2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊(cè) 9-1-2　分層隨機(jī)抽樣9-1-3　獲取數(shù)據(jù)的途徑 學(xué)案

9.1.2分層隨機(jī)抽樣9.1.3獲取數(shù)據(jù)的途徑新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.通過(guò)實(shí)例，了解分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)和適用范圍，了解分層隨機(jī)抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法數(shù)學(xué)建模2.結(jié)合具體實(shí)例，掌握分層隨機(jī)抽樣的樣本均值數(shù)據(jù)分析3.知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑，包括：統(tǒng)計(jì)報(bào)表和年鑒、社會(huì)調(diào)查、試驗(yàn)設(shè)計(jì)、普查和抽查、互聯(lián)網(wǎng)等數(shù)學(xué)抽象某校高一新生共900人，其中男生500人，女生400人.學(xué)校想了解高一新生對(duì)文史類(lèi)課程的看法，以便開(kāi)設(shè)相關(guān)選修課程，準(zhǔn)備從高一新生中抽取45人進(jìn)行訪談.問(wèn)題（1）如果直接采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，會(huì)有什么缺點(diǎn)？（2）采用怎樣的抽樣方法較好？

知識(shí)點(diǎn)一分層隨機(jī)抽樣1.定義：一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱(chēng)為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱(chēng)為層.2.比例分配：在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱(chēng)這種樣本量的分配方式為比例分配.3.平均數(shù)的計(jì)算公式在分層隨機(jī)抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n.我們用X1，X2，…，XM表示第1層各個(gè)個(gè)體的變量值，用x1，x2，…，xm表示第1層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2層各個(gè)個(gè)體的變量值，用y1，y2，…，yn表示第2層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值，則第1層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為X－＝X1＋X2＋…＋XMM＝1第2層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為Y－＝Y(jié)1＋Y2＋…＋YNN＝1總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為W－＝∑i=1MXi＋∑由于用第1層的樣本平均數(shù)x－可以估計(jì)第1層的總體平均數(shù)X－，用第2層的樣本平均數(shù)y－可以估計(jì)第2層的總體平均數(shù)M×x－＋N×y在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，mM＝nN＝m＋nM＋N，可得MM＋因此，在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，我們可以直接用樣本平均數(shù)w－估計(jì)總體平均數(shù)W提醒（1）分層隨機(jī)抽樣的實(shí)施步驟：第一步，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體；第二步，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；第三步，把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本.（2）在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中需注意兩點(diǎn)：①抽樣比＝樣本量總樣本量；②可以直接用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)知識(shí)點(diǎn)二獲取數(shù)據(jù)的基本途徑獲取數(shù)據(jù)的基本途徑適用類(lèi)型注意問(wèn)題通過(guò)調(diào)查獲取數(shù)據(jù)對(duì)于有限總體問(wèn)題，一般通過(guò)抽樣調(diào)查或普查的方法獲取數(shù)據(jù)要充分有效地利用背景信息選擇或創(chuàng)建更好的抽樣方法，并有效避免抽樣過(guò)程中的人為錯(cuò)誤通過(guò)試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)沒(méi)有現(xiàn)存的數(shù)據(jù)可以查詢嚴(yán)格控制試驗(yàn)環(huán)境，通過(guò)精心的設(shè)計(jì)安排試驗(yàn)，以提高數(shù)據(jù)質(zhì)量通過(guò)觀察獲取數(shù)據(jù)自然現(xiàn)象借助專(zhuān)業(yè)測(cè)量設(shè)備通過(guò)長(zhǎng)久的持續(xù)觀察獲取數(shù)據(jù)通過(guò)查詢獲得數(shù)據(jù)眾多專(zhuān)家研究過(guò)，其收集的數(shù)據(jù)有所存儲(chǔ)必須根據(jù)問(wèn)題背景知識(shí)“清洗”數(shù)據(jù)，去偽存真1.為了研究近年我國(guó)高等教育發(fā)展?fàn)顩r，小明需要獲取近年來(lái)我國(guó)大學(xué)生入學(xué)人數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)，他獲取這些數(shù)據(jù)的途徑最好是（）A.通過(guò)調(diào)查獲取數(shù)據(jù) B.通過(guò)試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)C.通過(guò)觀察獲取數(shù)據(jù) D.通過(guò)查詢獲得數(shù)據(jù)答案：D2.某校高三年級(jí)有男生500人，女生400人，為了解該年級(jí)學(xué)生的體重狀況，從男生中隨機(jī)抽取25人，從女生中隨機(jī)抽取20人進(jìn)行調(diào)查.這種抽樣方法是（）A.分層隨機(jī)抽樣 B.抽簽法C.隨機(jī)數(shù)法 D.其他隨機(jī)抽樣解析：A從男生500人中抽取25人，從女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分層隨機(jī)抽樣.故選A.3.某校高一、高二、高三共有2800名學(xué)生，為了解暑假學(xué)生在家的每天學(xué)習(xí)情況，計(jì)劃用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為56的樣本，已知從高二學(xué)生中抽取的人數(shù)為19人，則該校高二學(xué)生人數(shù)為.

解析：設(shè)該校高二學(xué)生人數(shù)為x，則x2800＝1956，解得答案：950題型一分層隨機(jī)抽樣的概念【例1】下列問(wèn)題中，最適合用分層隨機(jī)抽樣抽取樣本的是（）A.從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會(huì)B.紅星中學(xué)共有學(xué)生1600名，其中男生840名，防疫站對(duì)此校學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)查，抽取一個(gè)容量為200的樣本C.從1000名工人中，抽取100人調(diào)查上班途中所用時(shí)間D.從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量解析A中總體所含個(gè)體無(wú)差異且個(gè)數(shù)較少，適合用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；C和D中總體所含個(gè)體無(wú)差異且個(gè)數(shù)較多，不適合分層隨機(jī)抽樣；B中總體所含個(gè)體差異明顯，適合用分層隨機(jī)抽樣.答案B通性通法分層隨機(jī)抽樣的前提和遵循的兩條原則（1）前提：分層隨機(jī)抽樣使用的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個(gè)體間差異較小，每層中所抽取的個(gè)體數(shù)可按各層個(gè)體數(shù)在總體的個(gè)體數(shù)中所占比例抽??；（2）遵循的兩條原則：①每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；②每層樣本量與每層個(gè)體數(shù)量的比等于抽樣比.要完成下列兩項(xiàng)調(diào)查：（1）某社區(qū)有100戶高收入家庭，210戶中收入家庭，90戶低收入家庭，從中抽取100戶調(diào)查有關(guān)消費(fèi)購(gòu)買(mǎi)力的某項(xiàng)指標(biāo)；（2）從某中學(xué)高一年級(jí)的10名體育特長(zhǎng)生中抽取3人調(diào)查學(xué)習(xí)情況，應(yīng)采用的抽樣方法分別是（）A.（1）用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，（2）用分層隨機(jī)抽樣B.（1）（2）都用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣C.（1）用分層隨機(jī)抽樣，（2）用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣D.（1）（2）都用分層隨機(jī)抽樣解析：C因?yàn)橛嘘P(guān)消費(fèi)購(gòu)買(mǎi)力的某項(xiàng)指標(biāo)受家庭收入的影響，而社區(qū)家庭收入差距明顯，所以（1）用分層隨機(jī)抽樣；從10名體育特長(zhǎng)生中抽取3人調(diào)查學(xué)習(xí)情況，個(gè)體之間差別不大，且總體和樣本容量較小，所以（2）用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.故選C.題型二分層隨機(jī)抽樣中的計(jì)算問(wèn)題【例2】（1）某班級(jí)有50名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)測(cè)試的平均成績(jī)是92分，如果30名男生的平均成績(jī)?yōu)?0分，那么20名女生的平均成績(jī)?yōu)榉郑?/p>

（2）分層隨機(jī)抽樣中，總體共分為2層，第1層的樣本量為20，樣本平均數(shù)為3，第2層的樣本量為30，樣本平均數(shù)為8，則該樣本的平均數(shù)為.

解析（1）設(shè)所求平均成績(jī)?yōu)閤－分，由題意得50×92＝30×90＋20×x－，解得（2）w＝2020+30×3＋3020+30答案（1）95（2）6通性通法進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常用到的關(guān)系（1）樣本量n總體的個(gè)數(shù)N（2）總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比；（3）已知數(shù)據(jù)x1，x2，…，xm的平均數(shù)為x－.，數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的平均數(shù)為y－，則數(shù)據(jù)x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均數(shù)為∑i=1m（多選）在《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問(wèn)題：“今有甲持錢(qián)五百六十，乙持錢(qián)三百五十，丙持錢(qián)一百八十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢(qián).欲以錢(qián)多少衰出之，問(wèn)各幾何？”其譯文為：今有甲持560錢(qián)，乙持350錢(qián)，丙持180錢(qián)，甲、乙、丙三人一起出關(guān)，關(guān)稅共100錢(qián)，要按照各人帶錢(qián)多少的比例進(jìn)行交稅，問(wèn)三人各應(yīng)付多少稅？下列說(shuō)法正確的是（）A.甲應(yīng)付5141109B.乙應(yīng)付3224109C.丙應(yīng)付1656109D.三者中甲付的錢(qián)最多，丙付的錢(qián)最少解析：ACD依題意，由分層隨機(jī)抽樣可知，100÷（560＋350＋180）＝10109，則甲應(yīng)付10109×560＝5141109（錢(qián)）；乙應(yīng)付10109×350＝3212109（錢(qián)）；丙應(yīng)付10109×180＝1656109（錢(qián)）題型三分層隨機(jī)抽樣的方案設(shè)計(jì)【例3】在100個(gè)產(chǎn)品中，有一等品20個(gè)，二等品30個(gè)，三等品50個(gè)，現(xiàn)要抽取一個(gè)容量為30的樣本，請(qǐng)說(shuō)明抽樣過(guò)程.解先將產(chǎn)品按等級(jí)分成三層：第一層，一等品20個(gè)；第二層，二等品30個(gè)；第三層，三等品50個(gè).然后確定每一層抽取的個(gè)體數(shù)，因?yàn)槌闃颖葹?0100＝310，所以應(yīng)在第一層中抽取產(chǎn)品20×310＝6（個(gè)），在第二層中抽取產(chǎn)品30×310＝9（個(gè)），在第三層中抽取產(chǎn)品50×310分別給這些產(chǎn)品編號(hào)并貼上標(biāo)簽，用抽簽法或隨機(jī)數(shù)法在各層中抽取，得到一等品6個(gè)，二等品9個(gè)，三等品15個(gè)，這樣就通過(guò)分層隨機(jī)抽樣得到了一個(gè)容量為30的樣本.通性通法設(shè)計(jì)分層隨機(jī)抽樣方案的思路在分層隨機(jī)抽樣中，確定抽樣比k是抽樣的關(guān)鍵.一般地，按抽樣比k＝nN（N為總體容量，n為樣本量）在各層中抽取個(gè)體，就能確保抽樣的公平性.注意在每層抽樣時(shí)，應(yīng)靈活采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法某單位有職工400人，其中不到37歲的有128人，37歲至49歲的有184人，50歲及以上的有88人.為了了解這個(gè)單位職工血脂高低情況（血脂高低與年齡有關(guān)），從中抽取50名職工進(jìn)行調(diào)查，應(yīng)該怎樣抽取？請(qǐng)寫(xiě)出具體的抽樣步驟.解：用分層隨機(jī)抽樣的方法來(lái)抽取樣本，步驟如下：（1）按年齡將職工分成三層：不到37歲的職工，37歲至49歲的職工，50歲及以上的職工；（2）確定每層應(yīng)抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)，抽樣比為50400＝18，則在不到37歲的職工中抽取128×18＝16（人），在37歲至49歲的職工中抽取184×18＝23（人），在50歲及以上的職工中抽取88×1（3）在各層中分別按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取樣本；（4）綜合每層抽樣，組成樣本.題型四獲取數(shù)據(jù)途徑的方法設(shè)計(jì)【例4】為了緩解城市的交通擁堵情況，某市準(zhǔn)備出臺(tái)限制私家車(chē)的政策，為此要進(jìn)行民意調(diào)查.某個(gè)調(diào)查小組調(diào)查了一些擁有私家車(chē)的市民，你認(rèn)為這樣的調(diào)查結(jié)果能很好地反映該市市民的意愿嗎？解一個(gè)城市的交通狀況的好壞將直接影響著生活在這個(gè)城市中的每個(gè)人，關(guān)系到每個(gè)人的利益.為了調(diào)查這個(gè)問(wèn)題，在抽樣時(shí)應(yīng)當(dāng)關(guān)注到各種人群，既要抽到擁有私家車(chē)的市民，也要抽到?jīng)]有私家車(chē)的市民.調(diào)查時(shí)，如果只對(duì)擁有私家車(chē)的市民進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果一定是片面的，不能代表所有市民的意愿.因此，在調(diào)查時(shí)，要對(duì)生活在該城市的所有市民進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，不要只關(guān)注到擁有私家車(chē)的市民.通性通法在統(tǒng)計(jì)活動(dòng)中，尤其是大型的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，為避免一些外界因素的干擾，通常需要確定調(diào)查的對(duì)象、調(diào)查的方法與策略，需要精心設(shè)計(jì)前期的準(zhǔn)備工作和收集數(shù)據(jù)的方法，然后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得出統(tǒng)計(jì)推斷.為了創(chuàng)建“和諧平安”校園，某校決定在開(kāi)學(xué)前將學(xué)校的電燈電路使用情況進(jìn)行檢查，以排除安全隱患，獲取電燈電路的相關(guān)數(shù)據(jù)應(yīng)該用什么方法？為什么？解：由于一個(gè)學(xué)校的電燈電路數(shù)目不算大，屬于有限總體問(wèn)題，所以應(yīng)該通過(guò)調(diào)查獲取數(shù)據(jù)，并且對(duì)創(chuàng)建“和諧平安”校園來(lái)說(shuō)，必須排除任一潛在或已存在的安全隱患，故必須用普查的方法.1.某市為了了解職工家庭生活狀況，先把職工按所從事的行業(yè)分為8類(lèi)（每類(lèi)家庭數(shù)不完全相同），再對(duì)每個(gè)行業(yè)抽取的職工家庭進(jìn)行調(diào)查，這種抽樣方法是（）A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B.隨機(jī)數(shù)法C.分層隨機(jī)抽樣 D.不屬于以上幾類(lèi)抽樣解析：C因?yàn)槁毠に鶑氖碌男袠I(yè)有明顯差異，所以是分層隨機(jī)抽樣.故選C.2.某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了了解該單位職工的健康情況，用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取樣本.若樣本中的青年職工為14人，則樣本容量為（）A.15B.20 C.25D.30解析：D設(shè)樣本容量為x，由題意得14x＝350750，得x＝30，3.某校開(kāi)展學(xué)生對(duì)食堂滿意度的調(diào)查活動(dòng)，已知該校高一年級(jí)有學(xué)生550人，高二年級(jí)有學(xué)生500人，高三年級(jí)有學(xué)生450人.