山西省呂梁市大聯(lián)考2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(含解析)

2023－2024學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)與評(píng)價(jià)九年級(jí)數(shù)學(xué)（本試題滿分120分，考試時(shí)間120分鐘）第Ⅰ卷

選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母標(biāo)號(hào)在答題卡相應(yīng)位置涂黑．1．年月，河南智慧交通產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)舉辦，旨在助推交通產(chǎn)業(yè)高質(zhì)量發(fā)展，謀劃新時(shí)代智慧交通新格局．下列“智慧交通”的首字母中，是中心對(duì)稱圖形的共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．用配方法解方程時(shí)，原方程應(yīng)變形為（

）A． B． C． D．3．如圖，點(diǎn)O是的外接圓的圓心，若，則（

）A． B． C． D．4．2023年10月8日，杭州亞運(yùn)會(huì)圓滿閉幕．杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物是三個(gè)小可愛(ài)，分別是琮琮、宸宸和蓮蓮將三張正面分別印有“宸宸”，“琮琮”和“蓮蓮”3個(gè)吉祥物圖案的卡片（卡片的形狀，大小質(zhì)地均相同）背面朝上，洗勻，若從中任意抽取1張，抽得卡片上的圖案恰好為“蓮蓮”的概率是（

）A． B． C． D．5．設(shè)，，是拋物線上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．6．如圖，已知點(diǎn)為反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，若的面積為3，則的值為（

）A．3 B．-3 C．6 D．-67．關(guān)于二次函數(shù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．圖象的開(kāi)口方向向上B．函數(shù)的最小值為C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小D．圖象可由拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到8．海河是河北省一大河流，是我國(guó)七大河流之一．某市圖書館2021年年底海河研究相關(guān)文獻(xiàn)館存數(shù)量為2萬(wàn)份，到2023年年底相關(guān)文獻(xiàn)館存數(shù)量為2.42萬(wàn)份，設(shè)海河研究相關(guān)文獻(xiàn)館存年均增長(zhǎng)率為．根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B．C． D．9．如圖，在平行四邊形中，E是上的3等分點(diǎn)，交于點(diǎn)F，則與的面積比為（

）A． B． C． D．10．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可能是（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷

非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）11．將拋物線先向右平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，則所得拋物線的解析式為．12．已知m是方程的一個(gè)根，則的值為．13．如圖，在中，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上，則的大小為．14．如圖，在中，是的直徑，是的弦，且，垂足為點(diǎn)，若，，則．15．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,是直角三角形,,其直角頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上,點(diǎn)在反比例函數(shù))的圖象上,與y軸交于點(diǎn)D,且x軸,若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,則k的值為．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟．16．解方程：(1)；(2)．17．為提高學(xué)生的反詐意識(shí)，某學(xué)校組織學(xué)生參加了“反詐知識(shí)答題”活動(dòng)．該校隨機(jī)抽取部分學(xué)生答題成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將成績(jī)分為四個(gè)等級(jí)：A（不合格），B（一般），C（良好），D（優(yōu)秀），并根據(jù)結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中所給信息解答下列問(wèn)題：(1)這次抽樣調(diào)查共抽取______人，其中成績(jī)?yōu)橐话愕膶W(xué)生人數(shù)______人；(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；(3)學(xué)校要從答題成績(jī)?yōu)镈的甲、乙、丙、丁四名學(xué)生中，隨機(jī)抽出兩名學(xué)生去參加市里組織的“反詐小達(dá)人”比賽，請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法，求抽出的兩名學(xué)生恰好是甲和乙的概率．18．如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)直接寫出不等式的解集；(3)若為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，的面積為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．19．如圖，已知在等腰中，，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別在邊和邊上，連接、，且．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．20．閱讀與思考【材料1】若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可因式分解為．令可以得到該方程的兩個(gè)解為，，則我們也可以得到關(guān)于的方程的兩個(gè)解也為，，那么我們稱這兩個(gè)解為“共生根”，由得到兩“共生根”與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系為：，．【材料2】已知實(shí)數(shù)，滿足，，且．根據(jù)材料求的值．解：由題知，是方程的兩個(gè)不相等的“共生根”，根據(jù)材料1得，，．【解決以下問(wèn)題】(1)方程的兩“共生根”為，，則，；(2)已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值．21．如圖，為的直徑，點(diǎn)D為圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作的切線交直徑的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)O作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑長(zhǎng)．22．綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】如圖1，正方形中，點(diǎn)E為其內(nèi)一點(diǎn)，以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，以為斜邊構(gòu)造直角三角形，使得，將繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C），延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接．【解決問(wèn)題】請(qǐng)根據(jù)圖1完成下列問(wèn)題：（1）若，則∠=度；（2）試判斷四邊形的形狀，并給予證明；【拓展探究】（3）如圖2，若，請(qǐng)寫出線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．23．綜合與探究如圖，拋物線的圖象與軸相交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸相交于點(diǎn)，其中，，連接．

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值；(3)在（2）中面積取最大值的條件下，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上確定一點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

參考答案與解析

1．B【分析】本題考查中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，根據(jù)將一個(gè)圖形沿一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后圖形與原圖形完全重合的圖形叫中心對(duì)稱圖形逐個(gè)判斷即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，是中心對(duì)稱圖形，符合題意，是中心對(duì)稱圖形，符合題意，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意，故選：B．2．C【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，將方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即可配成完全平方式，熟練掌握配方法解一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，即，故選：C．3．C【分析】本題考查同圓或等圓中同弧或等弧圓周角等于圓心角一半，根據(jù)此性質(zhì)直接求解即可得到答案；【詳解】解：∵，∴，故選：C．4．B【分析】本題考查了概率公式，概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．直接由概率公式即可求解．【詳解】解：從3個(gè)吉祥物圖案的卡片中任意抽取1張，抽得卡片上的圖案恰好為“蓮蓮”的概率是．故選：B．5．A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．把點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式可求得，，的值，比較大小即可．【詳解】∵，，是拋物線上的三點(diǎn)，∴，，，∵，∴．故選：A．6．D【分析】根據(jù)的面積為3，的面積為，即可列得等式求出k的值.【詳解】由題意得=3，解得k=6或k=-6，∵圖象在第二象限，∴k，∴k=-6，故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查反比例函數(shù)解析式中的比例系數(shù)k的幾何意義，由反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，構(gòu)成的矩形面積等于，連接該點(diǎn)與原點(diǎn)，將矩形分為兩個(gè)三角形，面積等于.7．D【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象、性質(zhì)、最值、掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說(shuō)法是否正確，即可解答．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴，函數(shù)圖象開(kāi)口向上，故A選擇正確，不符合題意；函數(shù)的最小值為－4，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；圖象可由拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．8．C【分析】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，增長(zhǎng)率問(wèn)題，某市圖書館2021年年底海河研究相關(guān)文獻(xiàn)館存數(shù)量為2萬(wàn)份，設(shè)海河研究相關(guān)文獻(xiàn)館存年均增長(zhǎng)率為．故2022年年底海河研究相關(guān)文獻(xiàn)館存數(shù)量為萬(wàn)份，則2023年年底海河研究相關(guān)文獻(xiàn)館存數(shù)量為萬(wàn)份，據(jù)此即可作答．【詳解】解：依題意，設(shè)海河研究相關(guān)文獻(xiàn)館存年均增長(zhǎng)率為．根據(jù)題意，可列方程為故選：C9．D【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，利用平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定得出，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：在平行四邊形中，E是上的3等分點(diǎn)，∴，∴，∴，故選：D．10．B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，先通過(guò)二次函數(shù)的圖象確定a、b、c的正負(fù)，然后確定一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的情況，即可得解．【詳解】解：由圖可知，拋物線的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸位于y軸的左側(cè)，與y軸正半軸交于一點(diǎn)，即，，，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，且，∴反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限．故選項(xiàng)B符合題意．11．【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則求解即可，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象平移的規(guī)律．【詳解】解：將拋物線先向右平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，得到拋物線，即，答案為：．12．【分析】本題考查一元二次方程的根的定義、代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整體代入思想．根據(jù)一元二次方程的根的定義，將m代入，求出，即可求出的值．【詳解】解：m是方程的一個(gè)根，，，，故答案為：．13．##39度【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)；掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，，利用等邊對(duì)等角，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：，，故答案為：．14．4【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理，由題意可得，由垂徑定理可得，由勾股定理可得，最后由進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：在中，是的直徑，是的弦，且，，，，，，，故答案為：．15．【分析】此題考查了反比例函數(shù)和相似三角形的相關(guān)知識(shí),熟悉相關(guān)知識(shí)求得的長(zhǎng)是關(guān)鍵．分別過(guò)B、C作x軸的垂線,垂足記為F、E,先由點(diǎn)B在上求得的值,再據(jù)軸求得的值；由求得的值,從而得到的長(zhǎng),從而求得點(diǎn)C的坐標(biāo),把之代入到中求得k值．【詳解】如下圖,分別過(guò)作x軸的垂線,垂足記為,∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上,∴,得∴又∴；∵∴與互余又與互余∴又∴∴∴∴,∴∴,把C點(diǎn)坐標(biāo)代入到中得．故答案為：．16．(1)，；(2)，．【分析】本題考查了一元二次方程的解法，（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開(kāi)平方法，配方法，公式法，因式分解法等．【詳解】（1）解：∴移項(xiàng)，得，∴配方，得，，∴，

解得，；（2）∴移項(xiàng)，得∴因式分解，得∴或，解得，．17．(1)50，12(2)見(jiàn)解析(3)【分析】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、列表法與樹(shù)狀圖法，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．（1）根據(jù)A等級(jí)的人數(shù)和所占的百分比，可以計(jì)算出本次抽取的人數(shù)，然后再計(jì)算的值即可；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，可以計(jì)算出D等級(jí)的人數(shù)，然后即可將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）根據(jù)題意，可以畫出相應(yīng)的樹(shù)狀圖，然后計(jì)算出抽出的兩名學(xué)生恰好是甲和丁的概率即可．【詳解】（1）解：由統(tǒng)計(jì)圖可得，這次抽樣調(diào)查共抽?。海ㄈ?，，（2）解：由（1）知，，等級(jí)為D的有：（人，補(bǔ)充完整的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，（3）解：樹(shù)狀圖如下所示：由上可得，一共存在12種等可能性，其中抽出的兩名學(xué)生恰好是甲和丁的可能性有2種，抽出的兩名學(xué)生恰好是甲和丁的概率為．18．(1)一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)解析式為(2)或(3)或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，三角形面積公式，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（1）把分別代入反比例函數(shù)和一次函數(shù)求解即可；（2）由圖象即可得出答案；（3）先求出，，表示出，根據(jù)得出，解方程即可得出答案．【詳解】（1）解：∵的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，∴一次函數(shù)的解析式為，把代入反比例函數(shù)，得，∴反比例函數(shù)的解析式為：；（2）解：由圖象可得：不等式的解集為：或；（3）解：設(shè)直線交軸于點(diǎn)，在中，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，得，解得：，，，，，，，∴，解得：或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．19．(1)證明詳見(jiàn)解析；(2)【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先利用等腰三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及判斷出，進(jìn)而得出，從而證明，即可得出結(jié)論；（2）證明，得，即．把，代入即可求得，由即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，，，，，，又∵，，；（2）解：∵，∴，∵，∵，，，即．，，，．20．(1)2；(2)【分析】本題考查新定義運(yùn)算“共生根”，讀懂題意，理解“共生根”定義，按要求求解即可得到答案，注意代數(shù)式求值時(shí)利用整體代入的方法可簡(jiǎn)化計(jì)算．（1）利用“共生根”的定義求解即可得到答案；（2）、可看作方程的兩個(gè)不相等的“共生根”，利用“共生根”定義得到，，先計(jì)算，然后代入求值求解即可．【詳解】（1）解：方程的兩“共生根”為，，根據(jù)題意得，，故答案為：2；；（2）解：，，且，、可看作方程的兩個(gè)不相等的“共生根”，，，，．21．(1)證明詳見(jiàn)解析(2)6【分析】本題考查切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理．（1）連接，證明，可得證，得出，即可得出是的切線；（2）設(shè)的半徑長(zhǎng)為r，則，，在中，由勾股定理得，代入即可求解．【詳解】（1）如圖，連接，∵是的切線，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，∵為的直徑，∴是的切線；（2）設(shè)的半徑長(zhǎng)為r，則，，在中，由勾股定理得，∴，解得，即的半徑長(zhǎng)為6．22．（1）59；（2）四邊形是正方形，證明詳見(jiàn)解析；（3），證明詳見(jiàn)解析．【分析】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，