2020-2021學(xué)年焦作市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(含解析)

2020-2021學(xué)年焦作市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(理科)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.已知全集為R,集合4={x|xNl},那么集合CR4等于()

A.{x\x>1}B.{x\x>-1}C.{x\x<1}D.{x\x<-1}

2.一個容量40的樣本數(shù)據(jù)分組后組數(shù)與頻數(shù)如下：[25,25.3),6；[25.3,25.6),4；[25.6,25.9),10；

[25.9,26.2),8；[26.2,26.5),8；[26.5,26.8),4；則樣本在[25,25.9)上的頻率為()

A.B.之C.；D.；

201024

y>x

3,已知實數(shù)居y滿足有不等式組k+y42,且z=2無+y的最大值是最小值的2倍，則實數(shù)Q的值

X>a

是()

124

2---

A.B.253

4,等差數(shù)列{a"的公差為d，則數(shù)列{can}(c為常數(shù)且c40)是()

A.公差為d的等差數(shù)列B.公差為cd的等差數(shù)列

C.不是等差數(shù)列D.以上都不對

5.已知a>b>l>c>0,對以下不等式

①c。>cb

@Ca>C

③鏟>仔

④ez>eE

⑤l0gc：>10gc：，

其中成立的是()

A.①②⑤B.②③④C.②③⑤D.③④⑤

6.已知十=(1,2,1),(2,—4,1),貝！I2N+E等于()

A.(4,-2,0)B.(4,0,3)C.(-4,0,3)D.(4,0,-3)

7.橢圓l(a>b>0)的左、右焦點分別是F「F2,以FI為圓心的圓過橢圓的中心，且與橢

圓交于點P,若直線PF2恰好與圓Fi相切于點P,則橢圓的離心率為()

A老二B.直匚C.立D.V3-1

222

8.與直線,就-歲-4=頓和圓/書姬導(dǎo)樂-物=岫都相切的半徑最小的圓的方程是（）

A.電：端電H康*=襄B.雅端工^什加^胡（=斗

C.繪x理*1:r尋題產(chǎn)=鬟D.>獺>皆順產(chǎn)=到

9.8.下列命題為真命題的是

2^L：

A.已知〃，beR,則“-”是“4>0且》〈0”的充分不必要條件

ab

B.已知數(shù)列為等比數(shù)列，則"處<生<"'是的既不充分也不必要條件

C.已知兩個平面以，P,若兩條異面直線?在，落滿足濘手二。，打u,且微//p,為//<x,則

a//P

D.3x0e（-x,0）,使3%<4**成立

10.存在％>0,使得?+x-aW0,則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.a>2B.a>2C.a<2D.a<2

11.在等比數(shù)列｛斯｝中，a3.%5是方程/一7%+12=0的兩個根，則若的值為（）

A.+2V3B.2V3C.-2V3D.4

12.設(shè)閾，竭分別為雙曲線n儂f*c%期海頌的左，右焦點.若在雙曲線右支上存在一點辭,

滿足陽匐=1弱蝴，且弱到直線璃的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的離心率為（）

D.-

2

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.定長為3的線段4B的端點在拋物線y2=x上移動，求線段48中點到y(tǒng)軸的距離的最小值為.

14.數(shù)列｛冊｝中，的=1,a4=-55,且數(shù)列｛即+1｝為等比數(shù)列，則a?=.

15.已知三棱錐P-4BC的所有棱長都相等，且AB=2,點。在棱錐的高PH所在的直線上，PA、PB

的中點分貝為E、F,滿足方=mOE+nOF+kOC>m,n,keR,且k6［一2,一勺，則|巒|

的取值范圍是.

16.劉徽(約公元225年-295年)是魏晉時期偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理武

論的奠基人之一，他的杰作《九章算術(shù)注少和腐島算經(jīng)/是中國寶\\

貴的古代數(shù)學(xué)遺產(chǎn).仇章算術(shù)?商功》中有這樣一段話：“斜解立方，\

得兩邂堵.斜解蜜堵，其一為陽馬，一為鱉腌.”劉徽注：“此術(shù)膈匚、

者，背節(jié)也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云.”其實這里所c

謂的“鱉膈，就是在對長方體進行分割時所產(chǎn)生的四個面都為直角三角形的三棱

錐.如圖，在三棱錐A-BCD中，力B垂直于平面BCD,AC垂直于CD,且AB=BC=CD=1,

則三棱錐4-BCD的外接球的球面面積為.

三、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

17.命題p：函數(shù)f(x)=x2一依+2在(—8,1]上是減函數(shù)；命題q：不等式k/+依+1>o的解集

為R;若命題pvq為真命題，pAq為假命題，求實數(shù)k的取值范圍.

18.在△ABC中，內(nèi)角4,B,C,的對邊分別為a,b,c,已知向量隹=(cosy,-siny),n=(cospsin^),

且滿足|沆+利=y/3

(1)求角4的大??；

(2)若b+c=V5a，判斷△ABC的形狀.

19.如圖，在直三棱柱4BC-4BiG中，乙4cB=90。，E,F,G分

別是441，AC,BBi的中點，且CG_LC[G.

(I)若。為BE的中點，求證：。尸，平面為C1G；

(口)若AC=4,BC=2,求平面BEF與平面BIGCB所成角的正弦值.

20.(本小題滿分13分,(I)小問6分，(口)小問7分)已知正項等比數(shù)列強，滿足:

:%5=4遜H■通=翼.

(I)求數(shù)列感治導(dǎo)的通項公式；

?第

(口)若敏=求數(shù)列摩蜷的前事項和?鼠.

號,蟒書取怎

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，尸是拋物線C：/=2py(p>0)的焦點，M是拋物線C上位于第一象

限內(nèi)的任意一點，過M,F,。三點的圓的圓心為Q,點Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為

翎

(1)求拋物線C的方程.

(2)是否存在點M,使得直線MQ與拋物線C相切于點M?若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明

理由.

22.已知橢圓C：捻+《=l(a>b>0)的離心率為彳，四個頂點圍成的四邊形的內(nèi)切圓半徑為爭

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)居，尸2的左、右焦點，過尸2作直線交橢圓于M、N兩點，求三角形MN0面積的最大值及取得最

大值時直線MN的方程.

參考答案及解析

1.答案：C

解析：解：???全集為R,集合4={x|x?l},

CRZ={x|x<1).

故選：C.

根據(jù)全集R及4,求出力的補集即可.

此題考查了補集及其運算，熟練掌握補集的定義是解本題的關(guān)鍵.

2.答案：C

解析：

解：[25,25.9]包括[25,25.3],6；

[25.3,25.6],4；

[25.6,25.9],10；三組數(shù)據(jù),

???頻數(shù)為6+4+10=20,

??瀕率嗡=1.

故選C.

根據(jù)所給的樣本數(shù)據(jù)分組后組數(shù)與頻數(shù)，看出在所求的樣本區(qū)間所包含的數(shù)據(jù)個數(shù)，用數(shù)據(jù)個數(shù)除

以樣本容量得到樣本在[25,25.9)上的頻率.

本題考查頻率分布，這種問題的運算簡單，解題時若不出現(xiàn)筆誤則不會丟分，同學(xué)們解題時一定要

細(xì)心，認(rèn)真的對待每一個問題.

3.答案：B

聯(lián)立得4(a,a),

聯(lián)立｛1y=2,得8(1,1)，

化目標(biāo)函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z,

由圖可知Zmax=2xl+l=3,zmin=2a+a=3a,

由6a=3,得a=1.

故選：B.

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得

最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得到z的最值，再由z=2x+y的最大值是最小值的2倍列式求得a值.

本題考查了簡單的線性規(guī)劃考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

4.答案：B

解析：解：設(shè)bn=ca”，

則垢+i-bn=can+1-can=c(即+1-a?)=cd.

.?.數(shù)列｛can｝是公差為cd的等差數(shù)列.

故選：B.

本題考查等差數(shù)列的定義，是基礎(chǔ)題.

設(shè)%=can,由等差數(shù)列的定義可得數(shù)歹U｛ca“｝是公差為cd的等差數(shù)列.

5.答案：C

解析：解：①Ta>b>1>c>0,c。<c〃，.?.①錯誤.

111

②<-成立

-->CD

a匕

@va>h>l>c>0,-4>1,即G)a>G)b成立.

④a>b>1>C>0,.?.￡>1,i<i,.-.(|)<(i)t④錯誤.

⑤④a>h>1>c>0,0<~<P,ogc：>logc",成立.

故成立的是②③⑤，

故選：C.

分別根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)值的大小比較，利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.

6.答案：B

解析：

本題考查了向量坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.

利用向量數(shù)乘和加法的坐標(biāo)運算即可得出.

解：2a+b=2(1,2,1)+(2,-4,1)=(4,0,3)，

故選：B.

7.答案：D

解析：解：根據(jù)題意，橢圓條+，=l(a>b>0)的左、右焦點分別是B，

以后為圓心的圓過橢圓的中心，且與橢圓交于點P,

故圓的半徑r=c,由RtZiPFzFi得，4c2=c2+(2a-c)2,

得c?+2ac—2a2=0,即e2+2e—2=0,

解得e=V3—1>

故選：D.

根據(jù)題意，得到RtAPFzFi，且4c2=c2+(2a—c)2,化簡兩邊除以a2,轉(zhuǎn)化成離心率的方程，解

出即可.

本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，解方程求離心率，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，中檔題.

8.答案：C

解析：試題分析：由題意先確定圓心的位置，再結(jié)合選項進行排除，并得到圓心坐標(biāo)，再求出所求

圓的半徑.

考點：直線與圓的關(guān)系.

9.答案:C

解析：

選項「中，《+w-2=《+*+2=0+以=。。/〈。是已^且^④的必要不

ababab

充分條件，所以4錯；

選項3中，由為<%<小得］勺或彳:,，可以推出出<。5；但若則該

q>10<g<1

數(shù)列有可能是擺動的等比數(shù)列，如：1,-1,1,-1,1,-1……，此時推不出為<%<生,

4孫44

所以3錯；選項。中，當(dāng)x0<0時，—=(-)x?>(-)°=l?>3x?>4XS所以。錯.

故答案為C.

10.答案：B

解析：

本題考查了基本不等式及其應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

問題轉(zhuǎn)化為a>（x+^min,再用基本不等式求最小值.

解：>0,使得?+x—aW0,等價于a2（%+

???X+：22，T1=2,（當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等）

故a>2,

故選：B.

11.答案：B

解析：解：???在等比數(shù)列｛斯｝中，。3、的5是方程/一7%+12=0的兩個根，

?*,a3a15==12,

??.螫”=a9=>/12=2V3.

故選：B.

利用韋達(dá)定理、等比數(shù)列的性質(zhì)求出a3a15=謁=12,再由箕=。9,能求出結(jié)果.

本題考查等比數(shù)列的運算，考查韋達(dá)定理、等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力等數(shù)學(xué)

核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題.

12.答案:A

解析：試題分析：依題意|猾|=|端匐，可知三角形，巡鼐是一個等腰三角形，焉在直線瑞的投

影是其中點，根據(jù)雙曲定義可知|瑞鳴|=函牌匐=覬皆/蠲|=“丑甯由勾股定理可知

閾聞"=蒯滯演刊善媛=整■濟整理得對-罷甑一盤鏟=領(lǐng)，即鴛》一甥±-普=1配即

題漸

氤

熱鮑一有=就，解得度=士，故選：A.

3;

考點：雙曲線的性質(zhì).

13.答案：7

解析：解:設(shè)4（X1，%）802，丫2）

拋物線丫2=%的線準(zhǔn)線％=-；，

所求的距離為:

S=l審I

,11,1

Xi+4+%2+41\AF\+\BF\1

——=-----------——

2--42-------4

(兩邊之和大于第三邊且4B,F三點共線時取等號)

.|i4F|+|BF|1\AB\1_31_5

24—24244

故答案為：2,

先設(shè)出4B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線方程可求得其準(zhǔn)線方程，進而可表示出M到y(tǒng)軸距離，根據(jù)拋物線

的定義結(jié)合兩邊之和大于第三邊且4B,F三點共線時取等號判斷出空產(chǎn)的最小值即可.

本小題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)、利用不等式求最值等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形

結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.

14.答案：—7

解析：解：?.數(shù)?列｛Qn｝中，即=1,。4=一55,且數(shù)列｛冊+1｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q,

則Q4+1=(%+l)q3,

即-54=2q3,解得q=-3,

***a2+1=(%+1)x(—3)=—6,

=-7,

故答案為：-7.

設(shè)等比數(shù)列的公比為q,依題意可得-54=2q3,解得q=一3,從而可得a2+1=-6,于是可得答

案.

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)與通項公式，求得等比數(shù)列｛斯+1｝的公比是關(guān)鍵，屬于中檔題.

15.答案：住曲

解析：解：由麗=m南+n罰+k能，m,n,k&R,

得同=m的+n而+k萬

=m(PO-PE)+n(PO-而)+k(PO-OC)，

_mPE+nPF+kPc

m+n+k-1

p

???點。在正四面體的高上，且E、尸分別為P4、PB的中點,

■■m=n=2k,

―>mPE4-nPF+fcPC

PO=--------------------------

m+九+k—1

_kPA-i-k'PB^kPC

=5fc-l

k

=^—^(PA+PB+PC}

=占。3對

???1萬1=1d二|*|而|

oK—i

k2V6

5F^|X3X—

2連

Me［一3力,

.?.I同|e吟片］,

故答案為：吟，汽

根據(jù)題意，表示出向量訶、OE.OF^OC，

再根據(jù)向量相等，列出方程求出m、n,k的關(guān)系，

從而求出|赤|的取值范圍.

本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示與應(yīng)用問題，也考查了空間想象能力、計算能力與邏輯思維能力,

是較難的題目

16.答案:37r

解析：

取4。的中點0,連結(jié)OB、0C.由線面垂直的判定與性質(zhì)，證出4B1BD且

AC1CD,得到△48。與aACD是具有公共斜邊的直角三角形，從而得出

OA=OB=OC=OD=^AD,所以A、B、C、。四點在以。為球心的球面

上，再根據(jù)題中的數(shù)據(jù)利用勾股定理算出4。長，即可得到三棱錐4-BCD外

接球的半徑大小即可.

本題已知三棱錐的底面為直角三角形，由它的外接球的半徑.著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、

勾股定理與球內(nèi)接多面體等知識，屬于中檔題.

解：取4D的中點0,連結(jié)08、0C

???ABJ"平面BCD,AB1BD,

1

又CDJLAC,「0C是/?￡△4DC的斜邊上的中線，0C=y4￡).

同理可得：RtAABD中，OB=^AD,

0A=OB=OC=OD=1AD,可得4、B、C、D四點在以。為球心的球面上.

RtAABD中，4B=1且80=魚，可得40=百，

由此可得球。的半徑/?=3，

2

即三棱錐4-BCD外接球的球面面積為S=4TTR2=37r.

故答案為：37T.

17.答案：解：若命題p為真命題，則對稱軸即kN2；

若命題q為真命題，①當(dāng)A=0時，命題顯然成立；

②當(dāng)k￥0時，欲使不等式成立，則《2：°4k<o,即：0<k<4；

二若命題q為真命題，貝l10Wk<4；

??,命題pVq為真命題，pAq為假命題，

k>2

{k<0^k>4,即卜"；

②當(dāng)p假q真，則{晨久7即°小<2；

綜上所述：OSk<2或kN4.

解析：先假設(shè)p,q均為真命題求出其范圍，在利用pvq為真，pAq為假分類討論即可求解.

本題考查了復(fù)合命題的真假，考查學(xué)生的分析能力，計算能力；屬于中檔題.

18.答案：⑴解：因為|m+n|=V5，|m|=l，|n|=l所以有mn=：,

由向量運算得COSycos^-sinysin^=|

所以cosg+今=%即有sin?=%

因為在三角形中有Ae[0,利所以4=*

(2)因為b+c=V3a,

由正弦定理得sEB+sinC=y/SsinA,

所以sin(120°-C)+sinC=整理得在cosC+-sinC=-

2222

所以sin(C+30°)=y,所以C+30O=60。或C+30°=120°,

所以得到C=30?；駽=90°,

所以△ABC為直角三角形.

解析：(1)由|m+=V5，得有mn=g,由向量運算得sing=±即可求得4.

(2)由正弦定理得sinB+sinC=V3sinA>即sin(120°—C)+sinC=|,整理得4cosc+jsinC=|>

即可求出C.

本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查正弦定理與余弦

定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

19.答案：證明：(I)連接4G,貝必G與BE交于點D,

在△ACG中，DF是中位線，1?.DF//GC,

???在直三棱柱4BC-&B1C1中，CiClaG，

“CiBi=/.ACB=90°,

二C$i_LAiG，

又BICIDCCLa,Z?iGc平面BCCB.Cau平面BICCB.

則&G_L平面BICCB,

CdC平面31ad'B.A|G.LC'Ci)

又CG1QG,GGCAiCi=Cl,GGc平面力iGG..%C|c平面ASG

CG_L平面4GG,

???DFJ"平面4iC]G.

解：(II)在平面BiQCB中，ACGG是等腰直角三角形，則CQ=2BC=4,

分別以4C、BC、。的為光軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

貝兒(0。0),5(0,2,0),F(2,0,0),E(4,0,2),

.-.EF=(-2,0,-2)>BF=(2,-2,0).

設(shè)平面BEF法向量元=(x,y,z)

..I，］(n-EF=-2x—2z=0

(n-BF=2x-2y=0'

取x=l,則y=l,z=-l,得元=

平面BiGCB的一個法向量而=(2,0,0)，

設(shè)平面BEF與平面BiGCB所成角為0,

則cos。='^覆=sine=11-(―)2=—

???平面BE尸與平面&CiCB所成角的正弦值為爭

解析：本題考查線面垂直的證明，考查面面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題,

注意向量法的合理運用.

(I)連接4G,貝IJAG與BF交于點D,DF//GC,證明&G，平面8道道8,可推導(dǎo)出&C]1CG,再結(jié)

合CG1C1G,從而CG上平面為C1G,可證。尸J"平面&GG.

(口)分別以AC、BC、CC】為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面BEF與平

面4GCB所成角的正弦值.

20.答案：⑴%―通=品?

解析：試題分析：(I)設(shè)正項等比數(shù)列展儂的首項為甌，公比為智，則由%=q嶙升竭=贄列方

程組，并解出魂和顰的值，從而得到數(shù)列儂噓的通項公式；

（口）由（i）得時=今產(chǎn)=”.得％=??”去喬=Ad-右）于是可用拆項

醺“麟#可?&,,次:-畢2:也取a制濯普工

法求數(shù)列蹈燔的前晚項和＜.

試題解析：（I）設(shè)正項等比數(shù)列￡碼j的首項為豌，公比為甯，則由％=生艱開碼=留得

卜繩-零"=4’懶=工

''"'u.,，由于覷那僦意％頌解得4財皿，

|甯挈“汗婷=舞",J=S

所以迎=就“#小=曾口6分

13分

考點：1、等比數(shù)列：2、裂項法求數(shù)列的前制項和.

21.答案：（1）/=2y.（2）存在點“（0，1）

解析：（1）依題意知F；1虬￡；,圓心Q在線段OF的垂直平分線y=雪上.

R.篝，q

因為拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=-遵，所以整=W,即p=L

居44

因此拋物線C的方程為/=2y.

（2）假設(shè)存在點M「航”e1（%。＞0）滿足條件，拋物線C在點M處的切線斜率為VI%=&=1111%=

k.■■浦⑴

%0=%0，所以直線MQ的方程為y-2=Xo（x-

吸

令y