蘇教版2019版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第13章立體幾何初步知識(shí)點(diǎn)清單

蘇教版2019版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)

第13章立體幾何初步知識(shí)點(diǎn)清單

目錄

第13章立體幾何初步

13.1基本立體圖形

13.2基本圖形位置關(guān)系

13.3空間圖形的表面積和體積

第1■頁(yè)共24頁(yè)

第13章立體幾何初步

13.1基本立體圖形

13.1.1棱柱、棱錐和棱臺(tái)

一、棱柱

1.棱柱的相關(guān)概念

名稱(chēng)定義圖形及表示相關(guān)概念

E'D'

底面：平移起止位置的兩個(gè)

一般地，由一個(gè)平面

面；

多邊形沿某一方向

棱柱側(cè)面多邊形的邊平移所形成

平移形成的空間圖

'A2T頂點(diǎn)的面；

形叫作棱柱

圖中的六棱柱可記作側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊

棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'

2.棱柱的分類(lèi)

按底面多邊形的邊數(shù)來(lái)分，底面為三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別

稱(chēng)為三棱柱、四棱柱、五棱柱……

3.棱柱的特點(diǎn)

棱柱的兩個(gè)底面是全等的多邊形，且對(duì)應(yīng)邊互相平行，側(cè)面都是平行四邊形.

二、棱錐

1.棱錐的相關(guān)概念

名稱(chēng)定義圖形及表示相關(guān)概念

親頂點(diǎn)

底面：多邊形；

當(dāng)棱柱的一個(gè)底面收側(cè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形

棱錐縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，得到的/\媲面?zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊；

空間圖形叫作棱錐AR頂點(diǎn)：由棱柱的一個(gè)底面收縮而

圖中的四棱錐可記作成

棱錐S-ABCD

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2.棱錐的分類(lèi)：按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……

3.棱錐的特點(diǎn)：棱錐的底面是多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.

三、棱臺(tái)

1.棱臺(tái)的相關(guān)概念

名稱(chēng)定義圖形及表示相關(guān)概念

/八、

上底面：平行于棱錐底面的截面；

用一個(gè)平行于棱錐底4%彩g上底面

下底面：原棱錐的底面；

面的平面去截棱錐，春/皿容側(cè)棱

棱臺(tái)側(cè)面：其余各面；

截面和底面之間的部

卜U下底面?zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊；

分稱(chēng)之為棱臺(tái)‘頂點(diǎn)

圖中的四棱臺(tái)可記作頂點(diǎn)：側(cè)棱與上、下底面的公共點(diǎn)

棱臺(tái)ABCD-A'B'C'D'

2.棱臺(tái)的分類(lèi)

由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫作三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)

四、多面體

名稱(chēng)定義圖形相關(guān)概念

E

由若干個(gè)平面多邊面：圍成多面體的各個(gè)多邊形；

多面體形圍成的空間圖形棱：相鄰兩個(gè)面的公共邊；

叫作多面體頂點(diǎn)：棱與棱的公共點(diǎn)

*

五、如何確定多面體的截面

1.平行于底面的截面：

⑴用一個(gè)平行于棱柱底面的平面去截棱柱，得到的截面與底面全等.

⑵用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到的截面與底面相似.

⑶用一個(gè)平行于棱臺(tái)底面的平面去截棱臺(tái)，得到的截面與兩個(gè)底面都相似.

2.經(jīng)過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面：

⑴在棱柱中（三棱柱除外），經(jīng)過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面（也稱(chēng)為棱柱的對(duì)角面）

是平行四邊形.

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⑵在棱錐中（三棱錐除外），經(jīng)過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是三角形.

⑶在棱臺(tái)中（三棱臺(tái)除外），經(jīng)過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是梯形.

3.作截面的步驟：

一是確定截面與多面體的哪些棱相交；二是找到截面與多面體相交棱的公共點(diǎn)；

三是將所得的公共點(diǎn)依次連接起來(lái)，畫(huà)出截面.

13.1.2圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球

一、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的相關(guān)概念

1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的相關(guān)概念

將矩形、直角三角形、直角梯形分別繞著它的一邊、一直角邊、垂直于底邊的腰

所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的空間圖形分別叫作圓柱、圓錐、圓臺(tái)，這條直線叫作軸.

垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫作底面.不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫作側(cè)面，

無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫作母線.

2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的圖形表示

名稱(chēng)圓柱圓錐圓臺(tái)

匕軸

軸■豐-軸

下＜底i:

。夕面

）側(cè)

圖形一面

A，——.幺7線

底面

圖中白勺圓柱記作圓柱。圖中的圓錐記作圓錐so圖中外1圓臺(tái)記作圓臺(tái)001

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二、球的相關(guān)概念

名稱(chēng)球

半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫作球面，球面

定義

圍成的空間圖形叫作球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球

圖形及表示Ait

圖中的球記作球。

球心：半圓的圓心；

相關(guān)概念半徑：連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段；

直徑：連接球面上兩點(diǎn)并經(jīng)過(guò)球心的線段

三、旋轉(zhuǎn)面和旋轉(zhuǎn)體

1.一般地，一條平面曲線繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面,

封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的空間圖形稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體.

2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球都是特殊的旋轉(zhuǎn)體.

四、圓柱、圓錐、圓臺(tái)基本量的計(jì)算

L解決圓柱基本量的計(jì)算問(wèn)題，要抓住它的底面半徑、高（母線）與矩形（圓柱的軸截面）

之間的關(guān)系，注意在矩形中一邊長(zhǎng)為圓柱的高，其鄰邊長(zhǎng)為圓柱的底面直徑.

2.解決圓錐基本量的計(jì)算問(wèn)題，要從圓錐的軸截面入手，利用截面中的直角三角形建

立底面半徑r、高h(yuǎn)、母線長(zhǎng)I三者之間的關(guān)系：『二八2+匕即可解決問(wèn)題.

3.解決圓臺(tái)基本量的計(jì)算問(wèn)題，一般從圓臺(tái)的軸截面（等腰梯形）入手，利用軸截面可

以分割為兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)矩形，結(jié)合題目條件求解.另外，也可以將其

兩腰延長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為等腰三角形，從而可以利用平行線分線段成比例、三角形相似等知識(shí)

來(lái)解決

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13.1.3直觀圖的斜二測(cè)畫(huà)法

一、斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖

1.斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖的規(guī)則

⑴在空間圖形中取互相垂直的X軸和y軸，兩軸交于。點(diǎn)，再取Z軸，使乙xOz二90。，

且乙yOz=90°.

(2)畫(huà)直觀圖時(shí)把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的父軸、y，軸和/軸，它們相交于點(diǎn)O,并使乙xOy,二

45。(或135。)，乙x'0'z'=90。，x'軸和y'軸所確定的平面表示水平面.

(3)已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于M軸、y,

軸或z，軸的線段.

⑷已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的

線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.

直觀圖的作法可以總結(jié)為“橫長(zhǎng)不變，縱長(zhǎng)減半，豎長(zhǎng)不變，平行關(guān)系不變”.

二、平面圖形的直觀圖及相關(guān)計(jì)算

1.水平放置的平面圖形與直觀圖的面積間的關(guān)系

由于斜二測(cè)畫(huà)法中平行于x軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度不變，而平行于y軸的線

段在直觀圖中長(zhǎng)度要減半，并且乙x‘0'y'=45。(或135。)，因此平面圖形的直觀圖中任

意一點(diǎn)到X軸的距離都為原圖形中相應(yīng)點(diǎn)到x軸距離的9n45。二乎.

Z4

設(shè)一個(gè)平面圖形的面積為S原圖，利用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖的面積為S直觀圖，

貝情S直觀圖二一二S原圖■

4

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13.2基本圖形位置關(guān)系

13.2.1平面的基本性質(zhì)

一、用集合語(yǔ)言表示空間中點(diǎn)、直線和平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系符號(hào)表示

點(diǎn)P在直線AB上PEAB

點(diǎn)C不在直線AB上CqAB

點(diǎn)M在平面AC內(nèi)平面AC

點(diǎn)Ai不在平面AC內(nèi)Aiq平面AC

直線AB與直線BC交于點(diǎn)BABCBC二B

直線AB在平面AC內(nèi)ABu平面AC

直線AAi不在平面AC內(nèi)AA?平面AC

二、平面的基本事實(shí)

基本事實(shí)文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言作用

①確定平面的

過(guò)不在一條直線上A,B,C三點(diǎn)不共

基本事實(shí)依據(jù)；

的三個(gè)點(diǎn)，有且只線今存在唯一的平

1②判定點(diǎn)、線共

有一個(gè)平面///面a,使A,B,CGa

面

如果一條直線上的①確定直線在

基本事實(shí)兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面Aea)_口平面內(nèi)的依據(jù)；

匚nAABua

2內(nèi)，那么這條直線7'/BDeaJ②判定點(diǎn)在平

在這個(gè)平面內(nèi)面內(nèi)

如果兩個(gè)不重合的

①判定兩平面

平面有一個(gè)公共三

基本事實(shí)Pea)…C,rn相交的依據(jù)；

點(diǎn)，那么它們有且p且

3e②判定點(diǎn)在直

只有一條過(guò)該點(diǎn)的

PEI線上

公共直線

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三、平面基本事實(shí)的推論

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

經(jīng)過(guò)一條直線和這

直線1,點(diǎn)A出今有且只

推論工條直線外的一點(diǎn)，有

有一個(gè)平面a,使AEa,lua

且只有一個(gè)平面

經(jīng)過(guò)兩條相交直線，@門(mén)13二「今有且只有一^T"平面a,

推論2

有且只有一個(gè)平面使aua,bua

經(jīng)過(guò)兩條平行直線，a〃b今有且只有一"t平面a,使

推論3

有且只有一^平面Z?aua,bua

四、如何研究共面、共線問(wèn)題

1.點(diǎn)、線共面問(wèn)題的證明

⑴點(diǎn)、線共面問(wèn)題是指證明一些點(diǎn)或直線在同一平面內(nèi)的問(wèn)題，主要依據(jù)是基本事實(shí)

L基本事實(shí)2及其推論.

⑵解決此類(lèi)問(wèn)題通常有兩種方法：

①納入平面法，先由部分元素確定一個(gè)平面，再證其他元素也在該平面內(nèi)；

②輔助平面法（平面重合法）,先由有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面?,再由其余元素確定平面3,

最后證明平面Q,B重合.

2.點(diǎn)共線問(wèn)題

⑴點(diǎn)共線問(wèn)題是指證明三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同一條直線上,主要依據(jù)是基本事實(shí)3：

如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.

⑵解決此類(lèi)問(wèn)題常用以下兩種方法：

①首先找出兩個(gè)平面,然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn),根據(jù)基本事實(shí)3知,

這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上；

②選擇其中兩點(diǎn)，確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在這條直線上.

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3.線共點(diǎn)問(wèn)題

線共點(diǎn)問(wèn)題就是證明三條或三條以上的直線交于一點(diǎn)，主要的證明依據(jù)也是基本

事實(shí)3.

證明三線共點(diǎn)問(wèn)題的基本方法：先確定待證的三條直線中的兩條相交于一點(diǎn)，再證明

第三條直線也過(guò)該點(diǎn).常利用基本事實(shí)3證出該點(diǎn)在不重合的兩個(gè)平面內(nèi)，故該點(diǎn)在

它們的交線（第三條直線）上，從而證明三線共點(diǎn).

13.2.2空間兩條直線的位置關(guān)系

一、空間兩條直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)

平行直線在同一平面內(nèi)沒(méi)有

異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)沒(méi)有

二、基本事實(shí)4

文字語(yǔ)言平行于同一條直線的兩條直線平行

a

圖形語(yǔ)言b

-c

符號(hào)語(yǔ)言

作用揭示了空間平行線的傳遞性

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三、等角定理

如果空間中一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那

么這兩個(gè)角相等.

文字語(yǔ)言

特別地，如果空間中一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，且方向

一邊相同，另一邊相反，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)

OA/O'A',OB#O'B',且ZAOB與乙A'O'B,兩邊的方向相同

今乙AOB二乙A'OB；

符號(hào)語(yǔ)言

OA#O'A',OB#O'B',且乙AOB與乙A'O'B'的一邊方向相同，另一邊方

向相反=△AOB+乙A'OB=180°

()〃-----------A,/

圖形語(yǔ)言或R

0上--Af)^-------------A

作用判定兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

四、異面直線

1.異面直線的判定定理

過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異

文字語(yǔ)言

面直線

符號(hào)語(yǔ)言若lua,A$a,BEa,B$l,則直線AB與1是異面直線

\A

圖形語(yǔ)言/

2.異面直線所成的角

如圖，a與b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)。作直線3〃a,b'#b,我們把

直線a，和b所成的銳角(或直角)叫作異面直線a,b所成的角或夾角.

bb'b

匚7V占

(1)(2)(3)

記異面直線a與b所成的角為0,貝IJO°<6W9O°,若。是直角，則稱(chēng)異面直線a,

b互相垂直，記作a，b.

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五、基本事實(shí)4與等角定理在空間圖形中的運(yùn)用

1.空間中兩直線平行的證明方法

⑴利用定義：證明兩條直線共面且無(wú)公共點(diǎn).

⑵利用平面幾何知識(shí)（三角形、梯形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段

成比例定理等）證明.

⑶利用基本事實(shí)4,即找到第三條直線C,使2〃（：，b#C,從而得到2〃1

2.空間中角相等的證明方法

⑴利用等角定理證明；

（2）轉(zhuǎn)化為平面圖形中的三角形全等或相似來(lái)證明.

利用等角定理證明兩角相等的步驟：①證明兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行；②證明對(duì)應(yīng)

邊的方向相同.

六、空間中異面直線的判定及所成角的求解

1,判定兩條直線是異面直線的方法

⑴證明兩條直線既不平行又不相交；

⑵過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線；

⑶反證法.

2.求異面直線所成角的一般步驟

⑴構(gòu)造：根據(jù)異面直線的定義，用平移法（常用三角形的中位線定理、平行四邊形的性

質(zhì)）作出異面直線所成的角或其補(bǔ)角.

⑵證明：證明作出的角或其補(bǔ)角就是要求的角.

⑶計(jì)算：求角度，常利用三角形的邊角關(guān)系，通過(guò)解三角形求解.

⑷結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角

是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.

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13.2.3直線與平面的位置關(guān)系

一、直線與平面的三種位置關(guān)系

直線a在平面a外

位置關(guān)系直線a在平面a內(nèi)

直線a與平面a相交直線a與平面a平行

公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)

符號(hào)表示auaaCa二Aalla

a

a

/d.4/

圖形表示X/

二、直線與平面平行

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

a

如果平面外一條直線與此平面aCa)

判定定理內(nèi)的一條直線平行，那么該直bua

線與此平面平行/7aIIbj

一條直線與一個(gè)平面平行，如aIIa、

性質(zhì)定理果過(guò)該直線的平面與此平面相l(xiāng)uB”=1〃m

交，那么該直線與交線平行anB=m.

三、直線與平面垂直

1.如果直線a與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱(chēng)直線a與平面a垂直，記

作a，a.直線a叫作平面a的垂線，平面a叫作直線a的垂面，垂線和平面的交點(diǎn)稱(chēng)

為垂足.

2.直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

判定定理性質(zhì)定理

如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩

文字語(yǔ)言條相交直線垂直，那么該直線與此垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行

平面垂直

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a

ab

圖形語(yǔ)言

a±m(xù)

a_Ln

符號(hào)語(yǔ)言=A>:a%

mu。

nua

今a_La

過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平

常用結(jié)論——面垂直,過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與

已知直線垂直

四、兩種距離

1.點(diǎn)到平面的距離：從平面外一點(diǎn)引平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離，叫作這個(gè)

點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.

2.直線和平面的距離：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的

距離，叫作這條直線和這個(gè)平面的距離.

五、直線與平面所成的角

1.射影

⑴概念：

如圖，過(guò)平面外一點(diǎn)P向平面?引斜線和垂線，那么過(guò)斜足A和垂足0的直線就是

斜線在平面內(nèi)的射影，線段0A就是斜線段PA在平面a內(nèi)的射影.

⑵常用結(jié)論：如果平面內(nèi)的一條直線與這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么這條直線就和

這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直.

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2.直線與平面所成的角

(1)概念：平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫作這條直線與這個(gè)

平面所成的角.

(2)規(guī)定：如果一條直線垂直于平面，那么稱(chēng)它們所成的角是直角；如果一條直線與平

面平行或在平面內(nèi)，那么稱(chēng)它們所成的角是0°角.

(3)取值范圍：設(shè)直線與平面所成的角為0,則0°^0^90°.

六、如何證明直線與平面平行

1.證明直線與平面平行的步驟

(1)找：在平面內(nèi)找到(或作出)一條已知直線平行的直線

(2)證：證明已知直線平行于找到(或作出)的直線

(3)結(jié)論：由直線與平面平行的判定定理得出結(jié)論

2.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理經(jīng)常交替使用，也就是通過(guò)線線平行推出線

面平行，再通過(guò)線面平行推出線線平行，復(fù)雜的題目還可繼續(xù)推下去.

有如下示意圖：

「

線

線

線

線

線

在平面內(nèi)找面找(或作)平面與

平

平

(或作)一直線差

行

行平面的交線

七、如何判定直線與平面垂直

1,判定直線與平面垂直的常用方法

⑴利用直線與平面垂直的定義，即證明直線a垂直于平面a內(nèi)的任意一條直線，從而

得到直線a1平面a(一般不易驗(yàn)證任意性).

(2)利用直線與平面垂直的判定定理，即如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂

直，那么該直線與此平面垂直，簡(jiǎn)記為“線線垂直今線面垂直”(a，b,a，c,bca,

cua,bCc=M=>a_La).

(3)利用平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)，即如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平

面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面(a〃b,bla=>ala).

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2.利用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟

⑴在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使已知直線和這兩條直線垂直；

（2）確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交直線；

⑶根據(jù)判定定理得出結(jié)論.

八、如何探究直線與平面所成的角

1.求直線與平面所成角的大小的步驟

（1）作角：

①作垂線：過(guò)斜線上一點(diǎn)（不是斜足）作平面的垂線；

②作射影：連接垂足和斜足；

③確定平面角：斜線與它在平面上的射影所成的角即為所求，即將空間角（斜線與平面

所成的角）轉(zhuǎn)化為平面角（兩條相交直線所成的角）.

⑵證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角，關(guān)鍵是證垂直.

⑶計(jì)算：通常在垂線段、斜線和射影所構(gòu)成的直角三角形中計(jì)算.

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13.2.4平面與平面的位置關(guān)系

一、兩個(gè)平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系公共點(diǎn)符號(hào)表示圖形表示

//

兩平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)a//0

%/

兩平面相交有一條公共直線aCB二a

/a\/^?Z

二、兩個(gè)平面平行

1.兩個(gè)平面平行的判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言

aucc

如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線bua

判定

與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平=A>

定理

面平行a[3

bp=a〃p

兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與aP

性質(zhì)

這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平ar"V=a>

定理

行0alib

2.相關(guān)結(jié)論

⑴已知兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的任一直線都平行于另一個(gè)平面.

⑵夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段的長(zhǎng)度相等.

⑶經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.

⑷兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

⑸如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行.

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三、兩個(gè)平行平面間的距離

1.公垂線、公垂線段與兩個(gè)平行平面都垂直的直線，叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線，

它夾在這兩個(gè)平行平面間的線段，叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線段.

2.兩個(gè)平行平面間的距離

⑴定義：把兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度叫作兩個(gè)平行平面間的距離.

⑵性質(zhì):兩個(gè)平行平面間的距離等于其中一個(gè)平面上的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離.

四、二面角

1.二面角

半平面平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分都叫作半平面

二面角一般地，一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面

相關(guān)概念角，這條直線叫作二面角的棱，每個(gè)半平面叫作二面角的面

rzi了

畫(huà)法

平臥式直立式

記法二面角CX-I-P或a-AB-B或P-I-Q或P-AB-Q

2.二面角的平面角

一般地，以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的

定義

射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角

圖示

1

OAca,OBcp,anp=l,OEI,OA1I,OB_U=NAOB是二面角0(-1邛的

符號(hào)

平面角

二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)

規(guī)定

這個(gè)二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫作直二面角

范圍二面角0的大小范圍是0°^6^180°

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五、平面與平面垂直

1,定義：一般地，如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，那么就說(shuō)這兩個(gè)平面互

相垂直.

2.畫(huà)法：廠「/

3.平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直

/

判定圖形語(yǔ)言I

定理7

11a)

符號(hào)語(yǔ)言

icpy今a_LB

兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的

文字語(yǔ)言

交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直

性質(zhì)符號(hào)語(yǔ)言alP，aCi|3=l,aua,a_LI=a_L0

定理

圖形語(yǔ)言

/

六、兩個(gè)平面平行的判定

1.兩個(gè)平面平行的判定方法

⑴定義法：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn).

⑵利用判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平

面平行.

⑶轉(zhuǎn)化為線線平行：若平面a內(nèi)的兩條相交直線與平面B內(nèi)的兩條相交直線分別平

行,則a〃&

⑷利用平行平面的傳遞性：若a〃&則a〃y.

在立體幾何中，線線平行、線面平行、面面平行之間可以相互轉(zhuǎn)化，解題時(shí)由線線平

行可推出線面平行，由線面平行可推出面面平行.

七、如何求二面角的大小

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求二面角的大小的關(guān)鍵是找出（或作出）其平面角，再把平面角放到三角形中求解.

1.作二面角的三種常用方法

⑴定義法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的

射線.如圖①，乙AOB為二面角a-1-B的平面角.

⑵垂面法：過(guò)棱上一點(diǎn)作垂直于棱的平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面相交，其交

線所成的角即為二面角的平面角.如圖②，乙AOB為二面角a-1-B的平面角.

⑶垂線法：過(guò)二面角的一個(gè)半平面內(nèi)異于棱上的一點(diǎn)A向另一個(gè)平面作垂線，垂足為

B,由點(diǎn)B向二面角的棱作垂線，垂足為0,連接A0,則乙A0B為二面角的平面角

（或其補(bǔ)角）.如圖③，乙A0B為二面角a-l邛的平面角

八、垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化

1.空間中的垂直關(guān)系有線線垂直、線面垂直、面面垂直，這三種關(guān)系不是獨(dú)立的,

而是相互關(guān)聯(lián)的.它們之間的關(guān)系如下：

線線判定定理線面判定定理面面

垂直線面垂直定義垂直「性質(zhì)定理垂直

2.平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化

一條直線垂直于兩平

行平面中的一個(gè)平面，

線面垂直則該直線也垂直于另

一個(gè)平面

線或平行I-線面平行一面面平行

兩平行g(shù)線中的一條垂直于同一條直線

垂直于一個(gè)平面，另一的兩個(gè)平面平行

條也垂直于這個(gè)平面

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13.3空間圖形的表面積和體積

13.3.1空間圖形的表面積

一、直棱柱的側(cè)面積

1.側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱.

2.底面為正多邊形的直棱柱叫作正棱柱.直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)就是直棱柱的高（兩底面所

在平面之間的距離）.

3.直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，這個(gè)矩形的長(zhǎng)等于直棱柱的底面周長(zhǎng)c,寬等于直棱

柱的高h(yuǎn).因此，直棱柱的側(cè)面積是S直棱柱側(cè)二ch.

二、正棱錐的側(cè)面積

1.如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心，那么稱(chēng)這樣

的棱錐為正棱錐.正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，側(cè)面均為全等的等腰三角形.

2.正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是若干個(gè)全等的等腰三角形，展開(kāi)圖的面積就是棱錐的側(cè)面積.

如果正棱錐的底面周長(zhǎng)為c,斜高（即側(cè)面等腰三角形底邊上的高）為h1,則它的側(cè)面積

是s正棱錐側(cè)=5ch

三、正棱臺(tái)的側(cè)面積

1,正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫作正棱臺(tái).

2.正棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，側(cè)面均為全等的等腰梯形.

3.若設(shè)正棱臺(tái)的上、下底面的周長(zhǎng)分別為d,c,斜高為

_1

則其側(cè)面積是s正棱臺(tái)側(cè)=-（c+c'）h".

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四、圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面積

旋轉(zhuǎn)體圖形面積公式

底面積：S底二TT/，

圓柱1側(cè)面積：S側(cè)=2向,

表面積：S=2nr(r+I)

底面積：S底二謂，

圓錐側(cè)面積：SflFnrl,

表面積:S=nr(r+I)

上底面面積：S上底二TK：

下底面面積:S下底=冗產(chǎn),

圓臺(tái)

1側(cè)面積:S側(cè)=Tt(r'+r)l,

表面積：S=n(r,2+r2+r'l+rl)

五、棱柱、棱錐和棱臺(tái)的側(cè)面積

1.正棱柱、正棱錐和正棱臺(tái)的側(cè)面積公式之間的聯(lián)系如圖:

SiF：好側(cè)=^^+力、

正棱柱側(cè)正棱錐側(cè)

其中Clc分別為上、下底面的周長(zhǎng)，h為高，H為斜高.

2.在棱錐的側(cè)面積計(jì)算中，應(yīng)先由條件判斷該棱錐是不是正棱錐，若是正棱錐，則其

側(cè)面展開(kāi)圖是若干個(gè)全等的等腰三角形，求其側(cè)面積的關(guān)鍵是確定底面邊長(zhǎng)和斜高；

若不是正棱錐，則需分別求出各側(cè)面的面積.

3.正棱臺(tái)的