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文檔簡介
金太陽廣東省2023-2024學年高考適應性考試數(shù)學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,則等于()A. B. C. D.2.已知復數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則=()A. B. C. D.3.正四棱錐的五個頂點在同一個球面上,它的底面邊長為,側棱長為,則它的外接球的表面積為()A. B. C. D.4.設α,β為兩個平面,則α∥β的充要條件是A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α,β平行于同一條直線D.α,β垂直于同一平面5.若,則的值為()A. B. C. D.6.函數(shù)圖象的大致形狀是()A. B.C. D.7.下圖是民航部門統(tǒng)計的某年春運期間,六個城市售出的往返機票的平均價格(單位元),以及相比于上一年同期價格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖,以下敘述不正確的是()A.深圳的變化幅度最小,北京的平均價格最高B.天津的往返機票平均價格變化最大C.上海和廣州的往返機票平均價格基本相當D.相比于上一年同期,其中四個城市的往返機票平均價格在增加8.已知某超市2018年12個月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示:根據(jù)該折線圖可知,下列說法錯誤的是()A.該超市2018年的12個月中的7月份的收益最高B.該超市2018年的12個月中的4月份的收益最低C.該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D.該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元9.觀察下列各式:,,,,,,,,根據(jù)以上規(guī)律,則()A. B. C. D.10.設雙曲線(a>0,b>0)的一個焦點為F(c,0)(c>0),且離心率等于,若該雙曲線的一條漸近線被圓x2+y2﹣2cx=0截得的弦長為2,則該雙曲線的標準方程為()A. B.C. D.11.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.12.博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車,等可能隨機順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想,設計兩種乘車方案.方案一:不乘坐第一輛車,若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號,就乘坐此車,否則乘坐第三輛車;方案二:直接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1,P2,則()A.P1?P2= B.P1=P2= C.P1+P2= D.P1<P2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設O為坐標原點,,若點B(x,y)滿足,則的最大值是__________.14.設實數(shù),若函數(shù)的最大值為,則實數(shù)的最大值為______.15.已知雙曲線的漸近線與準線的一個交點坐標為,則雙曲線的焦距為______.16.若,則____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)若,試討論的單調(diào)性;(2)若,實數(shù)為方程的兩不等實根,求證:.18.(12分)設不等式的解集為M,.(1)證明:;(2)比較與的大小,并說明理由.19.(12分)已知數(shù)列的前項和為,且滿足().(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(),數(shù)列的前項和.若對恒成立,求實數(shù),的值.20.(12分)△的內(nèi)角的對邊分別為,且.(1)求角的大小(2)若,△的面積,求△的周長.21.(12分)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2是圓心為(2,),半徑為1的圓.(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程;(2)設M為曲線C1上的點,N為曲線C2上的點,求|MN|的取值范圍.22.(10分)語音交互是人工智能的方向之一,現(xiàn)在市場上流行多種可實現(xiàn)語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱,它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關聯(lián)程度,從某地區(qū)隨機抽取了100名購買“小愛同學”和100名購買“天貓精靈”的人,具體數(shù)據(jù)如下:“小愛同學”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計男4560105女554095合計100100200(1)若該地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學”,有12000人購買了“天貓精靈”,試估計該地區(qū)購買“小愛同學”的女性比購買“天貓精靈”的女性多多少人?(2)根據(jù)列聯(lián)表,能否有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關?附:0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
先化簡集合A,再與集合B求交集.【詳解】因為,,所以.故選:C【點睛】本題主要考查集合的基本運算以及分式不等式的解法,屬于基礎題.2、A【解析】
把已知等式變形,再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】解:由,得,.故選.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復數(shù)的基本概念,是基礎題.3、C【解析】
如圖所示,在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,計算長度,設球半徑為,則,解得,得到答案.【詳解】如圖所示:在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,,故,,設球半徑為,則,解得,故.故選:.【點睛】本題考查了四棱錐的外接球問題,意在考查學生的空間想象能力和計算能力.4、B【解析】
本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件,滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng),利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷.【詳解】由面面平行的判定定理知:內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件,由面面平行性質(zhì)定理知,若,則內(nèi)任意一條直線都與平行,所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件,故選B.【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理,最容易犯的錯誤為定理記不住,憑主觀臆斷,如:“若,則”此類的錯誤.5、C【解析】
根據(jù),再根據(jù)二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】因為,所以二項式的展開式的通項公式為:,令,所以,因此有.故選:C【點睛】本題考查了二項式定理的應用,考查了二項式展開式通項公式的應用,考查了數(shù)學運算能力6、B【解析】
判斷函數(shù)的奇偶性,可排除A、C,再判斷函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值與的大小,即可得出答案.【詳解】解:因為,所以,所以函數(shù)是奇函數(shù),可排除A、C;又當,,可排除D;故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)表達式判斷函數(shù)圖像,屬于中檔題.7、D【解析】
根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對選項逐一分析,由此得出敘述不正確的選項.【詳解】對于A選項,根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小,根據(jù)條形圖可知北京的平均價格最高,所以A選項敘述正確.對于B選項,根據(jù)折線圖可知天津的往返機票平均價格變化最大,所以B選項敘述正確.對于C選項,根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機票平均價格基本相當,所以C選項敘述正確.對于D選項,根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期,除了深圳外,另外五個城市的往返機票平均價格在增加,故D選項敘述錯誤.故選:D【點睛】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進行數(shù)據(jù)分析,屬于基礎題.8、D【解析】
用收入減去支出,求得每月收益,然后對選項逐一分析,由此判斷出說法錯誤的選項.【詳解】用收入減去支出,求得每月收益(萬元),如下表所示:月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高,A選項說法正確;月收益最低,B選項說法正確;月總收益萬元,月總收益萬元,所以前個月收益低于后六個月收益,C選項說法正確,后個月收益比前個月收益增長萬元,所以D選項說法錯誤.故選D.【點睛】本小題主要考查圖表分析,考查收益的計算方法,屬于基礎題.9、B【解析】
每個式子的值依次構成一個數(shù)列,然后歸納出數(shù)列的遞推關系后再計算.【詳解】以及數(shù)列的應用根據(jù)題設條件,設數(shù)字,,,,,,,構成一個數(shù)列,可得數(shù)列滿足,則,,.故選:B.【點睛】本題主要考查歸納推理,解題關鍵是通過數(shù)列的項歸納出遞推關系,從而可確定數(shù)列的一些項.10、C【解析】
由題得,,又,聯(lián)立解方程組即可得,,進而得出雙曲線方程.【詳解】由題得①又該雙曲線的一條漸近線方程為,且被圓x2+y2﹣2cx=0截得的弦長為2,所以②又③由①②③可得:,,所以雙曲線的標準方程為.故選:C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),圓的方程的有關計算,考查了學生的計算能力.11、D【解析】
結合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運算求解能力,屬于中檔題.12、C【解析】
將三輛車的出車可能順序一一列出,找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為:123、132、213、231、312、321方案一坐車可能:132、213、231,所以,P1=;方案二坐車可能:312、321,所以,P1=;所以P1+P2=故選C.【點睛】本題考查了古典概型的概率的求法,常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數(shù),屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】,可行域如圖,直線與圓相切時取最大值,由14、【解析】
根據(jù),則當時,,即.當時,顯然成立;當時,由,轉化為,令,用導數(shù)法求其最大值即可.【詳解】因為,又當時,,即.當時,顯然成立;當時,由等價于,令,,當時,,單調(diào)遞增,當時,,單調(diào)遞減,,則,又,得,因此的最大值為.故答案為:【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應用,還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.15、1【解析】
由雙曲線的漸近線,以及求得的值即可得答案.【詳解】由于雙曲線的漸近線與準線的一個交點坐標為,所以,即①,把代入,得,即②又③聯(lián)立①②③,得.所以.故答案是:1.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì),注意題目“雙曲線的漸近線與準線的一個交點坐標為”這一條件的運用,另外注意題目中要求的焦距即,容易只計算到,就得到結論.16、【解析】
由,得出,根據(jù)兩角和與差的正弦公式和余弦公式化簡,再利用齊次式即可求出結果.【詳解】因為,所以,所以.故答案為:.【點睛】本題考查三角函數(shù)化簡求值,利用二倍角正切公式、兩角和與差的正弦公式和余弦公式,以及運用齊次式求值,屬于對公式的考查以及對計算能力的考查.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)答案不唯一,具體見解析(2)證明見解析【解析】
(1)根據(jù)題意得,分與討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性;(2)根據(jù)題意構造函數(shù),得,參變分離得,分析不等式,即轉化為,設,再構造函數(shù),利用導數(shù)得單調(diào)性,進而得證.【詳解】(1)依題意,當時,,①當時,恒成立,此時在定義域上單調(diào)遞增;②當時,若,;若,;故此時的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)方法1:由得令,則,依題意有,即,要證,只需證(不妨設),即證,令,設,則,在單調(diào)遞減,即,從而有.方法2:由得令,則,當時,時,故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,不妨設,則,要證,只需證,易知,故只需證,即證令,(),則==,(也可代入后再求導)在上單調(diào)遞減,,故對于時,總有.由此得【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導數(shù)的應用以及分類討論思想,轉化思想,屬于難題.18、(1)證明見解析;(2).【解析】試題分析:(1)首先求得集合M,然后結合絕對值不等式的性質(zhì)即可證得題中的結論;(2)利用平方做差的方法可證得|1-4ab|>2|a-b|.試題解析:(Ⅰ)證明:記f(x)=|x-1|-|x+2|,則f(x)=,所以解得-<x<,故M=(-,).所以,||≤|a|+|b|<×+×=.(Ⅱ)由(Ⅰ)得0≤a2<,0≤b2<.|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.所以,|1-4ab|>2|a-b|.19、(1)(2),.【解析】
(1)根據(jù)數(shù)列的通項與前n項和的關系式,即求解數(shù)列的通項公式;(2)由(1)可得,利用等比數(shù)列的前n項和公式和裂項法,求得,結合題意,即可求解.【詳解】(1)由題意,當時,由,解得;當時,可得,即,顯然當時上式也適合,所以數(shù)列的通項公式為.(2)由(1)可得,所以.因為對恒成立,所以,.【點睛】本題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解,等差數(shù)列的前n項和公式,以及裂項法求和的應用,其中解答中熟記等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式,以及合理利用“裂項法”求和是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于中檔試題.20、(I);(II).【解析】
試題分析:(I)由已知可得;(II)依題意得:的周長為.試題解析:(I)∵,∴.∴,∴,∴,∴,∴.(II)依題意得:∴,∴,∴,∴,∴的周長為.考點:1、解三角形;2、三角恒等變換.21、(1)C1:y2=1,C2:x2+(y﹣2)2=1;(2)[0,1]【解析】
(Ⅰ)消去參數(shù)φ可得C1的直角坐標方程,易得曲線C2的圓心的直角坐標為(0,2),可得C2的直角坐標方程;(Ⅱ)設M(3cosφ,sinφ),由三角函數(shù)和二次函數(shù)可得|M
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