2023-2024學(xué)年廣西南寧二中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年廣西南寧二中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知i是虛數(shù)單位，則i1?iA.1?2i2 B.?1+2.已知a，b是兩條不同的直線，α是平面，且a?α，b?α，則“a/?A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.既不充分又不必要條件 D.充要條件3.如圖所示，△ABC中，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，E是線段AD的靠近A的三等分點(diǎn)，則A.23BA+16BC

4.已知向量a=(2,0)，b=(λ,A.3 B.7 C.105.已知一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面半徑和高分別相等，圓柱的軸截面是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積和圓錐的側(cè)面積的比值是(

)A.54 B.455 6.已知m，n為實(shí)數(shù)，1?i(i為虛數(shù)單位)是關(guān)于x的方程x2A.0 B.1 C.2 D.47.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，若動(dòng)點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓上(正方形ABCD內(nèi)部，含邊界)A.(0,16)

B.[0,8.在△ABC中，已知a+b=A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰或直角三角形二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.過(guò)三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面

B.已知直線l，m，平面α，β，l/?/β，m//β，l?α，m?α，則α/?/β

C.10.復(fù)數(shù)z=2+i1?A.|z|=5 B.z的共軛復(fù)數(shù)為32+1211.把函數(shù)f(x)=sinx的圖象向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的12倍(A.最小正周期為π B.在區(qū)間[?π3,π6]上的最大值為312.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BA.若A1，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則BE=DF

B.存在點(diǎn)E，使得BD/?/平面A1CE

C.若A1，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則四棱錐

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.半徑為2cm，圓心角為2π3的扇形面積為14.已知向量AB=(?1,2)，AC=(2,3)15.在△ABC中，若a=1，cosA=16.如圖，在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知平面向量a,b滿足|a|=2，|b|=4，a與b的夾角為2π3．

(18.(本小題12分)

已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且sinBsinA+sinA19.(本小題12分)

如圖，在正方體中，S是B1D1的中點(diǎn)，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點(diǎn)．求證：

(1)平面EFG/?/平面DBB1D120.(本小題12分)

如圖，現(xiàn)有一直徑AB=2百米的半圓形廣場(chǎng)，AB所在直線上存在兩點(diǎn)C，D，滿足OC=OD=2百米(O為AB的中點(diǎn))，市政規(guī)劃要求，從廣場(chǎng)的半圓弧AB上選取一點(diǎn)E，各修建一條地下管道EC和ED通往C、D兩點(diǎn)．

21.(本小題12分)

已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且3ccosA+csinA=3b．

(22.(本小題12分)

定義非零向量OM=(a,b)的“相伴函數(shù)”為f(x)=asinx+bcosx(x∈R)，向量OM=(a,b)稱(chēng)為函數(shù)f(x)=答案和解析1.【答案】B

【解析】解：i1?i=i(1+2.【答案】B

【解析】解：依題意得，

當(dāng)a?α，b?α，a/?/α?xí)r，直線a與直線b的位置關(guān)系為平行或者異面，

當(dāng)a?α，b?α，a/?/b時(shí)，由線面平行的判定定理可得3.【答案】A

【解析】解：由題意可得：BE=BA+AE，AE=13AD，AD4.【答案】D

【解析】解：由已知可得，b在a上的投影向量為a?b|a|?a|a|=2λ2×2a=λ2a=(λ,0)，

5.【答案】B

【解析】解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則高為2r，母線長(zhǎng)為2r，

所以圓柱的側(cè)面積為2πr?2r=4πr2，

由題意可知，圓錐的底面半徑為r，高為2r，

所以圓錐的母線長(zhǎng)為r2+(2r)2=5r，

6.【答案】D

【解析】解：由1?i是關(guān)于x的方程x2?mx+n=0的一個(gè)根，

則1+i是關(guān)于x的方程x2?mx+n=0的一個(gè)根，

則m=1?i+1+i=2，7.【答案】B

【解析】解：建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，

設(shè)：A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(4,4)，

取CD的中點(diǎn)E，連接PE，所以8.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閍+b=atanA+btanB，

所以sinA+sinB=sinAsinAcosA+s9.【答案】AB【解析】解：對(duì)于A，過(guò)不共線的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若m/?/l，l/?/α，則m/?/α或m?α，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，由平面相交公理，可知10.【答案】CD【解析】解：z=2+i1?i=(2+i)(1+i)(1+i)(1?i)=12+32i，

對(duì)于A，|z|=(12)11.【答案】AD【解析】解：f(x)=sinx的圖象向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的12倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)g(x)=sin(2x+π312.【答案】BC【解析】解：對(duì)于A，若A1、C、E、F共面，根據(jù)長(zhǎng)方體相對(duì)的側(cè)面互相平行，可得A1E與CF平行、A1F與CE平行，

所以四邊形A1CEF是平行四邊形，可得到A1E與CF平行且相等，由此可得Rt△A1B1E≌Rt△CDF，

所以B1E=DF，可知BE=DF不成立，故A項(xiàng)不正確；

對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)E為BB1中點(diǎn)時(shí)，可得BD/?/平面A1CE，證明如下：

設(shè)A1C與B1D的交點(diǎn)為O，則O為B1D的中點(diǎn)，連接OE，則OE是△BB1D的中位線，

由OE/?/BD，OE?平面A1CE，BD?平面A1CE，可得BD/?/平面A1CE，故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C，若A1，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則四棱錐C1?A1ECF的體積等于三棱錐C1?A1EC的體積的2倍，13.【答案】4π【解析】解：因?yàn)榘霃綖?cm，圓心角為2π3的扇形，弧長(zhǎng)為4π3，

所以扇形面積為：12×14.【答案】?16【解析】解：由題意可得：BC=AC?AB=(3,1)，BD=AD?AB=(m+1,?15.【答案】1或4

【解析】解：如圖：設(shè)h是AB邊上的高，由三角形有唯一解的等價(jià)條件是a=h或a≥b，

由cosA=154?sinA=14，因?yàn)閎=x，所以h=bsinA=x4，

又因?yàn)閍=1，根據(jù)唯一解的條件可知：x4=116.【答案】16π【解析】解：設(shè)正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1的上底面的中心為O1，下底面中心為O2，其外接球球心為O，

∵A1B1=2,AB=22，

∴S正方形A1B1C1D1=2，S正方形ABCD=8，

則17.【答案】解：(1)因?yàn)閨a|=2,|b|=4,a與b的夾角為2π3，

所以a?b=|a|?|b|cos【解析】(1)由|a?b|=18.【答案】(1)證明：由正弦定理及條件可得ba+ab?4cosC=0，

由余弦定理可得b2+a2ab?4?a2+b2?c22a【解析】(1)借助正弦定理與余弦定理化簡(jiǎn)即可得；

(2)借助正弦定理與余弦定理化簡(jiǎn)后可得a2+c2=5b19.【答案】解：(1)證明：連接SB，由EG為△CSB的中位線，可得EG/?/SB，

由EG?平面BDD1B1，SB?平面BDD1B1，可得EG/?/平面BDD1B1；

由EF/?/DB，EF?平面BDD1B1，DB?//平面BDD1B1，

可得E【解析】(1)連接SB，由三角形的中位線定理、線面平行的判定定理，線面平行和面面平行的判定定理，即可得證；

(2)取B1C1的中點(diǎn)N，連接A1N，NE20.【答案】解：(1)在△DOE中，由余弦定理得：

ED2=OD2+OE2?2OD?OE?cos∠EOD=4+1?2×2×1×cosθ=5?4cosθ，

在△COE中，由余弦定理得：

【解析】(1)由余弦定理得：ED2=OD2+OE2?2OD?OE?21.【答案】解：(1)因?yàn)?ccosA+csinA=3b，

由正弦定理，得3sinCcosA+sinCsinA=3sinB=3sin(A+C)，

整理可得：3sinCcosA+sinCsinA=3sinAcosC【解析】(1)利用正弦定理，將等式中的邊化為角，根據(jù)和角公式以及同角三角函數(shù)的商式公式，可得答案；

(22