高中數學知識點總結和大學所有數學公式

定義：有限集A的元素的個數叫做集合A的基數，記為card(A)規(guī)定card(<t>)=0.

基本公式：

⑴。"U8)=card(A)+card(B)—card(AB)

(2)card(AU8UC)=card(A)+card[B}+card(C)

—card{Zfl8)—card(5QC)—card(CQA)

+ca，Wn8DC)

(3)card(?A)=card(U)-card(A)

(二)含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根軸法(零點分段法)

①將不等式化為加(x-x)(X-X2)…(x-x.)〉0(<0)形式，并將各因式x的系數化“+”；(為了統(tǒng)一方便)

②求根，并在數軸上表示出來；

③由右上方穿線，經過數軸上表示各根的點(為什么？)；

④若不等式(x的系數化“+”后)是“〉0”，則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“<0”，則

找“線”在x軸下方的區(qū)間.

、a%③—；'m-2V1—?%

(自右向左正負相間)

則不等式為X"+42/-2+???+%,>0(<0)(&>0)的解可以根據各區(qū)間的符號確定.

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的討論.

A>0△=0A<0

二次函數Iu

y=ax'+bx+c

（a>0）的圖象--------X

一元二次方程

有兩相異實根有兩相等實根

ax2+6x+c=0b

無實根

X|,X2(X|<x2)x.=x.------

(a>0的根2a

ax2+6x+c>0b

<xx----->

（。>0）的解集2aR

ax2+6x+c<0

{巾］<

x<x2}0

（。>0）的解集0

2.分式不等式的解法

(1)標準化：移項通分化為1?〉o(或I?〈o)；I?云0(或13忘0)的形式,

g(x)g(x)g(x)g(x)

(2)轉化為整式不等式(組)>0=/(x)g(x)>0;1^20=X趣于-0

g(x)g(x)lg(x)H°

3.含絕對值不等式的解法

(1)公式法：［ax+W<c,與麻+4>c(c>0)型的不等式的解法.

(2)定義法：用“零點分區(qū)間法”分類討論.

(3)幾何法：根據絕對值的幾何意義用數形結合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=0(a^O)

(1)根的“零分布”：根據判別式和韋達定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函數圖象，用數形結合思想分析列式解之.

(三)簡易邏輯

1、命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題。

2、邏輯聯結詞、簡單命題與復合命題：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯結詞；不含有邏輯聯結詞的命題是簡單命題；由簡單

命題和邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”構成的命題是復合命題。

構成復合命題的形式：P或q(記作“pVq”)；p且q(記作“pAq”)；非P(記作“rq").

3、“或”、“且”、“非”的真值判斷

原命題互逆逆命題

(1)“非P”形式復合命題的真假與F的真假相反；若P則q若q則P

互

(2)“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，為

其逆互

他情況時為假；否逆否

為

(3)“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其否

互逆否命題

他情況時為真.否命題

若1p則1q互逆若iq則IP

4、四種命題的形式：

原命題：若P則q；逆命題：若q則P;

否命題：若rP則rq；逆否命題：若rq則rp。

(1)交換原命題的條件和結論，所得的命題是逆命題；

(2)同時否定原命題的條件和結論，所得的命題是否命題；

(3)交換原命題的條件和結論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題.

5,四種命題之間的相互關系：

一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關系：(原命題=逆否命題)

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②、原命題為真，它的否命題不一定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

6、如果已知p=q那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。

若p=>q且q=>p,則稱P是q的充要條件，記為p=q.

7、反證法：從命題結論的反面出發(fā)(假設)，引出(與已知、公理、定理…)矛盾，從而否定假設證

明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

高中數學第二章-函數

考試內容：

映射、函數、函數的單調性、奇偶性.

反函數.互為反函數的函數圖像間的關系.

指數概念的擴充.有理指數幕的運算性質.指數函數.

對數.對數的運算性質.對數函數.

函數的應用.

考試要求：

(1)了解映射的概念，理解函數的概念.

(2)了解函數單調性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數的單調性、奇偶性的方法.

(3)了解反函數的概念及互為反函數的函數圖像間的關系，會求一些簡單函數的反函數.

(4)理解分數指數惠的概念，掌握有理指數累的運算性質，掌握指數函數的概念、圖像和性質.

(5)理解對數的概念，掌握對數的運算性質；掌握對數函數的概念、圖像和性質.

(6)能夠運用函數的性質、指數函數和對數函數的性質解決某些簡單的實際問題.

§02.函數知識要點

一、本章知識網絡結構：

一定義F:ATB

反函數

映身寸L研究圖像

性質

函數一

二次函數

具體函數指數T旨級函數

又寸數一對數函數

二、知識回顧：

(-)映射與函數

1.映射與一一映射

2.函數

函數三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因為這二者確定

后，值域也就相應得到確定，因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函數才是同一函數.

3.反函數

反函數的定義

設函數＞=/(X)(Xe⑷的值域是C,根據這個函數中x,y的關系，用y把x表示出，得到

X=(p(y).若對于y在C中的任何一個值,通過x=(p(y),x在A中都有唯一的值和它對應，那么，x=(p(y)

就表示y是自變量,X是自變量y的函數，這樣的函數x=9(y)(yeC)叫做函數y=/(%)(%C4)

的反函數，記作％=/”(歹),習慣上改寫成歹=/T(X)

(-)函數的性質

1.函數的單調性

定義：對于函數f(X)的定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值X1,X2.

⑴若當X［<X2時，都有f(Xi)<f(Xz),則說f(X)在這個區(qū)間上是增函數；

⑵若當X1<X2時，都有f(X>f(X2),則說f(X)在這個區(qū)間上是減函數.

若函數y=f(x)在某個區(qū)間是增函數或減函數，則就說函數y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性,

這一區(qū)間叫做函數y=f(x)的單調區(qū)間.此時也說函數是這一區(qū)間上的單調函數.

2.函數的奇偶性

偶函數的定義：如果對于函數f(X)的定義域內任意一個X,都有

f(-X)=f(X),那么函數f(X)就叫做偶函數.

/(X)是偶函數=/(-.x)=/(.、)O/(-.x)-/(.x)=0co=l(/(.x)w0)

/(?V)

奇函數的定義：如果對于函數f(x)的定義域內任意一個X,都有

f(-x)=-f(x),那么函數f(x)就叫做奇函數.

/(X)是奇函數=/(_.t)=-/(-r)o/(r)+=oo織=-l(/(x)工0)

正確理解奇、偶函數的定義。必須把握好兩個問題：

(1)定義域在數軸上關于原點對稱是函數/(X)為奇

函數或偶函數的必要不充分條件；(2)/(r)=/(x)或

/(-X)=-〃x)是定義域上的恒等式。

2.奇函數的圖象關于原點成中心對稱圖形，偶函數

的圖象關于、軸成軸對稱圖形。反之亦真，因此，也

可以利用函數圖象的對稱性去判斷函數的奇偶性。

3.奇函數在對稱區(qū)間同增同減；偶函數在對稱區(qū)間增

減性相反.

4.如果"X)是偶函數，則./(x)=〃|x|),反之亦成立。

若奇函數在x=0時有意義，則"0)=0。

7.奇函數，偶函數：

⑴偶函數：/(-x)=/(x)

設(a,b)為偶函數上一點，則也是圖象上一點.

偶函數的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關于y軸對稱，例如：y=x?+l在［1,-1)上不是偶函數.

②滿足/(-x)=/(x),或/(-x)-/(x)=0,若/(x)xO時，-^-=1.

/(-x)

⑵奇函數：/(-x)=-/U)

設(a,b)為奇函數上一點，則也是圖象上一點.

奇函數的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關于原點對稱，例如：y=x3在［1,-1)上不是奇函數.

②滿足/(—x)=—/(x),或/(—x)+/(x)=0,若/(x)xO時，~~~=~1?

/(-x)

8.對稱變換：?y=f(x)>軸對稱>y=/(_x)

@y=f(.x)一軸對稱>y=_/(x)

③y=/(x)原點對稱>y=_/(_x)

9.判斷函數單調性(定義)作差法：對帶根號的一定要分子有理化，例如:

(X|-X)(X1+x)

/(X1)-f{x2)=Jx；+/>2-Jx：+l>~22

Jx1+62+J靖+/

在進行討論.

10.外層函數的定義域是內層函數的值域.

x

例如：已知函數/(x)=l+——的定義域為4函數//(x)］的定義域是8,則集合4與集合8之間的

1-X

關系是BnA

解：/(x)的值域是/(/(x))的定義域B,/(x)的值域wR,故BeR,而4={x|xwl},故BnA.

11.常用變換：

?f(x+y)=f(x)f(y)<=>f(x-y)=.

f(y)

證：/(x-y)=<=>/W=f[(x-y)+y]=f(x-y)f(y)

f(x)

Y

②/(-)=fW-f(y)of(x?y)=/(x)+f(y)

y

YY

證：/(x)=/(-y)=/(-)+/(y)

yy

12.⑴熟悉常用函數圖象；

例：y=2區(qū)一|x|關于),'軸對稱.T5r=

值域{yX2,yeR}一值域#x前的系數之比.

(=)指數函數與對數函數

a>l0<a<l

對數函數產/板/的圖象和性質:

對數運算：

10ga(A1?N)=log"M+logaN⑴

log“芍=log”M一*N

n12

logaM=nloga(±M))

log°y/~M=—logA/

n

Jg“N=N

換底公式：log.NJ°g/V

log/,a

推論：log?6?logbc?log。a=1

=>log%。2.10g"2%?log",-a〃=log?,an

(以上M>0,N>-0,a^O,a^l5b>-0,b^l,c>0,c^l,aI5a2...an>0且Wl)

\

1

圖

O

象

(1)定義域：(0,+8)

(2)值域：R

(3)過點(1,0),即當x=l時,y=0

性

質(4)XG(0/)時j<0xe(0,l)時>>°

X€(1,+8)時y>0

xG(i,+°o)時yv0

(5)在(0,+oo)上是增函數在(0,+8)上是減函數

注⑴：當a,bYO時，k)g(6rb)=log(-a)+log(-b).

⑵：當M>0時，取“+”，當〃是偶數時且VYO時，A/">0,而MY0,故取“一”.

例如：log。'2H2k?gaX：(2k)gaX中X>O而log^X?中XWR).

⑵y=a”(。A0,aH1)與y=logax互為反函數.

當aMl時，y=log“x的"值越大，越靠近x軸；當OYaYl時，則相反.

(四)方法總結

(1).相同函數的判定方法：定義域相同且對應法則相同.

⑴對數運算：

10ga(A/-N)=log。M+logoN⑴

log“￡=logoM-logaN

N

n12)

\ogaM=?loga(±M)

log“V77=-logoM

n

a1°g?N=N

換底公式：log。N=酗'

log小

推論：log”b?log/,c-logca=1

=>l°g“12「Ogg%?log%-即=10g%4“

(以上M>0,NA0,a〉0,aHl,b〉0,bwl,cA0,cl,a1，a2...an>0且*1)

注⑴：當a,〃YO時，log(a/)=log(-a)+log(-6).

⑵：當MMO時，取"+"，當〃是偶數時且MYO時，AT?。，而MYO,故取“一”.

例如：10gaX2#210gaX；(210gaX中X>0而logqX2中XGR).

(2)y=a*與y=log“x互為反函數.

當">1時，y=log“x的“值越大，越靠近x軸；當OYOYI時，則相反.

⑵.函數表達式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數法.

(3).反函數的求法：先解x,互換x、y,注明反函數的定義域(即原函數的值域).

(4).函數的定義域的求法：布列使函數有意義的自變量的不等關系式，求解即可求得函數的定義域.常

涉及到的依據為①分母不為0；②偶次根式中被開方數不小于0；③對數的真數大于0,底數大于零且不等

于1;④零指數嘉的底數不等于零；⑤實際問題要考慮實際意義等.

(5).函數值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；

⑥函數的單調性法.

⑹.單調性的判定法：①設X1,X2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且X1<X2；②判定f(X1)與f(X2)

的大??；③作差比較或作商比較.

(7).奇偶性的判定法:首先考察定義域是否關于原點對稱,再計算f(-X)與f(x)之間的關系:①f(-X)=f(x)

為偶函數；f(-x)=-f(x)為奇函數；②f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=O為奇；③f(-x)/f(x)=l是偶；

f(X)-j-f(-x)=-l為奇函數.

(8).圖象的作法與平移：①據函數表達式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟知函數的圖象的平移、

翻轉、伸縮變換；③利用反函數的圖象與對稱性描繪函數圖象.

高中數學第三章數列

考試內容：

數列.

等差數列及其通項公式.等差數列前n項和公式.

等比數列及其通項公式.等比數列前n項和公式.

考試要求：

(1)理解數列的概念，了解數列通項公式的意義了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公

式寫出數列的前幾項.

(2)理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題.

(3)理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，井能解決簡單的實際問題.

§03.數列知識要點

1.⑴等差、等比數列:

等差數列等比數列

定義為+1-—=^^0)

a〃

遞推公式冊=冊-1+〃；??=?,?-?+

；a”=a〃國

通項公式a=+(n-l)J

n