廣東省華附、省實、廣雅、深中四校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

2022學(xué)年下學(xué)期華附、省實、廣雅、深中高二四校聯(lián)考數(shù)學(xué)命題學(xué)校：華南師大附中定稿人：本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、考號、座位號等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)，并用2B鉛筆填涂相關(guān)信息.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的谷案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.第一部分選擇題(共60分)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知i為虛數(shù)單位，，則()A0 B. C. D.2.已知集合，，則()A. B. C. D.3.已知為等差數(shù)列的前項和，若，且，則()A. B. C. D.4.已知向量，滿足，且，記為在方向上的投影向量，則()A.4 B.3 C.2 D.15.小明將一顆質(zhì)地均勻的骰子拋擲三次，觀察向上一面的點數(shù)，已知三次點數(shù)都不相同，則三次點數(shù)之和不大于8的概率為()A. B. C. D.6.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，O為坐標(biāo)原點，過作C的一條漸近線的垂線，垂足為D，且，則C的離心率為()A. B.2 C. D.57.已知定義在上的函數(shù)滿足：關(guān)于中心對稱，是偶函數(shù)，且.則下列選項中說法正確的有()A.為偶函數(shù) B.周期為2C. D.是奇函數(shù)8.已知實數(shù)x，y滿足，則滿足條件的y的最小值為()A.1 B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，且，則下列各選項正確的是()A. B.C D.10.在平面直角坐標(biāo)系中，點繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)點，若，則可以取()A. B. C. D.11.已知點P是圓C：上的動點，直線與x軸和y軸分別交于A，B兩點，若為直角三角形，則點P的坐標(biāo)可以是()A. B.C. D.12.如圖，已知圓柱母線長為4，底面圓半徑為，梯形ABCD內(nèi)接于下底面圓，CD是直徑，，，過點A，B，C，D向上底面作垂線，垂足分別為，，，，點分別是線段，上的動點，點為上底面圓內(nèi)(含邊界)任意一點，則()A.若平面交線段于點，則B.若平面過點，則直線過定點C.的周長為定值D.當(dāng)點在上底面圓周上運動時，記直線與下底面所成角分別為，，則的取值范圍是第二部分非選擇題(共90分)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.“”是“”的_________條件.(選填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”)14.已知某學(xué)校高二年級有男生500人、女生450人，調(diào)查該年級全部男、女學(xué)生是否喜歡徒步運動等高堆積條形圖如下，現(xiàn)從所有喜歡徒步的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取24人，則抽取的女生人數(shù)為______．15.在三棱錐中，已知平面平面，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為______．16.若數(shù)集S的子集滿足：至少含有2個元素，且任意兩個元素之差的絕對值大于1，則稱該子集為數(shù)集S的超子集.已知集合，記的超子集的個數(shù)為，則____________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面底面，且，，E為CD中點，F(xiàn)為AD的中點.(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積.18.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，求周長的最大值.19.設(shè)數(shù)列的前n項和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)解關(guān)于n的不等式：.20.某籃球聯(lián)賽分為初賽和復(fù)賽兩個階段，組委會根據(jù)初賽成績進(jìn)行第一階段排名(假設(shè)排名不重復(fù))，前六名的球隊直接進(jìn)入復(fù)賽，第七、八名的球隊進(jìn)行第一場復(fù)活賽，勝者進(jìn)入復(fù)賽；第九、十名的球隊進(jìn)行一場比賽，勝者與第一場復(fù)活賽的敗者進(jìn)行第二場復(fù)活賽，本場的勝者成為進(jìn)入復(fù)賽的最后一只球隊.假設(shè)各場比賽結(jié)果互不影響，且每場比賽必須分出勝負(fù)(1)若初賽后，甲、乙、丙、丁四隊分別排在第七、八、九、十名，丁隊與甲、乙、丙隊比賽獲勝的概率分別是0.4，0.5，0.6，甲隊與乙隊比賽獲勝的概率是0.6，則丁隊進(jìn)入復(fù)賽的概率是多少?(2)若甲，乙兩隊進(jìn)入復(fù)賽，在復(fù)賽中，甲隊與乙隊需進(jìn)行一場五局三勝制的比賽，只要其中一方獲勝三局，比賽結(jié)束、假設(shè)各局比賽結(jié)果互不影響.若乙隊每局比賽獲勝的概率為，設(shè)比賽結(jié)束時乙隊獲勝的局?jǐn)?shù)為X，求X的概率分布列與均值.21.設(shè)點F為拋物線C：的焦點，過點F且斜率為的直線與C交于A，B兩點(O為坐標(biāo)原點)(1)求拋物線C的方程；(2)過點作兩條斜率分別為，直線，，它們分別與拋物線C交于點P，Q和R，S.已知，問：是否存在實數(shù)，使得為定值?若存在，求的值，若不存在，請說明理由.22.已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在上存在兩個零點，，證明：.

2022學(xué)年下學(xué)期華附、省實、廣雅、深中高二四校聯(lián)考數(shù)學(xué)命題學(xué)校：華南師大附中定稿人：本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、考號、座位號等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)，并用2B鉛筆填涂相關(guān)信息.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的谷案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.第一部分選擇題(共60分)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知i為虛數(shù)單位，，則()A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算及復(fù)數(shù)的模的計算公式計算即可.【詳解】由，得.故選：C.2.已知集合，，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和正弦函數(shù)的性質(zhì)分別求出集合，再根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】,，所以.故選：C.3.已知為等差數(shù)列的前項和，若，且，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的等式，求出的值，即可求得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，即，解得，故.故選：A.4.已知向量，滿足，且，記為在方向上的投影向量，則()A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)投影向量的定義求出，再根據(jù)平面向量的模的坐標(biāo)公式即可得解.【詳解】由，得，由為在方向上的投影向量，得，所以，.故選：B.5.小明將一顆質(zhì)地均勻的骰子拋擲三次，觀察向上一面的點數(shù)，已知三次點數(shù)都不相同，則三次點數(shù)之和不大于8的概率為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式結(jié)合計數(shù)原理求解即可.【詳解】將這顆骰子連續(xù)拋擲三次，三次向上的點數(shù)一共有種情況，設(shè)三次點數(shù)都不相同為事件，符合事件的點數(shù)情況有；設(shè)事件是三次點數(shù)之和不大于8，則事件同時發(fā)生的點數(shù)情況有種；則已知三次點數(shù)都不相同，則三次點數(shù)之和不大于8的概率為故選：D.6.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，O為坐標(biāo)原點，過作C的一條漸近線的垂線，垂足為D，且，則C的離心率為()A. B.2 C. D.5【答案】C【解析】【分析】利用點到直線的距離公式求出，利用勾股定理求出，由銳角三角函數(shù)得出，在利用余弦定理可得出、、的齊次方程，可解出雙曲線離心率的值．【詳解】如下圖所示，雙曲線的右焦點，漸近線的方程為，由點到直線的距離公式可得，由勾股定理得，在中，，，在中，，，，，由余弦定理得，化簡得，，即，因此，雙曲線的離心率為，故選：C．【點睛】求解橢圓或雙曲線的離心率，一般有以下幾種方法：①直接求出、，可計算出離心率；②構(gòu)造、的齊次方程，求出離心率；③利用離心率的定義以及橢圓、雙曲線的定義來求解．7.已知定義在上的函數(shù)滿足：關(guān)于中心對稱，是偶函數(shù)，且.則下列選項中說法正確的有()A.為偶函數(shù) B.周期為2C. D.是奇函數(shù)【答案】D【解析】【分析】由于關(guān)于中心對稱，又將函數(shù)向左平移1個單位后為，可知是奇函數(shù)；又是偶函數(shù)，又將函數(shù)向右平移1個單位后為，可知關(guān)于直線對稱，由此即可求出函數(shù)的周期，進(jìn)而可判斷選項A,B是否正確；利用周期和對稱性即可判斷選項C，D是否正確.【詳解】由于關(guān)于中心對稱，又將函數(shù)向左平移1個單位后為，所以關(guān)于中心對稱，即是奇函數(shù)；又是偶函數(shù)，又將函數(shù)向右平移1個單位后為，所以關(guān)于直線對稱，即；所以，所以函數(shù)的周期，所以選項A?B錯誤；，故選項C錯誤；對選項D：由已知關(guān)于和直線對稱，所以關(guān)于對稱，又因為的周期，可得關(guān)于對稱，所以是奇函數(shù)，D正確.故選：D.8.已知實數(shù)x，y滿足，則滿足條件的y的最小值為()A.1 B. C. D.【答案】C【解析】分析】方程化為，，，構(gòu)造函數(shù)，，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，推出，從而，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值即可．【詳解】由實數(shù)，滿足，可化為，，，即，構(gòu)造函數(shù)，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，即，可以得到，從而，構(gòu)造函數(shù)，，令可以得到，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，從而當(dāng)時，取最小值，即有最小值．故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，且，則下列各選項正確的是()A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由已知條件逐項判斷即可.【詳解】對于，因為，所以，正確.對于,若，則，即.又，所以，不符合題意，錯誤.對于,因為，所以,正確.對于,設(shè)，則，錯誤.故選：.10.在平面直角坐標(biāo)系中，點繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)點，若，則可以取()A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意可得，再結(jié)合和已知條件可求出.【詳解】因為點繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)點，所以，因為，所以，則由，解得，或，所以可以取或，故選：AD11.已知點P是圓C：上的動點，直線與x軸和y軸分別交于A，B兩點，若為直角三角形，則點P的坐標(biāo)可以是()A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)，再分為直角，為直角和為直角三種情況討論即可得解.【詳解】圓C：的圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相切，由，令，則，令，則，即，因為點P是圓C：上的動點，則可設(shè)，則，當(dāng)為直角時，則，即，整理得，又，則，解得，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時，當(dāng)為直角時，則，即，整理得，又，則，解得，所以，此時，當(dāng)為直角時，則，即，整理得，又，則，解得，所以，此時，所以BCD可以，A不可以.故選：BCD.12.如圖，已知圓柱母線長為4，底面圓半徑為，梯形ABCD內(nèi)接于下底面圓，CD是直徑，，，過點A，B，C，D向上底面作垂線，垂足分別為，，，，點分別是線段，上的動點，點為上底面圓內(nèi)(含邊界)任意一點，則()A.若平面交線段于點，則B.若平面過點，則直線過定點C.的周長為定值D.當(dāng)點在上底面圓周上運動時，記直線與下底面所成角分別為，，則的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】對A：先證面，再利用線面平行的性質(zhì)，即可判斷；對B：根據(jù)共面，且面，即可判斷；對C：取點與點重合，以及點與中點重合兩個位置，分別計算三角形周長，即可判斷；對D：根據(jù)題意，找到線面角，得到，結(jié)合余弦定理、基本不等式求的范圍，即可判斷結(jié)果.【詳解】對A：由題可得面，面，故面；又面，面，故面；面，故面面；又面，故面；又面，面面，故可得，故A正確；對B：根據(jù)題意，共面，又分別為上的動點，故直線面；不妨設(shè)直線與平面的交點為，若要滿足與共面，則直線必過點，又為定點，故B正確；對C：設(shè)的周長為，當(dāng)點與重合時，；當(dāng)點與中點重合時，連接：此時；顯然周長不為定值，故C錯誤；對D：過作底面圓垂線，垂足為且在下底面圓周上，即面，連接，則、分別是直線，與下底面圓所成角，所以，，則，，所以，而，，底面圓半徑為，若在對應(yīng)優(yōu)弧上時，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，若在對應(yīng)劣弧上時，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，綜上，，則，故，即，故D正確故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點睛：其中關(guān)于D選項中對范圍的求解，將空間問題轉(zhuǎn)化為基本不等式問題進(jìn)行處理，也可以直接建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行處理；同時關(guān)于C選項中的定值問題，選取特殊位置驗證，不失為一種較好的做題技巧.第二部分非選擇題(共90分)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.“”是“”的_________條件.(選填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”)【答案】充分不必要【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件得定義即可得解.【詳解】由可得，故充分性成立，由，當(dāng)，，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.14.已知某學(xué)校高二年級有男生500人、女生450人，調(diào)查該年級全部男、女學(xué)生是否喜歡徒步運動的等高堆積條形圖如下，現(xiàn)從所有喜歡徒步的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取24人，則抽取的女生人數(shù)為______．【答案】9【解析】【分析】先根據(jù)等高堆積條形圖求出喜歡徒步的男女生人數(shù)，再由分層抽樣方法可得.【詳解】由題可知，喜歡徒步的男生有人，喜歡徒步的女生有人，則女生應(yīng)抽取人數(shù)為人.故答案為：915.在三棱錐中，已知平面平面，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】如圖，由題意可得平面，為三角形的外心，則三棱錐的外接球的球心在過垂直于平面的直線上，設(shè)為點，則外接球的半徑為，然后利用已知的數(shù)據(jù)求出半徑，進(jìn)而可求出表面積【詳解】解：因為平面平面，平面平面，，所以平面，設(shè)為三角形的外心，連接，則，因為，所以,過作垂直于平面的直線，則三棱錐的外接球的球心在此直線上，設(shè)外接球的球心為，連接，設(shè)外接球的半徑為，則，因為，所以，即，所以三棱錐的外接球的表面積為，故答案為：16.若數(shù)集S的子集滿足：至少含有2個元素，且任意兩個元素之差的絕對值大于1，則稱該子集為數(shù)集S的超子集.已知集合，記的超子集的個數(shù)為，則____________.【答案】【解析】【分析】由題意先將集合的超子集可以分為兩類，第一類是超子集中不含，這類超子集有個，第二類是超子集中含，從而求得的遞推關(guān)系，進(jìn)而可得出答案.【詳解】集合的超子集可以分為兩類，第一類是超子集中不含，這類超子集有個，第二類是超子集中含，這類超子集為的超子集與的并集有個，或的單元素子集與集合的并集有個，所以共有個，所以，由題意，所以，，，，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：將集合的超子集分為超子集中不含和超子集中含兩類，求得的遞推關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面底面，且，，E為CD的中點，F(xiàn)為AD的中點.(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)連接，先證明，根據(jù)面面垂直及線面垂直得性質(zhì)證明，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；(2)根據(jù)棱錐的體積公式計算即可.【小問1詳解】連接，因為E為CD的中點，F(xiàn)為AD的中點，所以，又底面ABCD為菱形，所以，所以，因為，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因平面，所以平面；【小問2詳解】由，得，因為底面ABCD為菱形，，所以為等邊三角形，所以，則，所以.18.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，求周長的最大值.【答案】(1)最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，由三角恒等變換化簡即可得到函數(shù)的解析式，再由正弦型函數(shù)的周期與單調(diào)區(qū)間，即可得到結(jié)果；(2)根據(jù)題意，由條件可得，再由余弦定理結(jié)合基本不等式，即可得到，從而得到結(jié)果.【小問1詳解】因為，則其最小正周期為，令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.【小問2詳解】由可得，，可得或，且為銳角，則，又因為，由余弦定理可得，，即，化簡可得，且，其中，所以，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以周長的最大值為.19.設(shè)數(shù)列的前n項和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)解關(guān)于n的不等式：.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)利用給定條件，結(jié)合“”求解作答.(2)由(1)的結(jié)論，利用二項式定理化簡不等式，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解作答.【小問1詳解】在數(shù)列中，，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，則，因此數(shù)列是等比數(shù)列，首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則，所以數(shù)列的通項公式是.【小問2詳解】由(1)知，因此原不等式化為，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則，所以原不等式的解為.20.某籃球聯(lián)賽分為初賽和復(fù)賽兩個階段，組委會根據(jù)初賽成績進(jìn)行第一階段排名(假設(shè)排名不重復(fù))，前六名的球隊直接進(jìn)入復(fù)賽，第七、八名的球隊進(jìn)行第一場復(fù)活賽，勝者進(jìn)入復(fù)賽；第九、十名的球隊進(jìn)行一場比賽，勝者與第一場復(fù)活賽的敗者進(jìn)行第二場復(fù)活賽，本場的勝者成為進(jìn)入復(fù)賽的最后一只球隊.假設(shè)各場比賽結(jié)果互不影響，且每場比賽必須分出勝負(fù)(1)若初賽后，甲、乙、丙、丁四隊分別排在第七、八、九、十名，丁隊與甲、乙、丙隊比賽獲勝的概率分別是0.4，0.5，0.6，甲隊與乙隊比賽獲勝的概率是0.6，則丁隊進(jìn)入復(fù)賽的概率是多少?(2)若甲，乙兩隊進(jìn)入復(fù)賽，在復(fù)賽中，甲隊與乙隊需進(jìn)行一場五局三勝制的比賽，只要其中一方獲勝三局，比賽結(jié)束、假設(shè)各局比賽結(jié)果互不影響.若乙隊每局比賽獲勝的概率為，設(shè)比賽結(jié)束時乙隊獲勝的局?jǐn)?shù)為X，求X的概率分布列與均值.【答案】(1)0.276；(2)分布列見解析，.【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用相互獨立事件及全概率公式計算作答.(2)求出的可能值及對應(yīng)的概率值，列出分布列并求出期望作答.【小問1詳解】依題意，記丁隊進(jìn)入復(fù)賽的事件為，丁隊進(jìn)入復(fù)賽需參加兩場比賽，第一場戰(zhàn)勝丙隊，記為事件，第二場戰(zhàn)勝甲乙比賽中的敗者，記為事件，甲隊?wèi)?zhàn)勝乙隊記為事件，則，，因此，所以.【小問2詳解】依題意，的可能值為，，，，，所以的概率分布列為：0123數(shù)學(xué)期望為.21.設(shè)點F為拋物線C：的焦點，過點F且斜率為的直線與C交于A，B兩點(O為坐標(biāo)原點)(1)求拋物線C的方程；(2)過點作兩條斜率分別為，的直線，，它們分別與拋物線C交于點P，Q和R，S.已知，問：是否存在實數(shù)，使得為定值?若存在，求的值，若不存在，請說明理由.【答案】(1)；