高中數(shù)學 第二節(jié) 圓錐曲線 新人教版

第二節(jié)圓錐曲線

第一部分五年高考薈萃

2009年高考數(shù)學試題分類匯編一一圓錐曲線

一、選擇題

22

1.（2009全國卷I理）設雙曲線「―1=1（a>0,b>0）的漸近線與拋物線y=x、l相切,

a~b

則該雙曲線的離心率等于（）

A.GB.2C.逐D.76

【解析】設切點P（x°,%），則切線的斜率為>1=而=2玉）.

由題意有名■=2%又為=+1

【答案】C

2

Y~

2.（2009全國卷I理）已知橢圓C:上+丁=1的右焦點為F,右準線為/，點Ae/,線段

2-

AF交C于點B,若E4=3EB,則|4/|=（）

A.V2B.2C.y/3D.3

【解析】過點B作J./于M,并設右準線l與X軸的交點為N,易知FN=1.由題意E4=3FB,

故18Ml=g.又由橢圓的第二定義，得|BE|=孝?g=#.[AF|=JL故選A

【答案】A

r2v2

3.（2009浙江理）過雙曲線々?—六=1（。>00>0）的右頂點A作斜率為-1的直線，該

直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為8,C.若A8=，BC,則雙曲線的離心率是

2

（）

A.V2B.百C.也D.V1O

【解析】對于A（a,O）,則直線方程為x+y—。=0,直線與兩漸近線的交點為B,C,

a2aba2ab

B,C(）則有

a+b'a+b,a-b'a-b

abab，因2A8=6。,;.4〃=廿,.上=石.

cT-ba-b-、a+bya+b

【答案】c

%2

4.（2009浙江文）已知橢圓+￡1（?！地埃?）的左焦點為口，右頂點為A,點8在

橢圓上，且8/軸，直線A8交y軸于點P.若小=2RB,則橢圓的離心率是（）

V2

A.B.c.D.

V32

【解析】對于橢圓，因為AP=2PB,則0A=20/,：.。=2，,，6=，

2

【答案】D

5.（2009北京理）點P在直線/:y=x—1上，若存在過P的直線交拋物線y=f于

兩點，且IPA=|AB|,則稱點P為點”，那么下列結論中正確的是

()

A.直線/上的所有點都是點”

B.直線/上僅有有限個點是“，幺點”

C.直線/上的所有點都不是“4點”

D.直線/上有無窮多個點（點不是所有的點）是“，名點”

【解析】本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學生的學習潛力,考查學生分析問題和

解決問題的能力.屬于創(chuàng)新題型.

本題采作數(shù)形結合法易于求解，如圖,

則2n-x-2）,

48在丁=%2上，

n=m

2〃-x+1=(2m-x)

消去n,整理得關于x的方程x2—（4，〃—l）x+2加2—1=0

?；△=（4m-1）2-4（2加2-l）=8m2-8m+5>0恒成立，

，方程（1）恒有實數(shù)解，.?.應選A.

【答案】A

22

6.（2009山東卷理）設雙曲線3=1的一條漸近線與拋物線y=x2+1只有一個公共點,

則雙曲線的離心率為（

D.V5

b

by=-x

【解析】雙曲線「―上i的一條漸近線為了=一%,由方程組4'a，消去y,得

y=x2+l

X2--x+l=0有唯一解,所以△=(2)2-4=0,

cy/a2+b2

所以2=2,e行,故選D.

【答案】D

【命題立意】:本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念，以及直線與拋物線的位置

關系，只有一個公共點,則解方程組有唯一解.本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技

能.

7.（2009山東卷文）設斜率為2的直線/過拋物線y2=ajc（?^0）的焦點F,且和y軸交于點

4若△曲廠（0為坐標原點）的面積為4,則拋物線方程為（）.

A.y2—±4xB.y2-+8xC.y2-4xD.y1-8x

【解析】拋物線：/=奴（0了0）的焦點尸坐標為（@,0）,則直線/的方程為3；=2（》一處）,

44

它與y軸的交點為A（0,--）,所以的面積為'|@I?I@1=4,解得a=±8.所以拋物線

2242

方程為y2=±8x,故選B.

【答案】B

【命題立意】：本題考查了拋物線的標準方程和焦點坐標以及直線的點斜式方程和三角形面

積的計算.考查數(shù)形結合的數(shù)學思想,其中還隱含著分類討論的思想，因參數(shù)a的符號不定而

引發(fā)的拋物線開口方向的不定以及焦點位置的相應變化有兩種情況，這里加絕對值號可以做

到合二為一.

8.（2009全國卷n文）雙曲線二一2-=1的漸近線與圓（x—3）2+y2=r2%>0）相切,

63

則L（）

A.A/3B.2C.3D.6

【解析】本題考查雙曲線性質及圓的切線知識，由圓心到漸近線的距離等于r,可求尸g

【答案】A

9.(2009全國卷H文)已知直線y=-x+2)(k>O)與拋物線C:y2=8x相交/l、6兩點,

廠為C的焦點。若|修=2|冏，則公()

1

A.-D.--------D.乎

33

【解析】本題考查拋物線的第二定義,由直線方程知直線過定點即拋物線焦點(2,0),由

272

|E4|=2|EB|及第二定義知x.+2=2(/+2)聯(lián)立方程用根與系數(shù)關系可求k=

亍

【答案】D

10.（2009安徽卷理）下列曲線中離心率為理的是

2

A.E—lLi

B.^_￡=1C.^,￡=1D.￡_￡_1

244246410

……?指妨/3.h23b21、斗

【解析】由6=---得=—」+）=—,）=一,選B.

2a22a22a22

【答案】B

一元之y2

11.(2009福建卷文)若雙曲線....—的離心率為2,則a等于(）

a3

3

A.2B.百C.

2

D.1

【解析】由￡-《=1可知虛軸b=6,而離心率e=￡=J。？+3=2,解得"1或@=3,

a3aa

參照選項知而應選D.

【答案】D也是（.

12.（2009安徽卷文）下列曲線中離心率為例()

2

2222

S_2Li

=工_±-1二上=

B.4T'二-J

A.24C.46D.410

22

【解析】依據(jù)雙曲線?—7——1的離心率e-二上可判斷得.e，=：—.i^Bo

a~baa2

【答案】B

13.（2009江西卷文）設片和鳥為雙曲線二—2=1（a＞0力＞0）的兩個焦點，若

a'b"

與F2,P（0,2份是正三角形的三個頂點，則雙曲線的離心率為

3c5

A.—B.2C.—D.3

22

【解析】由tan工=￡=也有3。2=46=4?2—〃2）,則0=￡=2,故選B.

62b3a

【答案】B

22

14.（2009江西卷理）過橢圓=+與=1（&〉〃＞（））的左焦點耳作％軸的垂線交橢圓于點

ab

P,6為右焦點，若N￡P￡=60，則橢圓的離心率為

V2￡

C.D.

'V23

【解析】因為P（—c,土了12），再由4"=6°有十2=2.,從而可得,二:三

,故選B

【答案】B

15.（2009天津卷文）設雙曲線二-「=1（。＞0,。＞0）的虛軸長為2,焦距為26,則

a~b~

雙曲線的漸近線方程為（）

/-1

A.y=±v2xB.y=±2xC.y=±-^-xD.y=~~x

【解析】由已知得到人=l,c=g,a=朽方=因為雙曲線的焦點在X軸上，故漸

近線方程為y=±-x=±—x

a2

【答案】C

【考點定位】本試題主要考查了雙曲線的幾何性質和運用?？疾炝送瑢W們的運算能力和推理

能力。

2222

16.(2009湖北卷理)已知雙曲線二-二=1的準線過橢圓±+與=1的焦點，則直線

22

y=依+2與橢圓至多有一個交點的充要條件是(

,11

A.KG

2'2

_V|V2

C.Ke

2,

【解析】易得準線方程是］=土幺=±±=±1

b2

所以02=/一從=4—方2=1即從=3所以方程是￡+f=1

43

聯(lián)立y=fcv+2可得3/+(41＜2+161＜江+4=0由A40可解得A.

【答案】A

2y2

17.(2009四川卷文、理)己知雙曲線］x=1(〃〉0)的左、右焦點分別是6、

其一條漸近線方程為y=x，點打6,%)在雙曲線上.則而?麗=()

A.-12B.-2C.0D.4

【解析】由漸近線方程為y=x知雙曲線是等軸雙曲線，.?.雙曲線方程是=2,于

是兩焦點坐標分別是(一2,0)和(2,0),且P(6,1)或P(百，一1).不妨去尸(0,1),則

麗=(-2—6,—1),麗=(2—6,-1).

.??麗?~PF2=(-2-V3,-l)(2-V3-1)=-(2+V3)(2-V3)+l=0

【答案】C

18.(2009全國卷H理)已知直線卜=左(*+2)(左＞0)與拋物線C：y=8x相交于A、8兩

點，F(xiàn)為C的焦點，若|E4|=2|EB|,則攵=()

【解析】設拋物線C：V=8x的準線為/:x=—2直線

3=/（％+2）伏＞0）恒過定點戶（一2,0）.如圖過A、B

分別作AM，/于M,8N，/于N,由|E4|=2|F8|,

則|AAf|=2|BN|,點B為AP的中點.連結。8,則|OB|='|AF|,

2

點8的橫坐標為1,故點8的坐標為

（1,25/2）k=2^~°=—,故選D.

1-（-2）3

【答案】D

19.（2009全國卷H理）已知雙曲線C：=一與=1（。＞0力＞0）的右焦點為尸，過尸且斜

Q-b~

率為6的直線交c于A、8兩點，若而=4而，則C的離心率為（）

6759

C

A.5-B.5-8-D.5-

【解析】設雙曲線2=1的右準線為/，過A、8分別作AM，/于M,于

a~b~

N,BO_LAM于。,由直線AB的斜率為G,知直線AB的傾斜角

60,4A。=60。,出/*,,

2

由雙曲線的第二定義有

|AM|-|/?7VHAO|=’（I4/|一|所|）=![48|=』（|AF\+\FB\）.

e22

一一156

又AF=4FB:.--3\FB\=-\FB[\e=-.

e25

【答案】A

20.（2009湖南卷文）拋物線V=-8x的焦點坐標是（）

A.（2,0）B.（-2,0）C.（4,0）D.（-4,0）

【解析】由V=—8x,易知焦點坐標是（一曰,0）=（—2,0）,故選B.

【答案】B

22

21.（2009寧夏海南卷理）雙曲線二-±=1的焦點到漸近線的距離為（）

412

A.25/3B.2C.V3D.1

【解析】雙曲線二-工=1的焦點（4,0）到漸近線y=Jix的距離為

412

石x小0

d=』-------\-=2日

2

【答案】A

22.（2009陜西卷文）“機>〃>0”是“方程32+“y2=i”表示焦點在y軸上的橢圓”

的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】將方程如2+盯2=］轉化為,+吊=1,根據(jù)橢圓的定義，要使焦點在y軸上

mn

必須滿足一>0,—>0,所以一>一.

mnnm

【答案】C

22

23.（2009全國卷I文）設雙曲線我=1（。>0，8>0）的漸近線與拋物線y=x?+l相

切，則該雙曲線的離心率等于（）

A.A/3B.2C.5/5D.A/6

X?hjc

【解析】由題雙曲線會?一方?=l（a>0,6>0）的一條漸近線方程為y=丁，代入拋物線

方程整理得a/一萬x+a=0,因漸近線與拋物線相切，所以從一4。2=0,即

c2=5a2<=>e=V5,故選擇C.

【答案】C

2222

24.（2009湖北卷文）已知雙曲線——4=1的準線經過橢圓±+==1（力>0）的焦點，則

224戶

b=（）

A.3B.V5C.73D.V2

【解析】可得雙曲線的準線為x=土±=±L又因為橢圓焦點為（士J曰*0）所以有

yl4-b2=1.即為3故爐Ji.故C.

【答案】C

27.（2009天津卷理）設拋物線y2=2x的焦點為F,過點M,0）的直線與拋物線相交

q

于48兩點，與拋物線的準線相交于C,忸目=2,則△6（/與的面積之比=配=（）

【解析】由題知2Vg=型RC=——人笈Tc三2r旦士+1A,

SAACFA。x+12孫+1

A2

13/-

又|5歹|=X"+彳=2nXp=彳==_J3

由從B、M三點共線有=y"—>8即五;=o+￡,故工4=2,

X“7A￡”一4V3-XA6

/.^g^=2Xg+1=—=-,故選擇A。

SAACF2*A+14+15

【答案】A

28.（2009四川卷理）已知直線&:4x—3y+6=0和直線，2：x=—1，拋物線：/=4x上一

動點P到直線4和直線乙的距離之和的最小值是（）

1137

A.2B.3C.—D.—

516

【考點定位】本小題考查拋物線的定義、點到直線的距離，綜合題。

【解析1】直線4：x=T為拋物線y2=4x的準線，由拋物線的定義知，一到4的距離等于

P到拋物線的焦點F（1,O）的距離，故本題化為在拋物線丁=4x上找一個點尸使得P到點

/（1,0）和直線4的距離之和最小，最小值為/（1,0）到直線4：4x-3y+6=o的距離，即

"min=M一I=2,故選擇Ao

【解析2】如圖，由題意可知4=沖＞0+6|=2

A/32+42

【答案】A

二、填空題

29.（2009寧夏海南卷理）設已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點為網(wǎng)1,0）,直線，與

拋物線C相交于46兩點。若45的中點為（2,2）,則直線/的方程為.

【解析】拋物線的方程為丁=4x,

4（%,乂）,3（%2，%），則有七。5

兩式相減得，尺一尺=4&一々）,.?.三二殳=」一=1

%一9乂+為

直線1的方程為y-2=x-2,即y=x

【答案】y=x

30.（2009重慶卷文、理）已知橢圓「+與=13＞人〉0）的左、右焦點分別為

a~b~

1（—c,0）,瑪（c,0）,若橢圓上存在一點P使---=--一，則該橢圓的離心率的

sinPFRsinPF2F}

取值范圍為.

【解析1】因為在好耳中，由正弦定理得PF?=—^—

1

2sinPFtF2sinPF2FX

則由已知，得一人

即aPF,=CPF2

設點（不，%）由焦點半徑公式，得尸￡=a+exQ,PF2=。一ex。則。（o+e/）=。（。一6%）

記得/=a(C"a)=變曰由橢圓的幾何性質知不>—a則小二2>-a，整理得

e(c-a)e(e+l)e(e+l)

02+26-1>0,解得6<—夜—1或6<血一1,又ee(O,l),故橢圓的離心率ee(正—1,1)

【解析2】由解析1知「6=￡尸居由橢圓的定義知

a

2

c2a

/^+尸鳥=2。則一夕鳥+尸鳥=2〃即尸鳥=——,由橢圓的幾何性質知

ac+a

Q2

PE,<a+c,則烏一<a+c,既c?+2c—/>0,所以e2+2e—i>0,以下同解析i.

c+a

【答案】(0-1,1)

31.(2009北京文、理)橢圓方+事=1的焦點為《，鳥，點尸在橢圓上，若|=4,

則|PF21=;HPF2的大小為.

【解析】本題主要考查橢圓的定義、焦點、長軸、短軸、焦距之間的關系以及余弦定理.屬

于基礎知識、基本運算的考查.

*.*a2=9,b2—3,

c=—〃2=J9-2=y/l,

???恒用=2?,

又|防|=4,伊耳|+|尸周=20=6,：.\PF2\=2,

22+42-（2V7）?]

又由余弦定理，得cosN6PB

2x2x42

AZFtPF2=12（f,故應填2,120°.

32.(2009廣東卷理)巳知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為

2

且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為12,則橢圓G的方程為.

X2V2

【解析】e=—,2a=12,a=6,b=3,則所求橢圓方程為一+匕=1.

2369

22

【答案】二+二=1

369

33.（2009四川卷文）拋物線丁=4%的焦點到準線的距離是.

【解析】焦點F（1,0）,準線方程x=-l,.?.焦點到準線的距離是2.

【答案】2

22

34.（2009湖南卷文）過雙曲線G=-與=1（。>0力>0）的一個焦點作圓d+y2=a2

a'b~

的兩條切線，切點分別為4B,若NAOB=120（。是坐標原點），則雙曲線線C

的離心率為

【解析】ZAOB^nO=>ZAOF=60=>ZAFO=3Q=c=2a,:.e=-=2.

a

【答案】2

35.（2009福建卷理）過拋物線y2=2px（〃>0）的焦點尸作傾斜角為45的直線交拋物線

于46兩點，若線段相的長為8,則p=_______________

【解析】由題意可知過焦點的直線方程為y=x-4，聯(lián)立有

V=2Px2

又|AB|=J(1+12)J(3〃)2_4X￡=8=>〃=2。

<—3pxH----=0,

y=x-^-4

I2

【答案】2

22

36.（2009遼寧卷理）以知廠是雙曲線上—匕=1的左焦點，A（1,4）,P是雙曲線右支上的

412

動點，貝I|P可+|「4|的最小值為__________________________________「

【解析】注意到一點在雙曲線的兩只之間,且雙曲線右焦點為〃（4,0）,

于是由雙曲線性質I例T/F|=2a=4

而|用|十|勿|=5

兩式相加得I用+1%29,當且僅當力、p、r三點共線時等號成立.

【答案】9

37.（2009寧夏海南卷文）已知拋物線C的頂點坐標為原點，焦點在x軸上，直線產x與拋

物線。交于兒6兩點，若尸（2,2）為A8的中點，則拋物線。的方程為o

【解析】設拋物線為/=履，與y=x聯(lián)立方程組，消去必

得：x—kx—Q,X]+%2=a=2X2,故y2=4x.

【答案】/=4x

38.（2009湖南卷理）已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為原點的四邊形中，有一

個內角為60°,則雙曲線C的離心率為

【解析】連虛軸一個端點、一個焦點及原點的三角形，由條件知，這個三角形的兩邊直角分

別是"eg是虛半軸長，c是焦半距），且一個內角是30",即得2=tan3O°,所以c=6。，

C

所以離心率e=￡=里="

aV22

【答案】—

2

x~y2

39.（2009年上海卷理）已知居、F,是橢圓C:=+r=1（a>b>0）的兩個焦點，P

ab

為橢圓C上一點，且AR_L麗.若耳鳥的面積為9,則8=.

IPKI+IP用1=2。

【解析】依題意，有“PF；|?||=18,可得4c'+36=43,即a2-/=9,

2

IPF、\+\PF2『=4,2

故有6=3。

【答案】3

三、解答題

40.（2009年廣東卷文）（本小題滿分14分）

已知橢圓G的中心在坐標原點,長軸在龍軸上,離心率為日，兩個焦點分別為￡和鳥，橢圓

2

G上一點到片和工的距離之和為12.圓Ck:x+丁+2"—4y—21=0（keR）的圓心為

點Ak.

（1）求橢圓G的方程

（2）求刈片鳥的面積

⑶問是否存在圓Q包圍橢圓6?請說明理由.

解（1）設橢圓G的方程為：鼻+與=1（?！等耍?）半焦距為c;

'2a=12

a=6rcc

則＜c6，解得l，b~=a"—c2=36-27=9

c=3>/3

.a2

所求橢圓G的方程為：—+^-=1.

369

（2）點4的坐標為（一長,2）

SVAKGF?=gx￡Bx2=；x6石x2=6囪

（3）若Z20,由6?+。2+1次—0-21=15+1及80可知點（6,0）在圓C,外，

若％＜（）,由（-6尸+02—1次—0—21=15—1次”0可知點（-6,0）在圓C*外;

???不論《為何值圓Ck都不能包圍橢圓G.

41.（2009浙江理）（本題滿分15分）

22

已知橢圓G：3+%=1（。＞8〉0）的右頂點為4（1,0）,過G的焦點且垂直長軸的弦

長為1.

（D求橢圓G的方程；

（H）設點P在拋物線G：y=①eR）上，。2在點P處的切線與G交于點

M,N.當線段AP的中點與MN的中點的橫坐標相等時，求力的最小值.

4=1（02

a=2vzo

解（I）由題意得《b2，?,?《，所求的橢圓方程為2-+d=l,

2—=1]萬=14

,a

（ii）不妨設M（F，X）,N（W，）'2）,P9戶+0，則拋物線G在點P處的切線斜率為

y|A?=2r,直線MN的方程為y=2/X—，將上式代入橢圓G的方程中，得

4/+（2比一*+〃）2_4=0,即4。+/,2一4々2_^^式2$）2^句，因為直線協(xié)「

與橢圓C,有兩個不同的交點，所以有劣=16[—J+2（入+2）*-*+4]＞0,

設線段MN的中點的橫坐標是毛,則毛=五士三“i)

2(1+/)

設線段必的中點的橫坐標是/，則/=；-，由題意得芻=%，即有產+(1+/?>+1=0,

其中的△2=(1+m2—420,，〃之1或〃<一3；

當/?《一3時有〃+2<0,4—?<0,因此不等式A=16[-「+2(/7+2)/一〃2+4]〉0不

成立；因此〃N1,當〃=1時代入方程及+(1+/?+1=0得/=-1,將〃=1,/=-1代入不

等式=16]—/+2(〃+2)產—〃2+4]>0成立，因此/?的最小值為1.

42.(2009浙江文)(本題滿分15分)

17

已知拋物線C：￡=2py(p>0)上一點A(〃z,4)到其焦點的距離為了.

(I)求p與加的值；

(II)設拋物線C上一點P的橫坐標為"/>0),過P的直線交C于另一點0,交X軸于

點M,過點。作PQ的垂線交C于另一點N.若MN是C的切線，求1的最小值.

解(I)由拋物線方程得其準線方程：y=--，根據(jù)拋物線定義

2

[*"71

點A(九4)到焦點的距離等于它到準線的距離，即4+"=—，解得「=一

242

.?.拋物線方程為：》2=y,將A(根,4)代入拋物線方程，解得m=±2

(II)由題意知，過點尸?,產)的直線PQ斜率存在且不為0,設其為女。

_t--Lbt_產+kf

則/9：^一產=《x—。，當y=O,x=-------,則加(--------,0)。

kk

聯(lián)立方程|整理得：x2-kx+t(k-t)^0

x=y

即:(x-t)[x-(k-1)]=0,解得x=E，或5=々一，

1

:.Q(k-t,(k-t)02),而QNLQP,.?.直線NQ斜率為一;

k

2

：.lNQ:y-(k-t)=-j[x-(k-t)],聯(lián)立方程一伙一‘尸=一工一伙一')]

卜[一

整理得：/(左一=0,即：質2+》一優(yōu)_/)%伏_。+]]=0

kk

[kx+k(k-Z)4-1][x-(Z:-r)]=0,解得：x=?,或1=%一1

.^-0+1次(2_f)+l]2

??陽-一k—'-P-)’

囪j)+lf

.K:W(一一丁+1)2

"NM_k(k-t)+l-t2+kt~k(t2-k2-l)

kk

而拋物線在點N處切線斜率：k切=y'“j)+i=二2k*二)二2

x=-r-k

?Lu.a^.z.isx/,L-Aii(k~—kt+V)~—2k(k_t)2

???MN是拋物線的切n線，/.J——一一=-----——--，

k(t2-k2-1)k

???整理得/+汰+1—2〃=0

272

-4(1-2/)20,解得￡?-二(舍去)，或心，

333

43.(2009北京文)(本小題共14分)

已知雙曲線C:乂—與=1(。>0]>0)的離心率為也,右準線方程為x=B。

ab3

(I)求雙曲線C的方程；

(II)已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A,B,且線段46的中點在圓

x2+y2=5±,求/的值.

【解析】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程

的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力.

解(I)由題意，得，C3,解得a=i,c=J5,

2

從=_/=2,.?.所求雙曲線c的方程為——21=].

2

(II)設46兩點的坐標分別為(％,%),(&,%)，線段48的中點為知(%,％)，

2y21

尸__1

由，~2~得f—2/nx—m2-2=0(判別式△>()),

X+y+m=0

X]+々

=根，%=%+m=2m,

2

;點M(%,%)在圓f+=5上,

m~+（2團）-=5,m=±1.

44.（2009北京理）（本小題共14分）

已知雙曲線c：；?一與=13＞0,。＞0）的離心率為石，右準線方程為％=走

a~b23

（I）求雙曲線C的方程；

（II）設直線/是圓。：％2+了2=2上動點「（々）,%）（＞0%/0）處的切線，/與雙曲線C交

于不同的兩點AB，證明NA03的大小為定值.

【解法1】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程

的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力.

（I）由題意，得，’3,解得a=l,c=G，

,a

一/=2,，所求雙曲線。的方程為爐一￡=].

2

（II）點尸（飛,%）（（%wO）在圓爐+y=2上,

圓在點P（x0,y0）處的切線方程為y—%=-^（x-x0）,

化簡得x（）x+Noy=2.

V_/=1

由.2及片+=2得（3片一4卜2-4%%+8-=0,

d（）x+%y=2

?.?切線/與雙曲線C交于不同的兩點A、B,且0＜片＜2,

3%一4H0,且A=16%—4（3%—4乂8—2片）＞0,

設A.6兩點的坐標分別為（王,y）,（工2，%），

?,4x8—2x7

貝!Ix+x=—：--0--,X.X-,=—：------,

1―23片-4廠3x^-4

OAOB

cosZAOB-且

|OA|.|OB|

—xX])(2—xx),

0A.OB=\x2+yxy2=x/+0o2

XyX2+-------^4-2x0(Xj+X2)+XQXJX2J

=8-2片+]L_8片卡—(8-2%)

一34-42一片[3片-43x^-4

8—2x()8-2xg0

3XQ—43x；—4

NA08的大小為90°.

【解法