第10講 銳角三角函數(shù)（4大考點(diǎn)）（解析版）

第10講銳角三角函數(shù)（4大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一．銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我們把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．即sinA＝∠A的對(duì)邊除以斜邊＝．（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．即cosA＝∠A的鄰邊除以斜邊＝．（3）正切：銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．即tanA＝∠A的對(duì)邊除以∠A的鄰邊＝．（4）三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．二．同角三角函數(shù)的關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）：一個(gè)角的正切值等于這個(gè)角的正弦與余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA?cosA．三．互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系在直角三角形中，∠A+∠B＝90°時(shí)，正余弦之間的關(guān)系為：①一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；②一個(gè)角的余弦值等于這個(gè)角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．四．特殊角的三角函數(shù)值（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三角形中應(yīng)用較多．考點(diǎn)考點(diǎn)精講一．銳角三角函數(shù)的定義（共6小題）1．（2022?海曙區(qū)校級(jí)開學(xué)）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝4，則sinA＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，可得答案．【解答】解：sinA＝＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．2．（2022?長興縣模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，則cosB的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC長，再根據(jù)余弦定義可得答案．【解答】解：∵AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝＝，∴cosB＝＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)，關(guān)鍵是掌握余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．3．（2020秋?麗水期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3．（1）求BC的長；（2）求sinA的值．【分析】（1）關(guān)鍵根據(jù)勾股定理求出BC；（2）根據(jù)正弦的定義計(jì)算即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3，∴BC＝＝＝；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝，∴sinA＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理，掌握銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦是解題的關(guān)鍵．4．（2022?拱墅區(qū)模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，則sinB的值為（）A． B． C． D．2【分析】先設(shè)BC＝a，AC＝2a，利用勾股定理求出AB的長，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，∴設(shè)BC＝a，AC＝2a，∴AB＝＝＝a，∴sinB＝＝＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋?麗水期末）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，則cosB的值是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，∴cosB＝＝＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的正弦、余弦、正切是解題的關(guān)鍵．6．（2022?湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求AC的長和sinA的值．【分析】根據(jù)勾股定理求AC的長，根據(jù)正弦的定義求sinA的值．【解答】解：∵∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，sinA＝＝．答：AC的長為4，sinA的值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵．二．同角三角函數(shù)的關(guān)系（共1小題）7．（2022?海曙區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知∠A是銳角tanA＝，則sinA＝．．【分析】根據(jù)已知設(shè)∠A的對(duì)邊為a，則鄰邊為2a，然后利用勾股定理求出斜邊長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵tanA＝，∴設(shè)∠A的對(duì)邊為a，則鄰邊為2a，∴斜邊長＝＝a，∴sinA＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，同角三角函數(shù)的關(guān)系，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．三．互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系（共4小題）8．（2022?江干區(qū)校級(jí)模擬）在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tanA＝，則sinB＝（）A． B． C． D．【分析】作出草圖，根據(jù)∠A的正切值設(shè)出兩直角邊分別為k，2k，然后利用勾股定理求出斜邊，則∠B的正弦值即可求出．【解答】解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∴設(shè)AC＝2k，BC＝k，則AB＝＝k，∴sinB＝＝＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，作出草圖，利用數(shù)形結(jié)合思想更形象直觀，此類題目通常都用到勾股定理．9．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)模擬）已知＜cosA＜sin80°，則銳角A的取值范圍是（）A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°【分析】首先把所有的三角函數(shù)都化成余弦函數(shù)，然后利用余弦函數(shù)的增減性即可求解．【解答】解：∵＝cos60°，sin80°＝cos10°，∴cos60°＜cosA＜cos10°，∴10°＜A＜60°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦函數(shù)的增減性及互余三角函數(shù)之間的關(guān)系，尤其余弦函數(shù)的增減性容易出錯(cuò)．10．（2022?西湖區(qū)校級(jí)二模）已知△ABC中，∠A＝90°，tanB＝，則sinC＝．【分析】根據(jù)三角函數(shù)值的定義以及勾股定理的定義解決此題．【解答】解：如圖．∵∠A＝90°，tanB＝，∴設(shè)AC＝x，則AB＝2x．∴BC＝＝．∴sinC＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的定義、勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)的定義以及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．11．（2002?溫州自主招生）在△ABC中，（1）若∠的值；（2）若∠A＝35°，∠B＝65°，試比較cosA與sinB大小，說明理由．【分析】（1）根據(jù)∠A與∠B互余，利用互余兩角的正弦與余弦的關(guān)系：cosα＝sin（90°﹣α）即可求解；（2）根據(jù)互余兩角的正弦與余弦的關(guān)系：cosα＝sin（90°﹣α），則cosA＝cos35°＝sin55°，根據(jù)正弦函數(shù)隨角度的增大而增大，即可作出比較．【解答】解：（1）∵在直角△ABC中，∠A+∠B＝90°，∴sinB＝cosA＝；（2）∵cosA＝cos35°＝sin55°＜sin65°，∴cosA＜sinB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互余兩角的正弦與余弦的關(guān)系：cosα＝sin（90°﹣α）以及正弦函數(shù)的增減性，在解決（2）時(shí)，根據(jù)互余兩角的關(guān)系，把正弦函數(shù)與余弦函數(shù)比較大小，統(tǒng)一成同名函數(shù)比較大?。模厥饨堑娜呛瘮?shù)值（共10小題）12．（2022?蕭山區(qū)校級(jí)一模）cos45°＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得答案．【解答】解：cos45°＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解決此題的關(guān)鍵．13．（2022?甌海區(qū)校級(jí)自主招生）cos60°的值等于（）A． B．1 C． D．【分析】本題求60°角的余弦函數(shù)值，需要記?。窘獯稹拷猓骸遚os60°＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值．特殊角有30°、45°、60°，記住它們的正弦、余弦、正切值是關(guān)鍵．14．（2022?蕭山區(qū)二模）sin30°的值是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得答案．【解答】解：sin30°＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是掌握30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．15．（2022?蕭山區(qū)校級(jí)二模）若cosA＝，則銳角∠A＝60°．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案．【解答】解：∵cosA＝，∴銳角∠A＝60°．故答案為：60°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．16．（2022?金華）計(jì)算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根分別化簡，進(jìn)而計(jì)算得出答案．【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3＝1﹣2+2+3＝4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．17．（2022?拱墅區(qū)校級(jí)開學(xué)）求下列各式的值：（1）tan30°?sin30°﹣3cos60°；（2）cos245°+2sin30﹣tan60°．【分析】（1）（2）把特殊角的三角函數(shù)值代入原式，計(jì)算即可．【解答】解：（1）原式＝×﹣3×＝﹣；（2）原式＝（）2+2×﹣＝+1﹣＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．18．（2021秋?金東區(qū)期末）計(jì)算：sin30°?tan45°+sin260°﹣2cos60°．【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解．【解答】解：原式＝×1+（）2﹣2×＝+﹣1＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值．19．（2022?長興縣開學(xué)）計(jì)算tan45°的正確結(jié)果是1．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值判斷即可．【解答】解：tan45°＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．20．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)開學(xué)）求下列各式的值：（1）sin45℃os45°+4tan30°sin60°；（2）cos60°﹣2sin245°+tan260°﹣sin30°．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)而分別代入得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)而分別代入得出答案．【解答】解：（1）原式＝×+4××＝+2＝；（2）原式＝﹣2×（）2+×（）2﹣＝﹣2×+×3﹣＝﹣1+2﹣＝1．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．21．（2021秋?衢州期末）計(jì)算：2sin30°+cos45°?tan60°．【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算，即可得出結(jié)果．【解答】解：2sin30°+cos45°?tan60°＝＝1+＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·浙江余杭·二模）若sinα＝，則銳角α＝（）A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】A【分析】根據(jù)30°角的正弦值等于解答．【詳解】解：∵sinα＝，∵銳角α＝30°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，需熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答此類試題的關(guān)鍵．2．（2021·浙江婺城·三模）若∠A，∠B都是銳角，且tanA＝1，sinB＝，則△ABC不可能是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．銳角三角形 D．直角三角形【答案】C【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案．【詳解】解：∵∠A，∠B都是銳角，且tanA＝1，sinB＝，∴∠A=45°，∠B=45°．∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，∴△ABC不可能是銳角三角形故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．3．（2021·浙江·寧波市第七中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，四個(gè)全等的直角三角形紙片既可以拼成（內(nèi)角不是直角）的菱形，也可以拼成正方形，則菱形面積和正方形面積之比為（）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)直角三角形的長直角邊長為，短直角邊長為，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，從而得到，，即可解答．【詳解】解：設(shè)直角三角形的長直角邊長為，短直角邊長為，四邊形是菱形，，，，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．4．（2020·浙江衢江·九年級(jí)期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，cos∠A，則∠A等于____度（）A．30 B．45 C．60 D．70【答案】C【分析】由直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)cos∠A，即可求出∠A的度數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos∠A，∵，∴；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行解題．5．（2021·浙江浙江·九年級(jí)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作BD⊥AC于D，得到BD和AD，根據(jù)正切為對(duì)邊比鄰邊，可得答案．【詳解】解：如圖：作BD⊥AC于D，BD=3，AD=4，∴tanA==，故選B．

【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．6．（2021·浙江龍游·九年級(jí)期末）在RtABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝2，則AB等于（）A． B．4 C．4 D．6【答案】D【分析】在Rt?ABC中，，由和，可求出．【詳解】解：在Rt?ABC中，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角三角函數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．7．（2021·浙江浙江·九年級(jí)期末）如圖，將矩形紙片沿翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)G處，點(diǎn)A，D同時(shí)落在點(diǎn)H處，交于點(diǎn)O．已知，，則該矩形紙片的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，根據(jù)等腰三角形的判定可得，然后根據(jù)正切三角函數(shù)的定義可得，設(shè)，從而可得，，最后在中，利用勾股定理求出的值，從而可得的長，利用矩形的面積公式即可得．【詳解】解：四邊形是矩形，，，由翻折的性質(zhì)得：，，，在中，，設(shè)，則，，，在中，，即，解得或（舍去），，則該矩形紙片的面積為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊問題、勾股定理、正切三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題8．（2021·浙江·東陽市橫店鎮(zhèn)第二初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝24，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接DE，將△DEC沿DE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連接FB，則cos∠FBE＝_______．【答案】【分析】過點(diǎn)E作EH⊥BF于H，在Rt△ECD中，由勾股定理求得DE＝20，由翻折知CE＝EF＝BE，∠CED＝∠DEF，可證∠HED＝90°，從而∠CED＝∠HBE，即可求出答案．【詳解】解：過點(diǎn)E作EH⊥BF于H，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝BC＝12，四邊形是矩形，，在Rt△ECD中，由勾股定理得：DE＝＝20，∵將△DEC沿DE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，∴CE＝EF＝BE，∠CED＝∠DEF，∵EH⊥BF，∴∠BEH＝∠FEH，∴∠HED＝∠BEC＝90°，∴∠BEH+∠CED＝90°，∠BEH+∠HBE＝90°，∴∠CED＝∠HBE，∴cos∠HBE＝cos∠CED＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，正確的作出輔助線，轉(zhuǎn)換角度，證明∠CED＝∠HBE是解題的關(guān)鍵．9．（2021·浙江·寧波市海曙外國語學(xué)校九年級(jí)期中）已知在直角三角形中，為直角，，，則___．【答案】【分析】先根據(jù)正切得出BC，再根據(jù)勾股定理求得AB．【詳解】解：∵為直角，，，∴，解得，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，勾股定理．能根據(jù)正切得出BC是解題關(guān)鍵．10．（2021·浙江·寧波市第七中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，已知直線y＝k1x與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后，點(diǎn)B落在點(diǎn)C處，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)C，則的值為______．【答案】【分析】連接OC、BC，作BM⊥x軸于M，CN⊥x軸于N，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABC是等邊三角形，根據(jù)反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的對(duì)稱性得出OA=OB，即可得出CO⊥AB，證得△BOM∽△OCN，得到，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求解．【詳解】解：連接OC、BC，作BM⊥x軸于M，CN⊥x軸于N，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∵直線y=k1x與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，∴OA=OB，∴CO⊥AB，∠BCO=∠ACB=30°，∴，∵∠BOC=90°，∴∠BOM+∠CON=90°，∵∠BOM+∠MBO=90°，∴∠CON=∠MBO，∵∠BMO=∠ONC=90°，∴△BOM∽△OCN，∴∵S△BOM=，S△CON=，∴，即，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的對(duì)稱性，三角形相似的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，證得是解題的關(guān)鍵．11．（2021·浙江·寧波市海曙外國語學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，連接并延長至，連接，若滿足，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為___．【答案】【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，利用，得出，利用勾股定理解得，從而可知的長，進(jìn)而可知的值，由，設(shè)，，的值列出關(guān)于的方程，解得的值，則可得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：，，即，，，，，，，，，，由勾股定理可得：，即，解得：，．．如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，設(shè)，，，，，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．點(diǎn)坐標(biāo)為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理在計(jì)算中的應(yīng)用及解分式方程等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．12．（2021·浙江柯橋·九年級(jí)月考）如圖，已知一個(gè)邊長為1的正六邊形，邊在軸上，點(diǎn)在軸上，反比例函數(shù)（，）的圖像經(jīng)過該正六邊形其中一個(gè)頂點(diǎn)，并與正六邊形另一邊相交，則該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為________．【答案】1和【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值分別求得A(，)，E(，)，D(，)，分反比例函數(shù)(，)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)E兩種情況求解即可．【詳解】解：∵正六邊形ABCDEF的邊長為1，∴AB=BC=CD=DE=1，∠BCD=∠CDE=120°，則∠BCO=∠EDG=60°，∴OC=DG=BC=DE=，EG=BO=BC，∴AC=2BO=，OG=OC+CD+DG=2，∴A(，)，E(，)，D(，)，根據(jù)題意，反比例函數(shù)(，)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A或點(diǎn)E才可能與正六邊形另一邊相交，當(dāng)反比例函數(shù)(，)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(，)時(shí)，，∴反比例函數(shù)的解析式為，設(shè)直線DE的解析式為，則，解得：，∴直線DE的解析式為，解方程，整理得：，得：(負(fù)值舍去)，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根，∴該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；當(dāng)反比例函數(shù)(，)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E(，)時(shí)，，∴反比例函數(shù)的解析式為，直線AF的解析式為，∴解方程，得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根，∴該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；綜上，該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．三、解答題13．（2021·浙江龍游·九年級(jí)期末）計(jì)算：sin30°+cos60°﹣tan45°?tan60°．【答案】【分析】根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)完成即可．【詳解】sin30°+cos60°﹣tan45°?tan60°【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是熟記這些特殊角的三角函數(shù)值．14．（2021·浙江·金華市第五中學(xué)九年級(jí)月考）計(jì)算：|﹣2|﹣4sin45°+．【答案】-1【分析】先算銳角三角函數(shù)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和二次根式，再算加減法，即可．【詳解】解：原式=2﹣4×+=2-+=-1．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握銳角三角函數(shù)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和二次根式的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．15．（2021·浙江·寧波市海曙外國語學(xué)校九年級(jí)期中）計(jì)算：．【答案】【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值．16．（2021·浙江衢江·九年級(jí)期末）閱讀材料：關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）．利用這些公式可以將兩角和的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角函數(shù)值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）2．問題解決：根據(jù)以上閱讀材料，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)墓浇獯鹣铝袉栴}（1）求sin75°；（2）如圖，邊長為2的正ABC沿直線滾動(dòng)設(shè)當(dāng)ABC滾動(dòng)240°時(shí)，C點(diǎn)的位置在，當(dāng)ABC滾動(dòng)480°時(shí)，A點(diǎn)的位置在．①求tan∠的值；②試確定的度數(shù)．【答案】（1）；（2）①，②【分析】（1）將拆成，再根據(jù)公式求解即可；（2）①根據(jù)題意，過點(diǎn)作于，過作于，過作于，求得，，進(jìn)而根據(jù)正切的定義求解即可；②根據(jù)①的結(jié)論以及tan（α+β）進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求得的度數(shù)．【詳解】（1）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ（2）過點(diǎn)作于，過作于，過作于，如圖是等邊三角形，②tan（α+β）【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)值，正切的定義，理解題意掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．17．（2020·浙江衢江·九年級(jí)期末）如圖是由邊長為1的正方形組成的2×7網(wǎng)格，正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，端點(diǎn)在格點(diǎn)的線段叫做格點(diǎn)線段．（1）在下圖中畫出格點(diǎn)線段AB和AC使AB＝5，AC＝2；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，畫出格點(diǎn)線段AD，使AD平分∠BAC，并證明畫法正確；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，求tan∠BAD．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）【分析】（1）依據(jù)勾股定理即可得出點(diǎn)B，C的位置；（2）依據(jù)相似三角形的判定，即可得到格點(diǎn)D的位置；（3）連接EB，可得△EDB∽△DAB，可得∠EDB=∠DAB，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）AC，AB即為所作（2）AD即為所作證明：連接BD，由題意得：，，，∵∴△CAD∽△DAB，∴∠CAD=∠DAB,∴AD平分∠BAC．（3）如圖，連接EB，同理可得∴△EDB∽△DAB∴∠EDB=∠DAB，在Rt△EDB中tan∠EDB=∴tan∠BAD=tan∠EDB=．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．18．（2020·浙江·衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán)）九年級(jí)期末）定義：若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其頂點(diǎn)與這兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．（1）已知一條拋物線是“美麗拋物線”，且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（1，0）、（5，0），則此拋物線的頂點(diǎn)為；（2）若拋物線y＝x2﹣bx（b＞0）是“美麗拋物線”，求b的值；（3）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c是“美麗拋物線”，此拋物線頂點(diǎn)為B（1，2），與軸交與A，C，AB與y軸交于點(diǎn)D，連接OB，在拋物線找一點(diǎn)Q，使得∠QCA＝∠ABO，求Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】（1）（3，2）或（3，-2）（2）；（3）或【分析】（1）先求出拋物線的對(duì)稱軸為，然后根據(jù)“美麗拋物線的”定義求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解即可；（2）先求出拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)“美麗拋物線的”定義求解即可.（3）過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，過點(diǎn)O作OM⊥AB于M，先求出A（-1，0），C（3，0），然后求出拋物線解析式，然后求出，即可得到，即，設(shè)Q（m，），則，然后解方程求解即可得到答案.【詳解】解：（1）∵拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（1，0）、（5，0），∴拋物線的對(duì)稱軸為，∴由“美麗拋物線的”定義可知，拋物的頂點(diǎn)到x軸的距離∴拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）或（3，-2），（2）∵拋物線的解析式為，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（b，0），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）∴由“美麗拋物線的”定義可知∴解得；∵，∴；（3）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，過點(diǎn)O作OM⊥AB于M，由題意得△ABC為等腰直角三角形，AB=BC，∠ABC=90°，∴AE=CE=BE，∵B（1，2），∴AE=CE=BE=2，OE=1，∴AO=1，OC=3，∴A（-1，0），C（3，0）∴拋物線解析式為，把B（1，2）代入拋物線解析式得，解得,∴拋物線解析式為∵，，，∴，∴∴，∴，設(shè)Q（m，），∴，∴，∴∴，∴，解得（舍去）或或，∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的解析式，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.19．（2021·浙江平陽·九年級(jí)期中）如圖，在中，D為的中點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，且．（1）求證：．（2）若，，求線段的長．【答案】（1）見解析；（2）4【分析】（1）根據(jù)HL即可證明；（2）先證明是等邊三角形，，再解直角三角形即可求得AB的長度．【詳解】（1）證明：∵，∴∵D為的中點(diǎn)∴在和中∴（）（2）解：∵∴∵∴∴是等邊三角形即，∵，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．20．（2021·浙江·金華市金東區(qū)傅村鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）已知邊長為8的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形，點(diǎn)在線段上，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，，，設(shè)的長為，四邊形的面積記為．（1）求，的長（分別用含的代數(shù)式表示）；（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）求四邊形面積的最大值．【答案】（1）；（2）y=-12x2【分析】（1）如圖，延長交于證明四邊形四邊形為矩形，可求解再由求解可求解從而可得答案；（2）由四邊形為矩形，再利用矩形的面積公式可得函數(shù)關(guān)系式，由點(diǎn)在線段上，可得的范圍；（3）先求解拋物線的對(duì)稱軸為：，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.【詳解】解：（1）如圖，延長交于，，正方形，∴∠B=四邊形四邊形為矩形，∴PQ=BR=x,PG=CR,PR=QB=GC,?PG=CR=8?tan?GE=?PR=CG=CE+GE=CD（2）四邊形為矩形，?y=PQ點(diǎn)在線段上，?4=（3）拋物線的對(duì)稱軸為：x=-10而函數(shù)圖象開口向下，所以當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，?4當(dāng)最大，此時(shí)【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，列二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大面積，掌握“利用銳角三角函數(shù)尋求直角三角形兩邊之間的關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大值”是解題的關(guān)鍵.21．（2021·浙江東陽·一模）如圖，在正方形中，點(diǎn)G在直線上，連結(jié)，作于點(diǎn)于