6.3正方形的性質(zhì)與判定 同步測試題 魯教版（五四制）八年級數(shù)學(xué)下冊

魯教版八年級數(shù)學(xué)下冊《6-3正方形的性質(zhì)與判定》同步測試題（附答案）一．選擇題（共10小題，滿分40分）1．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，CE，DF交于點(diǎn)G，連接AG．下列結(jié)論：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，則BF的長是（）A．1 B． C． D．23．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，則AF的長是（）A． B． C． D．4．如圖，P為AB上任意一點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF，設(shè)∠CBE＝α，則∠AFP為（）A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α5．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E為對角線AC上與A，C不重合的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥BC于點(diǎn)G，連接DE，F(xiàn)G，下列結(jié)論：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值為3．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．如圖，已知F、E分別是正方形ABCD的邊AB與BC的中點(diǎn)，AE與DF交于P．則下列結(jié)論成立的是（）A．BE＝AE B．PC＝PD C．∠EAF+∠AFD＝90° D．PE＝EC7．如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，M是邊AD上一點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥OM，交CD于點(diǎn)N．若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為（）A．1 B． C．2 D．28．如圖，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD的對角線BD上，點(diǎn)M，N分別在AB和CD邊上，MN與BD交于點(diǎn)O，且點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)，則∠AMP的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．75° D．80°9．一個四邊形順次添加下列條件中的三個條件便得到正方形：a．兩組對邊分別相等b．一組對邊平行且相等c．一組鄰邊相等d．一個角是直角順次添加的條件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c則正確的是（）A．僅① B．僅③ C．①② D．②③10．如圖，點(diǎn)E、F在矩形ABCD的對角線BD所在的直線上，BE＝DF，則四邊形AECF是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形二．填空題（共9小題，滿分36分）11．如圖，BD是正方形ABCD的一條對角線，E是BD上一點(diǎn)，F(xiàn)是CB延長線上一點(diǎn)，連接CE，EF，AF．若DE＝DC，EF＝EC，則∠BAF的度數(shù)為．12．如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的動點(diǎn)，滿足AE＝BF，連接CE、DF，相交于點(diǎn)G，連接AG，若正方形的邊長為2．則線段AG的最小值為．13．如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接DE，AE，CE，過點(diǎn)D作DE的垂線交AE于點(diǎn)P，若DE＝DP＝1，PC＝．下列結(jié)論：①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③點(diǎn)C到直線DE的距離為；④S正方形ABCD＝5+2，其中正確結(jié)論的序號為．14．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，BC＝3BE且BE＝CF，AE⊥BF，垂足為G，O是對角線BD的中點(diǎn)，連接OG，則OG的長為．15．在邊長為4的正方形ABCD中，連接對角線AC、BD，點(diǎn)P是正方形邊上或?qū)蔷€上的一點(diǎn)，若PB＝3PC，則PC＝．16．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O是對角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OD上，連接AP并延長交CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥AP交BC于點(diǎn)F，連接AF、EF，AF交BD于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③PB﹣PD＝BF；④S△AEF為定值；⑤S四邊形PEFG＝S△APG．以上結(jié)論正確的有（填入正確的序號即可）．17．如圖，正方形ABCD的邊長為4，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD的延長線上，且CE＝2，DF＝1，G為EF的中點(diǎn)，連接OE，交CD于點(diǎn)H，連接GH，則GH的長為．18．已知△ABC的三個頂點(diǎn)都是同一個正方形的頂點(diǎn)，∠ABC的平分線與線段AC交于點(diǎn)D．若△ABC的一條邊長為6，則點(diǎn)D到直線AB的距離為．19．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件，使矩形ABCD是正方形．三．解答題（共6小題，滿分44分）20．如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，過點(diǎn)F做FG⊥BC于點(diǎn)G，連接AC．易證：AC＝（EC+FG）．（提示：取AB的中點(diǎn)M，連接EM）（1）當(dāng)點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)時，如圖2；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時，如圖3．請直接寫出AC，EC，F(xiàn)G的數(shù)量關(guān)系，并對圖2進(jìn)行證明；（2）已知正方形ABCD的面積是27，連接AF，當(dāng)△ABE中有一個內(nèi)角為30°時，則AF的長為．21．已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊DA的延長線上，連接CE交AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BM⊥CE，垂足為點(diǎn)M，BM的延長線交AD于點(diǎn)F，交CD的延長線于點(diǎn)H．（1）如圖1，求證：CE＝BH；（2）如圖2，若AE＝AB，連接CF，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的四個三角形（△AEG除外），使寫出的每個三角形都與△AEG全等．22．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)為邊AB上的兩個三等分點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于DE的對稱點(diǎn)為A′，AA′的延長線交BC于點(diǎn)G．（1）求證：DE∥A′F；（2）求∠GA′B的大??；（3）求證：A′C＝2A′B．23．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點(diǎn)，且AE＝CF．連接DE，DF，BE，BF．（1）證明：△ADE≌△CBF．（2）若AB＝4，AE＝2，求四邊形BEDF的周長．24．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，連接EF，EF與AD相交于點(diǎn)H．（1）求證：AD⊥EF；（2）△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形？說明理由．25．如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，HA＝EB＝FC＝GD，連接EG，F(xiàn)H，交點(diǎn)為O．（1）如圖2，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）將正方形ABCD沿線段EG，HF剪開，再把得到的四個四邊形按圖3的方式拼接成一個四邊形．若正方形ABCD的邊長為3cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1cm，則圖3中陰影部分的面積為cm2．

參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分40分）1．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴BE＝AB，CF＝BC，∴BE＝CF，在△CBE與△DCF中，，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正確；∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故②正確；∴∠EGD＝90°，延長CE交DA的延長線于H，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，∴△AEH≌△BEC（AAS），∴BC＝AH＝AD，∵AG是斜邊的中線，∴AG＝DH＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠AGE＝∠CDF．故③正確；故選：D．2．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠FBC＝∠DCE＝90°，CD＝BC＝3，Rt△DCE中，∠CDE＝30°，∴CE＝DE，設(shè)CE＝x，則DE＝2x，根據(jù)勾股定理得：DC2+CE2＝DE2，即32+x2＝（2x）2，解得：x＝±（負(fù)值舍去），∴CE＝，∵DE⊥CF，∴∠DOC＝90°，∴∠DCO＝60°，∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°＝∠CDE，∵∠DCE＝∠CBF，CD＝BC，∴△DCE≌△CBF（ASA），∴BF＝CE＝．故選：C．3．解：過F作AB的垂線交AB于N，交CD于M，如圖，∵ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠BNM＝90°，AB＝BC＝CD＝4，∴四邊形CMNB為矩形，∴MN＝BC＝4，CM＝BN，∵BF⊥EF，∴∠EFB＝∠FNB＝90°，∴∠FBN+∠NFB＝∠NFB+∠EFM，∴∠FBN＝∠EFM，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACD＝45°，∴∠MFC＝∠MCF＝45°，∴MF＝MC＝NB，在△MEF與△NFB中，，∴△MFE≌△NBF（ASA），∴ME＝FN，設(shè)ME＝FN＝x，則MC＝MF＝BN＝1+x，∵M(jìn)N＝MF+FN＝4，∴1+x+x＝4，∴x＝，∴FN＝，∵四邊形ABCD為正方形，MN⊥AB，∴∠NAF＝∠NFA＝45°，∴FN＝AN，∴AF＝＝FN＝，故選：B．4．解：∵四邊形PBEF為正方形，∴∠PBE＝90°，∵∠CBE＝α，∴∠PBC＝90°﹣α，∵四邊形APCD、PBEF是正方形，∴AP＝CP，∠APF＝∠CPB＝90°，PF＝PB，在△APF和△CPB中，，∴△APF≌△CPB（SAS），∴∠AFP＝∠PBC＝90°﹣α．故選：B．5．解：①連接BE，交FG于點(diǎn)O，如圖，∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝90°．∵∠ABC＝90°，∴四邊形EFBG為矩形．∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴BE＝DE．∴DE＝FG．∴①正確；②延長DE，交FG于M，交FB于點(diǎn)H，∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE．由①知：OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE．∴∠OFB＝∠ADE．∵∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠AHD＝90°．∴∠OFB+∠AHD＝90°．即：∠FMH＝90°，∴DE⊥FG．∴②正確；③由②知：∠OFB＝∠ADE．即：∠BFG＝∠ADE．∴③正確；④∵點(diǎn)E為AC上一動點(diǎn)，∴根據(jù)垂線段最短，當(dāng)DE⊥AC時，DE最?。逜D＝CD＝4，∠ADC＝90°，∴AC＝．∴DE＝AC＝2．由①知：FG＝DE，∴FG的最小值為2，∴④錯誤．綜上，正確的結(jié)論為：①②③．故選：C．6．解：∵F、E分別是正方形ABCD的邊AB與BC的中點(diǎn)，∴AF＝BE，在△AFD和△BEA中，，∴△AFD≌△BEA（SAS），∴∠FDA＝∠EAB，又∵∠FDA+∠AFD＝90°，∴∠EAB+∠AFD＝90°，即∠EAF+∠AFD＝90°，故C正確，A、B、D無法證明其成立，故選：C．7．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠DON+∠CON＝90°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∴∠DON+∠DOM＝90°，∴∠DOM＝∠CON，在△DOM和△CON中，，∴△DOM≌△CON（ASA），∵四邊形MOND的面積是1，四邊形MOND的面積＝△DOM的面積+△DON的面積，∴四邊形MOND的面積＝△CON的面積+△DON的面積＝△DOC的面積，∴△DOC的面積是1，∴正方形ABCD的面積是4，∴AB2＝4，∴AB＝2，故選：C．8．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，在Rt△PMN中，∠MPN＝90°，∵O為MN的中點(diǎn)，∴OP＝，∵∠PMN＝30°，∴∠MPO＝30°，∴∠AMP＝∠MPO+∠MBP＝30°+45°＝75°，故選：C．9．解：①由a得到兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，添加c即一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，再添加d即一個角是直角的菱形是正方形，故①正確；②由b得到一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，添加d即有一個角是直角的平行四邊形是矩形，再添加c即一組鄰邊相等的矩形是正方形，故②正確；③由a得到兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，添加b得到一組對邊平行且相等的平行四邊形仍是平行四邊形，再添加c即一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，不能得到四邊形是正方形，故③不正確；故選：C．10．解：A．∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，故本選項(xiàng)符合題意；B．∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴AC≠EF，∴四邊形AECF不是矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∵四邊形ABCD是矩形，∴不能證明AC⊥BD，∴不能證明AC⊥EF，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴AC≠EF，∴四邊形AECF不是正方形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．二．填空題（共9小題，滿分36分）11．解：如右圖，連接AE，∵BD為正方形ABCD的對角線，∴∠BDC＝45°，∵DE＝DC＝AD，∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，∵∠DCB＝90°，∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，∵EF＝EC，∴∠FEC＝180°﹣∠EFC﹣∠ECF＝180°﹣22.5°﹣22.5°＝135°，∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，∴∠BEF＝135°﹣112.5°＝22.5°，∵AD＝DE，∠ADE＝45°，∴∠AED＝＝67.5°，∴∠BEF+∠AED＝22.5°+67.5°＝90°，∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，在△ADE和△EDC中，，∴△ADE≌△EDC（SAS），∴AE＝EC，∴AE＝EF，即△AEF為等腰直角三角形，∴∠AFE＝45°，∴∠AFB＝∠AFE+∠BFE＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠ABF＝90°，∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝90°﹣67.5°＝22.5°，故答案為：22.5°．12．解：如圖1，取CD的中點(diǎn)H，連接GH，在正方形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝∠DCF＝90°，∵AE＝BF，∴BE＝CF，在△DCF和△CBE中，，∴△DCF≌△CBE（SAS），∴∠CDF＝∠BCE，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∴∠CDF+∠DCE＝90°，∴∠CGD＝90°，∴點(diǎn)G在以DC為直徑的圓上，如圖2，連接AC，BD交于點(diǎn)O，取DC的中點(diǎn)H，由勾股定理得：AC＝＝2，∵E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的動點(diǎn)，∴點(diǎn)G在以H為圓心，CH為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)G與O重合時，AG最小，此時AG＝AO＝AC＝，即AG的最小值＝．故答案為：；13．解：①∵DP⊥DE，∴∠PDE＝90°．∴∠PDC+∠CDE＝90°，∵在正方形ABCD中，∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝90°，AD＝CD，∴∠CDE＝∠ADP．在△APD和△CED中，，∴△APD≌△CED（SAS），故①正確；②∵△APD≌△CED，∴∠APD＝∠CED，又∵∠APD＝∠PDE+∠DEP，∠CED＝∠CEA+∠DEP，∴∠PDE＝∠CEA＝90°．即AE⊥CE，故②正確；③過點(diǎn)C作CF⊥DE的延長線于點(diǎn)F，如圖，∵DE＝DP，∠PDE＝90°，∴∠DPE＝∠DEP＝45°．又∵∠CEA＝90°，∴∠CEF＝∠FCE＝45°．∵DP＝DE＝1，∴PE＝＝．∴CE＝＝＝2，∴CF＝EF＝＝，即點(diǎn)C到直線DE的距離為，故③錯誤；④∵CF＝EF＝，DE＝1，在Rt△CDF中，CD2＝CF2+DF2＝＝2+3+＝，∴S正方形ABCD＝，故④正確．綜上所述，正確結(jié)論的序號為①②④，故答案為：①②④．14．解：以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，邊長為6，∴AB＝BC＝6，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵BC＝3BE，BE＝CF，∴BE＝CF＝2，∴E（2，0），F(xiàn)（6，2），A（0，6），D（6，6），設(shè)直線AE解析式為y＝ax+b，則，解得，∴直線AE解析式為y＝﹣3x+6，設(shè)直線BF解析式為y＝cx，則2＝6c，解得c＝，∴直線BF解析式為y＝x，由得，∴G（，），∵O為BD中點(diǎn)，∴O（3，3），∴OG＝＝，故答案為：．補(bǔ)充方法一：過B作BH⊥OG于G，連接OA，如圖：∵邊長為6的正方形ABCD，BC＝3BE，∴BE＝2，AE＝＝2，由面積法可得BG＝＝，由O是正方形對角線BD中點(diǎn)知：∠AOB＝90°，OB＝BD＝3，而∠AGB＝90°，∴A、B、G、O四點(diǎn)共圓，∴∠ABO＝∠AGO＝45°，∴∠BGH＝45°，∴△BGH是等腰直角三角形，∴BH＝GH＝＝，在Rt△BOH中，OH＝＝，∴OG＝OH﹣GH＝＝．補(bǔ)充方法二：連接AC，如圖：由O是正方形對角線BD中點(diǎn)知：∠AOB＝90°，而∠AGB＝90°，∴A、B、G、O四點(diǎn)共圓，∴∠ABO＝∠AGO＝45°＝∠ACE，又∠GAO＝∠CAE，在Rt△ABE中，AE＝＝2，而CE＝BC＝4，OA＝＝3，∴＝，∴OG＝．15．解：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，AB＝4，∴AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，∴OB＝2，∵PB＝3PC，∴設(shè)PC＝x，則PB＝3x，有三種情況：①點(diǎn)P在BC上時，如圖2，∵AD＝4，PB＝3PC，∴PC＝1；②點(diǎn)P在AC上時，如圖3，在Rt△BPO中，由勾股定理得：BP2＝BO2+OP2，（3x）2＝（2）2+（2﹣x）2，解得：x＝（負(fù)數(shù)舍去），即PC＝；③點(diǎn)P在CD上時，如圖4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC2+PC2＝BP2，42+x2＝（3x）2，解得：x＝（負(fù)數(shù)舍去），即PC＝；綜上，PC的長是1或或．故答案為：1或或．16．解：取AF的中點(diǎn)T，連接PT，BT．∵AP⊥PF，四邊形ABCD是正方形，∴∠ABF＝∠APF＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∵AT＝TF，∴BT＝AT＝TF＝PT，∴A，B，F(xiàn)，P四點(diǎn)共圓，∴∠PAF＝∠PBF＝45°，∴∠PAF＝∠PFA＝45°，∴PA＝PF，故①正確，將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM，∵∠ADE＝∠ABM＝90°，∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠ABM＝180°，∴C，B，M共線，∵∠EAF＝45°，∴∠MAF＝∠FAB+∠BAM＝∠FAB+∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠FAM，在△FAM和△FAE中，，∴△FAM≌△FAE（SAS），∴FM＝EF，∵FM＝BF+BM＝BF+DE，∴EF＝DE+BF，故②正確，連接PC，過點(diǎn)P作PQ⊥CF于Q，過點(diǎn)P作PW⊥CD于W，則四邊形PQCW是矩形，在△PBA和PCB中，，∴△PBA≌△PBC（SAS），∴PA＝PC，∵PF＝PA，∴PF＝PC，∵PQ⊥CF，∴FQ＝QC，∵PB＝BQ，PD＝PW＝CQ＝FQ，∴PB﹣PD＝（BQ﹣FQ）＝BF，故③正確，∵△AEF≌△AMF，∴S△AEF＝S△AMF＝FM?AB，∵FM的長度是變化的，∴△AEF的面積不是定值，故④錯誤，∵A，B，F(xiàn)，P四點(diǎn)共圓，∴∠APG＝∠AFB，∵△AFE≌△AFM，∴∠AFE＝∠AFB，∴∠APG＝∠AFE，∵∠PAG＝∠EAF，∴＝（）2＝（）2＝，∴S四邊形PEFG＝S△APG，故⑤正確，故答案為：①②③⑤．17．解：以O(shè)為原點(diǎn)，垂直AB的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖：∵正方形ABCD的邊長為4，CE＝2，DF＝1，∴E（4，﹣2），F(xiàn)（2，3），∵G為EF的中點(diǎn)，∴G（3，），設(shè)直線OE解析式為y＝kx，將E（4，﹣2）代入得：﹣2＝4k，解得k＝﹣，∴直線OE解析式為y＝﹣x，令x＝2得y＝﹣1，∴H（2，﹣1），∴GH＝＝，方法二：如下圖，連接OF，過點(diǎn)O作OM⊥CD交CD于M，∵O為正方形對角線AC和BD的交點(diǎn)，∴OM＝CM＝DM＝CE＝2，易證△OHM≌△EHC，∴點(diǎn)H、點(diǎn)G分別為OE、FE的中點(diǎn)，∴GH為△OEF的中位線，∴GH＝OF，在Rt△OMF中，由勾股定理可得OF＝＝＝，∴GH＝OF＝，故答案為：．18．解：①當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時，過D作DH⊥AB于H，如圖：∵△ABC的三個頂點(diǎn)都是同一個正方形的頂點(diǎn)，∠ABC的平分線與線段AC交于點(diǎn)D，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABD＝∠ADH＝45°，AD＝CD＝AC，∴△AHD和△BHD是等腰直角三角形，∴AH＝DH＝BH，∴DH＝BC，若AC＝6，則BC＝3，此時DH＝，即點(diǎn)D到直線AB的距離為；若AB＝BC＝6，則DH＝BC＝3，即點(diǎn)D到直線AB的距離為3；②當(dāng)B不是直角頂點(diǎn)時，過D作DH⊥BC于H，如圖：∵△ABC的三個頂點(diǎn)都是同一個正方形的頂點(diǎn)，∠ABC的平分線與線段AC交于點(diǎn)D，∴△CDH是等腰直角三角形，AD＝DH＝CH，在△ABD和△HBD中，，∴△ABD≌△HBD（AAS），∴AB＝BH，若AB＝AC＝6時，BH＝6，BC＝＝6，∴CH＝BC﹣BH＝6﹣6，∴AD＝6﹣6，即此時點(diǎn)D到直線AB的距離為6﹣6；若BC＝6，則AB＝3，∴BH＝3，∴CH＝6﹣3，∴AD＝6﹣3，即此時點(diǎn)D到直線AB的距離為6﹣3；綜上所述，點(diǎn)D到直線AB的距離為或3或6﹣6或6﹣3．故答案為：或3或6﹣6或6﹣3．19．解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．理由：∵四邊形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是正方形．或∵四邊形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是正方形，故答案為：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．三．解答題（共6小題，滿分44分）20．解：（1）如圖2中，結(jié)論：AC＝（FG+EC）．理由：在AB上截取BM＝BE，連接EM，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC，∴∠DCG＝90°，∠EAM+∠AEB＝90°，∵BM＝BE，∴AB﹣BM＝BC﹣BE，∠BME＝∠BEM＝45°，∴AM＝EC，∠AME＝135°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCG＝45°，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF，∵∠AEF＝90°，∴∠FEC+∠AEB＝90°，∴∠EAM＝∠FEC，∴在△AEM和△EFC中，，∴△AEM≌△EFC（ASA），∴EM＝CF，∵EM＝BE，CF＝FG，∴BE＝FG，∵AC＝BC＝（BE+EC），∴AC＝（FG+EC）．如圖3中，結(jié)論：AC＝（FG﹣EC）．（2）如圖1中，當(dāng)∠BAE＝30°時，∵正方形的面積為27，∴AB＝3，∠B＝90°，∴BE＝3×＝3，∴AE＝2BE＝6，∵△AEM≌△EFC∴AE＝EF＝6，∴AF＝6，如圖3中，當(dāng)∠AEB＝30°時，同法可得AE＝EF＝2AB＝6，∴AF＝AE＝6，綜上所述，AF的長為6或6．21．證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AD＝AB，∠BCD＝∠ADC＝90°，∵BM⊥CE，∴∠HMC＝∠ADC＝90°，∴∠H+∠HCM＝90°＝∠E+∠ECD，∴∠H＝∠E，在△EDC和△HCB中，，∴△EDC≌△HCB（AAS），∴CE＝BH；（2）△BCG，△DCF，△DHF，△ABF，理由如下：∵AE＝AB，∴AE＝BC＝AD＝CD，∵△EDC≌△HCB，∴ED＝HC，∵AD＝CD，∴AE＝HD＝BC＝AB，在△AEG和△BCG中，，∴△AEG≌△BCG（AAS），∴AG＝BG＝AB，同理可證△AFB≌△DFH，∴AF＝DF＝AD，∴AG＝AF＝DF，在△AEG和△ABF中，，∴△AEG≌△ABF（SAS），同理可證△AEG≌△DHF，△AEG≌△DCF．22．證明：（1）如圖，設(shè)AG與DE的交點(diǎn)為O，連接GF，∵點(diǎn)A關(guān)于DE的對稱點(diǎn)為A′，∴AO＝A'O，AA'⊥DE，∵E，F(xiàn)為邊AB上的兩個三等分點(diǎn)，∴AE＝EF＝BF，∴OE是△AA'F的中位線，∴DE∥A'F；（2）∵AA'⊥DE，∴∠AOE＝90°＝∠DAE＝∠ABG，