2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 9-2-2　總體百分位數(shù)的估計 學(xué)案

9.2.2總體百分位數(shù)的估計新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.結(jié)合實例，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義數(shù)學(xué)抽象2.能用樣本估計總體百分位數(shù)數(shù)學(xué)運算某省學(xué)業(yè)水平考試結(jié)果揭曉，根據(jù)規(guī)定，0.8%的同學(xué)需要補考.問題你知道如何確定需要補考的分?jǐn)?shù)線嗎？

知識點百分位數(shù)1.第p百分位數(shù)的定義一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有（100－p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.2.計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；第2步，計算i＝n×p%；第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第（i＋1）項數(shù)據(jù)的平均數(shù).3.四分位數(shù)第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)，第75百分?jǐn)?shù).這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).1.班級人數(shù)為50的班主任老師說“90%的同學(xué)能夠考取本科院校”，這里的“90%”是百分位數(shù)嗎？提示：不是.是指能夠考取本科院校的同學(xué)占同學(xué)總數(shù)的百分比.2.“這次數(shù)學(xué)測試成績的第70百分位數(shù)是85分”這句話是什么意思？提示：有70%的同學(xué)數(shù)學(xué)測試成績小于或等于85分.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)可能是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)，也可能不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù).（）（2）第0百分位數(shù)為這組數(shù)據(jù)中的最小的數(shù)，第100百分位數(shù)為這組數(shù)據(jù)中的最大的數(shù).（）（3）一組數(shù)據(jù)的某些百分位數(shù)可能是同一個數(shù).（）答案：（1）√（2）√（3）√2.下列關(guān)于一組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)的說法正確的是（）A.第50百分位數(shù)就是中位數(shù)B.總體數(shù)據(jù)中的任意一個數(shù)小于它的可能性一定是50%C.它一定是這組數(shù)據(jù)中的一個數(shù)據(jù)D.它適用于總體是離散型的數(shù)據(jù)解析：A由百分位數(shù)的意義可知選項B、C、D錯誤.3.某讀書會有6名成員，寒假期間他們每個人閱讀的書本數(shù)分別如下：3，2，5，4，3，1，則這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為（）A.3 B.4C.3.5 D.4.5解析：B由題意，這組數(shù)從小到大排列順序為：1，2，3，3，4，5，由6×75%＝4.5，可得這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為從小到大排列的第5個數(shù)為4.故選B.題型一總體百分位數(shù)的估計【例1】考察某校高二年級男生的身高，隨機抽取40名高二男生，實測身高數(shù)據(jù)（單位：cm）如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170160168174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161請估計該校高二年級男生身高的第25，50，75百分位數(shù).解把這40名男生的身高數(shù)據(jù)按從小到大排序，可得151156157157158159160160161161162163163163163164164165165166166167167167168168168168168168169169169170171171174174176180由25%×40＝10，50%×40＝20，75%×40＝30，可知樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為161.5，第50百分位數(shù)為166，第75百分位數(shù)為168.5.據(jù)此可估計該校高二男生身高的第25，50，75百分位數(shù)分別約為161.5，166和168.5.通性通法總體百分位數(shù)估計需要注意的兩個問題（1）總體百分位數(shù)估計的基礎(chǔ)是樣本百分位數(shù)的計算，因此計算準(zhǔn)確是關(guān)鍵；（2）由于樣本量比較少，因此對總體的估計可能存在誤差，因此對總體百分位數(shù)的估計一般是估計值而非精確值.某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A，將其種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)（單位：千克）如下：421，399，445，359，415，443，367，454，368，375，392，400，423，405，412，427，414，423，430，388，430，357，434，445，451試估計該品種小麥畝產(chǎn)的第80，95百分位數(shù).解：將25個樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，可得357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，445，451，454由80%×25＝20，95%×25＝23.75，可知樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為438.5，第95百分位數(shù)為第24項數(shù)據(jù)，為451.據(jù)此估計該品種小麥畝產(chǎn)的第80，95百分位數(shù)分別約為438.5和451.題型二由頻數(shù)（頻率）分布表求百分位數(shù)【例2】某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓(xùn)（稱為A類工人），另外750名工人參加過長期培訓(xùn)（稱為B類工人）.現(xiàn)用分層隨機抽樣方法（按A類、B類分兩層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）.（1）A類工人中和B類工人中各應(yīng)抽查多少人？（2）從A類工人中的抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如下表①和表②.表①生產(chǎn)能力分組[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]人數(shù)48x53表②生產(chǎn)能力分組[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]人數(shù)6y3618先確定x，y的值，再分別計算A類工人和B類工人生產(chǎn)能力的樣本數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)（保留兩位小數(shù)）.解（1）由已知可得，抽樣比k＝1001000＝1故從A類工人中應(yīng)抽查250×110＝25（人從B類工人中應(yīng)抽查750×110＝75（人）（2）由題意知4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5，6＋y＋36＋18＝75，得y＝15.A類工人生產(chǎn)能力頻率分布表為生產(chǎn)能力分組[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]頻率0.160.320.200.200.12由頻率分布表可知，A類工人生產(chǎn)能力在120以下的所占比例為16%＋32%＝48%，A類工人生產(chǎn)能力在130以下的所占比例為48%＋20%＝68%，因此，60%分位數(shù)一定位于[120，130）內(nèi).由120＋10×0.60可以估計A類工人生產(chǎn)能力的樣本數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為126.B類工人生產(chǎn)能力頻率分布表為生產(chǎn)能力分組[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]頻率0.080.200.480.24由頻率分布表可知，B類工人生產(chǎn)能力在130以下的所占比例為8%＋20%＝28%，B類工人生產(chǎn)能力在140以下的所占比例為28%＋48%＝76%，因此，60%分位數(shù)一定位于[130，140）內(nèi).由130＋10×0.60可以估計B類工人生產(chǎn)能力的樣本數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)約為136.67.通性通法由頻率（頻數(shù)）分布表求百分位數(shù)的方法（1）確定p%分位數(shù)所在區(qū)間[a，b）（并計算小于a的所有數(shù)據(jù)的頻率fa和小于b的所有數(shù)據(jù)的頻率fb），即p%∈（fa，fb）；（2）計算p%分位數(shù)為a＋（b－a）×p%-fafb－fa（其中b－a為組距，fb－fa為數(shù)據(jù)落在從某校隨機抽取100名學(xué)生，獲取了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻率分布表如下：排號分組頻數(shù)頻率1[0，2）60.062[2，4）80.083[4，6）17b4[6，8）220.225[8，10）250.256[10，12）120.127[12，14）a0.068[14，16）20.029[16，18]20.02合計1001（1）求頻率分布表中a，b的值；（2）計算50%分位數(shù)，并估計是否有50%的學(xué)生的閱讀時間達(dá)到7.68.解：（1）a＝0.06×100＝6，b＝17100（2）閱讀時間小于6小時的所占比例是0.06＋0.08＋0.17＝0.31，閱讀時間小于8小時的所占比例是0.06＋0.08＋0.17＋0.22＝0.53，所以50%分位數(shù)在[6，8）內(nèi)，所以50%分位數(shù)約為6＋2×0.因為7.73＞7.68，所以估計有50%的學(xué)生的閱讀時間達(dá)到7.68.題型三由頻率分布直方圖求百分位數(shù)【例3】某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，對不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（90分及以上為認(rèn)知程度高），現(xiàn)從參賽者中抽取了x人，按年齡分成5組（第一組：[20，25），第二組：[25，30），第三組：[30，35），第四組：[35，40），第五組：[40，45]），得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有5人.（1）求x；（2）求抽取的x人的年齡的50%分位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；（3）以下是參賽的10人的成績：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求這10人成績的20%分位數(shù)和平均數(shù)，以這兩個數(shù)據(jù)為依據(jù)，評價參賽人員對“一帶一路”的認(rèn)知程度.解（1）第一組頻率為0.01×5＝0.05，所以x＝50（2）由圖可知年齡低于30歲的所占比例為40%，年齡低于35歲的所占比例為70%，所以抽取的x人的年齡的50%分位數(shù)在[30，35）內(nèi)，由30＋5×0.50－0所以抽取的x人的年齡的50%分位數(shù)為32.（3）把參賽的10人的成績按從小到大的順序排列：88，90，92，92，95，96，96，97，98，99，計算10×20%＝2，所以這10人成績的20%分位數(shù)為90+922＝91這10人成績的平均數(shù)為110×（88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99）評價：從20%分位數(shù)和平均數(shù)來看，參賽人員的認(rèn)知程度較高.通性通法由頻率分布直方圖求百分位數(shù)的思路（1）頻率分布直方圖中p%分位數(shù)表示左側(cè)小矩形的面積之和等于p%的分點值；（2）由頻率分布直方圖求百分位數(shù)的方法與由頻率分布表求百分位數(shù)的方法相同；（3）根據(jù)一組數(shù)據(jù)的直方圖來估計這組數(shù)據(jù)的p%分位數(shù)時，直方圖的分組越多，組距越小，樣本數(shù)據(jù)的信息損失越少，估計效果越好.為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長（單位：cm），所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80，130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，你能估計一下60株樹木的第50百分位數(shù)和第75百分位數(shù)嗎？解：由題意知在[80，100）上的頻率為0.4，在[100，110）上的頻率為0.3，在[110，120）上的頻率為0.2，可知第50百分位數(shù)一定落在區(qū)間[100，110）上，由100＋10×0.5－0第75百分位數(shù)一定落在區(qū)間[110，120）上，由110＋10×0.75－綜上可知，第50百分位數(shù)和第70百分位數(shù)的估計值分別為103.3cm，112.5cm.1.下列一組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是（）2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6A.3.2 B.3.0C.4.4 D.2.5解析：A把該組數(shù)據(jù)按照由小到大排列，可得：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整數(shù)，則第3個數(shù)據(jù)3.2，是第25百分位數(shù).2.以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的15人的成績：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，則這15人成績的第80百分位數(shù)是（）A.90 B.90.5 C.91 D.91.5解析：B把成績按從小到大的順序排列為：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98.因為15×80%＝12，所以這15人成績的第80百分位數(shù)是90+9123.如圖是根據(jù)某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中的成績畫出的頻率分布直方圖，則由直方圖得到的25%分位數(shù)為（）A.66.5B.67C.67.5 D.68解析：C第一組的頻率為0.010×10＝0.1，前兩組的頻率之和為（0.010＋0.020）×10＝0.3，知25%分位數(shù)在第二組[60，70）內(nèi)，故25%分位數(shù)為60＋10×0.25－4.如圖是某市2023年4月1日至4月7日