考點27綜合與實踐（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課程標(biāo)準(zhǔn)考點方法突破

考點27綜合與實踐

課標(biāo)對考點的要求

對綜合與實踐問題，中考命題需要滿足下列要求：

1.結(jié)合實際情境，經(jīng)歷設(shè)計解決具體問題的方案，并加以實施的過程，體驗建立模型、解決問題的過程，

并在此過程中，嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題。

2.會反思參與活動的全過程，將研究的過程和結(jié)果形成報告或小論文，并能進行交流，進一步獲得數(shù)學(xué)活

動經(jīng)驗。

3.通過對有關(guān)問題的探討，了解所學(xué)過知識（包括其他學(xué)科知識）之間的關(guān)聯(lián)，進一步理解有關(guān)知識，發(fā)

展應(yīng)用意識和能力。

重要考點知識解記

綜合實踐探究題類型比較煩雜，以問題表現(xiàn)形式來分，大致可歸類為開放型、新信息型、存在型等.包

括設(shè)計具體問題的方案，為了解決問題建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)實踐活動提出的數(shù)學(xué)問題，能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出

應(yīng)用。

一、開放型

開放型探究題按題型結(jié)構(gòu)分為條件開放型、結(jié)論開放型與策略開放型.此類探究題注重考查學(xué)生思維的

嚴謹性和培養(yǎng)發(fā)散思維的能力.

二、新信息型

進入新時代，新信息型探究題逐漸成為考查中的亮點，這類題目通常都會出現(xiàn)一些新的定義概念、規(guī)

則、運算等，如何理解和運用題中提供的新信息是處理此類問題的關(guān)鍵.比如“等鄰邊四邊形”、“智慧三

角形”、“勾股分割點”等都屬于新信息探究題.

三、存在型

存在與否型探索問題歷來都是考查的重點，幾何與代數(shù)都有涉及.解決此類問題的一般思路為假設(shè)結(jié)論

成立或存在.結(jié)合已知條件，建立數(shù)學(xué)模型，仔細分析，層層推進，如果能獲得相應(yīng)的結(jié)論，則假設(shè)成立，

如果出現(xiàn)矛盾則說明原假設(shè)并不成立.

探索結(jié)論的存在性問題，是綜合探究題之一，是開放型試題的重點題型，是中考的熱點，也是難點，更是

亮點。若在選擇題、填空題中出現(xiàn)，一般考查的難度屬于中等難度，若在選擇題或者填空題的最后一道小

題出現(xiàn)，就屬于壓軸題。但根據(jù)全國各地中考試卷看，探索結(jié)論的存在性問題，都以壓軸大題形式出現(xiàn)，

這類試題只是覆蓋面廣，綜合性強。解決問題基本思路是：首先假設(shè)研究的數(shù)學(xué)對象存在，然后從假設(shè)出

發(fā)，結(jié)合題目條件進行計算推理論證，若所得結(jié)論正確合理，說明結(jié)論存在；若所得結(jié)論不合理，說明結(jié)

論不存在。解題時要注意的是：（1）明確這類問題的解題思路，即假設(shè)存在法；（2）要對各方面知識理

解到位，能靈活應(yīng)用知識進行分析、綜合、概括和推理；（3）心中一定要裝有重要的數(shù)學(xué)思想方法，比如

建構(gòu)方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化思想等，在數(shù)學(xué)思想方法引領(lǐng)下，讓解決問題具有方向性，避免

盲目性。（4）作圖要科學(xué)規(guī)范，便于解決問題為宜。

四、其它類型。

中考典例解析

【例題1】（2021山東煙臺）綜合實踐活動課上，小亮將一張面積為24cm2,其中一邊8C為8c,”的銳角三

角形紙片（如圖1）,經(jīng)過兩刀裁剪，拼成了一個無縫隙、無重疊的矩形8CCE（如圖2）,則矩形的周長

為cm.

圖1圖2

【答案】22.

【解析】延長AT交8c于點P,利用三角形的面積公式求出AP,求出BE,CD,DE,可得結(jié)論.

解：延長AT交BC于點P,

圖2

'：AP±BC,

.?.JL?BC?AP=24,

2

.?」X8XAP=24,

2

：.AP=6(cm),

由題意，AT=PT=3(cm),

：.BE=CD=PT=3(cm),

?:DE=BC=8cm,

，矩形BCQE的周長為8+8+3+3=22（cm）.

【例題2]（2020?攀枝花）實驗學(xué)校某班開展數(shù)學(xué)“綜合與實踐”測量活動.有兩座垂直于水平地面且高

度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線MN的距離皆為100C77?.王詩嬤觀測到高

度90c機矮圓柱的影子落在地面上，其長為7252；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示.已知落在地

面上的影子皆與坡腳水平線MN互相垂直，并視太陽光為平行光，測得斜坡坡度1=1：0.75,在不計圓柱厚

度與影子寬度的情況下，請解答下列問題：

（1）若王詩娘的身高為150a",且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長為多少cm?

（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個橫截面一定同在一個垂直于地面的平面內(nèi).請直接回答這

個猜想是否正確？

【答案】見解析。

【解析】（1）設(shè)王詩嬉的影長為XC7?,

90150

由題意可得：一=---,

72x

解得：x=120,

經(jīng)檢驗：x=120是分式方程的解，

王詩媾的的影子長為120OT；

（2）正確，

因為高圓柱在地面的影子與垂直，所以太陽光的光線與MN垂直，

則在斜坡上的影子也與MN垂直，則過斜坡上的影子的橫截面與MN垂直，

而橫截面與地面垂直，高圓柱也與地面垂直，

???高圓柱和它的影子與斜坡的某個橫截面一定同在一個垂直于地面的平面內(nèi)；

（3）如圖，48為高圓柱，AF為太陽光，△COE為斜坡，CF為圓柱在斜坡上的影子,

過點F作/GJ_CE于點G,

由題意可得：8c=100,CF=100,

??,斜坡坡度，=1：0.75,

#DEFG___1___4

…CE~CG_0.75-3’

???設(shè)FG=4m,CG=3m,在△CFG中，(46)2+(3①)2=1002,

解得：加=20,

???CG=60,FG=80,

，BG=BC+CG=160,

過點/作丁點、H,

;同一時刻，90a7?矮圓柱的影子落在地面上，其長為72。??，

FGLBE,ABLBE,FHLAB,

可知四邊形HBGF為矩形,

.90AHAH

**72-HF~BG'

□0on

：.AH=患XBG=含X160=200,

：.AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280,

故高圓柱的高度為280cm.

【例題3】（2021浙江嘉興）小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后，進一步開展探究活動：將一個矩

形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a（0°<aW90°）,得到矩形AB'CD',連結(jié)8￡）.

［探究1］如圖1,當(dāng)a=90°時，點C'恰好在08延長線上.若48=1,求BC的長.

［探究2］如圖2,連結(jié)AC',過點。'作O'M//AC交BO于點M.線段M與。M相等嗎？請說明理

由.

［探究3］在探究2的條件下，射線DB分別交A。'，AC于點P,N（如圖3）,發(fā)現(xiàn)線段DN,MN,PN

存在一定的數(shù)量關(guān)系，請寫出這個關(guān)系式，并加以證明.

圖1圖2圖3

【答案】見解析。

【解析】(1)如圖1，設(shè)8C=x,

圖1

?.?矩形ABCO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形AB'CD1,

...點A,B,D'在同一直線上，

：.AD,=AD=BC=x,D'C=AB'=AB=\,

：.D'B=AD'-AB=x-

VZBAD=Z￡>'=90°,

：.D'C'//DA,

又?.?點C在的延長線上，

?.D--'---C---'---=--D--'---B-,

ADAB

?

??1—=x---1--,

X1

解得制=上正，（不合題意，舍去），

22

2

(2)D'M=DM.

證明：如圖2,連接

???ZAD'M=ZD'AC,

a0

\AD'=ADfZAD'C=ZDAB=9O,D‘C=AB,

AAACD^ADAB(SAS),

,

：.ZDAC=ZADBf

,

：.ZADB=ZADMf

\'AD'=AD,

：.ZADD'=NADD,

:?/MDD=/MD'D,

:?D'M=DM；

(3)關(guān)系式為M#=PN?DN.

：./\AD'M^AADMCSSS),

???NM4D'=NMAD,

■:/AMN=NMAD+/NDA,NNAM=NMAD,+NNAP,

：.NAMN=NNAM,

:?MN=AN,

在△NAP和△%￡>△中，/ANP=/DNA,NNAP=NNDA,

：./\NRA^ANAD,

?PN_AN

"AN"DN'

:.A*=PN'DN,

：.MN2=PN'DN.

【例題4】（2021湖南邵陽）某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑EO與母線AD長之比為

1：2.制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中AB=AC,ADVBC.將扇形AEF圍成圓錐

時，AE,AF恰好重合.

（1）求這種加工材料的頂角/BAC的大小.

（2）若圓錐底面圓的直徑EO為5cm,求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積.（結(jié)果保留TT）

【答案】見解析。

【解析】（I）設(shè)/8AC=〃。.根據(jù)弧EF的兩種求法，構(gòu)建方程，可得結(jié)論.

（2）根據(jù)S-S財彩AEF求解即嘰

2

解：（1）設(shè)NBAC=〃°.

由題意得TV/）E=n兀"四,AD=2DE,

180

."=90,4c=90°.

（2）VAD=2D￡=10（cw）,

2

...Su產(chǎn)-S^AEf=—X10X20-90."10=（1。0-25n）cm2.

22360

考點問題綜合訓(xùn)練

一、選擇題

1.（2021浙江紹興）數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)從“中國結(jié)”的圖案（圖1）中發(fā)現(xiàn)，用相同的菱形放置，用2個

相同的菱形放置，得到3個菱形.下面說法正確的是（)

圖1圖2

A.用3個相同的菱形放置，最多能得到6個菱形

B.用4個相同的菱形放置，最多能得到16個菱形

C.用5個相同的菱形放置，最多能得到27個菱形

D.用6個相同的菱形放置，最多能得到41個菱形

【答案】B

【解析】根據(jù)題意畫出圖形，從圖形中找到出現(xiàn)的菱形的個數(shù)即可.

如圖所示，

用2個相同的菱形放置,最多能得到3個菱形;

用8個相同的菱形放置,最多能得到8個菱形,

用4個相同的菱形放置，最多能得到16個菱形，故選：8.

2.某數(shù)學(xué)興趣小組開展動手操作活動，設(shè)計了如圖所示的三種圖形，現(xiàn)計劃用鐵絲按照圖形制作相應(yīng)的造

A.甲種方案所用鐵絲最長B.乙種方案所用鐵絲最長

C.丙種方案所用鐵絲最長I).三種方案所用鐵絲一樣長

【答案】I).

【解析】考點是生活中的平移現(xiàn)象。分別利用平移的性質(zhì)得出各圖形中所用鐵絲的長度，進而得出答案.

由圖形可得出：甲所用鐵絲的長度為：2a+2b,

乙所用鐵絲的長度為：2a+2b,

丙所用鐵絲的長度為：2a+2b,

故三種方案所用鐵絲一樣長.

3.(2021浙江杭州)在“探索函數(shù)y=/+fec+c的系數(shù)a,b,c與圖象的關(guān)系”活動中，老師給出了直角

坐標(biāo)系中的四個點：A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3),發(fā)現(xiàn)這些圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式各

2262

【答案】A

【解析】比較任意三個點組成的二次函數(shù)，比較開口方向，開口向下，則?<0,只需把開口向上的二次函

數(shù)解析式求出即可.

由圖象知，A、8、。組成的點開口向上；

A、B、C組成的二次函數(shù)開口向上；

B、C、。三點組成的二次函數(shù)開口向下；

A、D、C三點組成的二次函數(shù)開口向下；

即只需比較A、B、。組成的二次函數(shù)和A、B.

設(shè)A、B、C組成的二次函數(shù)為yi=ai/+"x+c”

把4（4,2）,0）,5）代入上式得，

'j=2

<a4+b1+c1=3,

9a]+3b]+c]=5

解得0=5；

8

設(shè)A、B、。組成的二次函數(shù)為y=aY+Ar+c,

把A（0,4）,0）,3）代入上式得，

c=6

<a+b+c=0，

4a+2b+c=3

解得a=5/2,

即a最大的值為巨.

2

4.（2021湖南長沙）在一次數(shù)學(xué)活動課上，某數(shù)學(xué)老師將1~10共十個整數(shù)依次寫在十張不透明的卡片上

（每張卡片上只寫一個數(shù)字，每一個數(shù)字只寫在一張卡片上，而且把寫有數(shù)字的那一面朝下）.他先像洗

撲克牌一樣打亂這些卡片的順序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同學(xué)叫到講臺上，隨機地發(fā)給每位同學(xué)

兩張卡片，并要求他們把自己手里拿的兩張卡片上的數(shù)字之和寫在黑板上，寫出的結(jié)果依次是：甲：11；

乙：4；丙：16；T：7；戊：17.根據(jù)以上信息，下列判斷正確的是（）

A.戊同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是8和9

B.丙同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是9和7

C.丁同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是3和4

D.甲同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是2和9

【答案】A

【解析】由題意可知，一共十張卡片十個數(shù)，五個人每人兩張卡片，

每人手里的數(shù)字不重復(fù).

由甲：11,可知甲手中的數(shù)字可能是1和10,2和9,3和8,4和7,5和6；

由乙：4,可知乙手中的數(shù)字只有1和3；

由丙：16,可知丙手中的數(shù)字可能是6和10,7和9：

由?。?,可知丁手中的數(shù)字可能是1和6,2和5,3和4；

由戊：17,可知戊手中的數(shù)字可能是7和10,8和9；

...丁只能是2和5,甲只能是4和7,丙只能是6和10,戊只能是8和9.

.??各選項中，只有A是正確的.

二、填空題

1.（2021山東煙臺）數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機測量學(xué)校旗桿高度，已知無人機的飛行高度為40米，當(dāng)無

人機與旗桿的水平距離是45米時，觀測旗桿頂部的俯角為30°,則旗桿的高度約為米.（結(jié)果精確

到1米，參考數(shù)據(jù)：72^1,41,73^1.73）

廿

【答案】14.

【解析】過。點作OC_LA8的延長線于C點，垂足為C,利用直角三角形的解法得出OC,進而解答即可.

解：過。點作OCLAB的延長線于C點，垂足為C,

c

一小書市.........廠方

、、I

、、?

、I

、、、?

6口

?.?當(dāng)無人機與旗桿的水平距離是45米時，觀測旗桿頂部的俯角為30°,

，AC=45米，ZCAO=30°,

.?.OC=AC?tan30°=返*45=15?（米），

3

.??旗桿的高度=40-15遙七14（米）.

三、解答題

1.（2020?河南）小亮在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個問題：

如圖，點。是寬上一動點，線段8c=8cm,點4是線段BC的中點，過點C作C尸〃8D,交D4的延長線

于點E當(dāng)△OC尸為等腰三角形時，求線段的長度.

小亮分析發(fā)現(xiàn)，此問題很難通過常規(guī)的推理計算徹底解決，于是嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗研究此問題.請

將下面的探究過程補充完整：

(1)根據(jù)點。在BC上的不同位置，畫出相應(yīng)的圖形，測量線段BD,CD,尸。的長度，得到下表的幾組對

應(yīng)值.

BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0

CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40

FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0

操作中發(fā)現(xiàn)：

①”當(dāng)點D為筑1的中點時，BD=5.0cm”.則上表中a的值是；

②“線段C尸的長度無需測量即可得到”.請簡要說明理由.

(2)將線段8。的長度作為自變量x,C。和的長度都是x的函數(shù)，分別記為ye和ym，并在平面直

角坐標(biāo)系，中畫出了函數(shù)"D的圖象，如圖所示.請在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)yen的圖象：

(3)繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)△OCF為等腰三角形時，線段

8。長度的近似值(結(jié)果保留一位小數(shù)).

1

【答案】見解析。

【解析】(1)；點O為優(yōu)的中點，：.Bb=CD,：.BD^CD=a^5cm,

故答案為：5；

(2)?.?點A是線段8c的中點,

：.AB=AC,

'：CF//BD,：.ZF=ZBDA,

又,:ZBAD=ZCAF,

：./\BAD^^CAF(AAS),：.tiD=CF,

...線段CF的長度無需測量即可得到；

(3)由題意可得：

(4)由題意畫出函數(shù)ycF的圖象;

山圖象可得：8/)=3.8cvn或5a”或6.2a“時，△/)(?尸為等腰三角形.

2.(2020浙江寧波)I問題］小明在學(xué)習(xí)時遇到這樣一個問題：求不等式如+3/-x-3>0的解集.

他經(jīng)歷了如下思考過程：

［回顧］

k

(1)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線％=公+匕與雙曲線>2=—交于A(1,3)和8(-3,-1),

x

則不等式K的解集是.

X

［探究］將不等式/+3片-x-3>0按條件進行轉(zhuǎn)化：

當(dāng)x=0時，原不等式不成立；

3

當(dāng)x>0時，不等式兩邊同除以x并移項轉(zhuǎn)化為9+3x-1>一；

x

3

當(dāng)x<0時，不等式兩邊同除以x并移項轉(zhuǎn)化為N+3x-1<一.

x

(2)構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象：

3

設(shè)g=(+3》-1,/=一，在同一坐標(biāo)系中分別畫出這兩個函數(shù)的圖象；

x

3

雙曲線g=一如圖2所示，請在此坐標(biāo)系中畫出拋物線y=/+3x-1.(不用列表)

x

(3)確定兩個函數(shù)圖象公共點的橫坐標(biāo)：

觀察所畫兩個函數(shù)的圖象，猜想并通過代入函數(shù)解析式驗證可知：滿足的所有x的值為

［解決］

(4)借助圖象，寫出解集：

結(jié)合“探究”中的討論，觀察兩個函數(shù)的圖象可知：不等式V+35-x-3>0的解集為.

【解析】⑴如圖1中，觀察圖形可知：不等式依+〃>七的解集為x>l或-3VxV0.

x

故答案為：Q1或-3Vx<0.

(2)函數(shù)”=x2+3x-1的圖形如圖所示：

(3)觀察圖象可知，兩個函數(shù)圖象的公共點的橫坐標(biāo)為-3,-1,1.

經(jīng)過檢驗可知：點(-3,-1),點(-1,-3),點(1,3)是兩個函數(shù)的交點坐標(biāo),

滿足券=），4的所有X的值為-3或-1或1.

故答案為-3或-1或1.

3

（4）觀察圖象，當(dāng)x>0時，不等式兩邊同除以x并移項轉(zhuǎn)化為f+3x-1>—的解集為x>l,

x

3

當(dāng)xVO時，不等式兩邊同除以x并移項轉(zhuǎn)化為爐+3》-1〈一的解集為x<-3或-l<x<0,

x

不等式X3+3J?-x-3>0的解集為x>1或x<-3或-1<x<0.

故答案為X>1或x<-3或-l<x<0.

【點撥】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知

識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題，把不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題解決，屬于中考

壓軸題.

3.（2020湖北隨州）一個問題解決往往經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)猜想一探索歸納——問題解決的過程，下面結(jié)合一道幾

何題來體驗一下.

（發(fā)現(xiàn)猜想）（1）如圖①，已知/AOB=70。，/A0￡>=100。，OC為NB。。的角平分線，則/AOC的度數(shù)

為;?

圖①圖②

（探索歸納）（2）如圖①，ZAOB=m,ZAOD=n,OC為NBOD的角平分線.猜想NAOC的度數(shù)（用含

相、〃的代數(shù)式表示），并說明理由.

（問題解決）（3）如圖②，若NAO8=20。，ZAOC=90°,乙403=120。.若射線08繞點O以每秒20。逆

時針旋轉(zhuǎn)，射線OC繞點。以每秒10°順時針旋轉(zhuǎn)，射線。。繞點。每秒30。順時針旋轉(zhuǎn)，三條射線同時旋

轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線與直線04重合時，三條射線同時停止運動.運動幾秒時，其中一條射線是另外兩條射線夾

角的角平分線？

【答案】見解析。

【解析】（1）85°；

(2)VZAOB^m,/AOD=n,ZBOD=n-m

?；0C為NBOO的角平分線

n-m

：,4BOC=

(3)設(shè)經(jīng)過的時間為k秒，

則/￡>04=120。-304；ZCOA=90°-lOx；ZBOA=20°+20x；

①當(dāng)在之前，OC為OB,。。的角平分線；30-20x=70-30x,加=4(舍)；

a13

②當(dāng)x在和2之間，OD為OC,08的角平分線;-30+20x=100-50x,x2=y；

717

③當(dāng)x在2和《之間，0B為OC,。。的角平分線；70-30X=-1004-50X,心=管；

3o

④當(dāng)x在:和4之間，0C為OB,0。的角平分線；―70+30x=-30+20x,值=4.

答：經(jīng)過學(xué)，1，4秒時，其中一條射線是另外兩條射線夾角的平分線.

【點撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì),

理清各個角之間存在的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程.

4.(2020?陜西)問題提出

(1)如圖1,在RtZXABC中，ZACB=9QQ,AOBC,/ACB的平分線交AB于點。.過點。分別作。E

±AC,DFLBC.垂足分別為E,F,則圖1中與線段CE相等的線段是.

問題探究

(2)如圖2,AB是半圓。的直徑，4B=8.P是循上一點，且苑=2兩，連接”，BP.N4PB的平分線

交于點C,過點C分別作CELAP,CFLBP,垂足分別為E,F,求線段CF的長.

問題解決

(3)如圖3,是某公園內(nèi)“少兒活動中心”的設(shè)計示意圖.已知。。的直徑48=70用點C在。。上，且

CA=CB.P為AB上一點，連接CP并延長，交。。于點￡>.連接A。，BD.過點P分別作PF

±BD,重足分別為E,F.按設(shè)計要求，四邊形PECF內(nèi)部為室內(nèi)活動區(qū)，陰影部分是戶外活動區(qū)，圓內(nèi)其

余部分為綠化區(qū).設(shè)AP的長為x(〃力，陰影部分的面積為yCm2).

①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②按照“少兒活動中心”的設(shè)計要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)AP的長度為30,”時，整體布局比較合理.試求當(dāng)AP=30〃?

時.室內(nèi)活動區(qū)(四邊形PEQF)的面積.

c

圖1圖2圖3

【答案】見解析。

【解析】(1)VZAC5=90°,DELAC,DF1.BC,

二四邊形CEQF是矩形，

平分NACB,DE±AC,DF±BC,

：.DE=DF,

二四邊形CEC尸是正方形，

:.CE=CF=DE=DF,

故答案為：CF、DE、DF；

(2)連接0P,如圖2所示：

???A8是半圓。的直徑，PB=2PA,

：.ZAPB=9QQ,ZAOP=jxl80°=60°,

/.ZABP=30°,

同（1）得：四邊形P￡Cf"是正方形，

：.PF=CF,

在Rt"PB中，PB=AB-cosZABP=8Xcos30°=8x甲=4v",

在R^c稗中，B4兩%=島=與=0。/，

T

?：PB=PF+BF,

:?PB=CF+BF,

即：4用=CF+第CF,

解得：CF=6-2^；

（3）①?；AB為。。的直徑,

二/ACB=乙4。8=90°,

,:CA=CB,

：.ZADC=ZBDC,

同（1）得：四邊形。EPF是正方形，

:.PE=PF,NAPE+NBPF=90°,NPEA=/PFB=90°,

...將△APE繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△?!'PF,PA'=%，如圖3所示:

則A'、F、8三點共線，Z.APE=ZAzPF,

.'.NA'PF+ZBPF=90°,即NA'PB=90°,

?*?SA/M￡+SAPBF=5A/MB=^PA''PB=（70-x）,

在RtAACB中，AC=BC=*AB=9x7O=35傳

-'■S^cB=1AC2=Ix（35在）2=1225,

11

-

一（70-x）+1225=-2

2'

②當(dāng)AP=30時，A'尸=30,PB=AB->4P=70-30=40,

在RtZXA'28中，山勾股定理得：A'B=\A'PZ+PB2=V302+402=50,

?..%，PB=y，B-PF=jPB*A'P,

1i

A-x50XPF=iX40X30,

22

解得：P尸=24,

???S四邊形/>EDF=P/=242=576（，/）,

.?.當(dāng)AP=30〃?時.室內(nèi)活動區(qū)（四邊形PE￡>F）的面積為576/?2.

c

圖3圖2

5.（2021山東濟寧）研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題.

（1）閱讀材料

立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角.

例如，正方體ABCQ-A'B'CD'（圖1）,因為在平面A4'CC中，CC'〃AH,A4'與AB相交

于點A,所以直線AB與A4'所成的/如'就是既不相交也不平行的兩條直線A8與CC'所成的角.

解決問題

如圖1,己知正方體ABCD-A'B'CD',求既不相交也不平行的兩直線84'與4C所成角的大小.

（2）如圖2,M,N是正方體相鄰兩個面上的點;

①下列甲、乙、丙三個圖形中，只有一個圖形可以作為圖2的展開圖，這個圖形是一；

②在所選正確展開圖中，若點M到AB,BC的距離分別是2和5,點N到BZ）,BC的距離分別是4和3,P

是上一動點，求PM+PN的最小值.

【答案】見解析。

【分析】（1）如圖1中，連接BC'.證明BC是等邊三角形，推出NBA'C=60°,由題意可知

NC'A'8是兩條直線AC與5A'所成的角.

（2）根據(jù)立方體平面展開圖的特征，解決問題即可.

（3）如圖丙中，作點N關(guān)于4）的對稱點K,連接交AD于P,連接PM此時尸M+PN的值最小，最

小值為線段MK的值，過點M作MJLNK于J.利用勾股定理求出MK即可.

解：（1）如圖1中，連接8C'.

D'C'

圖1

VAZB=BC=A'C,

...△A'BC是等邊三角形，

：.ZBA'C'=60°,

'：AC//A'C',

AZCZA'8是兩條直線AC與BA'所成的角，

兩直線B4'與AC所成角為60°.

（2）①觀察圖形可知，圖形丙是圖2的展開圖，

故答案為：丙.

②如圖丙中，作點N關(guān)于AO的對稱點K,連接MK交4。于P,連接PN,此時PM+PN的值最小，最小值

為線段MK的值，過點M作M/_LNK于J.

丙

由題意在RtZ\MKJ中，NMJK=90°，M/=5+3=8,JK=8-(4-2)=6,

M/C=7MJ2+JK2=V82+62=10,

...PM+PN的最小值為10.

6.（2021浙江紹興）拓展小組研制的智能操作機器人，如圖1,水平操作臺為/,高AB為50的，連桿BC

長度為70c〃?，C是轉(zhuǎn)動點，且AB

（1）轉(zhuǎn)動連桿BC,手臂8,使/ABC=143°,如圖2,求手臂端點。離操作臺/的高度。E的長（精確

到1cm,參考數(shù)據(jù)：sin530=0.8,cos53°*=0.6）.

（2）物品在操作臺/上，距離底座A端110cm的點M處，轉(zhuǎn)動連桿BC,手臂端點。能否碰到點M?請說

明理由.

VZABC=143°,

：.ZCBQ=53Q,

在RtZ\8CQ中，CQ=8C?sin53°^70X0.8=56cm,

'：CD//l,

：.DE=CP=CQ+PQ=56+50=106c/n.

(2)當(dāng)aCD共線時

BD=60+70=130cm,AB=50cm,

在Rt/XABO中，AB2+AD2^BD2,

/.AD=120cm>11Ocnt.

.??手臂端點。能碰到點

7.（2021浙江紹興）問題：如圖，在口48CD中，AB=8,ADAB,/ABC的平分線AE,F,求所的長.

答案：EF=2.

探究：（1）把“問題”中的條件“AB=8”去掉，其余條件不變.

①當(dāng)點E與點F重合時，求A8的長；

②當(dāng)點E與點C重合時，求所的長.

（2）把“問題”中的條件“AB=8,AD=5"去掉，其余條件不變，/）,E,尸相鄰兩點間的距離相等時，

求地的值.

【解析】（1）①證NOE4=ND4E,得DE=AO=5,同理3c=CF=5,即可求解；

②由題意得OE=OC=5,再由CF=BC=5,即可求解：

（2）分三種情況，由（1）的結(jié)果結(jié)合點C,D,E,尸相鄰兩點間的距離相等，分別求解即可.

解：（1）①如圖1所示：

圖1

?；四邊形ABCD是平行四邊形,

：.CD=AB=S,BC=AD=5,

：.ZDEA=ZBAE,

'：AE平分ND4B,

:.NDAE=4BAE,

：.ZDEA=ZDAE,

：.DE=AD=5,

同理：BC=CF=5,

?.?點E與點F重合,

AB=CD=DE+CF=10；

②如圖3所示:

D(F)C(E)

圖2

?點E與點C重合,

:.DE=DC=5,

,:CF=BC=5,

???點F與點D重合,

:.EF=DC=5；

（2）分三種情況：

①如圖3所示：

同（1）得：AD=DE,

?.?點C,D,E,尸相鄰兩點間的距離相等,

.-.AD=1:

AB4

②如圖4所示:

同(1)得：AD=DE=CF,

'：DF=FE=CE,

?AD=1.

AB6

③如圖5所示：

cE

AB

圖5

同（1）得：AD=DE=CF,

■:DF=DC=CE,

.?.挺1=2；

AB

綜上所述，的值為烏或2.

AB35

8.【材料閱讀】

地球是一個球體，任意兩條相對的子午線都組成一個經(jīng)線圈（如圖1中的。0）.人們在北半球可觀測到北

極星，我國古人在觀測北極星的過程中發(fā)明了如圖2所示的工具尺（古人稱它為“復(fù)矩”），尺的兩邊互

相垂直，角頂系有一段棉線，棉線末端系一個銅錘，這樣棉線就與地平線垂直.站在不同的觀測點，當(dāng)工

具尺的長邊指向北極星時，短邊與棉線的夾角a的大小是變化的.

【實際應(yīng)用】

觀測點力在圖1所示的。。上，現(xiàn)在利用這個工具尺在點4處測得a為31°,在點火所在子午線往北的另

一個觀測點6,用同樣的工具尺測得a為67°.圖是。。的直徑，PQYON.

（1）求/尺方的度數(shù)；

（2）已知0P=6400A-?,求這兩個觀測點之間的距離即00上篇的長.（加取3.1）

【答案】見解析。

【解析】（1）設(shè)點6的切線應(yīng)交加,延長線于點6,HD1BC千D,短掰交比、于點C,如圖所示:

則/麗'=67°,

■:NHBA2BHD=NBHANDHC=90°,

：.AIIBD=^DHC=&1°,

?：ON//BH,

：.4BEg/HBD=67。,

:.NB0E=9Q°-67°=23°,

■:PQLON,

：.2P0E=9Q°,

.*.ZW=90°-23°=67°；

(2)同(1)可證NR24=31°,

:/AOB=/POB-2P0A=61°-31°=36°,

二篇=炎*71x6400=3968(km).

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、弧長公式等知識；熟練掌握切線的性質(zhì)和弧長公式

是解題的關(guān)鍵.

9.（2020年浙江舟山）在一次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中，小兵將兩個全等的直角三角形紙片ABC和DEF拼在一起,

使點A與點F重合，點C與點D重合（如圖1）,其中NACB=NDFE=90°,BC=EF=3cm,AC=DF=4cm,

并進行如下研究活動.

活動一：將圖1中的紙片DEF沿AC方向平移，連結(jié)AE,BD（如圖2）,當(dāng)點F與點C重合時停止平移.

【思考】圖2中的四邊形ABDE是平行四邊形嗎？請說明理由.

【發(fā)現(xiàn)】當(dāng)紙片DEF平移到某一位置時，小兵發(fā)現(xiàn)四邊形ABDE為矩形（如圖3）.求AF的長.

活動二：在圖3中，取AD的中點0,再將紙片DEF繞點0順時針方向旋轉(zhuǎn)a度（0WaW90）,連結(jié)0B,

0E（如圖4）.

圖1圖2圖3圖4

【答案】見解析

【分析】【思考】

由全等三角形的性質(zhì)得出AB=DE,ZBAC=ZEDF,則AB〃DE,可得出結(jié)論；

【發(fā)現(xiàn)】

連接BE交AD于點0,設(shè)AF=x（cm）,則OA=OE=《（x+4）,得出OF=OA-AF=2-《x,由勾股定理可

22

（2-yx）2+32=-^-（x+4）2>解方程求出x,則AFuJ求出；

【探究】

如圖2,延長0F交AE『點H,證明△EFO烏ZXEFH（ASA）,得出EO=EH,FO=FH,則NEH0=NE0H=NOBD

=Z0DB,可證得△EOHTZXOBD（AAS）,得出BD=OH,則結(jié)論得證.

解：【思考】四邊形ABDE是平行四邊形.

證明：如圖，VAABC^ADEF,

AAB=DE,ZBAC=ZEDF,

；.AB〃DE,

.??四邊形ABDE是平行四邊形；

【發(fā)現(xiàn)】如圖1,連接BE交AD于點0,

圖1

丁四邊形ABDE為矩形，

???OA=OD=OB=OE,

設(shè)AF=x(cm),貝iJOA=OE=/(x+4),

AOF=OA-AF=2-—x,

2

在RtZ^OFE中，V0F2+EF2=0E2,

(2-^-X)2+32=-^-(X+4)2>

解得:x=-y,

4

9

???AF=Ncm.

【探究】BD=2OF,

證明：如圖2,延長OF交AE于點H,

??,四邊形ABDE為矩形，

???Z0AB=Z0BA=Z0DE=ZOED,OA=OB=OE=OD,

AZ0BD=Z0DB,Z0AE=Z0EA,

AZABD+ZBDE+ZDEA+ZEAB=360°,

???NABD+NBAE=180°,

.??AE〃BD,

AZ0HE=Z0DB,

VEF平分NOEH,

.,.ZOEF=ZHEF,

VZEF0=ZEEH=90°,EF=EF,

.,.△EFO^AEFH(ASA),

，EO=EH,FO=FH,

/.ZEH0=ZE0H=Z0BD=ZODB,

/.△EOH^AOBD(AAS),

，BD=OH=2OF.

10.(2021齊齊哈爾)綜合與實踐

數(shù)學(xué)實踐活動，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式.通過活動可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動手動腦能力，拓

展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗.讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣.

折一折：將正方形紙片ABCO折疊，使邊AB、AO都落在對角線AC上，展開得折痕AE、AF,連接EF,

如圖1.

(1)ZEAF=°.寫出圖中兩個等腰三角形：(不需要添加字母)；

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖I中的ZE4/繞點A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、C￡?于點P、Q,連接P。，如圖2.

(2)線段BP、PQ、OQ之間的數(shù)量關(guān)系為；

(3)連接正方形對角線8。，若圖2中的NPAQ的邊AP、AQ分別交對角線于點V、點N.如圖3,

則已

BM

剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線80剪開，如圖4.

(4)求證：BM2+DN2=MN2.

【答案】(1)45,△ABC.AADC：(2)BP+DQ=PQ..(3)0：(4)見解析

【解析】(1)由翻折的性質(zhì)可知：ZDAF=ZFAC,ZBAE=ZEAC,NE4F=NE4C+NE4C，根據(jù)

正方形的性質(zhì)：AB=BC^CD^AD,ZBAD=90°^ZDAF+ZFAC+ZBAE+ZEAC,則

ZEAF=-ZBAD=45°,AABC/ADC為等腰二角形；

2

(2)如圖：將△AOQ順時針旋轉(zhuǎn)90°,證明△APQ四△APQ'全等，即可得出結(jié)論；

(3)證明△ACQS^ABM即可得出結(jié)論；

(4)根據(jù)半角模型，將△AZW順時針旋轉(zhuǎn)90°,連接MN',可得DN=BN',通過△AMNdMCV'得

MMN=MN',ZiBMN'為直角三角形，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)由翻折的性質(zhì)可知：ZDAF=ZFAC,ZBAE=ZEAC

:ABCD為正方形

:.ZBAD=9O°,AB=BC=CD=AD

:.^ABC,^ADC為等腰三角形

???ABAD=ZDAF+ZFAC+ZBAE+ZEAC

/BAD=2(ZFAC+ZEAC)

;ZEAF=ZFAC+ZEAC

：.ZEAF=-/BAD=』x90。=45°

22

(2)如圖：將△ADQ順時針旋轉(zhuǎn)90。,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AQ=AQ',DQ=BQ'ZDAQ=ZBAQ'

由(1)中結(jié)論可得NPAQ=45。

?.?A3CD為正方形，ZBAD-=90°

：.ZBAP+ZDAQ=45°

：.NB4Q'+N8AP=45。

NPAQ=NPAQ'

???在^APQ和△APQ'中

AP=AP

<NPAQ=NPAQ'

AQ=AQ'

.?.△APQdAPQ'

PQ=PQ'

\PQ'=BQ'+BP

：.PQ=DQ+BP

(3)???BD,AC為正方形ABC。對角線

AC=y/2AB

:.ZABM=-ZACQ=45°,ABAC=45°

-.-ZPAQ=45°

：.ZBAM=450-ZPAC^ZCAQ=45°-ZPAC

ZBAM=ZCAQ

AABMS"CQ

.畢4=&

BMAB

（4）如圖：將AADN順時針旋轉(zhuǎn)90°,連接MN'、

由（2）中的結(jié)論可證△AMN'/△4AW

:.MN=MN'

ZD=45°,ZABD=45°

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：/D=NABN'=45。,DN=BN'

：.AMBN'=ZABD+ZABN'=90°

在中有用⑺+BN'2=MN'2

???BM2+DN2=MN2

【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，能夠綜合運用這些性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

II.（2021湖南益陽）“2021湖南紅色文化旅游節(jié)--重走青年毛澤東游學(xué)社會調(diào)查之路”啟動儀式于4

月29日在安化縣梅城鎮(zhèn)舉行，該鎮(zhèn)南面山坡上有一座寶塔，一群愛好數(shù)學(xué)的學(xué)生在研學(xué)之余對該寶塔的高

度進行了測量.如圖所示，在山坡上的A點測得塔底8的仰角/BAC=13°,塔頂。的仰角ND4C=38°,

斜坡A8=50米，求寶塔80的高（精確到1米）.

（參考數(shù)據(jù)：sinl30-0.22,cosl3°40.97,tanl3°=0.23,sin38°—.62,cos38°弋0.79,tan38°-0.78）

【答案】27米.

【解析】要求8。的長，由題意知可先求出BC、CO的長.再利用求出8。的長.

在Rt/XABC中，smZBAC=—,cos/8AC=螞，

ABAB

：.BC=AB^mZBAC=AB'smir弋50X0.22=11（米）；

AC=A8?cosN8AC=48?cosl3°?50X0.97=48.5（米）；

在中，tanND4C=改，

AC

.?.CD=AUtan/ZMC=AC?tan38°g48.5X0.78-37.83（米）；

：.BD^CD