2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 6-1　平面向量的概念 學(xué)案

6.1平面向量的概念新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.通過對力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的實(shí)際背景數(shù)學(xué)抽象2.理解平面向量的幾何表示和基本要素直觀想象3.理解共線向量和相等向量的含義直觀想象我們在物理學(xué)中已經(jīng)知道，力是矢量（既有大小，又有方向），如圖，放在水平桌面上的物體A.問題（1）物體A受到哪些力的作用？（2）物體A受到的力應(yīng)怎樣表示？

知識點(diǎn)一向量與數(shù)量1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.數(shù)量：只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量.提醒（1）數(shù)量是一個代數(shù)量，只有大小沒有方向，可以比較大小，如長度、質(zhì)量、面積、體積等都是數(shù)量；（2）向量既有大小又有方向，因?yàn)榉较虿荒鼙容^大小，所以向量不能比較大小.知識點(diǎn)二向量的幾何表示1.有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，它包含三個要素：起點(diǎn)、方向、長度.以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作AB，線段AB的長度也叫做有向線段AB的長度，記作｜AB｜.2.向量的表示（1）幾何表示：向量可以用有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向，向量AB的大小稱為向量AB的長度（或稱模），記作｜AB｜；（2）字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示（印刷用黑體a，b，c，…，書寫用a，b，c，…）.提醒（1）向量不能比較大小，但向量的模能比較大??；（2）有向線段是向量的幾何表示，并不是說向量就是有向線段.一條有向線段對應(yīng)著一個向量，但一個向量對應(yīng)著無數(shù)多條有向線段.知識點(diǎn)三零向量和單位向量1.零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作0.2.單位向量：長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量.提醒（1）定義中的零向量、單位向量都是只限制長度，不確定方向；（2）當(dāng)有向線段的起點(diǎn)A與終點(diǎn)B重合時，AB＝0；（3）在平面內(nèi)，將所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，它們的終點(diǎn)可構(gòu)成一個半徑為1的圓.知識點(diǎn)四相等向量與共線向量1.平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a與b平行，記作a∥b.規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量a，都有0∥a.2.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a與b相等，記作a＝b.1.給出下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有（）A.3個 B.4個C.5個 D.6個解析：B質(zhì)量、路程、密度、功只有大小，沒有方向，所以是數(shù)量，不是向量.2.下列命題正確的是（）A.如果｜AB｜＞｜CD｜，那么AB＞CDB.若a，b都是單位向量，則a＝bC.若a＝b，且a與b的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同D.零向量的大小為0，沒有方向解析：C向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小，故A錯誤；a與b都是單位向量，則｜a｜＝｜b｜＝1，但a與b方向可能不同，故B錯誤；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的，故D錯誤；C顯然正確.故選C.3.如圖所示，設(shè)O是正方形ABCD的中心，則下列結(jié)論正確的有.（填序號）

①AO＝OC；②AO∥AC；③AB與CD共線；④AO＝BO.解析：AO與OC方向相同，長度相等，∴①正確；∵A，O，C三點(diǎn)在一條直線上，∴AO∥AC，②正確；∵AB∥DC，∴AB與CD共線，③正確；AO與BO方向不同，∴二者不相等，④錯誤.答案：①②③題型一向量的有關(guān)概念【例1】（多選）下列說法中正確的有（）A.單位向量的長度大于零向量的長度B.零向量與任一單位向量平行C.向量AB和向量BA長度相等D.向量就是有向線段解析單位向量的長度為1，零向量的長度為0，A正確；零向量與任意向量平行，B正確；因?yàn)橄蛄緼B和向量BA是方向相反，模相等的兩個向量，C正確；向量是用有向線段來表示的，不能把兩者等同起來，D不正確.答案ABC通性通法1.判斷一個量是否為向量的兩個關(guān)鍵條件（1）有大??；（2）有方向.兩個條件缺一不可.2.理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問題（1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；（2）單位向量不一定相等，易忽略向量的方向.提醒兩個單位向量的模相等，但這兩個單位向量不一定相等.（多選）下列說法正確的是（）A.若a與b平行，b與c平行，則a與c一定平行B.共線向量一定在同一直線上C.若a＝b，則｜a｜＝｜b｜D.單位向量的長度為1解析：CDA中，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量平行，若b＝0，則a與c不一定平行，故A錯誤；B中，共線向量不一定在同一直線上，故B錯誤；C中，兩向量相等，它們的方向與長度均都相同，故C正確；D顯然正確.故選C、D.題型二共線向量與相等向量【例2】如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點(diǎn).（1）寫出與EF共線的向量；（2）寫出與EF的模相等的向量；（3）寫出與EF相等的向量.解（1）因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，所以EF∥BC，EF＝12BC又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以與EF共線的向量有FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB.（2）與EF的模相等的向量有FE，BD，DB，DC，CD.（3）與EF相等的向量有DB，CD.通性通法共線向量與相等向量的探求方法（1）尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再確定同向與反向的向量；（2）尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的線段，再確定哪些是同向共線的向量.提醒在尋找共線向量時不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.如圖所示，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形.（1）與向量ED相等的向量為；

（2）若｜AB｜＝3，則｜EC｜＝.

解析：（1）在?ABCD和?ABDE中，∵AB＝ED，AB＝DC，∴ED＝DC.（2）由（1）知，ED＝DC，∴E，D，C三點(diǎn)共線，｜EC｜＝｜ED｜＋｜DC｜＝2｜AB｜＝6.答案：（1）AB，DC（2）6題型三向量的表示及應(yīng)用【例3】在蔚藍(lán)的大海上，有一艘巡邏艇在執(zhí)行巡邏任務(wù).它首先從A點(diǎn)出發(fā)向西航行了200km到達(dá)B點(diǎn)，然后改變航行方向，向西偏北50°航行了400km到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變航行方向，向東航行了200km到達(dá)D點(diǎn).此時，它完成了此片海域的巡邏任務(wù).（1）作出AB，BC，CD；（2）求｜AD｜.解（1）如圖所示，作出AB，BC，CD.（2）由題意知AB∥CD，AB＝CD，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD＝BC＝400km，所以｜AD｜＝400km.（變設(shè)問）在本例的四邊形ABCD中，是否一定有AB＝DC？解：是.因?yàn)锳B與DC平行且相等，AB與DC的方向也相同，所以AB＝DC.通性通法用有向線段表示向量的步驟（1）定起點(diǎn)：先確定向量的起點(diǎn)；（2）定方向：再確定向量的方向；（3）定終點(diǎn)：有了起點(diǎn)和方向，結(jié)合向量的長度確定向量的終點(diǎn).一輛消防車從A地去B地執(zhí)行任務(wù)，先從A地向北偏東30°方向行駛2km到D地，然后從D地沿北偏東60°方向行駛6km到達(dá)C地，從C地又向南偏西30°方向行駛2km才到達(dá)B地.（1）在圖中作出AD，DC，CB，AB；（2）求B地相對于A地的位置.解：（1）向量AD，DC，CB，AB，如圖所示.（2）由題意知AD＝BC，∴AD＝BC，AD∥BC，則四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝DC，則B地相對于A地的位置為“北偏東60°，距離為6km”.1.如圖，在圓O中，向量OB，OC，AO是（）A.有相同起點(diǎn)的向量B.共線向量C.模相等的向量 D.相等向量解析：C由題圖可知OB，OC，AO是模相等的向量，其模均等于圓O的半徑.故選C.2.若BA＝CD，則四邊形ABCD的形狀為（）A.平行四邊形 B.矩形C.菱形 D.等腰梯形解析：A因?yàn)锽A＝CD，ABCD為四邊形，所以BA＝CD且BA∥CD，所以四邊形ABCD為平行四邊形.3.下列說法正確的是（）A.共線的兩個單位向量相等B.相等向量的起點(diǎn)可以不相同C.若AB∥CD，則一定有直線AB∥CDD.若向量AB，CD共線，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一直線上解析：B對于A，共線的兩個單位向量的方向可能相反，故錯誤；對于B，相等向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)都可能不相同，故正確；對于C，直線AB與CD可能重合，故錯誤；對于D，AB與CD可能平行，則A，B，C，D四點(diǎn)不一定共線.故選B.4.如圖，在矩形AFDC中，AC＝2AF，B，E分別為邊AC，DF的中點(diǎn)，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有