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文檔簡介

北京市昌平臨川育人學校2023-2024學年高考仿真卷數(shù)學試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.兩圓和相外切,且,則的最大值為()A. B.9 C. D.12.已知集合,,則()A. B. C. D.3.陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一,但陀螺這個名詞,直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書中才正式出現(xiàn).如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長均為1,粗線畫出的是一個陀螺模型的三視圖,則該陀螺模型的表面積為()A. B.C. D.4.直線與拋物線C:交于A,B兩點,直線,且l與C相切,切點為P,記的面積為S,則的最小值為A. B. C. D.5.已知雙曲線的左、右焦點分別為,過作一條直線與雙曲線右支交于兩點,坐標原點為,若,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.6.函數(shù)的部分圖象大致為()A. B.C. D.7.下列命題中,真命題的個數(shù)為()①命題“若,則”的否命題;②命題“若,則或”;③命題“若,則直線與直線平行”的逆命題.A.0 B.1 C.2 D.38.已知函數(shù)f(x)=xex2+axeA.1 B.-1 C.a(chǎn) D.-a9.已知平面向量,滿足,,且,則()A.3 B. C. D.510.如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象,為了得到這個函數(shù)的圖象,只需將的圖象上的所有的點()A.向左平移個長度單位,再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?,縱坐標不變B.向左平移個長度單位,再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標不變C.向左平移個長度單位,再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?,縱坐標不變D.向左平移個長度單位,再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標不變11.下列圖形中,不是三棱柱展開圖的是()A. B. C. D.12.復數(shù)的實部與虛部相等,其中為虛部單位,則實數(shù)()A.3 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知各棱長都相等的直三棱柱(側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)所有頂點都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側面積為___________.14.函數(shù)的定義域為______.15.設為等比數(shù)列的前項和,若,且,,成等差數(shù)列,則.16.設隨機變量服從正態(tài)分布,若,則的值是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設直線與拋物線交于兩點,與橢圓交于兩點,設直線(為坐標原點)的斜率分別為,若.(1)證明:直線過定點,并求出該定點的坐標;(2)是否存在常數(shù),滿足?并說明理由.18.(12分)已知函數(shù),.(1)若不等式的解集為,求的值.(2)若當時,,求的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù)為實數(shù))的圖像在點處的切線方程為.(1)求實數(shù)的值及函數(shù)的單調區(qū)間;(2)設函數(shù),證明時,.20.(12分)已知橢圓C的離心率為且經(jīng)過點(1)求橢圓C的方程;(2)過點(0,2)的直線l與橢圓C交于不同兩點A、B,以OA、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點M在橢圓C上,求直線l的方程.21.(12分)已知頂點是坐標原點的拋物線的焦點在軸正半軸上,圓心在直線上的圓與軸相切,且關于點對稱.(1)求和的標準方程;(2)過點的直線與交于,與交于,求證:.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面是矩形,四條側棱長均相等.(1)求證:平面;(2)求證:平面平面.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由兩圓相外切,得出,結合二次函數(shù)的性質,即可得出答案.【詳解】因為兩圓和相外切所以,即當時,取最大值故選:A【點睛】本題主要考查了由圓與圓的位置關系求參數(shù),屬于中檔題.2、D【解析】

先求出集合B,再與集合A求交集即可.【詳解】由已知,,故,所以.故選:D.【點睛】本題考查集合的交集運算,考查學生的基本運算能力,是一道容易題.3、C【解析】

根據(jù)三視圖可知,該幾何體是由兩個圓錐和一個圓柱構成,由此計算出陀螺的表面積.【詳解】最上面圓錐的母線長為,底面周長為,側面積為,下面圓錐的母線長為,底面周長為,側面積為,沒被擋住的部分面積為,中間圓柱的側面積為.故表面積為,故選C.【點睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學文化,考查三視圖還原為原圖,考查幾何體表面積的計算,屬于基礎題.4、D【解析】

設出坐標,聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用弦長公式求得,再由點到直線的距離公式求得到的距離,得到的面積為,作差后利用導數(shù)求最值.【詳解】設,,聯(lián)立,得則,則由,得設,則,則點到直線的距離從而.令當時,;當時,故,即的最小值為本題正確選項:【點睛】本題考查直線與拋物線位置關系的應用,考查利用導數(shù)求最值的問題.解決圓錐曲線中的面積類最值問題,通常采用構造函數(shù)關系的方式,然后結合導數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來求解最值.5、B【解析】

由題可知,,再結合雙曲線第一定義,可得,對有,即,解得,再對,由勾股定理可得,化簡即可求解【詳解】如圖,因為,所以.因為所以.在中,,即,得,則.在中,由得.故選:B【點睛】本題考查雙曲線的離心率求法,幾何性質的應用,屬于中檔題6、B【解析】

圖像分析采用排除法,利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù),再利用特值確定函數(shù)的正負情況?!驹斀狻?,故奇函數(shù),四個圖像均符合。當時,,,排除C、D當時,,,排除A。故選B?!军c睛】圖像分析采用排除法,一般可供判斷的主要有:奇偶性、周期性、單調性、及特殊值。7、C【解析】

否命題與逆命題是等價命題,寫出①的逆命題,舉反例排除;原命題與逆否命題是等價命題,寫出②的逆否命題后,利用指數(shù)函數(shù)單調性驗證正確;寫出③的逆命題判,利用兩直線平行的條件容易判斷③正確.【詳解】①的逆命題為“若,則”,令,可知該命題為假命題,故否命題也為假命題;②的逆否命題為“若且,則”,該命題為真命題,故②為真命題;③的逆命題為“若直線與直線平行,則”,該命題為真命題.故選:C.【點睛】本題考查判斷命題真假.判斷命題真假的思路:(1)判斷一個命題的真假時,首先要弄清命題的結構,即它的條件和結論分別是什么,然后聯(lián)系其他相關的知識進行判斷.(2)當一個命題改寫成“若,則”的形式之后,判斷這個命題真假的方法:①若由“”經(jīng)過邏輯推理,得出“”,則可判定“若,則”是真命題;②判定“若,則”是假命題,只需舉一反例即可.8、A【解析】

令xex=t,構造g(x)=xex,要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個不同的零點x1,x2,【詳解】令xex=t,構造g(x)=xex,求導得g'(x)=故g(x)在-∞,1上單調遞增,在1,+∞上單調遞減,且x<0時,g(x)<0,x>0時,g(x)>0,g(x)max=g(1)=1e,可畫出函數(shù)g(x)的圖象(見下圖),要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個不同的零點x1,x若a>0,即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4,即t1+t2=-a>4t1故選A.【點睛】解決函數(shù)零點問題,常常利用數(shù)形結合、等價轉化等數(shù)學思想.9、B【解析】

先求出,再利用求出,再求.【詳解】解:由,所以,,,故選:B【點睛】考查向量的數(shù)量積及向量模的運算,是基礎題.10、A【解析】

由函數(shù)的最大值求出,根據(jù)周期求出,由五點畫法中的點坐標求出,進而求出的解析式,與對比結合坐標變換關系,即可求出結論.【詳解】由圖可知,,又,,又,,,為了得到這個函數(shù)的圖象,只需將的圖象上的所有向左平移個長度單位,得到的圖象,再將的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變)即可.故選:A【點睛】本題考查函數(shù)的圖象求解析式,考查函數(shù)圖象間的變換關系,屬于中檔題.11、C【解析】

根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項.【詳解】由圖可知,ABD選項可以圍成三棱柱,C選項不是三棱柱展開圖.故選:C【點睛】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷,屬于基礎題.12、B【解析】

利用乘法運算化簡復數(shù)即可得到答案.【詳解】由已知,,所以,解得.故選:B【點睛】本題考查復數(shù)的概念及復數(shù)的乘法運算,考查學生的基本計算能力,是一道容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

只要算出直三棱柱的棱長即可,在中,利用即可得到關于x的方程,解方程即可解決.【詳解】由已知,,解得,如圖所示,設底面等邊三角形中心為,直三棱柱的棱長為x,則,,故,即,解得,故三棱柱的側面積為.故答案為:.【點睛】本題考查特殊柱體的外接球問題,考查學生的空間想象能力,是一道中檔題.14、【解析】

對數(shù)函數(shù)的定義域需滿足真數(shù)大于0,再由指數(shù)型不等式求解出解集即可.【詳解】對函數(shù)有意義,即.故答案為:【點睛】本題考查求對數(shù)函數(shù)的定義域,還考查了指數(shù)型不等式求解,屬于基礎題.15、.【解析】試題分析:∵,,成等差數(shù)列,∴,又∵等比數(shù)列,∴.考點:等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質.【名師點睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質,屬于容易題,在解題過程中,需要建立關于等比數(shù)列基本量的方程即可求解,考查學生等價轉化的思想與方程思想.16、1【解析】

由題得,解不等式得解.【詳解】因為,所以,所以c=1.故答案為1【點睛】本題主要考查正態(tài)分布的圖像和性質,意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(0,2);(2)存在,理由見解析【解析】

(1)設直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程,利用OA⊥OB,求出b,即可知直線過定點(2)由斜率公式分別求出,,聯(lián)立直線與拋物線,橢圓,再由根與系數(shù)的關系得,,,代入,,化簡即可求解.【詳解】(1)證明:由題知,直線l的斜率存在且不過原點,故設由可得,.,,故所以直線l的方程為故直線l恒過定點.(2)由(1)知設由可得,,即存在常數(shù)滿足題意.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線、橢圓的位置關系,直線過定點問題,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.18、(1);(2)【解析】試題分析:(1)求得的解集,根據(jù)集合相等,列出方程組,即可求解的值;(2)①當時,恒成立,②當時,轉化為,設,求得函數(shù)的最小值,即可求解的取值范圍.試題解析:(1)由,得,因為不等式的解集為,所以,故不等式可化為,解得,所以,解得.(2)①當時,恒成立,所以.②當時,可化為,設,則,所以當時,,所以.綜上,的取值范圍是.19、(1);函數(shù)的單調遞減區(qū)間為,單調遞增區(qū)間為;(2)詳見解析.【解析】

試題分析:(1)由題得,根據(jù)曲線在點處的切線方程,列出方程組,求得的值,得到的解析式,即可求解函數(shù)的單調區(qū)間;(2)由(1)得根據(jù)由,整理得,設,轉化為函數(shù)的最值,即可作出證明.試題解析:(1)由題得,函數(shù)的定義域為,,因為曲線在點處的切線方程為,所以解得.令,得,當時,,在區(qū)間內單調遞減;當時,,在區(qū)間內單調遞增.所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為,單調遞增區(qū)間為.(2)由(1)得,.由,得,即.要證,需證,即證,設,則要證,等價于證:.令,則,∴在區(qū)間內單調遞增,,即,故.20、(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)橢圓的離心率、橢圓上點的坐標以及列方程,由此求得,進而求得橢圓的方程.(2)設出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,寫出韋達定理.根據(jù)平行四邊形的性質以及向量加法的幾何意義得到,由此求得點的坐標,將的坐標代入橢圓方程,化簡后可求得直線的斜率,由此求得直線的方程.【詳解】(1)由橢圓的離心率為,點在橢圓上,所以,且解得,所以橢圓的方程為.(2)顯然直線的斜率存在,設直線的斜率為,則直線的方程為,設,由消去得,所以,由已知得,所以,由于點都在橢圓上,所以,展開有,又,所以,經(jīng)檢驗滿足,故直線的方程為.【點睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓的離心率和橢圓上一點的坐標求橢圓方程,考查直線和橢圓的位置關系,考查運算求解能力,屬于中檔題.21、(1),;(2)證明見解析.【解析】分析:(1)設的標準方程為,由題意可設.結合中點坐標公式計算可得的標準方程為.半徑,則的標準方程為.(2)設的斜率為,則其方程為,由弦長公式可得.聯(lián)立直線與拋物線的方程有.設,利用韋達定理結合弦長公式可得.則.即.詳解:(1)設的標準方程為,則.已知在直線上,故可設.因為關于對稱,所以解得所以的標準方程為.因為與軸相切,故半徑,所以的標準方程為.(2

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