（3年高考2年模擬1年原創(chuàng)）高考數(shù)學03數(shù)列（解析版）

【金識源】（3年高考2年模擬1年原創(chuàng)）最新2013版高考數(shù)學專題03數(shù)列（解

析版）

【考點定位】2014考綱解讀和近幾年考點分布

數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容之一，由于它既具有函數(shù)特征，又能構(gòu)成獨特的遞推關(guān)系，使得它既與中學數(shù)

學其他部分知識如：函數(shù)、方程、不等式、解析幾何、二項式定理等有較緊密的聯(lián)系，又有自己鮮明的特

征，因此它是歷年高考考查的重點、熱點和難點，在高考中占有極其重要的地位.試題往往綜合性強、難度

大，承載著考查學生數(shù)學思維能力和分析、建模、解決問題的能力以及函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的

思想、分類討論的思想.通過對2010年高考試題的研究，本專題在高考試題中占有較大比重，分值約占總

分的12%,大多為一道選擇題或填空題，一道解答題.試題注重基礎(chǔ)，著重考查等差、等比數(shù)列的通項公式、

前n項和公式、數(shù)學歸納法及應用問題，選擇題和填空題，突出“小、巧、活”的特點.而解答題大多為中

等以上難度的試題或難度大的壓軸題.

【考點pk］名師考點透析

考點一、數(shù)列的概念及表示方法

【名師點睛】

1.定義：按照一定順序排列著的一列數(shù).

2.表示方法：列表法、解析法（通項公式法和遞推公式法）、圖象法.

3.分類：按項數(shù)有限還是無限分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按項與項之間的大小關(guān)系可分為單調(diào)數(shù)列、

擺動數(shù)列和常數(shù)列.

a=2(〃=1)

4.%與5〃的關(guān)系:

5.求數(shù)列的通項公式的主要方法有（1）由數(shù)列的前幾項歸納出一個通項公式，關(guān)鍵是善于觀察.

（2）利用a,與S的關(guān)系，不要忘記驗證ai能否與n22時a“的式子統(tǒng)一；（3）由遞推公式求通項公式,

常化歸為等差等比數(shù)列,或用利用迭加a「a*f（n）、迭乘“ae=f（n）、迭代等方法.

6.處理方法：.用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題

【試題演練】

1.數(shù)列1,-',__L,…的一個通項公式是______。

234

【解析】這個數(shù)列的前4項的絕對值群是序列號的倒數(shù)，并且奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以，它的一個

通項公式為d=包二.

n

2.已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,4=—L+1(〃N2),則%=.

an-\

Q

【解析】I考察數(shù)列的表示方法，了解數(shù)列的遞推式也是一種表示方法，并能由遞推式能寫出數(shù)列的前幾

項.

3.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,,且S“=3/+〃，則數(shù)列的通項公式

an=-------

【解析】a..=6;7-2.提示:當，?22時，a,：=S.-5：“=，-2,當“=1時，q=$=4也適合,所以

a,;=6改-2.

4.已知4=—"+25〃(〃wN+),則數(shù)列｛4｝的最大項是。

【答案】第12項或13項

【解析】4是關(guān)于〃的二次函數(shù).

考點二、等差數(shù)列的概念及性質(zhì)

【名師點睛】

(1)定義：從第2項起每一項與它前一項的差等于同一常數(shù)的數(shù)列叫等差數(shù)列.

(2)遞推公式：a,(+l-an=d,all+l=an*q,qwO,〃eN*.

n

(3)通項公式：an=at+(n-l)<7,an=a｝q~\neN*.

(4)性質(zhì)①單調(diào)性：dN0時為遞增數(shù)列，dW0時為遞減數(shù)列，d=0時為常數(shù)列.②若

m+n=p+q,Udam+an=ap+aq(m,n,p,qeN').特別地，當m+〃=2p時,有q“+a“=2冊③

a.-a,”neN*).④S*,S2k-Sk,$3^-S?*,…成等差數(shù)列.

等差數(shù)列是個特殊的數(shù)列，對等差數(shù)列的概念、通項公式、性質(zhì)、前n項和公式的考察始終沒有放松。

一方面考查知識的掌握，另一-方面考察靈活運用數(shù)列的有關(guān)知識分析問題、解決問題的能力，對這部分的

考察堅持小題考性質(zhì)，大題考能力的思想，大題的難度以中檔題為主，估計這種考查方式在今后不會有大

的變化.已知五個元素國，a“,n,d,S中的任意三個，便可求出其余兩個.證明數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列的兩種

基本方法是：（1）利用定義，證明a“-a,L\（G2）為常數(shù)；（2）利用等差中項，即證明2a產(chǎn)a-"?。ā?2）

【試題演練】

1已知｛g｝是等差數(shù)列，6+出=4,%+%=28,則該數(shù)列前10項和S10等于（）

A.64B.100C.110D.120

【答案】B

'2a,+<7=410x9

【解析】設(shè)數(shù)列的公差為d,則《1得％=1,4=2.故S|o=lOq+-----r/=100

2%+13d=282

2.等差數(shù)列｛%｝的前10項的和兀=100,前100項的和S儂=10,求前110項的和S.

解法一：設(shè)的首項為生，公差工則

10a；+-^-xl0x9rf=100?d=

2解得-0ilOa,+-xll0xl09rf=-110

1099

100<z,+-xl00x99tf=10,a,~

2110c

解法二：［aJ為等差數(shù)列,故可設(shè)S3:g

,100J+105=100_

則，解得ZB1CU-d=-l

110000.1+1005=10

:

sn.=110J+1105=110(110J^5)=-110

解法三：???SI::-S［：='tV—

.=（%+生：：）><110_

**sllw'=C'=11Q

【點評】解法一轉(zhuǎn)化為兩個基本量,再求其它問題是重要的方法，也是解決這類問題的通法通解；解法二利

用了前n項和公式的函數(shù)式特征.解法三較為靈活，運用了整體代換的思想方法。

3.設(shè)等差數(shù)列｛七｝的首項％及公差"都是整數(shù)，前〃項和為S“，（1）若％|=0,SM=98,求數(shù)列的通項

公式；（II）若％>6,即>0,SM<77,求所有可能的數(shù)列｛為｝的通項公式.

解：⑴由之=9s得2q+13d=l」入41=\+10d=<喙解得^=-22=20.因此&｝的通項公

式是a.=21-2%〃=1=2=3：…一

"S14<77S'%+13d41L；2a1+r^<0①

（2）Sau>0,得,q+10/>0,即-2a1-20e/>n②

1

>6.>6.-lax<--.③

由①+@得—7dv1L即d>——.由①代.jIndW-L即」W—-.于是<■dW——.又d6Z，故

713713

d=-l.代入①②得10<用￡12.又qeZ,故生=11或生=「所以，所有可能的數(shù)列｛aj的通項公式是

a..?2=12一片'和a.匕.=13-7工-〃=1.2.3….

4S”為數(shù)列"的前〃項和，且滿足仇=1,2b“1(n22).證明數(shù)列｛1-｝成等差數(shù)列，并求數(shù)

4.b.S,-S：S.

列也｝的通項公式.

RL>>/c*C*\

解：由已知血、=1泌2』,又5..=4+5、+…+如所以、=1

b,.S..-S：-*^i￡-SzlS,：-S；

即也二2=i,所以1_一_L=L.又5=s=1,用二數(shù)列?是首項為1,公差為1的等差數(shù)

-S.S..,S..S..,1-?S,2

列’由上可知/號即5：=W漕以當,士時——二一高

因此「2n=1

n>2

1nm+lj

【點評】本題考察等差數(shù)列的證明，證明手差數(shù)列的、本方法早刊用定義，證明&-生_1=常數(shù)(n22)；

或利用等差中項，即證明2a：=a—+a-1碎>2i

5.設(shè)等差數(shù)列｛6,｝的前〃項和為S“，已知q=12,S12>0,S13<0o(I)求公差d的取值范圍；

(II)指出S-S2，…，S2,中哪一個值最大，并說明理由

-i-------——d>0,

2；1羽+66d>0

13x1)?>4

解：(I)根據(jù)題意，有,13q------；—d〈：0,整理得13q<0解得-=cd-3.

,q+2〃=]_,-i

?

[31々+&,|

(II)解法一：因為d<0,/.a:>a:>a3>-->al:>：差>…?兀S/=-------———=13a-<0>a-<0.

又又=二!三芻」=6儂+%1=6|。,-a-l>0,>U.所以數(shù)列的前6項和S：最大.

d、,、d??r《、

解法二：：a,=12-2d.二.S.=」「+12-d乩考察函數(shù)i=二f+12-二d；工，

??■>、*

3<1、<1，cj

???dc0：-三=二一上：「.￡=二一二時，1的取值有最大值,又?,--<^<-3,

la2d2d7

所以64二-上.?.—；，所以當，?=6時S.最大，即數(shù)列的前6項和最大.

2d!

【點評】本題給出的兩種解法，揭示了數(shù)列、函數(shù)、不等式知識之間的聯(lián)系.

考點三、等比數(shù)列的概念及性質(zhì)

【名師點睛】

(1)定義：從第2項起每一項與它前一項的比等于同一常數(shù)(不為0)的數(shù)列叫做等比數(shù)列.

(2)遞推公式：a,+]_a“=d,%=ajq,q*O,〃eN".

(3)通項公式：a“=q+(〃一l)d,a“=qq"，neN,.

人[a.<0,(a,>0[a,<0,fa,>0

(4)性質(zhì)①單調(diào)性：當4?或《?時，為遞增數(shù)列；當《?，或1?時為遞減數(shù)

[0<<7<1[q>1[q>L[0<q<l

列；當q<0時為擺動數(shù)列；當q=l時為常數(shù)歹1J.②若/”+〃=p+g,則=4?%(m，n,p,qGN*)

特別地若，7?+〃=2P則③&=q"-"'O，neN*,gwO).@Sk,S2k-Sk,Sik-S2k,…，當

a...

qw—1時為等比數(shù)列；當q=-1時，若k為偶數(shù),不是等比數(shù)列.若人為奇數(shù)是公比為-1的等比數(shù)歹U.

等比數(shù)列的定義、判斷、通項公式和前〃項和公式的探求，等比數(shù)列的性質(zhì)的應用是歷年的必考內(nèi)容,

考察的形式類似于等差數(shù)列，考察題型既有基本題，也有與等差數(shù)列、函數(shù)、方程、解析幾何等知識有關(guān)

的綜合題。估計在2010年高考中，仍是重點.五個元素國，a”n,q,S,中知三，可求另兩個.次數(shù)較高時

可除或換元；證明數(shù)列｛a｝是等比數(shù)列的兩種基本方法是：(1)利用定義，證明二J(〃22)為常數(shù)；(2)

利用等比中項，即證明?a,(〃)2).運用等比數(shù)列求和公式時?，需對fl和進行討論.

【試題演練】

1在等比數(shù)列｛?！埃校琣x=l,al0=3,則a2a3a4a5a6a7a8%=()_

(A)81(B)27^27(C)G(D)243

【答案】A

【解析】在等比數(shù)列中，?.?1+〕。-2+9=3--?；+-=5+6：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得

@a「==a：生==a;a■:從而a：a：a.:■:a-a；a：=II=SI.

2.等比數(shù)列｛a,｝中，S“是其前w項和，若與o=lO,$2。=30,求S30.

.a/l-gLI

—~—=10

解法一：設(shè)公比為g,=10,5“=30-gHL于是」‘

可|1一。一I

-------=30

Il-g

兩式作商1+/=3;3：=2.二5：.=勺1二^='"二--^1+/+/」

1-5--?

=Sg(l+/+g：：)=70二S*=70.

解法二：S「，Sy—S--.S~--S:-成等比數(shù)列，IS：.—S］：廣=Sj--IS；--SyI＞又因為S「=10.Sy=30?

..S”=70.

【點評】解法一將問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的基本量，利用方程思想思想求解，是通法通解，要注意過程中蘊含

的運算技巧，解法二運用等比數(shù)列的性質(zhì)，大大簡化了運算過程.

3.已知正項數(shù)列｛a,｝,其前〃項和S“滿足105“=d+5。“+6且為，%，%5成等比數(shù)列，求數(shù)列｛4｝的

通項a“

解：?「IOS.：=a,；+5q：+6,①代，】=''存10a，-a；+5a?1J,故a：=1或a：=3

又IOS,：7=a」+5aAi+6(，?22I②①-②得1°~,：=(a；?a：_J+6(q：-a”]|,

即(a,：+a”[)(a*-a^_x-ll=0a,.+_th0,..a,.—a—=5i>7>2j

當生=3時，a；=13,出=~3a】，.：，勾§不成生：*'洌.\4h3;

當q=2時，生=12,ai5="2>有ag=cf，a,=2>a..—5n—3

【點評】本題在解題過程中，以S.：與a：的關(guān)系為好題的切入短，將S：與a的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為a：與的

遞推關(guān)系，然后再來求解.很多問題通途判斷或構(gòu)造轉(zhuǎn)化為特會數(shù)列(等比或等差數(shù)列)而得以求解。

4.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和為S?.已知q=a,an+i=Sn+3",neN".(I)設(shè)"=S?-3",求數(shù)列也｝

的通項公式；(H)若。，用2a“，neN\求。的取值范圍.

解:(I)依題意，S，i-S,：=a，z=S,：+3",即S=i=2S,：+3‘，由此得S：7-3J=2(S,：-3").

因此，所求通項公式為4=5：-3"=3-3):』，，?6、.①

(II)由①知5：=3'：+9-3)廣】，，?wN*,于是，當kN2時，

&=S,-S.=3"+(a-3)又2.—3.一(a-3)x24：=、X3'i+(a—3)2人：，

，:-1，：_：

a..,,-ar=4x3+(a-3)2=廣二+a-3?

Lj

'c..一

當7工》2時，a.1—a.二+a—3、0=a3一9.

又生=4十3>4,綜上，所求的a的取值范圍是9,+x).

5.設(shè)二次方程為才2一品,/+1=0(刀￡N+)有兩個實根a和￡,且滿足6a—2a(3+6/?=3.

(1)試用/表示&“；

2

⑵求證：｛4-3是等比數(shù)列;

3

解：⑴由根與系數(shù)的關(guān)系得‘f代入6a—2a尸-64=3,化尚得牝：=（備-=

*123

IR

]171,%一71

3證明:因為懸-】=9「1所以ML二于是一止=々可以證明孰W。故⑶一三｝

m-

是公比為:的等比數(shù)列

點評：一些數(shù)列通過適當?shù)淖冃?可以得到一個等比數(shù)列（或等差數(shù)列），形如antl=qa?+p的數(shù)列就可以轉(zhuǎn)化為

一個等比數(shù)列.對于給出通項公式的數(shù)列，要證明｛%｝是等比數(shù)列，只需證明也或‘上是一個與〃無關(guān)

%明T

的常數(shù)即可；對于以前后兩項遞推的形式給出的數(shù)列，若能變形成也或‘工是一個與〃無關(guān)的常數(shù)，也

?n-i

能證明數(shù)列｛為｝是一等比數(shù)列.

考點四、求數(shù)列的通項

【名師點睛】

在一些綜合性比較強的數(shù)列問題中，數(shù)列通項公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。數(shù)列通項公式

的求解常用方法：1、定義法，直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應

于已知數(shù)列類型的題目.2、公式法，若已知數(shù)列的前〃項和S“與%的關(guān)系，求數(shù)列｛處｝的通項M可用

公式4,=11求解。3、由遞推式求數(shù)列通項法，對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通

.........n>2

常可以通過遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)

列。4、待定系數(shù)法（構(gòu)造法），求數(shù)列通項公式方法靈活多樣，特別是對于給定的遞推關(guān)系求通項公式，

觀察、分析、推理能力要求較高。通常可對遞推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來求解，這

種方法體現(xiàn)了數(shù)學中化未知為已知的化歸思想，而運用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)

化方法。

【試題演練】

1.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和S“滿足S“=2%+（—.求數(shù)列｛%｝的通項公式。

解：由生=耳=%—1=%=1當心2時，有a,=S”-Sz=2(&_az)+2x(_l)；

-1

.'.ar_=+2x(-1)'7=1arr/x(一，*....,az=2ax-2.

：a.=2>1^+2>1X(-I)+2，>:X(-4):+-?+2xJ)-

=產(chǎn)+(fRT)i+(-y、-+(f]

廿_(目斗

=全=H一產(chǎn)1

經(jīng)嗡證%=1也滿足上式，所以a=A:I=+(Ji]

s.............“=1一

點評：利用公式a,=/。、求解時，要注意對n分類討論，但若能合寫時一定要合并.

-S,：-S,：T.....>7>2

2.已知數(shù)列｛%｝滿足為=，，an+i=an+—,求凡。

2n+n

1111

解：由條件知:-----==—―----

獷+方k(k+1)--n2+1

分別令外=……G7）,代入上式得行一1）個等式史，之，

即（的一里）十（生一生）+（%—生）+....；*］）=（1一：；十（:-3+（：_<）+............

12JJ4k一1k

-11,131

所以a,.一小=1一一:a=一,a..=十1一一=---

點評：對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通常可以通過遞壓公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題,

有時也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。遞推公式為4川=怎+/（〃），轉(zhuǎn)化為。,用—%=/（/?）,利

用累加法（逐差相加法）求解。遞推公式為=/（〃）即，轉(zhuǎn)化為4包=/（〃），利用累乘法（逐商相乘法）

%

求解。遞推式：。,出=必,,+/（〃）只需構(gòu)造數(shù)列也,｝‘消去/（"）帶來的差異.遞推公式為。,用=pa“+q

（其中p,q均為常數(shù)，（P4（p—l）H0））,轉(zhuǎn)化為：an+l-t=p（an-t）,其中f=—L,再利用換元法

1-P

⑹......（〃=1）

轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。遞推公式為S,,與巴的關(guān)系式。（或S”=/（《,）），利用%=/°°進行

⑸,-S,3〃N2）

求解。

3.已知數(shù)列｛%｝前n項和S“=4-a“-5二.（1）求明+1與a”的關(guān)系；（2）求通項公式明.

解：⑴由S,：=4-%-4y得：S,：_[=4-a,j_1于是S.i-S,：=(q：-&_[)+(Jy-白已所以

（2）兩迦司乘以產(chǎn)得：=+2由-。1=4-4一與=q=1.于是數(shù)列匕&｝是以2

為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以二公=2+26-1、=2，：=2=9

4.已知數(shù)列｛%｝滿足4]=1,且a“+|=3a,+2,求a”.

解：設(shè)a,l+|+t=3（%+1）,貝ijan+l=3a,,+2f=>f=1,an+l+1=3（a?+1）=>｛%+1｝是以（%+1）為首項，

以3為公比的等比數(shù)列n*+1=（%+1）-3"T=2?3”T=?！?2?3"T-1

點評：求遞推式形如*M=pa“+q（p、q為常數(shù)）的數(shù)列通項，可用迭代法或待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列

??+1+-^—=p（a?+—乙）來求得，也可用“歸納一猜想一證明”法來求，這也是近年高考考得很多的一

p-\1-P

種題型.

5.數(shù)列｛%｝中，/=1,劭=2,3a〃+2=2%+]+。“，求數(shù)列｛。〃｝的通項公式。

?1、

解：由3a空_：=2a,1]+4得-：設(shè)G_ka—=〃（冬--kaj

2111

比較系數(shù)得k+力=二，一舊2=±,解3左=】八=一士或;C=-2」2=l

j3JJ

若取太=1/7=-2，則有（a,.rJ

33

...9：>1一%｝是以一:為公比，以為-,1=2-1=1為旨項的等比數(shù)列.?.低[-4=（一3"1

由逐差法可得a,：=（a,：—&_i）+也：-1—々u-----1r（a；-%）+%

…+J；)?+(-g)+1+1

點評：*+2=P%+i+4%型的遞推式，通過對系數(shù)P的分解，可得等比數(shù)列｛%-*_/，設(shè)

?！?2—鼠J*=/?（*+]-%%），比較系數(shù)得/?+k=p,-hk-q,可解得/?,上。

6.設(shè)｛&｝是首項為1的正項數(shù)列,且（加1）a/—禽=0（*N+）,求它的通項公式.

解：數(shù)列｛生）是首項為1的正項數(shù)列:?.?二#0.

日,7

———D"J-+1=。令=r.-'.(??—1)S—r—；?=Q：分解因式得l)r—??](1—1)=0：1?:=

-h舍去）:即

30=二,到此可采用:

a,.k+1

1

法一:，累積法）"X&X生X巴,、…x2：.xrx2x4x-x—./.a,=l,

藥生生外「；工3」5nn

法二：（迭代法）『竺二&T="X匚冬_尸山?匚?二-產(chǎn)…

??+1n〃n-1n外-1n-2

>7-1>7-272—31.1

=----?-------..........-?].??〃=一

n汽-1汽-22?

法三口特殊數(shù)列法）.??\=」、「比也三=L...數(shù)列是一個以6為首項」為公比的等

生〃+1叫

比數(shù)列，即常數(shù)數(shù)列...，?2=1,...a產(chǎn)」.

n

法四：（歸納猜想）由遞推關(guān)系求函數(shù)的前幾項,然后根據(jù)前幾項猜出其通項公式,后用數(shù)學歸納法證明（略）.

此方法以后解決.

總結(jié)：數(shù)列｛a,｝的兩個重要變形,在適當?shù)臈l件下應用起來非常方便.⑴a“=a+（戊-a）+（&-a）+-F（a—a,

-i）;

（2）a?=Si,—,—......-^2-.

為42%

這些方法在等差數(shù)列和等比數(shù)列的推導過程中都有應用,方法還是來源于課本呀！

考點五、求數(shù)列的和

數(shù)列的求和也是高考中的熱點內(nèi)容，考察學生能否把一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和，體現(xiàn)了化歸的思想

方法，其中錯位相減和裂項相消是高考命題的熱點。估計在以后的高考中不會有太大的改變。數(shù)列求和的

常用方法，尤其是利用裂項法和錯位相減法求?些特殊數(shù)列的和，數(shù)列求和的基本方法：

1.基本公式法：（1）等差數(shù)列求和公式：[=〃（。廣）=叼+〃（7）上（2）等比數(shù)列求和公式：

na],q-1

S,尸q（l-/）%—a“q"⑶《+C：+C；+…+&=2".

\-q~\-q，q

2.錯位相消法：一般適應于數(shù)列｛〃/“｝的前〃向求和，其中｛2｝成等差數(shù)列，｛〃｝成等比數(shù)列。

3.分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列，然后利用公式法求和。

4.拆項（裂項）求和：把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程中消去中間項，只剩下有限項

再求和.常見的拆項公式有：（1）若｛《｝是公差為d的等差數(shù)列，則-----=------------；

《M.+ian+J

（2）。⑶/:/=；（內(nèi)-甸7:（4）C-=C：+I-C：；

（2〃一++'n+k+7nk'

（5）〃?加=（〃+1）!—〃！.

5.倒序相加法：根據(jù)有些數(shù)列的特點，將其倒寫后與原數(shù)列相加，以達到求和的目的。

【試題演練】

解：設(shè)數(shù)列的通項為4，則么=-------=--------

幾（〃+1）n"+1

???Sn=4+2+.......+么=（1_1）+（〈-：）+....+（--77）

223n〃+1

_]1

〃+1n+1

【點評】本題用的是裂項相消，這是高考中經(jīng)?？疾斓姆椒ǎ窗岩粋€數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式,

相加過程中消去中間項，只剩下有限項再求和.一般地，如果數(shù)列｛4｝是公差為d的等差數(shù)列，求數(shù)列

II

:m卜的前九項和,可根據(jù)m="m（'——二）進行求和.

、《，?%+'da?a,I+1

2.求數(shù)歹ijl+l,'+4,4+7,二+10,……,-^-+（3n-2）,……的前〃項和

aaaan

當—時，5:=,一支2三交=三三

1-J-

也1葉Ca'Q+一，一5-1上⑴一加

*"1時，窿=—r+--------------7F+—;—

]一±-3-61-

a

【點評】本題用的是分組轉(zhuǎn)化求和法，一般地，如工數(shù)列1生；定由等繆列、翱蝴域已知哪的數(shù)列㈱的

淵縊的，可用嵯第?注意在應用等比入列的求弋公式時，^對公比分類討論.

3.求和卬=C：+4C；+7C；+10C；+…+(3〃+1)C：

解：?.?W=C：+4C：+7C；+…+(3〃-2)C；；-'+(3〃+1)C；；①，

=(3〃+1)C：+(3〃-2)C『+(3〃-5)干+…+4C：+C：

卬=(3〃+1)C；+(3〃-2)C：+(3n-5)C,；'-2+…+4C：+C：②，

①+②得2W=(3/z+2)(C：+C\+C：+…+C：)=(3”+2)x2",W=(3〃+2)x2"-'.

【點評】本題用的是倒序相加法，倒序相加法是課本推導等差數(shù)列前〃項和的方法，學習過程中應予以重

視.選擇數(shù)列求和的方法，關(guān)鍵是準確抓住數(shù)列通項公式呈現(xiàn)的規(guī)律，然后選定一種求和方法，并作出相應

的變換.題目中=3〃+1,又C；=C；T,.?.而運用倒序相加法方法是比較好的想法。

4.“數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,%=1,4.I=2S,(〃wN").(I)求數(shù)歹(]｛凡｝的通項七;(II)求數(shù)列

｛na?｝的前〃項和北.

解：(1)???&_1=25".S.』=2$：…亨=3?.￡=，：=1數(shù)列｛SJ是首項為1,公比為3的等比數(shù)

9

：

列：S..=E-V*)當??22時，a..~JS...=J*'(rL2)..,.a..=(‘、'】

-1-1八?2-3.n>2

(2)?.,工：=%+2a：+3生++正公.芻，:=1酎，7j=l；

當，f2?時，Z.=1+4.3:^6.31+-J+4-3l+6.3:++2?3，!-\

.-.-2L=-2+4+2（3】+3：++3一）一3一=-1+（1-2%）3、

二7；=8+5-=）3。％722）,又當，?=1時，上式也成立.二工：=2+6-二）3"1（，”T"）

【點評】本題的求和主要考察了錯位相述的方法，這種方法的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，這是高考命題

的熱點，在復習中務(wù)必引起充分的重視.

考點六、數(shù)列綜合應用

【名師點睛】

1.等差、等比數(shù)列的應用題常見于：產(chǎn)量增減、價格升降、細胞繁殖等問題，求利率、增長率等問題

也常歸結(jié)為數(shù)列建模問題.

2.將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題時應注意：（1）分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列；（2）分清是求當還是求

S,特別要準確地確定項數(shù)〃.

3.數(shù)列的綜合問題常與函數(shù)、方程、不等式等知識相互聯(lián)系和滲透.

數(shù)列的綜合問題一類是等差、等比數(shù)列的綜合問題，另一類是與其他章節(jié)以及內(nèi)容結(jié)合的綜合問題，

因為數(shù)列、不等式、解析幾何是新課標高考的重點內(nèi)容，將其密切結(jié)合在一起命制綜合題是歷年高考的熱

點和重點。數(shù)列是特殊的函數(shù)，以數(shù)列為背景的不等式證明以及以函數(shù)為背景進行數(shù)列的構(gòu)造命題，體現(xiàn)

了在知識的交匯點上命題的特點，一直是高考命題者的首選。

【試題演練】

1.已知等比數(shù)列｛/｝的首項為q=工，公比q滿足q>0且qwl。又已知％,5%，9%成等差數(shù)列。（1）

求數(shù)列｛a,,｝的通項（2）令a=log3?,求證：對于任意〃eN*,都有‘<二一+二一+...+」--U

2姑2b2b3b.bz

(1)解：2?5%=q+9%lOq，=q+9。悶49q4—10如+1=0

A-，:

：q>0fi55=l/.?=-/.a,,=azq-=3

一

(2)證明：,.■5”=log廣=log；3’=%,——--=------=――-—

1

b,._b,,_x?j(?+)nn+1

岫：小區(qū)":"：-i22?n>:+ln+l2地：5：與，M：-i

點評：把復雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是工學中的事，思想，本N中的第(2)間，采用裂項相消法法,

求出數(shù)列之和，由n的范圍證出不等式.

2.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為5,，且S”=2a“-2(〃=1,2,3,i),數(shù)列電｝中，4=1,點列(々也Q在

直線x—y+2=0上.(1)求數(shù)列｛6｝,也,｝的通項a“，bn；(2)若7；為數(shù)列｛￡｝的前〃項和,證明：

當〃22時，2S“>Tn+3”.

(I)解：由已知S“=2a“-2,S,i=2a,i-2(〃22),又S,,-S,i=%("22)所以，an=2an-2an_i,

所以，巴;_=2(〃z2),即數(shù)列｛“"｝是等比數(shù)列.因為q=S”，/=24]-2,〃[=2.an=2"

an-l

因為點P(bn,bn+D在直線X—y+2=0上，所以bn—b田+2=0,所以bn“f=2,即數(shù)列｛bj是等差數(shù)在又,

bi=l,所以2=2"-1

(II)證明：由已知,=2(1-2")=2川一2,.」(1+2"-1)=心即證明不等式2"+2>/+3“+4(〃22),

1—22

(1)當n=2時,2』6,n2+3n+4=14,不等成立.(2)假設(shè)當n=k時,不等式成立，BP2k，2>k2+3k+4J&AL,

那么，當11=1<+1時，2*3>2/+6k+8,

以下只須證明21+6及+8*(k+l)2+3伙+1)+4成立，即只須證明k'+kNO成立，因為當k》2時，k2+k>

0成立，所以當n=k+l時，不等式2"+2>/+3"+4成立綜合(1)(2),原不等式成立.

【點評】本題綜合考察數(shù)列中已知前〃項和求通項，等差、等比數(shù)列的判斷和證明，以及利用數(shù)學歸納法

證明相關(guān)問題的方法和步驟。

3.在數(shù)列141,也,1中，囪=2,34,且a“，bn,成等差數(shù)列，bn,an+x,。加成等比數(shù)列(〃eN*)

(I)求念，&,以及6，慶,從,由此猜測1%1,121的通項公式，并證明你的結(jié)論；

(II)證明：—^―+—5—+…+—-—<—.

a

a1+4〃2+%n+12

解：(I)由條件得2b：=4：+a,：_p與_：=6.也"由此可得

生=65：=9,生=12,5：=16,a4=20,d4=25.

猜測%=，G+1),A=(*+1)J用數(shù)學廠納法證HP.①當；ku寸，由上可得結(jié)論成立.

②假設(shè)當，?=；：時，結(jié)論成立，即a=太(h。，b-.-;,t+l):短>么當；尸；：-1時，

生_1=2d；.-a,-2(^c+l):-k(k+1)=(,.+l)(/c+2),5』=—=(k干2);.所以當；?=<-l時，結(jié)論也成

%

立.由①②，可知2：=7?S+1),AS+1):對一產(chǎn)〉三權(quán)都成立.

(II)—^―=-<—.；；>2W，由(、知a,+\=9+DU，?+l)>2(，?+l)，].

生+&612

]]…]…]

用+“az+b:生+”：622x33x4，?(n+l)

點評：本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，數(shù)學歸納法，不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學知識進

行歸納、總結(jié)、推理、論證等能力.

4.設(shè)數(shù)列｛4｝滿足4=0,4“+|=。端+1—"6'',其中。為實數(shù)(I)證明：qe[O,l]對任意〃eN*成

立的充分必要條件是ce[0,1]：(II)設(shè)0<c<g,證明：—(3c)"T,neN*;

I2

(HI)設(shè)0<c<一,證明：a；+a：H-a~>n+\------,〃eN*

31l-3c

解：(1)必要性：Va,=0,/.a2=l-c,又Va2e[0,l],/.0<l-c<l,B|Jce[0,l]

充分性：設(shè)ce[0,l],對〃eN*用數(shù)學歸納法證明%e[0,1]當”=1時，a,-0e[0,l].

假設(shè)七e[0,l](Z21)則4+]=ca；+1-cWc+l-c=1,且％+|=ca；+l-cNl-c=N0

I.ak+ie[0,1],由數(shù)學歸納法知ane[0,1]對所有“eN"成立

(2)設(shè)OvcuL當總=1時，a；=0,結(jié)論成立當n22時，

C*

a,.=caL+1-G「?1-a..=c(l-+&-i+a：)

?.,OvCv1,由(1)知所以1+?_1+0'￡3Pi-a,_.>0

>:nI

W3c(l-a』)/.1-a..<3c(1-a...)<(3：1-a..^^--?<(3c)(l-a1)=(3c)-

；.生"-(3c)ZgZ)

：3)設(shè)0ec?」，當，?=1時，a｛=0>2-j,結(jié)論成立=，工21時，由(二)知a..>l-(3c)r>i>0

3-Zc

：.a,?>(l-(3c),>l):=1-2(3c)，:-1+(3cV->1-0產(chǎn)

aj+a：+…+a；=a：H---Ha；>>?-12[3c+廣：「r-----

=7+1_--------->打+1------

l-3cl-3c

點評：本題是數(shù)列、充要條件、數(shù)學歸納法的知識交匯題，屬于難題，復習時應引起注意，加強訓練。

5.已知函數(shù)/(x)=—1+》2—2.(I)設(shè)｛4｝是正數(shù)組成的數(shù)列，前"項和為S,其中d=3.若點

(a“,a：+i—2a“+J(nGN*)在函數(shù)片產(chǎn)(x)的圖象上，求證：點(〃,S)也在尸，3的圖象上；(H)求函

數(shù)/Xx)在區(qū)間(a~l,a)內(nèi)的極值.

(I)證明：因為/“)=；》3+》2一2,所以廣(x)=V+2x,由點(a“,a3—2a“+1)(〃GN+)在函數(shù)尸〃(x)

的圖象上，又a,>O(〃eN+),所以(a“_i—a”)(a“+]-a,-2)=0,所以

S“=3〃+也押乂2=〃2+2〃，又因為/'(〃)=/+2〃,所以5“=/'(〃)，故點(n,S“)也在函數(shù)

尸=f'(x)的圖象上.

(II)解：f\x)-x1+2x-x(x+2),山/'(x)=0,得x=0或x=-2.

當/變化時，/'(X)、/(x)的變化情況如下表：

X(-00,-2)-2(-2,0)0(0.+OO)

f⑺+0-0+

4)/極大值極小值/

注意到|(。-1)一4=1<2,從而

2

①當a-1<-2<a,即-2<a<-1時/(x)的極大值為/(-2)=-§,此時/(%)無極小值;

②當。一1<0<a,即0<a<1時/（x）的極小值為/（0）=-2,此時/（%）無極大值;

③當a4-2或-1<a40或a>1時/（x）既無極大值又無極小值.

點評：本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識，考查分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想方

法，考查分析問題和解決問題的能力.

6.甲、乙兩大型超后，2009年的銷售額均為p（2009年為第1年），根據(jù)后場分析和預測，甲超市前〃年

的總銷售額為+乙超市第〃年的銷售額比前一年多臺.（I）求甲、乙兩超市第〃年的銷售

額的表達式；（H）根據(jù)甲、乙兩超市所在地的后場規(guī)律，如果某超后的年銷售額不足另一超市的年銷售

額的20%,則該超后將被另,?超市收購，試判斷哪一個超市將被收購，這個情況將在哪一年出現(xiàn)，試說明

理由