(guī)律，用代數(shù)式表示，并通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證；3.在解決問(wèn)題過(guò)程中體驗(yàn)類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，培優(yōu)良好的思維品質(zhì)?！舅伎?】下面是楊輝三角，你能接著寫下去嗎?【思考2】下面是2023年6月的日歷，你能觀察出日歷上的數(shù)字有什么特點(diǎn)，他們之間有關(guān)嗎?提示可以從下列情況思考：（1）橫排相鄰的日期；（2）豎排相鄰的日期；（3）“左上-右下”相鄰的日期；（4）“左下-右上”相鄰的日期。1.規(guī)律探索型問(wèn)題解題技巧1）抓住條件中的變與不變：找數(shù)學(xué)規(guī)律的題目，都會(huì)涉及到一個(gè)或者幾個(gè)變化的量.所謂找規(guī)律，多數(shù)情況下，是指變量的變化規(guī)律.所以，抓住了變量，就等于抓住了解決問(wèn)題的關(guān)鍵.而這些變量通常按照一定的順序給出，揭示的規(guī)律，常常包含著事物的序列號(hào).2）化繁為簡(jiǎn)，形轉(zhuǎn)化為數(shù)：有些題目看上去很大、圖形很復(fù)雜，實(shí)際上，關(guān)鍵性的內(nèi)容并不多.對(duì)題目做一番認(rèn)真地分析，去粗取精，取偽存真，把其中主要的、關(guān)鍵的內(nèi)容抽出來(lái)，題目的難度就會(huì)大幅度降低，問(wèn)題也就容易解決了.3）要進(jìn)行計(jì)算嘗試：找規(guī)律，當(dāng)然是找數(shù)學(xué)規(guī)律.而數(shù)學(xué)規(guī)律，多數(shù)是函數(shù)的解析式.函數(shù)的解析式里常常包含著數(shù)學(xué)運(yùn)算.因此，找規(guī)律，在很大程度上是在找能夠反映已知量的數(shù)學(xué)運(yùn)算式子.所以，從運(yùn)算入手，嘗試著做一些計(jì)算，也是解答找規(guī)律題的好途徑.4）尋找事物的循環(huán)節(jié)：有些題目包含著事物的循環(huán)規(guī)律，找到事物的循環(huán)規(guī)律，其他問(wèn)題就可以迎刃而解.2、規(guī)律探索型問(wèn)題常見類型1）數(shù)式規(guī)律：通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律，反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，考查了學(xué)生的分析、歸納、抽象、概括能力.一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過(guò)橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式.2）圖形規(guī)律：根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化，從中總結(jié)圖形變化所反映的規(guī)律.解決這類圖形規(guī)律問(wèn)題的方法有兩種，一種是數(shù)圖形，將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)字規(guī)律，再用數(shù)字規(guī)律的解決問(wèn)題，一種是通過(guò)圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規(guī)律.3）數(shù)表規(guī)律：解決本題的方法一般是先看行（或列）的規(guī)律，再以列（或行）為單位用數(shù)列找規(guī)律方法找規(guī)律.有時(shí)也需要看看有沒有一個(gè)數(shù)是上面兩數(shù)或下面兩數(shù)的和或差等.有時(shí)還需要先局部看，再整體找規(guī)律.4）常見的數(shù)列規(guī)律：1）1，3，5，7，9，…，（為正整數(shù)）；2）2，4，6，8，10，…，（為正整數(shù)）．3）2，4，8，16，32，…，（為正整數(shù)）；4）2，6，12，20，…，（為正整數(shù)）．5），，，，，，…，（為正整數(shù)）．6）特殊數(shù)列：①三角形數(shù)：1，3，6，10，15，21，…，.②斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，…，從第三個(gè)數(shù)開始每一個(gè)數(shù)等于與它相鄰的前兩個(gè)數(shù)的和.考點(diǎn)1、數(shù)列的規(guī)律【解題技巧】數(shù)列的規(guī)律：把握常見幾類數(shù)的排列規(guī)律及每個(gè)數(shù)與排列序號(hào)之間的關(guān)系.例1．（2023·云南昆明·?？寄M預(yù)測(cè)）觀察下列按一定規(guī)律排列的數(shù)：，1，9，1，，1，18，1，…，則第15個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得第k個(gè)奇數(shù)為，再由第15個(gè)數(shù)是第8個(gè)奇數(shù)，即可求解．【詳解】解：∵，1，9，1，，1，81，1，…，∴偶數(shù)位置上的數(shù)都是1，奇數(shù)位置上的數(shù)分別是，9，，81，…，∴第k個(gè)奇數(shù)為，∴第15個(gè)數(shù)是第8個(gè)奇數(shù)，為．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律題，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．變式1.（2022·廣東七年級(jí)月考）有一組數(shù)：，它們是按一定規(guī)律排列的，這一組數(shù)的第n個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題目中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的分子和分母的變化特點(diǎn)，從而可以寫出第n個(gè)數(shù)．【詳解】解：一組數(shù)為∴這組數(shù)據(jù)第1個(gè)數(shù)為：，第2個(gè)數(shù)為：，第3個(gè)數(shù)為：…∴第n個(gè)數(shù)為：故選：C【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，寫出相應(yīng)的數(shù)字．變式2.（2022·福建七年級(jí)期中）觀察下列各項(xiàng)：，，，，…，依此規(guī)律下去，則第7項(xiàng)是__________；第項(xiàng)是__________．【答案】【分析】觀察可知：整數(shù)部分是從1開始的自然數(shù)，分?jǐn)?shù)部分的分子為1，分母為從2開始的自然數(shù)的兩倍，據(jù)此可得．【詳解】解：=，=，=，=，…∴第7項(xiàng)是，第n項(xiàng)是，故答案為：，．【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的聯(lián)系，利用規(guī)律解決問(wèn)題．考點(diǎn)2、數(shù)（圖）表的規(guī)律【解題技巧】數(shù)（圖）表的規(guī)律：觀察前幾個(gè)圖形，確定每個(gè)圖形中圖形的個(gè)數(shù)或圖形總數(shù)與序號(hào)之間的關(guān)系.例1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）數(shù)學(xué)家萊布尼茨在研究中發(fā)現(xiàn)了下面的“單位分?jǐn)?shù)三角形”，根據(jù)前五行的規(guī)律，可以知道第六行第三個(gè)數(shù)是_________．第一行

第二行

第三行

第四行

第五行

【答案】【分析】根據(jù)題干中給出的三角形中數(shù)字規(guī)律，得出第n行第1個(gè)數(shù)表示為，第n行第2個(gè)數(shù)表示為，再根據(jù)第n行第2個(gè)數(shù)是第行第2個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)的和進(jìn)行求解即可．【詳解】解：根據(jù)題目中給出數(shù)的特點(diǎn)，第n行第1個(gè)數(shù)表示為，第n行第2個(gè)數(shù)表示為，∴第6行第1個(gè)數(shù)為，第6行第2個(gè)數(shù)為，∴第六行第三個(gè)數(shù)表示的是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中給出的數(shù)字找出規(guī)律．變式1．（2022秋·浙江杭州·七年級(jí)?？计谥校┮阎涸跀?shù)軸上有兩個(gè)點(diǎn)A、B，A點(diǎn)表示有理數(shù)－4，B點(diǎn)表示有理數(shù)6，點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)，表示有理數(shù)x，且點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離和是16，觀察下面每個(gè)圖形中的四個(gè)數(shù)都是按相同的規(guī)律填寫的，根據(jù)此規(guī)律確定y的值是________．

【答案】50【分析】根據(jù)點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離和是16，確定有理數(shù)x的值，再按照規(guī)律確定y的值．【詳解】解：∵點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離和是16，且點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)，∴點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)，∴(-4-x)+(6-x)=16，解得：x=-7，觀察圖形中的四個(gè)數(shù)，左上角的數(shù)是右上角的數(shù)的絕對(duì)值少1，左下角的數(shù)比左上角的數(shù)多2，從第2個(gè)圖形開始，右下角的數(shù)是左上角的數(shù)與左下角的數(shù)的積再加2，∴m===6，n=m+2=8，∴y=mn+2=48+2=50，故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，數(shù)字類圖形變化題．注意觀察總結(jié)出規(guī)律，能正確的應(yīng)用規(guī)律．變式2．（2023春·山東青島·七年級(jí)?？计谥校钶x三角是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一．如圖，在楊輝三角形中，斜線l的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，…，用表示這個(gè)數(shù)列的第n個(gè)數(shù)，則__________．【答案】1327【分析】分奇數(shù)和偶數(shù)計(jì)算．【詳解】當(dāng)序號(hào)為偶數(shù)時(shí)，，∴，∴；當(dāng)序號(hào)為奇數(shù)時(shí)，，∴，∴；∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律探索，正確運(yùn)用分類思想分成偶數(shù)列，奇數(shù)列計(jì)算是解題的關(guān)鍵．變式3.（2022?柳南區(qū)七年級(jí)月考）將正奇數(shù)按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行17192123………2725若2021在第m行第n列，則m+n＝（）A．256 B．257 C．510 D．511【分析】觀察圖表，每一行都有四個(gè)數(shù)，且奇數(shù)行排在第2﹣5列，偶數(shù)行排在第1﹣4列，根據(jù)2021在正奇數(shù)中的位置來(lái)推算m，n．【解答】解：首先，從圖表觀察，每一行都有四個(gè)數(shù)，且奇數(shù)行排在第2﹣5列，偶數(shù)行排在第1﹣4列，其次，奇數(shù)可以用2x﹣1表示，當(dāng)x＝1011時(shí)，2x﹣1＝2021，即2021是排在第1011個(gè)位置．在上表中，因?yàn)槊啃杏?個(gè)數(shù)，且1011÷4＝252???????3，因此2021應(yīng)該在第253行，第4列，即m＝253，n＝4．∴m+n＝257，故選：B．考點(diǎn)3、算式的規(guī)律【解題技巧】算式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結(jié)規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號(hào)之間的關(guān)系.例1．（2022春·廣東梅州·七年級(jí)?？计谀┯^察下列算式中的規(guī)律：……，下列等式中符合規(guī)律的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由題意可得到第n個(gè)等式的左邊的數(shù)：1的個(gè)數(shù)是個(gè)，后面2的個(gè)數(shù)是n個(gè)，末尾是5；等式的右邊3的個(gè)數(shù)是個(gè)，末尾是5組成數(shù)字的平方，由此規(guī)律求解即可．【詳解】∵……，∴第n個(gè)等式的左邊的數(shù)：1的個(gè)數(shù)是個(gè)，后面2的個(gè)數(shù)是n個(gè)，末尾是5，等式的右邊3的個(gè)數(shù)是個(gè)，末尾是5組成數(shù)字的平方，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是正確分析出個(gè)位數(shù)字是5的數(shù)乘以它本身的積的規(guī)律．變式1．（2023·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預(yù)測(cè)）有一種印度式乘法，如圖（1）表示，其中12是沿左上到右下的方向，畫兩組線段依次表示被乘數(shù)從高位到低位的數(shù)字；31是沿左下到右上的方向，畫兩組線段依次表示乘數(shù)從高位到低位的數(shù)字；372是由從左往右數(shù)每一豎列上結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)連在一起得到的（若每一豎列上結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)大于10，則需往左進(jìn)位），圖（2）表示的算式為（

）．A．B．C．D．【答案】B【分析】仿照?qǐng)D（1）的方法解答即可．【詳解】解：圖中沿左上到右下的方向，畫三組線段依次表示被乘數(shù)從高位到低位的數(shù)字即112；沿左下到右上的方向，畫三組線段依次表示乘數(shù)從高位到低位的數(shù)字即231；由從左往右數(shù)每一豎列上結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)連在一起分別得到：2、5、8、7、2，即25872．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形規(guī)律，根據(jù)圖（1）歸納出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．變式2.（2022·山西七年級(jí)期中）觀察以下等式：第個(gè)等式：；第個(gè)等式：；第個(gè)等式：；第個(gè)等式：．……按照以上規(guī)律．解決下列問(wèn)題：（1）寫出第個(gè)等式：____________________．（2）寫出你猜想的第個(gè)等式：____________________（用含的等式表示）．（3）你認(rèn)為（2）中所寫的式子一定成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）成立，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)題中等式的規(guī)律可得；（2）觀察等式的規(guī)律可得；（3）將等式的左邊進(jìn)行整式的混合運(yùn)算，判斷與等式右邊是否相等即可．【詳解】（1）根據(jù)題中規(guī)律可得：（2）觀察式子可得：（3）等式左邊===3=等式右邊∴（2）中所寫式子一定成立．【點(diǎn)睛】本題通過(guò)找規(guī)律的方式考查整式的混合運(yùn)算．分析所給等式，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4、圖形的規(guī)律（一次類）【解題技巧】圖形規(guī)律：觀察前項(xiàng)（前3-4項(xiàng)）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論.例1．（2023秋·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將黑、白兩種顏色的小正方形按照一定規(guī)律組合成一系列圖案，若第n個(gè)圖案中黑色小正方形個(gè)數(shù)記作，如，，則等于（

）A．101 B．102 C．202 D．203【答案】D【分析】結(jié)合圖形可知，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，問(wèn)題隨之得解．【詳解】結(jié)合圖形可知：，，，，可知：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，則有：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了尋找圖形規(guī)律的知識(shí)，根據(jù)圖形的規(guī)律準(zhǔn)確列出代數(shù)式是解答本題的關(guān)鍵．變式1．（2022秋·陜西榆林·七年級(jí)?？计谀?shù)學(xué)興趣小組的一位同學(xué)用棋子擺圖形探究規(guī)律．如圖所示，若按照他的規(guī)律繼續(xù)擺下去，第n個(gè)圖案中用了2025顆棋子，則n的值為（

）A．506 B．507 C．508 D．509【答案】A【分析】根據(jù)題目中給出的圖案中棋子個(gè)數(shù)找出規(guī)律，得出第個(gè)圖案有顆棋子，令求出n的值即可．【詳解】解：∵第1個(gè)圖案有5顆棋子，第2個(gè)圖案有9顆棋子，第3個(gè)圖案有13顆棋子，第4個(gè)圖案有17顆棋子，……第個(gè)圖案有顆棋子，∴當(dāng)時(shí)，解得：，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中給出的圖案，找出一般規(guī)律．變式2．（2023春·重慶北碚·七年級(jí)?？计谥校榧o(jì)念中國(guó)人民志愿軍抗美援朝作戰(zhàn)勝利“70周年”，學(xué)校社團(tuán)開展了系列活動(dòng)．手工制作社團(tuán)的同學(xué)用糖果擺成如圖所示的“70”圖案，其中第1個(gè)“70”圖案用8顆糖果，第2個(gè)“70”圖案用12顆糖果……按照這種規(guī)律，第70個(gè)“70”圖案用（

）顆糖果．A．276 B．280 C．284 D．288【答案】C【分析】仔細(xì)觀察圖案，找到糖果個(gè)數(shù)的變化規(guī)律即可求解．【詳解】解：觀察圖案，可得：第①個(gè)圖案中，糖果的個(gè)數(shù)為個(gè)，第②個(gè)圖案中，糖果的個(gè)數(shù)為個(gè)，第③個(gè)圖案中，糖果的個(gè)數(shù)為個(gè)，……第個(gè)圖案中，糖果的個(gè)數(shù)為個(gè)，第70個(gè)圖案中，糖果的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律性-圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是通過(guò)歸納與總結(jié)，得到其中的變化規(guī)律．考點(diǎn)5、圖形的規(guī)律（二次類）【解題技巧】圖形規(guī)律：觀察前項(xiàng)（前3-4項(xiàng)）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論.例1.（2022·重慶七年級(jí)期中）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點(diǎn)（或圓球）在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1，3，6，10，15，…．我國(guó)宋元時(shí)期數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的錐垛（如圖所示頂上一層1個(gè)球，下一層3個(gè)球，再下一層6個(gè)球），若一個(gè)“落一形”三角錐垛有10層，則該堆垛球的總個(gè)數(shù)為（）A．55 B．220 C．285 D．385【答案】A【分析】“三角形數(shù)”可以寫為：1，3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，15＝1+2+3+4+5，所以第n層“三角形數(shù)”為，再把n＝10代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵“三角形數(shù)”可以寫為：第1層：1，第2層：3＝1+2，第3層：6＝1+2+3，第4層：10＝1+2+3+4，第5層：15＝1+2+3+4+5，∴第n層“三角形數(shù)”為，∴若一個(gè)“落一形”三角錐垛有10層，則該堆垛球的總個(gè)數(shù)為＝55．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及數(shù)字變化規(guī)律，得出第n層“三角形數(shù)”為是解答本題關(guān)鍵．變式1．（2023秋·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）卡塔爾盧賽爾體育場(chǎng)是由中國(guó)鐵建國(guó)際集團(tuán)承建，球場(chǎng)外立面的設(shè)計(jì)靈感源于阿拉伯吊燈的光影交錯(cuò)的典型圖案．該圖案是由一些完全相同的小三角形依照規(guī)律排列組成，圖形（1）由2個(gè)小三角形組成，圖形（2）由8個(gè)小三角形組成，圖形（3）由18個(gè)小三角形組成，…．依次規(guī)律，圖形（10）由（

）個(gè)小三角形組成．A．100 B．160 C．200 D．300【答案】C【分析】設(shè)第n個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)為，列出前幾個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律，并用含有n的代數(shù)式表示規(guī)律，然后把代入規(guī)律中求出即可．【詳解】設(shè)第n個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)為（n為正整數(shù)），則

；；；?故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了規(guī)律型中的圖形變化類，找到規(guī)律，并把規(guī)律用代數(shù)式表示出來(lái)是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·成都市七年級(jí)期中）如圖是一張101×101方格紙的左上角的部分，用圖中的方式從左上角的格子開始涂色，直到不能涂色為止，則在原方格紙上有_____個(gè)格子被涂色．【答案】5201【分析】由圖可得，白色的格子分別是2，6，10，14，．．．從而可得第n個(gè)數(shù)是，則其總數(shù)是結(jié)合方格紙的大小可求得白色格子的數(shù)量，從而可求涂色的格子的數(shù)量．【詳解】解∶由題意得白色的格子分別是2，6，10，14，．．．∴第n個(gè)數(shù)是∶，∴白色格子的總數(shù)是∶，∵方格紙的規(guī)格是，∴白色格子的行數(shù)是50行，即當(dāng)時(shí)，其白色格子的總數(shù)是∶(個(gè))，∴涂色的格子的數(shù)量為∶(個(gè))．故答案為∶5201．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是先求出白色的格子的數(shù)量，從而可求涂色的格子的數(shù)量．變式3.（2022·浙江七年級(jí)期末）按圖示的方法，搭1個(gè)正方形需要4根火柴棒，搭3個(gè)正方形需要10根火柴棒，搭6個(gè)正方形需要18根火柴棒，則下列選項(xiàng)中，可以搭成符合規(guī)律圖形的火柴棒的數(shù)目是（）A．52根 B．66根 C．70根 D．72根【答案】C【分析】仔細(xì)觀察圖形，找到圖形變化的規(guī)律，將每行每列的火柴棒數(shù)進(jìn)行總結(jié)，可得出：當(dāng)有n層時(shí)，需要根火柴，從而驗(yàn)證選項(xiàng)即可確定正確答案．【詳解】解：觀察圖形可以看出：搭1個(gè)正方形，一層，需要根火柴棒；搭3個(gè)正方形，兩層，需要根火柴棒；搭6個(gè)正方形，三層，需要根火柴棒；搭10個(gè)正方形，四層，需要根火柴棒；因此當(dāng)有n層時(shí)，需要根火柴棒．當(dāng)時(shí)，根火柴棒，因此C選項(xiàng)正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化類問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找到圖形變化的規(guī)律，用變量代替數(shù)字總結(jié)規(guī)律，最終再代入數(shù)字求解即可，難度中等．考點(diǎn)6、圖形的規(guī)律（指數(shù)類）【解題技巧】圖形規(guī)律：觀察前項(xiàng)（前3-4項(xiàng)）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論例1．（2023·重慶沙坪壩·統(tǒng)考一模）圖①叫做一個(gè)基本的“勾股樹”，也叫做第一代勾股樹．讓圖①中兩個(gè)小正方形各自長(zhǎng)出一個(gè)新的勾股樹（如圖②），叫做第二代勾股樹．從第二代勾股樹出發(fā)，又可以長(zhǎng)出第三代勾股樹（如圖③）．這樣一生二、二生四、四生八，繼續(xù)生長(zhǎng)下去，則第四代勾股樹圖形中正方形的個(gè)數(shù)為（）A．15 B．23 C．27 D．31【答案】D【分析】由已知圖形觀察規(guī)律，即可得到第四代勾股樹中正方形的個(gè)數(shù)．【詳解】解：第一代勾股樹中正方形有(個(gè))，第二代勾股樹中正方形有(個(gè))，第三代勾股樹中正方形有(個(gè))，第四代勾股樹中正方形有(個(gè))，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圖形中的規(guī)律問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，得到圖形變化的規(guī)律．例2．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【方法指引】利用圖形來(lái)表示數(shù)量或數(shù)量關(guān)系，也可以利用數(shù)量或數(shù)量關(guān)系來(lái)描述圖形或圖形之間的關(guān)系，這種思想方法稱為數(shù)形結(jié)合．【方法生成】將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成若干個(gè)部分，請(qǐng)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決下列問(wèn)題：（1）______；（2）______；（3）______；【方法遷移】（4）______；【靈活運(yùn)用】（5）______．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【分析】（1）（2）（3）根據(jù)圖中空白面積＝1－陰影部分面積可得結(jié)果；（4）類比（1）（2）（3）可得結(jié)果；（5）類比（4）可得結(jié)果；【詳解】解：由圖中陰影部分面積可知：（1）；故答案為：；（2）；故答案為：；（3）；故答案為：；（4）故答案為：；（5）故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的圖形的變化類及有理數(shù)的乘方運(yùn)算，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．變式1．（2023秋·廣東深圳·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成7個(gè)圖形，圖形①面積是正方形紙片面積的，圖形②面積是圖形①面積的2倍的，圖形③面積是圖形②面積的2倍的，……，圖形⑥面積是圖形⑤面積的2倍的，圖形⑦面積是圖形⑥面積的2倍．計(jì)算的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得圖形①面積是，圖形②面積是，圖形③面積是，圖形④面積是圖形⑤面積是，圖形⑥面積是，圖形⑦面積是．從而得到的面積等于①②③④⑤⑥的面積之和，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：圖形①面積是，圖形②面積是，圖形③面積是，圖形④面積是圖形⑤面積是，圖形⑥面積是，圖形⑦面積是．∴的面積等于①②③④⑤⑥的面積之和，∴．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．變式2．（2023·安徽安慶·?？级＃┯萌舾蓚€(gè)“○”與“▲”按如圖方式進(jìn)行拼圖：

(1)觀察圖形，尋找規(guī)律，并將下面的表格填寫完整：圖1圖2圖3圖4○的個(gè)數(shù)3921______▲的個(gè)數(shù)1410______(2)根據(jù)你所觀察到的規(guī)律，分別寫出圖中“○”與“▲”的個(gè)數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)45，22(2)圖n中，○的個(gè)數(shù)，▲的個(gè)數(shù)．【分析】（1）根據(jù)圖形總結(jié)規(guī)律，直接得出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）即可得到規(guī)律．【詳解】（1）解：圖1，○的個(gè)數(shù)，▲的個(gè)數(shù)，圖2，○的個(gè)數(shù)，▲的個(gè)數(shù)，圖3，○的個(gè)數(shù)，▲的個(gè)數(shù)，圖4，○的個(gè)數(shù)，▲的個(gè)數(shù)，故答案為：45，22；（2）解：由（1）得到規(guī)律，圖n，○的個(gè)數(shù)，▲的個(gè)數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查探求規(guī)律的問(wèn)題，能夠結(jié)合圖形的數(shù)目探求規(guī)律是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)7、循環(huán)規(guī)律類問(wèn)題【解題技巧】有些題目包含著事物的循環(huán)規(guī)律，找到事物的循環(huán)規(guī)律，其他問(wèn)題就可以迎刃而解.例1．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）現(xiàn)有一列數(shù)，，，，，，，對(duì)于任意相鄰的三個(gè)數(shù)，都有中間的數(shù)等于左右兩個(gè)數(shù)的和，如果，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)任意相鄰的三個(gè)數(shù)，都有中間的數(shù)等于左右兩個(gè)數(shù)的和求得到分別是多少，即可找出規(guī)律，求得答案.【詳解】解：任意相鄰的三個(gè)數(shù)，都有中間的數(shù)等于左右兩個(gè)數(shù)的和，，，，，，，.每6個(gè)數(shù)為一循環(huán)，且6個(gè)數(shù)的和為0，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，學(xué)生通過(guò)觀察、歸納、抽象出數(shù)列的規(guī)律的能力.涉及到有理數(shù)的加法法則，解題的關(guān)鍵在于分析題意，找到規(guī)律并進(jìn)行推導(dǎo).變式1．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）觀察下列等式：，，，，，，，根據(jù)這個(gè)規(guī)律，則的末尾數(shù)字是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)2n的個(gè)位數(shù)字是2、4、8、6四個(gè)數(shù)字依次不斷循環(huán)，直接填空即可；【詳解】通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)2n的個(gè)位數(shù)字是2、4、8、6四個(gè)數(shù)字依次不斷循環(huán)，且2+4+8+6=20，尾數(shù)為02022÷4=500……2，則尾數(shù)為2+4=6，故選D．【點(diǎn)睛】此題考查冪的乘方末尾的數(shù)字規(guī)律，注意觀察循環(huán)的數(shù)字規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題．變式2．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）如圖1，是的直徑，點(diǎn)B、C、D將半圓分成四等分，把五位同學(xué)分別編為序號(hào)1、2、3、4、5按順序站在半圓的五個(gè)點(diǎn)上，現(xiàn)把最右邊的5號(hào)同學(xué)調(diào)出，站到2號(hào)和3號(hào)兩位同學(xué)之間，再把最右邊的4號(hào)同學(xué)調(diào)出，站到1號(hào)和2號(hào)兩位同學(xué)之間，得到圖2，稱為“1次換序”．接著按同樣的方法，把最右邊的3號(hào)同學(xué)調(diào)出，站到4號(hào)和2號(hào)兩位同學(xué)之間，再把最右邊的5號(hào)同學(xué)調(diào)出，站到1號(hào)和4號(hào)兩位同學(xué)之間，得到圖3，稱為“2次換序”．以此類推……；若從圖1開始，經(jīng)過(guò)“n次換序”后，得到的順序與圖1相同，則n的值可以是（

）

A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【分析】先得到前4次換序后的結(jié)果，再歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得．【詳解】解：由題意得：1次換序后，得到的順序?yàn)椋?次換序后，得到的順序?yàn)椋?次換序后，得到的順序?yàn)椋?次換序后，得到的順序?yàn)?，由此可知，每?jīng)過(guò)4次換序，得到的順序與圖1相同，即此時(shí)（為正整數(shù)），觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)B符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．A級(jí)（基礎(chǔ)過(guò)關(guān)）1．（2022秋·北京西城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）用邊長(zhǎng)相等的正方形和等邊三角形卡片按如圖所示的方式和規(guī)律拼出圖形．拼第1個(gè)圖形所用兩種卡片的總數(shù)為7枚，拼第2個(gè)圖形所用兩種卡片的總數(shù)為12枚若按照這樣的規(guī)律拼出的第個(gè)圖形中，所用正方形卡片比等邊三角形卡片多10枚，則拼第個(gè)圖形所用兩種卡片的總數(shù)為（

）A．57枚 B．52枚 C．50枚 D．47枚【答案】B【分析】總結(jié)規(guī)律第個(gè)圖形中所用正方形卡片比等邊三角形卡片多幾枚，當(dāng)時(shí)，求出所用正方形卡片及等邊三角形卡片的數(shù)量，栽求和即可得到答案．【詳解】解：第1個(gè)圖形中所用正方形卡片比等邊三角形卡片多（枚），第2個(gè)圖形中所用正方形卡片比等邊三角形卡片多（枚），第3個(gè)圖形中所用正方形卡片比等邊三角形卡片多（枚），第個(gè)圖形中所用正方形卡片比等邊三角形卡片多（枚），當(dāng)時(shí)，所用正方形卡片為：（枚），所用等邊三角形卡片為：，所用兩種卡片的總數(shù)為：（枚），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了與有理數(shù)有關(guān)的規(guī)律探究，解題的關(guān)鍵是總結(jié)規(guī)律第個(gè)圖形中所用正方形卡片比等邊三角形卡片多幾枚．2．（2022秋·河北保定·九年級(jí)保定市第十七中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，第1個(gè)圖中將正方形取上下對(duì)邊中點(diǎn)連線后，再取右側(cè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊中點(diǎn)連線；第2個(gè)圖中，將第一個(gè)圖中的右下方正方形繼續(xù)按第一個(gè)圖的方式進(jìn)行操作，…，按此規(guī)律操作下去，則第（為正整數(shù)）個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由第1個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)3＝2×1＋1，第2個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)5＝2×2＋1，第3個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)7＝2×3＋1，……據(jù)此可得．【詳解】解：∵第1個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)3＝2×1＋1，第2個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)5＝2×2＋1，第3個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)7＝2×3＋1，……，∴第個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．3．（2022秋·安徽六安·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）小明下五子棋的時(shí)候，用棋子按一定的規(guī)律擺了如下三個(gè)圖形，請(qǐng)你猜測(cè)一下，若小明繼續(xù)擺下去，第10個(gè)圖形需要幾顆棋子（

）A．40 B．45 C．41 D．36【答案】C【分析】根據(jù)前三個(gè)圖形中棋子的數(shù)量，可找出變化規(guī)律“”；代入，即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵第1個(gè)圖形中棋子的個(gè)數(shù)是，第2個(gè)圖形中棋子的個(gè)數(shù)是，第3個(gè)圖形中棋子的個(gè)數(shù)是，…，∴第n個(gè)圖形中棋子的個(gè)數(shù)是．當(dāng)時(shí)，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，根據(jù)各圖形中棋子數(shù)量的變化，找出變化規(guī)律“”是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·江西鷹潭·七年級(jí)統(tǒng)考期中）某樹苗原始高度為，下圖是該樹苗的高度與生長(zhǎng)的月數(shù)的有關(guān)數(shù)據(jù)示意圖，假設(shè)以后一段時(shí)間內(nèi)，該樹苗高度的變化與月數(shù)保持此關(guān)系，用式子表示生長(zhǎng)n個(gè)月時(shí)，它的高度（單位：cm）應(yīng)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)每月增加即可解答．【詳解】解：∵第1個(gè)月的高度為：，第2個(gè)月的高度為：，第3個(gè)月的高度為：，…，∴第n個(gè)月的高度為：，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型—圖形類規(guī)律與探究，要求學(xué)生通過(guò)觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題．5．（2023秋·河南周口·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，用規(guī)格相同的小金屬棒按照?qǐng)D示規(guī)律焊接成相連的小正方體，根小金屬棒最多可以焊接成________個(gè)小正方體．【答案】【分析】根據(jù)正方體有12條棱，每增加1個(gè)正方體，增加8根小金屬棒，得到規(guī)律，然后根據(jù)題意列方程即可求解．【詳解】解：依題意，1個(gè)正方體需要12根小金屬棒，2個(gè)正方體需要1根小金屬棒，3個(gè)正方體需要根小金屬棒，……個(gè)正方體需要根小金屬棒，∵，，∴根小金屬棒最多可以焊接成個(gè)小正方體．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律，找到規(guī)律得出個(gè)正方體需要的小金屬棒數(shù)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）蜜蜂不僅給人類帶來(lái)了蜂蜜等營(yíng)養(yǎng)品，也給仿生學(xué)提供了技術(shù)支持．科學(xué)家們正是模仿蜂房的結(jié)構(gòu)，找到了人造衛(wèi)星比較理想的結(jié)構(gòu)．如圖是蜜蜂蜂房的一組有規(guī)律的圖案，它們是由相同的小正六邊形組成，依此規(guī)律，第個(gè)圖案中有______個(gè)小正六邊形．【答案】/【分析】分別求出第1，2，3個(gè)圖案的小正六邊形的個(gè)數(shù)，推導(dǎo)一般性規(guī)律，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】解：由題意知，第1個(gè)圖案中有5個(gè)小正六邊形，第2個(gè)圖案中有個(gè)小正六邊形，第3個(gè)圖案中有個(gè)小正六邊形，∴可推導(dǎo)一般性規(guī)律：第個(gè)圖案中有個(gè)小正六邊形，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)一般性規(guī)律．7．（2022秋·云南玉溪·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，數(shù)1對(duì)應(yīng)著1顆星形，數(shù)2對(duì)應(yīng)著5顆星形，數(shù)3對(duì)應(yīng)著9顆星形，…，按這樣的規(guī)律排列下去，則正整數(shù)n對(duì)應(yīng)著____顆星形．【答案】/（-3+4n）【分析】首先分析題意，找到規(guī)律，并進(jìn)行推導(dǎo)得出答案．【詳解】根據(jù)圖形的變化，發(fā)現(xiàn)：分成三層，上下層一致，中間為一排，∴第2個(gè)圖形星形的顆數(shù)為：；第3個(gè)圖形星形的顆數(shù)為：；第4個(gè)圖形星形的顆數(shù)為：；?，第n個(gè)圖形星形的顆數(shù)為：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化類問(wèn)題，重點(diǎn)考查了學(xué)生通過(guò)觀察、歸納、抽象出數(shù)列的規(guī)律的能力，難度不大．8．（2022秋·七年級(jí)統(tǒng)考期中）某次會(huì)議前，小明同學(xué)幫助老師擺放桌椅：甲方式：……乙方式：……（1）按甲方式將4張桌子拼在一起共有_________個(gè)座位，張桌子拼在一起共有_________個(gè)座位；（2）按乙方式將6張桌子拼在一起共有_________個(gè)座位，張桌子拼在一起共有_________個(gè)座位．【答案】1226【分析】（1）甲方式可以看成是1張桌子配2把椅子，再額外配4把椅子，規(guī)矩規(guī)律可得其值；（2）乙方式可以看成是1張桌子配4把椅子，再二外配2把椅子，規(guī)矩規(guī)律可得其值．【詳解】解：（1）根據(jù)題意有，4張桌子拼在一起共有的座位數(shù)為：，n張桌子拼在一起共有的座位數(shù)為：．故答案為：12；；（2）根據(jù)題意有，6張桌子拼在一起共有的座位數(shù)為：，m張桌子拼在一起共有的座位數(shù)為：，故答案為：26；．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化，根據(jù)圖形的變化找出規(guī)律是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度適中．9．（2022秋·浙江臺(tái)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某公園分別按照方案A和方案B，用許多相同的小正方體盆花，依次一圈一圈地?cái)[放出上表面為大正方形的圖案，其中方案A中間的一個(gè)小正方形不放花，方案B中間的四個(gè)小正方形不放花．可以按照?qǐng)D中的規(guī)律不斷增加擺花的圈數(shù)．(1)根據(jù)題意，將兩種方案下前三圈的盆花數(shù)量填入下表：盆花數(shù)量方案第1圈第2圈第3圈…方案A…方案B…你發(fā)現(xiàn)同一圈上這兩種方案盆花數(shù)量之間有什么關(guān)系？(2)請(qǐng)用字母表示數(shù)，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明（1）中發(fā)現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系成立的理由．【答案】(1)同一圈上方案A的盆花數(shù)量比方案B的盆花數(shù)量少4盆(2)見解析【分析】（1）根據(jù)圖形數(shù)據(jù)，再總結(jié)歸納，從而可得表格數(shù)據(jù)；（2）由（1）的答案，總結(jié)歸納得到按方案A擺放第n圈的盆花數(shù)量是，按方案B擺放第n圈的盆花數(shù)量是，再列式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：如圖．盆花數(shù)量方案第1圈第2圈第3圈…方案A81624…方案B122028…發(fā)現(xiàn)同一圈上方案A的盆花數(shù)量比方案B的盆花數(shù)量少4盆．（2）因?yàn)榘捶桨窤擺放第n圈的盆花數(shù)量是，按方案B擺放第n圈的盆花數(shù)量是，而，所以同一圈上方案A的盆花數(shù)量比方案B的盆花數(shù)量少4盆．【點(diǎn)睛】本題考查的是列代數(shù)式，合并同類項(xiàng)，圖形類的規(guī)律探究，理解題意，列出正確的代數(shù)式是解本題的關(guān)鍵．10．（2023秋·山東威?！ち昙?jí)統(tǒng)考期末）用正方形和圓按照一定規(guī)律擺出下列一組圖形：(1)請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚簣D形編號(hào)①②③④…正方形/個(gè)1…圓/個(gè)4…(2)第2023個(gè)圖形中，有____________個(gè)圓；(3)若第n個(gè)圖形中有100個(gè)圓，則從第1個(gè)圖形到第n個(gè)圖形中共有多少個(gè)正方形？【答案】(1)見解析(2)(3)從第1個(gè)圖形到第n個(gè)圖形中共有561個(gè)正方形【分析】（1）觀察圖形即可填表；（2）根據(jù)（1）表中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第n個(gè)圖形中有個(gè)圓，當(dāng)時(shí)，代入求解即可；（3）先根據(jù)第n個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)求出n的值，再根據(jù)從第1個(gè)圖形到第n個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)和為：求解即可．【詳解】（1）由圖得，圖形編號(hào)①②③④…正方形/個(gè)1234…圓/個(gè)471013…（2）由（1）表中的數(shù)據(jù)，可得第n個(gè)圖形中有個(gè)圓，有n個(gè)正方形，∴第2023個(gè)圖形中，有個(gè)圓，故答案為：；（3）若第n個(gè)圖形中有100個(gè)圓，則，解得，從第1個(gè)圖形到第n個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)和為：個(gè)，所以從第1個(gè)圖形到第n個(gè)圖形中共有561個(gè)正方形．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律探索，能夠根據(jù)圖形得出圖形分布的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．B級(jí)（能力提升）1．（2023·四川攀枝花·?？家荒＃┌匆?guī)律填空：1，0，9，16，（），48A．33 B．25 C．36 D．42【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)找出規(guī)律即可得出答案．【詳解】∵，，，∴，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字規(guī)律，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·貴州遵義·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示：某同學(xué)在利用火柴棍拼三角形時(shí)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，圖1是利用3根火柴棍能拼成邊為1根火柴棍的三角形圖案，圖2是利用9根火柴棍拼成邊為2根火柴棍的三角形圖案，圖3是利用18根火柴棍拼成邊為3根火柴棍的三角形圖案，按此規(guī)律拼圖，要拼成邊為100根火柴棍的三角形圖案需要火柴棍的根數(shù)是：（

）A．891 B．5050 C．10101 D．15150【答案】D【分析】通過(guò)圖形發(fā)現(xiàn)邊為1，2,3,4根火柴棍三角形圖案需要火柴棒的根數(shù)的規(guī)律，后根據(jù)規(guī)律即可求解．【詳解】邊為1根火柴棍的三角形圖案需要3根火柴棒，即；邊為2根火柴棍的三角形圖案需要9根火柴棒，即；邊為3根火柴棍的三角形圖案需要18根火柴棒，即；邊為4根火柴棍的三角形圖案需要30根火柴棒，即；……邊為100根火柴棍的三角形圖案需要火柴棍的根數(shù)是：故選：D【點(diǎn)睛】本題考查圖形類規(guī)律的探索，解題的關(guān)鍵是掌握找到題目中的規(guī)律．3．（2022·浙江·九年級(jí)自主招生）一共有12個(gè)1排成一行，在它們中間加入一定的加號(hào)使得它們的和能被30整除，例如．求使得最終和是30的倍數(shù)的添法的個(gè)數(shù)為（

）A．15 B．45 C．55 D．90【答案】C【分析】由，可得12個(gè)1排成一行，添上一定的加號(hào)得到的數(shù)的既是的倍數(shù)，也是的倍數(shù)，同時(shí)還是的倍數(shù)，可得這個(gè)數(shù)的尾數(shù)一定是，可得在12個(gè)1只能是11個(gè)空中添加個(gè)加號(hào)；再分情況討論即可．【詳解】解：∵，∴12個(gè)1排成一行，添上一定的加號(hào)得到的數(shù)的既是的倍數(shù)，也是的倍數(shù)，同時(shí)還是的倍數(shù)，∴這個(gè)數(shù)的尾數(shù)一定是，∴在12個(gè)1中，只能是11個(gè)空中添加個(gè)加號(hào)；（1）有1個(gè)數(shù)是，則添加的加號(hào)如下：，交換與后面的位置，可得此時(shí)共有種添加方法；（2）①有2個(gè)數(shù)，則添加的加號(hào)如下：，交換第一個(gè)與后面的位置可得共有種添加方法；交換第二個(gè)11與后面的位置可得共有種添加方法；②有2個(gè)數(shù)，則添加的加號(hào)還可以如下：，交換第一個(gè)與后面的位置可得共有種添加方法；交換第二個(gè)11與后面的位置可得共有種添加方法；③有2個(gè)數(shù)，則添加的加號(hào)還可以如下：，交換第一個(gè)與后面的位置可得共有種添加方法；交換第二個(gè)11與后面的位置可得共有種添加方法；④有2個(gè)數(shù)，則添加的加號(hào)還可以如下：，交換第一個(gè)與后面的位置可得共有種添加方法；交換第二個(gè)11與后面的位置可得共有種添加方法；⑤有2個(gè)數(shù)，則添加的加號(hào)還可以如下：，此時(shí)有1種添加方法，∴一共有（種）方法．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)的整除，規(guī)律探究，掌握例舉的方法解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．4．（2022·廣東江門·七年級(jí)期末）個(gè)等腰梯形按如圖的方式拼接得到組合圖形，由圖可知，時(shí)，圖形的周長(zhǎng)（1），時(shí)，圖形的周長(zhǎng)（2）．依此類推：

（1）（5）___________；（2）___________．【答案】【分析】（1）先分別求出（1），（2），（3），（4），再求出答案即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果得出答案即可．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，圖形的周長(zhǎng)（1），當(dāng)時(shí)，圖形的周長(zhǎng)（2），當(dāng)時(shí)，圖形的周長(zhǎng)（3），當(dāng)時(shí)，圖形的周長(zhǎng)（4），當(dāng)時(shí)，圖形的周長(zhǎng)（5），故答案為：；（2）從（1）知：（1），（2）；（3），（4），（5），，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，列代數(shù)式，能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．5．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，將一個(gè)正三角形分為4個(gè)全等的小正三角形，挖去中間的一個(gè)小三角形，稱為一次操作；再對(duì)剩下的3個(gè)小正三角形分別重復(fù)上面的操作，這樣下去，就能得到越來(lái)越多的小正三角形，這個(gè)最早是由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基制作出來(lái)的．那么至少連續(xù)經(jīng)過(guò)______次這樣的操作，得到的小正三角形就能超過(guò)50個(gè)．【答案】四/4【分析】根據(jù)題意可得進(jìn)行一次操作得到4個(gè)小正三角形，進(jìn)行二次操作得到13個(gè)小正三角形，進(jìn)行三次操作得到40個(gè)小正三角形，進(jìn)行三次操作得到121個(gè)小正三角形，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：進(jìn)行一次操作得到4個(gè)小正三角形，進(jìn)行二次操作得到13個(gè)小正三角形，進(jìn)行三次操作得到40個(gè)小正三角形，進(jìn)行四次操作得到121個(gè)小正三角形，∴至少連續(xù)經(jīng)過(guò)三次這樣的操作，得到的小正三角形就能超過(guò)50個(gè)．故答案為：四．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形類規(guī)律題，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．6．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考三模）材料題：請(qǐng)仔細(xì)閱讀以下信息，試著給出你的答案和解答過(guò)程這里有三組數(shù)：①，，，；②，，，，；③，，，①②兩組是由有限個(gè)數(shù)組成的，③是由無(wú)限個(gè)數(shù)組成的，它們的共同點(diǎn)：都是按一定次序排成的一列數(shù)，稱之為數(shù)列數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)或首項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)，，第項(xiàng)，一般記成，，這三組數(shù)列都是從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列這個(gè)常數(shù)就叫公差，公差通常用字母表示．(1)如數(shù)列①中數(shù)列②中那么數(shù)列③中______．(2)又如，，______；(3)由此可得到______；(4)由（3）的結(jié)論你能否求得此等差數(shù)列，，，第項(xiàng)與第項(xiàng)．【答案】(1)(2)(3)(4)第項(xiàng)為：，第項(xiàng)為：【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)所給的式子進(jìn)行求解即可；（3）結(jié)合（2）進(jìn)行總結(jié)即可；（4）利用（3）的結(jié)論進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，，中的，故答案為：；（2）解：，，，故答案為：；（3）解：由（2）得：，故答案為：；（4）解：，，，第項(xiàng)為：，第項(xiàng)為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是對(duì)由所給的式子總結(jié)出存在的規(guī)律．7．（2023秋·安徽亳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）用“”和“”分別代表甲種植物和乙種植物，為了美化環(huán)境，采用如圖所示的方案種植：(1)觀察圖形，尋找規(guī)律，并將下表填寫完整：圖序①②③④14949(2)分別表示出第n個(gè)圖形中甲種植物和乙種植物的株數(shù)．【答案】(1)見詳解；(2)，．【分析】（1）根據(jù)圖形規(guī)律可知甲種植物是第n個(gè)圖形就有n行n列，總數(shù)是n的平方，乙種植物第n個(gè)圖形就有行列，總數(shù)是，即可得到答案；（2）根據(jù)圖形規(guī)律即可得到答案；【詳解】（1）由圖形可得，甲種植物是第n個(gè)圖形就有n行n列，乙種植物第n個(gè)圖形有行列，圖序①②③④14949（2）解：：由圖形可得，甲種植物是第n個(gè)圖形就有n行n列，乙種植物第n個(gè)圖形就有行列，∴第n個(gè)圖形中甲種植物和乙種植物的株數(shù)分別為：，．【點(diǎn)睛】本題考查圖形規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形找到每個(gè)圖形的排布規(guī)律．8．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？计谥校┯^察下面三行數(shù)：0

1

4

9

16……①0

3

8

15

24……②

3

11

23

39……③(1)求①中的第11個(gè)數(shù)是______(2)用含有n的式子表示②中的第n個(gè)數(shù)是________(3)在（1）、（2）條件下，計(jì)算③中的第21個(gè)數(shù)是多少？【答案】(1)100(2)(3)839【分析】（1）探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問(wèn)題即可；（2）探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問(wèn)題即可；（3）探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問(wèn)題即可．【詳解】（1）第2個(gè)數(shù)是，第3個(gè)數(shù)是，第4個(gè)數(shù)是，第5個(gè)數(shù)是，…，∴第n個(gè)數(shù)是；∴第11個(gè)數(shù)是，故荅案為：100；（2）第2個(gè)數(shù)是，第3個(gè)數(shù)是，第4個(gè)數(shù)是，第5個(gè)數(shù)是，…，∴第n個(gè)數(shù)是，故荅案為：；（3）∵③中的第2個(gè)數(shù)為，第3個(gè)數(shù)為，第4個(gè)數(shù)為，第5個(gè)數(shù)為，…，∴第n個(gè)數(shù)為①的第n個(gè)數(shù)加上②的第n個(gè)數(shù)再減1，∴①第21個(gè)數(shù)為，②第21個(gè)數(shù)為，∴③中的第21個(gè)數(shù)是．【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型?數(shù)字問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題．9．（2022秋·江蘇泰州·七年級(jí)?？计谥校┯猛瑯哟笮〉膬煞N正方形紙片，按下圖方式拼正方形．(1)圖3中共有個(gè)小正方形，圖4中共有個(gè)小正方形，…，按圖示方式繼續(xù)拼下去，圖10中（未畫出）共有個(gè)小正方形；(2)以此類推，圖n中（未畫出）共有個(gè)小正方形；(3)借助以上結(jié)論計(jì)算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）觀察圖形根據(jù)已知圖形得出第2個(gè)圖形比第1個(gè)圖形多：個(gè)；第3個(gè)圖形比第2個(gè)圖形多：個(gè)；第4個(gè)圖形比第3個(gè)圖形多：個(gè)；即可得出后面一個(gè)圖形比第前個(gè)圖形多的個(gè)數(shù)是連續(xù)奇數(shù)，即可求解；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，寫出式子即可求解．（3）根據(jù)（2）的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）圖3中共有個(gè)小正方形，圖4中共有個(gè)小正方形，…，按圖示方式繼續(xù)拼下去，圖10中（未畫出）共有個(gè)小正方形；故答案為：；（2）∵第2個(gè)圖形比第1個(gè)圖形多：個(gè)；第3個(gè)圖形比第2個(gè)圖形多：個(gè)；第4個(gè)圖形比第3個(gè)圖形多：個(gè)；∴第n個(gè)圖形比第個(gè)圖形多：個(gè)；第個(gè)圖中有個(gè)小正方形，此類推，圖n中（未畫出）共有個(gè)小正方形故答案為：；（3）解：∵，∴【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律題，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·廣東佛山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，觀察下列幾何體并回答問(wèn)題．(1)請(qǐng)觀察所給幾何體的面、棱、頂點(diǎn)的數(shù)量并歸納出棱柱有___________個(gè)面，___________條棱，___________個(gè)頂點(diǎn)；棱錐有___________個(gè)面，___________條棱，___________個(gè)頂點(diǎn)；(2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱錐等這樣由四個(gè)或四個(gè)以上多邊形所圍成的立體圖形叫做多面體，經(jīng)過(guò)前人們歸納總結(jié)發(fā)現(xiàn)，多面體的面數(shù)，頂點(diǎn)個(gè)數(shù)以及棱的條數(shù)存在著一定的關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)（1）總結(jié)出這個(gè)關(guān)系為___________．【答案】(1)；(2)【分析】（1）觀察所給幾何體的面、棱、頂點(diǎn)的數(shù)量并歸納即可；（2）用表格分別列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)、棱的條數(shù)和面的個(gè)數(shù)，從而得到三者的關(guān)系．【詳解】（1）解：三棱柱有5個(gè)面，9條棱，6個(gè)頂點(diǎn)；四棱柱有6個(gè)面，12條棱，8個(gè)頂點(diǎn)；六棱柱有8個(gè)面，18條棱，12個(gè)頂點(diǎn)；三棱錐有4個(gè)面，6條棱，4個(gè)頂點(diǎn)；四棱錐有5個(gè)面，8條棱，5個(gè)頂點(diǎn)；五棱錐有5個(gè)面，10條棱，5個(gè)頂點(diǎn)；觀察所給幾何體的面、棱、頂點(diǎn)的數(shù)量，納出n棱柱有個(gè)面，條棱，個(gè)頂點(diǎn)，n棱錐有個(gè)面，條棱，個(gè)頂點(diǎn)；故答案為：；（2）用表格分別列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)、棱的條數(shù)和面的個(gè)數(shù)，如圖：根據(jù)上表總結(jié)出這個(gè)關(guān)系為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的認(rèn)識(shí)；能夠通過(guò)由特殊到一般的歸納，得到頂點(diǎn)個(gè)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間滿足的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．C級(jí)（培優(yōu)拓展）1．（2022秋·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？计谥校┓中螏缀螌W(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科．分形是把整體以某種方式分成幾個(gè)部分．按照如圖甲所示的分形規(guī)律（1個(gè)白圈分形為2個(gè)白圈1個(gè)黑圈，1個(gè)黑圈分形為1個(gè)白圈2個(gè)黑圈），可得如圖乙所示的一個(gè)樹形圖，則第7行中黑圈數(shù)量為（

）A．363 B．364 C．365 D．366【答案】C【分析】設(shè)某一行產(chǎn)生白圈個(gè)，黑圈個(gè)，表示為：，以此表示出每一行，即可解答．【詳解】解：設(shè)某一行產(chǎn)生白圈個(gè)，黑圈個(gè)，表示為：，∵1個(gè)白圈分形為2個(gè)白圈1個(gè)黑圈，1個(gè)黑圈分形為1個(gè)白圈2個(gè)黑圈，觀察圖乙可知第n行共有個(gè)圈，則第一行表示為：，即；第二行表示為：，即；第三行表示為：，即；第四行表示為：，即；第五行表示為：，即；第六行表示為：，即；第七行表示為：，即；∴第7行中黑圈數(shù)量為365個(gè)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查圖形規(guī)律，解題的關(guān)鍵是觀察圖形找出其中的規(guī)律．2．（2022秋·北京·七年級(jí)北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校?？计谥校€(gè)紙杯分別單獨(dú)立在桌面上，其中有b個(gè)紙杯倒扣（杯口朝下），其余紙杯正立（杯口朝上）．規(guī)定一次操作必須同時(shí)翻轉(zhuǎn)3個(gè)不同的紙杯，n次操作的目的是使所有的紙杯都杯口朝上正立在桌面上．①如果，而，那么不能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)（即：n不存在）②如果，而（為正整數(shù)），那么最少m次操作就能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)（即）③如果a＝5，b＝4，那么不能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)（即：n不存在）以上判斷正確的個(gè)數(shù)有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】每個(gè)都要翻轉(zhuǎn)3個(gè)杯子，而只有3個(gè)杯子，則每個(gè)杯子的朝向經(jīng)過(guò)一次變換后與原來(lái)不同即可判斷①；每次翻轉(zhuǎn)杯口朝下的3個(gè)杯子，即翻轉(zhuǎn)m次后就能使所有的杯子杯口朝上即可判斷②；要使得4個(gè)杯口朝下的杯子經(jīng)過(guò)翻轉(zhuǎn)后杯口都朝上，則這4個(gè)杯口朝下的杯子翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)一定是偶數(shù)（4個(gè)奇數(shù)的和），翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)一定是3的倍數(shù)（4個(gè)杯子翻轉(zhuǎn)的次數(shù)和），由此即可判斷③．【詳解】解：∵杯子數(shù)為3，杯口朝下的杯子數(shù)不為0，且每次同時(shí)翻轉(zhuǎn)3個(gè)杯子，∴每次翻轉(zhuǎn)，都總有杯口朝下（上一次翻轉(zhuǎn)結(jié)束后杯口朝上的杯子），故①正確；∵，，∴只需要每次翻轉(zhuǎn)杯口朝下的3個(gè)杯子，即翻轉(zhuǎn)m次后就能使所有的杯子杯口朝上，即最少m次操作就能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，故②正確；∵杯口朝下的杯子要使經(jīng)過(guò)多次翻轉(zhuǎn)后杯口朝上，那么翻轉(zhuǎn)的次數(shù)必須為奇數(shù)，∴要使得4個(gè)杯口朝下的杯子經(jīng)過(guò)翻轉(zhuǎn)后杯口都朝上，則這4個(gè)杯口朝下的杯子翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)一定是偶數(shù)（4個(gè)奇數(shù)的和），又∵每次只翻轉(zhuǎn)3個(gè)不同的杯子，∴翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)一定是3的倍數(shù)（4個(gè)杯子翻轉(zhuǎn)的次數(shù)和），∴存在n，例如，A表示杯口朝上，B表示朝下：原來(lái)：ABBBB第一次變換：AAAAB第二次變換：ABBAA第三次變換：AABBB第四次變換：AAAAA故③錯(cuò)誤；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類的規(guī)律題，正確理解題意一步步分析每次翻轉(zhuǎn)變換得到的結(jié)果是解題的關(guān)鍵．3．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師將一副撲克牌中的紅桃共張牌挑出，打亂順序隨機(jī)發(fā)給了甲、乙、丙三名同學(xué)，每人三張牌．已知甲的三張牌數(shù)字之和是，乙的三張牌數(shù)字之和與丙的三張牌數(shù)字之和相同，且乙的三張牌上的數(shù)字都是奇數(shù)．寫出甲的三張牌上的數(shù)字是______，丙的三張牌上的數(shù)字是______．【答案】【分析】根據(jù)題意先分析出甲的可能結(jié)果，然后結(jié)合乙的三個(gè)奇數(shù)，篩選出合適的，最后再按照乙丙的三張牌數(shù)字和相同進(jìn)行分配即可．【詳解】解：已知紅桃有數(shù)字共計(jì)張牌甲的三張牌數(shù)字之和為的情況有、、三種組合，張牌中共有個(gè)奇數(shù)，乙的三張牌上的數(shù)字都是奇數(shù)，甲最多只能有一個(gè)奇數(shù)，只有符合，乙的三張牌數(shù)字之和與丙的三張牌數(shù)字之和相同，乙的三張牌數(shù)字為，丙的三張牌數(shù)字為，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類組合運(yùn)算，按照題目進(jìn)行逐步篩選和分析是解題關(guān)鍵．4．（2022秋·廣東深圳·七年級(jí)深圳中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖是深中初中部美麗校園的一景，黃馨同學(xué)上學(xué)時(shí)走過(guò)兩段樓梯，其中第一段有5個(gè)階梯，第二段有10個(gè)階梯．如果每步只允許走一個(gè)或兩個(gè)階梯，那么黃馨同學(xué)有______種方法走完第一段樓梯，有______種方法走完第二段樓梯.【答案】889【分析】先假設(shè)只有1個(gè)階梯，則只有1種方法走完；有2個(gè)階梯，則有2種方法走完；有3個(gè)階梯，則有1+2=3種方法走完；有4個(gè)階梯，則有2+3=5種方法走完；從而可以總結(jié)規(guī)律：從第3個(gè)階梯起后一種的走法總數(shù)等于前兩種走法數(shù)的總和，進(jìn)而即可解答．【詳解】解：假設(shè)只有1個(gè)階梯，則只有1種方法走完；有2個(gè)階梯，則有2種方法走完；有3個(gè)階梯，則有1+2=3種方法走完；有4個(gè)階梯，則有2+3=5種方法走完；∴從第3個(gè)階梯起后一種的走法總數(shù)等于前兩種走法數(shù)的總和，∴有5個(gè)階梯時(shí)，有3+5=8種方法走完；以此類推：依次為1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，∴有10個(gè)階梯時(shí)，有89種方法走完．故答案為：8，89．【點(diǎn)睛】本題考查圖形類規(guī)律探索．理解題意，總結(jié)出從第3個(gè)階梯起后一種的走法總數(shù)等于前兩種走法數(shù)的總和是解題關(guān)鍵．5．（2022秋·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）幻方是一類數(shù)字方陣，是流行于歐亞的世界性文化，在如圖所示的圖形中，每個(gè)字母分別代表不同的數(shù)字，每個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和都與中間正方形四個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和相等，若，，，則______．【答案】/【分析】由，可得，，又，故．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查幻方，解題的關(guān)鍵是根據(jù)幻方的特點(diǎn)，列方程得到，．6．（2022秋·安徽宣城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，每個(gè)小正方形的面積均為1．將左圖中黑色的小正方形移動(dòng)，得到右邊拼成的長(zhǎng)方形，根據(jù)兩種圖形方法計(jì)算小正方形的個(gè)數(shù)；如圖得出以下等式：(1)請(qǐng)寫出第3個(gè)等式：__________；(2)猜想第n個(gè)等式為：__________（用含n的等式表示）；(3)當(dāng)n為多少時(shí)，左圖中的最底端有2024個(gè)小正方形？此時(shí)左圖中共有多少個(gè)小正方形？【答案】(1)(2)(3)，共有1025156個(gè)小正方形【分析】（1）根據(jù)給出的等式寫出答案即可；（2）根據(jù)這3個(gè)等式寫出答案即可；（3）因?yàn)樽畹锥擞?024個(gè)小正方形，所以，得出n的值，再計(jì)算有多少個(gè)小正方形即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：因?yàn)樽畹锥擞?024個(gè)小正方形，所以，解得：所以（個(gè)）答：，共有1025156個(gè)小正方形．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的規(guī)律，根據(jù)給出的式子找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·山東青島·七年級(jí)?？计谀﹩?wèn)題探究：如圖1，2個(gè)角的各邊相交，第2個(gè)角的每條邊最多會(huì)與第1個(gè)角的2條邊新產(chǎn)生2個(gè)交點(diǎn)，所以共有個(gè)交點(diǎn)；如圖2，3個(gè)角的各邊相交，第3個(gè)角的每條邊最多會(huì)與前面2個(gè)角的4條邊新產(chǎn)生4個(gè)交點(diǎn)，所以共有個(gè)交點(diǎn)；若4個(gè)角的各邊相交，第4個(gè)角的每條邊最多會(huì)與前面3個(gè)角的6條邊新產(chǎn)生6個(gè)交點(diǎn)，所以共有個(gè)交點(diǎn)；……(1)若5個(gè)角的各邊相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？（仿照上面的“問(wèn)題探究”中的方法，寫出必要的探究過(guò)程）(2)直接寫出10個(gè)角的各邊相交，最多共有________個(gè)交點(diǎn)；(3)直接寫出n個(gè)角的各邊相交，最多共有________個(gè)交點(diǎn)（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)40個(gè)；(2)180；(3)．【分析】（1）仿照題干中的方法即可得到答案；（2）根據(jù)題意，得到規(guī)律n個(gè)角的各邊相交，最多有個(gè)交點(diǎn)，將代入即可得到答案；（3）將（2）得到的規(guī)律化簡(jiǎn)整理即可得到答案．【詳解】（1）解：若5個(gè)角的各邊相交，第5個(gè)角的每條邊最多會(huì)與前面4個(gè)角的8條邊新產(chǎn)生8個(gè)交點(diǎn)，所以共有個(gè)交點(diǎn)；若5個(gè)角的各邊相