山東省棗莊市2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題

2022～2023學年高中教學質量檢測高一數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標公式計算即可.【詳解】因為向量，，，所以，即.故選：C.2.已知復數(shù)滿足，，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設復數(shù)，根據(jù)已知等式結合復數(shù)的運算即可得的值，從而求得復數(shù).【詳解】設復數(shù)因為，所以，則，又，所以，即故.故選：B.3.一個圓臺的上、下底面的半徑分別為1，4，母線長為5，則該圓臺的側面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圓臺的側面積公式求解即可【詳解】設圓臺的上、下底面的半徑為，母線長為，所以，.故選：B．4.將一枚質地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，至少出現(xiàn)一次6點的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出一枚質地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次可能出現(xiàn)的情況和至少出現(xiàn)一次6點的情況，再由古典概率求解即可.【詳解】一枚質地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，可能出現(xiàn)的情況為：，，，共種，其中至少出現(xiàn)一次6點的情況有：，共種，故至少出現(xiàn)一次6點的概率為：.故選：C.5.一組數(shù)據(jù)，記其均值為，第25百分位數(shù)為，方差為，則（）A.B.C.數(shù)據(jù)的均值為D.數(shù)據(jù)的方差為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義，均值和方差的計算公式判斷各選項即可；【詳解】選項A：，所以，選項錯誤；選項B：，并不能準確判定均值的位置，例如：1,2,3,11,13,14,18,200,平均數(shù)更靠近后項，選項錯誤；選項C:根據(jù)定義，數(shù)據(jù)的均值為：選項錯誤；選項D:數(shù)據(jù)的方差為：，選項正確；故選：D.6.已知為虛數(shù)單位，若實數(shù)使得為純虛數(shù)，則（）A.1 B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】先求出，再根據(jù)純虛數(shù)的概念列式計算.【詳解】因為，所以原式為為純虛數(shù)，所以，解得.故選：A.7.某班50名學生騎自行車，騎電動車到校所需時間統(tǒng)計如下：到校方式人數(shù)平均用時（分鐘）方差騎自行車203036騎電動車302016則這50名學生到校時間的方差為（）A.48 B.46 C.28 D.24【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分層隨機抽樣的總樣本的平均數(shù)和方差公式進行求解.【詳解】由已知可得，騎自行車平均用時（分鐘）：，方差；騎電動車平均用時（分鐘）：，方差；騎自行車人數(shù)占總數(shù)的，騎電動車人數(shù)占總數(shù)的.這50名學生到校時間的平均數(shù)為，方差為.故選：A.8.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用（如圖）．明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉輪的中心到水面的距離為，筒車的半徑為，筒車轉動的角速度為，如圖所示，盛水桶（視為質點）的初始位置距水面的距離為，則后盛水桶到水面的距離近似為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出初始位置時對應的角，然后根據(jù)題意求出盛水桶到水面的距離與時間的函數(shù)關系，將代入求解即可．【詳解】設初始位置對應的角為，則，則，因為筒車轉動的角速度為，所以水桶到水面的距離，當時，則有，故選：．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列關于復數(shù)的四個命題，真命題的為（）A.若，則 B.若，則C.若，則的最大值為 D.若，則【答案】AC【解析】【分析】利用復數(shù)的運算可判斷AB選項的正誤，利用復數(shù)模長的三角不等式可判斷C選項的正誤，解方程，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，設，則，，，則，從而，A選項正確；對于B選項，取，則，但，B選項錯誤；對于C選項，由復數(shù)模的三角不等式可得，C選項正確；對于D選項，由，可得或，由，則，解得或，D選項錯誤.故選：AC.10.已知點是的重心，點，，，點是上靠近點的三等分點，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】先根據(jù)重心坐標公式求出重心坐標判斷A選項，再根據(jù)三等分點求出點D判斷B選項，再根據(jù)夾角公式計算判斷C選項，最后根據(jù)模長公式求解判斷D選項.【詳解】點是的重心，點，，，設點，，A選項正確；點是上靠近點的三等分點，則設則即,解得，B選項正確;因,則，即，C選項錯誤;,D選項錯誤;故選:AB.11.已知為兩個事件，，，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)事件概率的相關公式進行轉化求解不等式即可.【詳解】因為，，所以所以,即，解得.故選：BC12.如圖，正方體中，是線段上的動點（不含兩端點），則（）A.直線與平面相交B.三棱錐的體積不變C.平面平面D.設直線與平面所成的角為，則取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)面面平行的判定定理證得平面平面，根據(jù)面面平行的性質即可判斷A；根據(jù)三棱錐體積轉化思想分析三棱錐的體積即可判斷B；由面面垂直的判斷定理證明平面平面即可判斷C；利用線面夾角的定義確定的關系式，結合函數(shù)確定其取值范圍.【詳解】對于A，如圖連接在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，又平面，所以平面平面，因為平面，所以平面，故A不正確；對于B，由A可知平面，又，所以點到平面的距離為定值，在正方體中，可得為等邊三角形，其面積為定值，故三棱錐的體積為定值，所以三棱錐的體積也為定值，故B正確；對于C，如圖，連接在正方體中，四邊形為正方形，所以又平面，平面，所以因為平面，所以平面因為平面，所以，同理可得又平面，所以平面因為平面，所以平面平面，故C正確；對于D，如圖過作交于，連接因為平面，，所以平面，則為直線與平面所成的角為，則不妨設正方體棱長為，設，則所以，則，所以因為，所以，則，故取值范圍為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某學校為了解學生參加體育運動的情況，用按比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取50名學生，已知該校初中部和高中部分別有200名和800名學生，則從初中部應抽取的學生人數(shù)為______.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)題意利用分層抽樣的定義直接求解即可.【詳解】由題意得從初中部應抽取的學生人數(shù)為人，故答案為：1014.正邊長為2，點滿足，則______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)基底法進行轉化，代入求解即可.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：215.設事件相互獨立，且，，則_______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)獨立事件結合概率運算的性質，直接計算即可.【詳解】由題知，因為，，所以，由，可得，即，故.故答案為：16.，分別是棱長為1的正方體的棱的中點，點在正方體的表面上運動，總有，則點的軌跡所圍成圖形的面積為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖形關系找出一個面垂直于，從而得到點的軌跡，進而得到點的軌跡所圍成圖形的面積.【詳解】取中點，連接，設，則，，，所以，所以，因為，所以，所以，即，因為正方體中面，面，所以，因為面，，所以面，因為正方體中面，面，所以，所以點的軌跡為矩形，在直角中，所以矩形面積為.即點的軌跡所圍成圖形的面積為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.統(tǒng)計某班同學一次考試的數(shù)學成績，得到如下頻率分布直方圖，已知該班學生數(shù)學成績不低于80分的頻率為0.60.（1）求頻率分布直方圖中，的值；（2）估計該班學生數(shù)學成績的平均分和中位數(shù).【答案】（1）（2）平均分、中位數(shù)分別為，【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質求解即可.（2）利用平均數(shù)和中位數(shù)的定義和公式求解即可.【小問1詳解】由已知得，則，所以【小問2詳解】該班學生數(shù)學成績的平均分的估計值為：，因為，，所以中位數(shù)在內.故中位數(shù)為.18.如圖，在三棱錐中，，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，證明，，然后結合位置關系即可證明平面；（2）將異面直線與平移到一個平面上，轉化為面內角求解.【小問1詳解】證明：連接.在中，因為，是的中點，所以，.在等邊中，.在中，，，，所以，所以，即.又，平面，平面，所以平面.【小問2詳解】分別取，的中點，，連接、、.因為，，分別是，，的中點，所以，分別是，的中位線，所以，，所以（或其補角）就是異面直線與所成的角在中，，.因為是斜邊上的中線，所以.在等腰中，.所以異面直線與所成角的余弦值為.19.數(shù)學期末考試中有8道單項選擇題，滿分40分，每道題有4個選項，其中有且僅有一個是正確的，評分標準規(guī)定：答對得5分，不答或者答錯得0分.考生甲每道單項選擇題都選出了一個答案，能確定其中有5道題的答案是正確的，而其余3題中，有一道題可以排除兩個錯誤選項，另外兩個選項選擇的可能性都相等；剩余兩道題都能排除一個錯誤選項，另外三個選項選擇的可能性都相等.各道單項選擇題答對答錯彼此互不影響.（1）求甲得滿分40分的概率；（2）判斷甲單項選擇題得多少分的可能性最大，并說明理由.【答案】（1）（2）甲得30分的概率最大，理由見解析【解析】【分析】（1）利用獨立事件的乘法公式求甲得滿分40分的概率，即可得結果．（2）由甲總得分的取值有25、30、35、40，再應用獨立事件乘法公式及互厷事件加法公式求各對應得分的概率并比較大小，即可得答案．【小問1詳解】由題意可知，在其余3道題中，三道題答對的概率分別為，，，設表示甲考試總得分，所以甲得40分的概率為.【小問2詳解】甲得25分的概率；甲得30分的概率；甲得35分的概率.而甲得40分的概率為，故甲得30分的概率最大.20.已知，是不共線的單位向量，，，.（1）若與共線，求的取值范圍；（2）若，是向量在向量上的投影向量，滿足，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由與共線，結合共線定理求出值，則，再結合可求出的取值范圍；（2）由是在上的投影向量，表示出，再結合可列方程求出實數(shù)的值.【小問1詳解】因為與共線，所以存在實數(shù)，使得，即，即.由平面向量基本定理，得，.所以..所以.因為，所以，所以.【小問2詳解】因為，所以，.由是在上的投影向量，得.由題意，所以.整理得，解得或.21.如圖，在扇形中，半徑，圓心角，是扇形弧上的動點，矩形內接于扇形，設.（1）試建立矩形的面積關于的函數(shù)關系式；（2）在（1）的條件下，當為何值時，取最大值，并求出最大值.【答案】（1）（2）當時，取最大值，且【解析】【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)定義，結合矩形面積公式進行求解即可；（2）根據(jù)正弦二倍角公式、輔助角公式、降冪公式，結合正弦型函數(shù)的性質進行求解即可.【小問1詳解】在中，，.在中，，故.矩形的面積小問2詳解】由.由，得，當，即時，.因此，當時，取最大值，且.22.的內角，，的對邊分別為，，，且.（1）求；（2）已知，的平分線