高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 能力升級(jí)練（二）平面向量與復(fù)數(shù) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

能力升級(jí)練(二)平面向量與復(fù)數(shù)一、選擇題1.下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是()A.i(1+i)2 B.i2(1-i)C.(1+i)2 D.i(1+i)解析i(1+i)2=i·2i=-2,不是純虛數(shù),排除A;i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是純虛數(shù),排除B;(1+i)2=2i,2i是純虛數(shù).故選C.答案C2.設(shè)z=11+i+i(i為虛數(shù)單位),則|z|=(A.12 B.22 C.解析因?yàn)閦=11+i+i=1-i(1+i)(1-i)+i答案B3.設(shè)a是非零向量,λ是非零實(shí)數(shù),下列結(jié)論中正確的是()A.a與λa的方向相反 B.a與λ2a的方向相同C.|-λa|≥|a| D.|-λa|≥|λ|·a解析對(duì)于A,當(dāng)λ>0時(shí),a與λa的方向相同,當(dāng)λ<0時(shí),a與λa的方向相反,B正確;對(duì)于C,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不確定,故|-λa|與|a|的大小關(guān)系不確定;對(duì)于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示長(zhǎng)度,兩者不能比較大小.答案B4.(2019北京通州二模)已知非零向量a,b的夾角為60°,且|b|=1,|2a-b|=1,則|a|=()A.12 B.1 C.2解析由題意得a·b=|a|×1×12=|a|2,又|∴|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4|a|2-2|a|+1=1,即4|a|2-2|a|=0,又|a|≠0,解得|a|=12答案A5.(2019河北石家莊二模)若兩個(gè)非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|=2|b|,則向量a+b與a的夾角為()A.π3 B.2π3 C.5π解析設(shè)|b|=1,則|a+b|=|a-b|=2.由|a+b|=|a-b|,得a·b=0,故以a、b為鄰邊的平行四邊形是矩形,且|a|=3,設(shè)向量a+b與a的夾角為θ,則cosθ=a·(a+b)|答案D6.已知向量a=(2,1),b=(3,4),c=(1,m),若實(shí)數(shù)λ滿足a+b=λc,則λ+m等于()A.5 B.6 C.7 D.8解析由題意知(5,5)=(λ,λm),即λ=5,λm答案B7.設(shè)D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則EB+FC=(A.BC B.12AD C.AD解析如圖,EB+FC=EC+CB答案C8.(2019河北豫水中學(xué)質(zhì)檢)已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且∠DAB=60°,設(shè)AD=λAB+μAC(λ,μ∈R),則λμ=(A.233 B.33解析如圖,以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2),因?yàn)椤螪AB=60°,所以設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,3m)(m≠0).AD=(m,3m)=λAB+μAC=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),則λ=m,且μ=32m所以λμ答案A9.(2019福建普通高中質(zhì)量檢查)若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=|3+i|,則在復(fù)平面內(nèi),z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析由題意,得z=(3)2+121+i=2(答案A二、填空題10.設(shè)向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)λ=.

解析∵向量a,b不平行,∴a+2b≠0,又向量λa+b與a+2b平行,則存在唯一的實(shí)數(shù)μ,使λa+b=μ(a+2b)成立,即λa+b=μa+2μb,則得λ=μ,1=2答案111.(2019陜西西安八校聯(lián)考)若a+bii(a,b∈R)與(2-i)2解析∵a+bii=(a+bi)(-i)-i2=b-ai,(2-i)2=4-4i-1=3-4i,a+bii答案-712.已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b),若A,B,C三點(diǎn)共線,則a,b的關(guān)系式為.

解析由已知得AB=(2,-2),AC=(a-1,b-1),∵A,B,C三點(diǎn)共線,∴AB∥AC.∴2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.答案a+b=213.(2019廣東佛山二模)在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2,AB=1,D為BC的中點(diǎn),E在斜邊AC上,若AE=2EC,則DE·AC=.

解析如圖,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,BC所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則B(0,0),A(1,0),C(0,2),所以AC=(-1,2).因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以D(0,1),因?yàn)锳E=2EC,所以E13所以DE=13,13,所以DE·AC答案1三、解答題14.計(jì)算1+i1解原式=(=i6+6=-1+i.15.(2019山東濰坊摸底)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cosB,-sinB),且m·n=-35(1)求sinA的值;(2)若a=42,b=5,求角B的大小及向量BA在BC解(1)由m·n=-35得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-35所以cosA=-35.因?yàn)?<A<所以s