第3章空間向量及其應(yīng)用（單元培優(yōu)卷）原卷版

第3章空間向量及其應(yīng)用（單元培優(yōu)卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，16題每題4分，712題每題5分，1．如圖所示，在棱長為6的正方體中，點是平面內(nèi)的動點，滿足，則直線與平面所成角的正切值的取值范圍為．2．已知二面角的大小為，，為異面直線，且，，則，所成的角為．3．如圖所示的直三棱柱中，，，過點作平面分別交棱，于點，，若直線與平面所成的角為，則截面三角形面積的最小值為．4．如圖，在四棱錐中，平面，底面是矩形，，，是上的點，直線與平面所成的角是，則的長為．5．一斜坡的坡面與水平面所成的二面角大小為，斜坡有一直道，它和坡腳水平線成角，沿這條直道向上100米后，升高了米．6．已知四面體，空間的一點滿足，若，，，共面，則實數(shù)的值為．7．已知空間四個單位向量滿足：，則的最大值為．8．在正方體中，點，分別是，的中點．①；②與所成角為；③平面；④與平面所成角的正弦值為．其中所有正確說法的序號是．9．已知空間向量，8，，，則實數(shù)．10．已知，，是棱長為1的正方體表面上不同的三點，則的取值范圍是．11．如圖，圓柱的底面直徑與高均為2，一平面截圓柱，其截面為橢圓，該平面與圓柱的底面所成的二面角為，該橢圓的內(nèi)接六邊形的最大面積為．12．已知正四面體的棱長均為1，是空間中一動點，則的取值范圍是．二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題只有一個正確答案，13/14題每題4分，15/16題5分。13．已知二面角的大小為，點，分別在，上且，若點到的距離為，點到的距離為，則兩點之間的距離為A． B．1 C．2 D．14．清初著名數(shù)學家孔林宗曾提出一種“蒺藜形多面體”，其可由兩個正交的正四面體組合而成，如圖1，也可由正方體切割而成，如圖2．在圖2所示的“蒺藜形多面體”中，若，則給出的說法中錯誤命題有幾個（1）該幾何體的表面積為；（2）該幾何體的體積為4；（3）二面角的余弦值為；（4）若點，在線段，上移動，則的最小值為．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個15．如圖，在正四面體中，，是棱上的三等分點，記二面角，，的平面角分別為，，，則A． B． C． D．16．閱讀材料：空間直角坐標系中，過點，，且一個法向量為，，的平面的方程為；過點，，且一個方向向量為，，的直線的方程為．利用上面的材料，解決下面的問題：已知平面的方程為，直線的方向向量為，則直線與平面所成角的正弦值為A． B． C． D．三、解答題（本大題共有5題78分，1719題每題14分，20/21每題18分），解答下列各題必須寫出必要的步驟。17．如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面圓的圓心，為圓的直徑，且，是底面圓的內(nèi)接正三角形，為線段上一點，且．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．18．在三棱柱中，平面，，為的中點，．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大?。?9．在如圖所示的直三棱柱中，，分別是，的中點．（1）求證：平面；（2）若為直角三角形，，，求直線與平面所成角的大??；（3）若為正三角形，，問：在線段上是否存在一點，使得二面角的大小為？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由．20．如圖①，在直角梯形中，，，且．現(xiàn)以為一邊向外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，如圖②．（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正切值．21．如圖：平面，是矩形，，與平面所成角是，點是的中點，點在邊上移動．（1）點為的中點時