浙江省諸暨市牌頭中學高中數(shù)學《橢圓性質(zhì)》同步練習1

浙江省諸暨市牌頭中學高中數(shù)學《橢圓性質(zhì)》同步練習1

1.方程二+上一=1表示橢圓一機>0,n>0,且加%〃；是加，n中之較大者，焦點的位置也取決于加，

mn

n的大小.

v221

［舉例］橢圓上-+v匕=1的離心率為上，則機=_____

4m2

［鞏固］若方程：x、ay2=a2表示長軸,長是短軸長的2倍的橢圓，則a的允許值的個數(shù)是()

A1個B.2個C.4個D.無數(shù)個

22

2.橢圓5+4=1關(guān)于x軸、y軸、原點對稱；P(x,y)是橢圓上一點，則1x|Wa,|y|《b,

a"bI

a-cW|PF|Wa+c,(其中F是橢圓的一個焦點)，橢圓的通徑(過焦點且垂直于長軸的弦)長為2匕，

a

通經(jīng)是過焦點最短的弦.

22

［舉例1］已知橢圓1+%=1(4>0,6>0)的左焦點為F,右頂點為A,上頂點為B,

ab~

若BF,BA,則稱其為“優(yōu)美橢圓”，那么“優(yōu)美橢圓”的離心率為.

(注：關(guān)于a,b,c的齊次方程是“孕育”離心率的溫床.)

［鞏固1］一橢圓的四個頂點為4,A2,B“％,以橢圓的中心為圓心的圓過橢圓的焦點，且與四邊形兒B1A2B2相

內(nèi)切則，橢圓的離心率為.

r2v2

［遷移］橢圓一+1=1上有n個不同的點R,Pz,P3,…，P,?橢圓的右焦點F,數(shù)列｛|P?F|)

43

是公差大于」一的等差數(shù)列，則n的最大值為()

100

A.198B.199C.200D.201

3.圓錐曲線的定義是求軌跡方程的重要載體之一.

［舉例1］已知。Q：(x-l)2+y2=16,動。M過定點P(T,0)且與。Q相切，則M點的軌跡方程是：.

［鞏固1］已知圓C:(x+l)2+y2=25及點A(L0),Q圓上一點，AQ的垂直平分線交CQ于M,則點M的軌跡

方程為.

［鞏固2］設(shè)x、yGR,在直角坐標平面內(nèi)，a=(x,y+2),B=(x,y-2),且,a|+|B|=8,則點M(x,y)的軌跡方程

為.

［提高］已知A(0,7),B(0,-7),C(.12,2),以C為一個焦點作過A、B的橢圓，則橢圓的另一焦點的

軌跡方程為.

［遷移］P為,直線x-y+2=0上任一點，.一橢圓的兩焦點為3(-1,0)、Fz(1,0),則橢圓過P點且長軸最

短時的方程為.

4.研究橢圓上的點到其焦點的距離問題時，往往用定義;

［舉例1］如圖把橢圓工+匕=1的長軸AB分成8份，過

2516

每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于々，P2,……P］

七個點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則山尸|+區(qū)F|+......+\P7F\=

［鞏固1］橢圓的兩焦點為F“F2,以FR為一邊的正三角形的另兩條邊均被橢圓平分，則橢圓的離心率為.

［提高］過橢圓左焦點F且斜率為右的直線交橢圓于A、B兩點，若|FA|=2|FB|,則橢圓的離心率e=_

5.研究橢圓上一點與兩焦點組成的三角形（焦點三角形）問題時.，常用橢圓定義及正、余弦定理.

22

［舉例］已知焦點在x軸上的橢圓二+二=1,（6〉0）,氏,左是它的兩個焦點，若橢圓上存在點P,使得

4b~

—>—>

PF,PF2=0,則b的取值范圍是.

22

［鞏固1］橢圓］+Y=1的焦點為居、B，點P為其上的動點，

當NRPF2為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是.

22

［鞏固2］已知P是橢圓L+1一=1上一點，F(xiàn)l和Fz是焦點，若NFIPF2=30°,則4PF眄的面積為（）

54

A.B.4（2-73）C.4（2+73）D.4

6.橢圓的參數(shù)方程的重要用途是設(shè)橢圓上一點的坐標時，可以減少一個變量，或者說坐標本身就已經(jīng)體現(xiàn)出點

在橢圓上的特點了，而無需再借助圓的方程來體現(xiàn)橫縱坐標之間的關(guān)系；如求橢圓上的點到一條直線的距離

的最值.

［舉例］若動點（x,y）在曲線二+三=1仍>0）上變化，則r+2》的最大值為（）

4b

b2.h1

——+4(0<%<4),+4(0<&<2),

A.44D.<4

2b(^>4)2b(b>2)

c-V4D.2b

［鞏固］橢圓二+二=1上的點到直線2x-Ey+36=0距離的最大值是

94

答案

1.方程±-+?—=1表示橢圓一機>0,n>0,且加%〃；是加，n中之較大者，焦點的位置也取決于加，

mn

n的大小.

［舉例］怖圓二+匕=1的離心率為L則加=_1或竺—

4m23

［鞏固］若方程：x2+ay'W表示長軸長是短軸長的2倍的橢扇，則a的允訐值的個數(shù)是(B)

A1個B.2個C.4個D.無數(shù)個

22

2.橢圓5+4=1關(guān)于x軸、y軸、原點對稱；P(x,y)是橢圓上一點，則1x|Wa,|y|《b,

a"bI

a-cW|PF|Wa+c,(其中F是橢圓的一個焦點)，橢圓的通經(jīng)(過焦點且垂直于長軸的弦)長為2匕，

a

通經(jīng)是過焦點最短的弦.

22

［舉例1］已知橢圓1+%=1(4>0,6>0)的左焦點為F,右頂點為A,上頂點為B,

ab~

若BF,BA,則稱其為“優(yōu)美橢圓”，那么“優(yōu)美橢圓”的離心率為正二1

-------2--------------

(注：關(guān)于4,8,C的齊次方程是“孕育”離心率的溫床.)

［鞏固1］一橢圓的四個頂點為A“Az,B“Bz,以橢圓的中心為圓心的圓過橢圓的焦點，的橢圓的離心率為

V5-1

2-,

［遷移］橢圓二+匕=1上有n個不同的點P“七，P?,橢圓的右焦點F,數(shù)列{|PR}

43

是公差大于」一的等差數(shù)列，則n的最大值為(C)

100

A.198B.199C.200D.201

3.圓錐曲線的定義是求軌跡方程的重要載體之一.

22

［舉例1］已知。Q：(x-l)2+y2=16,動。M過定點P(T,0)且與。Q相切，則M點的軌跡方程是：_亍+"=1—.

［鞏固1］已知圓"。：(工+1)2+〉2=25及點41,0),。

4r"4v2

為圓上一點，AQ的垂直平分線交CQ于M,則,點M的軌跡方程為——+上=1

—2521-------------

［鞏固2］設(shè)x、yeR,在直角坐標平面內(nèi)，

■)2

-*———,xV

a=(x,y+2),。=(x,y-2),且Ia|+|/?|=8,則點M(x,y)的軌跡方程為_____+—=1,

［提高］已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),

以c為一個焦點作過A、B的橢圓，則橢圓的另一焦點的軌跡方程為―y2--=l,（y<0）_________.

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［遷移］P為直線x-y+2=0上任一點，一橢圓的

2r22V2

兩焦點為則橢圓過P點且長軸最短時的方程為——+上=1.

------53--------------

y

4.研究橢圓上的點到其焦點的距離問題時?，往往用定義；入該支久

［舉例1］如圖把橢圓［+（=1的長軸AB分成8分，過弋首^—）r

每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于耳，鳥，……P］

七個點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則|6刊+怛目+......+區(qū)刊=_35.

［鞏固1］橢圓的兩焦點為F,.F2,以FE為一邊的正三角形的另兩條邊均被橢圓平分，則橢圓的離心率為

73-1.

［提高］過橢圓左焦點F且斜率為Q的直線交橢圓于A、B兩點，若|FA|=2|FB］,則橢圓的離心率e=_2_

2-

5.研究橢圓上一點與兩焦點組成的三角形（焦點三角形）問題時，常用橢圓定義及正、余弦定理.

22

［舉例］已知焦點在工軸上的橢圓二+二=1,3〉0）,?,國是它的兩個焦點，若橢圓上存在點P,使得

贏「PF；=O,則匕的取值范圍是_（0,JI］.

22

［鞏固1］橢圓二+二=1的焦點為瑪、點P為其上的動點,

F2,

當ZF,PF2為