新人教版高中數(shù)學(xué)a版必修四全冊教案

1.1.1任意角

教學(xué)目標—

知識與技能目標―

理解任意角的概念（包括正角、負角、零角）與區(qū)間角的概念.—

過程與能力目標―

會建立直角坐標系討論任意角，能判斷象限角，會書寫終邊相同角的集合；掌握區(qū)間角的集合的

書寫.—

情感與態(tài)度目標―

提高學(xué)生的推理能力；2.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識.—

教學(xué)重點_

任意角概念的理解；區(qū)間角的集合的書寫.—

教學(xué)難點―

終邊相同角的集合的表示；區(qū)間角的集合的書寫.—

教學(xué)過程—

一、引入：—

1.回顧角的定義—

①角的第一種定義是有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.—

②角的第二種定義是角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖

形.

二、新課：—

1.角的有關(guān)概念:

①角的定義：_

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.

②角的名稱:

③角的分類:

負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

「正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

一零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角

④注意：—

⑴在不引起混淆的情況下，“角a”或“/?！笨梢院喕伞癮”；—

⑵零角的終邊與始邊重合，如果。是零角。=0°；_

⑶角的概念經(jīng)過推廣后，己包括正角、負角和零角.—

⑤練習(xí)：請說出角。、B、7各是多少度？

2.象限角的概念：—

①定義：若將角頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊（端點除外）在第幾

象限，我們就說這個角是第幾象限角.

例1.如圖⑴⑵中的角分別屬于第幾象限角？

例2.在直角坐標系中，作出下列各角，并指出它們是第幾象限的角.

⑴60°；(2)120°；(3)240°；(4)300°；(5)420°；(6)480°；

答:分別為1、2、3、4、1、2象限角.

3.探究：教材P3面

終邊相同的角的表示：

所有與角。終邊相同的角，連同。在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S={￡|￡=a+衣?360°,

AG以，即任一與角。終邊相同的角，都可以表示成角。與整個周角的和.

注意：

(1)kGZ

⑵。是任一角；

⑶終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同.終邊相同的角有無限個，它們相差

360°的整數(shù)倍；

⑷角。+k?720°與角。終邊相同，但不能表示與角。終邊相同的所有角.

例3.在0°到360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相等的角，并判斷它們是第兒象限角.

⑴一120°；(2)640°；⑶-950°12'.

答：(1)240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48',第二象限角;

例4.寫出終邊在y軸上的角的集合(用0°到360。的角表示).

解：{a:a=90°+/??180°,〃GZ}.

例5.寫出終邊在y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式一360°W萬<720°的元素月寫出來.

4.課堂小結(jié)

①角的定義；

②角的分類：

「正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

J零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的

一,負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

③象限角；

④終邊相同的角的表示法.

5.課后作業(yè)：

①閱讀教材P2-P5;②教材Ps練習(xí)第1-5題；③教材P.9習(xí)題1.1第1、2、3題

n

思考題：己知"角是第三象限角，則2。，一各是第幾象限角？

2

解：???2角屬于第三象限，

人360°+180°<a<k>360°+270°(AGZ)

因此，2公360°+360°<2a<2k?360°+540°(AGZ)

即(24+1)360°<2a<(2k+1)360°+180°(ASZ)

故2。是第一、二象限或終邊在y軸的非負半軸上的角.

CC

又〃780°+90°<—<k*180°+135°(AGZ).

2

a

當女為偶數(shù)時，令公2z?(〃￡Z),則〃?3600+90°<—</??360°+135°(刀WZ)，

2

此時，4屬于第二象限角

2

當女為奇數(shù)時，令公2加1(〃WZ),則〃?360°+270°<—</??360°+315°(〃WZ)，

2

a

此時，一屬于第四象限角

2

因此4屬于第二或第四象限角.

2

1.1.2弧度制

教學(xué)目標_

知識與技能目標_

理解弧度的意義；了解角的集合與實數(shù)集R之間的可建立起一一對應(yīng)的關(guān)系；熟記特殊角的弧

度數(shù).—

過程與能力目標—

能正確地進行弧度與角度之間的換算，能推導(dǎo)弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式，并能運

用公式解決一些實際問題—

情感與態(tài)度目標_

通過新的度量角的單位制(弧度制)的引進，培養(yǎng)學(xué)生求異創(chuàng)新的精神；通過對弧度制與角度制

下弧長公式、扇形面積公式的對比，讓學(xué)生感受弧長及扇形面積公式在弧度制下的簡潔美._

教學(xué)重點_

弧度的概念.弧長公式及扇形的面積公式的推導(dǎo)與證明.—

教學(xué)難點—

“角度制”與“弧度制”的區(qū)別與聯(lián)系._

教學(xué)過程—

一、復(fù)習(xí)角度制：_

初中所學(xué)的角度制是怎樣規(guī)定角的度量的？_

規(guī)定把周角的'---作為1度的角，用度做單位來度量角的制度叫做角度制.

360—

二、新課：—

1.引入：_

由角度制的定義我們知道，角度是用來度量角的，角度制的度量是60進制的，運用起來不太方便.

在數(shù)學(xué)和其他許多科學(xué)研究中還要經(jīng)常用到另一種度量角的制度一弧度制，它是如何定義呢？—

2.定義_

我們規(guī)定，長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫做弧度

制.在弧度制下，1弧度記做1rad.在實際運算中，常常將rad單位省略._

3.思考：_

(1)一定大小的圓心角e所對應(yīng)的弧長與半徑的比值是否是確定的？與圓的半徑大小有關(guān)嗎？—

(2)引導(dǎo)學(xué)生完成P6的探究并歸納：_

弧度制的性質(zhì)：

jrr2777*

①半圓所對的圓心角為一■=肛②整圓所對的圓心角為----=24.

rr

③正角的弧度數(shù)是一個正數(shù).④負角的弧度數(shù)是一個負數(shù).

⑤零角的弧度數(shù)是零.⑥角a的弧度數(shù)的絕對值|。|=一.

4.角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換:

①將角度化為弧度：

TTnjr

360°=2乃；180°-n；1°=---?0.01745razZ；n°=----rad.

180180

②將弧度化為角度：

24=360°；萬=180。；\rad=(―)°?57.30°=57o18f：〃=(^^)°.

7171

5.常規(guī)寫法：

①用弧度數(shù)表示角時，常常把弧度數(shù)寫成多少〃的形式，不必寫成小數(shù).

②弧度與角度不能混用.

6.特殊角的弧度

角

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

度

弧717171712713兀5萬3%

0712乃

度~64~T~6~

7.弧長公式

\a\=-^l=r-\a\

弧長等于弧所對應(yīng)的圓心角(的弧度數(shù))的絕對值與半徑的積.

例1.把67°30'化成弧度.

3

例2.把一〃■rad化成度.

5

例3.計算：

冗

(l)sin—；(2)tanl.5.

4

例4.將下列各角化成。到2n的角加上(kRZ)的形式:

(D—；(2)-315\

例5.將下列各角化成24〃+aaV2〃)的形式，并確定其所在的象限.

⑴哈⑵一學(xué).

5o

解：(1)上19一乃=2萬+7,萬，

36

7乃197r

而一是第三象限的角，——是第三象限角.

63

..31TC/5zr3\TC1rx*”

(2)*.*-----=—()71H-------,/.-----------延,第二象限角.例6.利用弧度制證明扇:

666

證法一：：圓的面積為成2,.?.圓心角為1rad的扇形面積為一!一成2,又扇形弧長為/,半徑為尺

2萬

.?.扇形的圓心角大小為4?rad,，扇形面積S=—-=—lR.

RR22

2

證法二：設(shè)圓心角的度數(shù)為n,則在角度制下的扇形面積公式為5=生——，又此時弧長/=°乙

360180

：.S=--R=-IR.

21802

可看出弧度制與角度制下的扇形面積公式可以互化，而弧度制下的扇形面積公式顯然要簡潔得

多.

扇形面積公式：5=口/?=［同/?2

7.課堂小結(jié)①什么叫1弧度角？②任意角的弧度的定義③“角度制”與“弧度制”的聯(lián)系與區(qū)別.

8.課后作業(yè)：

①閱讀教材PLPB；

②教材”練習(xí)第1、2、3、6題；

③教材P10面7、8題及B2、3題.

4-1.2.1任意角的三角函數(shù)(二)_

教學(xué)目的：_

知識目標：1.復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義、定義域與值域、符號、及誘導(dǎo)公式；_

2.利用三角函數(shù)線表示正弦、余弦、正切的三角函數(shù)值；—

3.利用三角函數(shù)線比較兩個同名三角函數(shù)值的大小及表示角的范圍。_

能力目標：掌握用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值，從而使學(xué)生對三角函數(shù)的定義域、值域有更

深的理解。_

德育目標：學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神；_

教學(xué)重點：正弦、余弦、正切線的概念。_

教學(xué)難點：正弦、余弦、正切線的利用。_

教學(xué)過程：_

一、復(fù)習(xí)引入：_

1.三角函數(shù)的定義—

2.誘導(dǎo)公式—

sin(2&萬+a)=sina(keZ)

COS(2ATT+a)=cosa(keZ)_

tan(2k7r+a)=tana(keZ)

練習(xí)1.tan600的值是.D_

A.--B.—C.-V3D.V3

33―

練習(xí)2.若sin。cos。>0,則偽缶B_

A.第一、二象限B.第一、三象限

C.第一、四象限D(zhuǎn).第二、四象限一

練習(xí)3.若cos?！怠Ｇ襰in%><()則〃的終邊在_____C_

A.第一象限B.第三象限C.第四象限D(zhuǎn).第二象限—

二、講解新課：________

當角的終邊上一點P(x,y)的坐標滿足廳壽=1時，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的

幾何表示一一三角函數(shù)線。_

1.有向線段：_

坐標軸是規(guī)定了方向的宜線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。

規(guī)定：與坐標軸方向一致時為正，與坐標方向相反時為負?！?/p>

有向線段：帶有方向的線段。

2.三角函數(shù)線的定義：

設(shè)任意角。的頂點在原點。，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點P(x,y),

過P作x軸的垂線，垂足為過點A(1,O)作單位圓的切線，它與角。的終邊或其反向延

長線交與點T.\沖工卅T//

由四個圖看出:

當角a的終邊不在坐標軸上時，有向線段QM=x,MP=y,于是有

.yy,xx_..yMPAT

sina=—=—=y=MP,cosa=—=—=x=(JM,tana=-=----=---=AATrr

r1r1xOMOA

我們就分別稱有向線段MROM,AT為正弦線、余弦線、正切線。

說明：

(1)三條有向線段的位置：正弦線為。的終邊與單位圓的交點到％軸的垂直線段；余弦線在％軸上;

正切線在過單位圓與了軸正方向的交點的切線上，三條有向線段中兩條

在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。

(2)三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向a的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向垂

足；正切線由切點指向與。的終邊的交點。

(3)三條有向線段的正負：三條有向線段凡與％軸或,軸同向的為正值，與工軸或)'軸反向的

為負值。

(4)三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在后面。

4.例題分析：

例1.作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。

7t5萬、2萬

(1)-；(2)——；(3)----；(4

363

解：圖略。

例2.若0<a<—,證明sina+cosa>l.

例3上匕較大?。?/p>

2424

(1)sin—sin—(2)cos—cos—

2一4

(3)tan—tan-,T

35

例4.在［0,2句上滿足sinx>l的x的取值范圍是()

A.Fo,-1B.IC.

16」166」\_6

例5.利用單位圓寫出符合下列條件的角x的范圍.

(1)sinx<一■(2)cos%>—.

22

/JI\\JlJIJI

答案：(1)---h2k?i<x<----F2k兀,ZeZ；(2)—+2k?i<x<—l-AeZ；

6666

三、鞏固與練習(xí)：P17面練習(xí)

四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.三角函數(shù)線的定義；

2.會畫任意角的三角函數(shù)線；

3.利用單位圓比較三角函數(shù)值的大小，求角的范圍。

五、課后作業(yè)：作業(yè)4

參考資料

例1.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小:

?,4萬

2°tan—與tan—

3535

解：如圖可知:

.2萬.4%2%4%

sin——>sin——tan—＜tan—

3535

例2.利用單位圓尋找適合下列條件的0。到360。的角

30°<a<90°或210°<a<270°

補充：1.利用余弦線比較cos64,cos285的大小;

TT7T

2.若一＜。＜一,則比較sin。、cos。、tan。的大小;

42

3.分別根據(jù)下列條件，寫出角6的取值范圍:

(1)cos0<――；(2)tan^>-1；(3)sin6〉---—

22

4-1.2.1任意角的三角函數(shù)（一）_

教學(xué)目的：_

知識目標：1.掌握任意角的三角函數(shù)的定義；_

2.已知角a終邊上一點，會求角a的各三角函數(shù)值；_

3.記住三角函數(shù)的定義域、值域，誘導(dǎo)公式（一）。_

能力目標：（1）理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；_

（2）樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)；_

（3）通過對定義域，三角函數(shù)值的符號，誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo)，提高學(xué)生分析、探究、

解決問題的能力。_

德育目標：（1）使學(xué)生認識到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度（自變量）與比值（函

數(shù)值）的一種聯(lián)系方式；_

（2）學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神；_

教學(xué)重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符

號)，以及這三種函數(shù)的第一組誘導(dǎo)公式。公式一是本小節(jié)的另一個重點。_

教學(xué)難點：利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角a的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用他們的集合

形式表示出來._

教學(xué)過程：_

一、復(fù)習(xí)引入：初中銳角的三角函數(shù)是如何定義的？一

在RtAABC中，設(shè)A對邊為a,B對邊為b,C對邊為c,銳角A的正弦、余弦、正切依次為

..a*b,a

sinA=—,cosA=—,tanA=—.

ccb

角推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義不再適用，我們必須對三角函數(shù)重新定義。_

二、講解新課：_

1.三角函數(shù)定義_

在直角坐標系中，設(shè)a是一個任意角，a終邊上任意一點P(除了原點)的坐標為(x,y),它與原

點的距離為“廠=J|x『+|y|2=+>0),那么—

(1)比值上叫做Q的正弦，記作sina,即sina=2；_

rr

xx

(2)比值一叫做Q的余弦，記作8sa,BPcosa=—；

rr

(3)比值)叫做a的正切，記作tana,即tana=)；—

xx

YX

(4)比值一叫做a的余切，記作cota,即cota=—；

yy

說明：①a的始邊與X軸的非負半軸重合，a的終邊沒有表明a一定是正角或負角，以及a的大

小，只表明與a的終邊相同的角所在的位置；—

②根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角a,四個比值不以點P(x,y)在a的終邊上的位置的

改變而改變大??；_

TT

③當a=1+Z乃(攵eZ)時，a的終邊在y軸上，終邊上任意一點的橫坐標X都等于0,_

VX

所以tana=二無意義；同理當。=左乃(左￡2)時，cota=—無意義；_

Xy

④除以上兩種情況外，對于確定的值a,比值上、-2、二分別是一個確定的實數(shù),

rrxy

正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上四種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。

2.三角函數(shù)的定義域、值域.

函數(shù)定義域值域

y=sinaR[-1,1]

y=cosaR[-1,1]

71

注意：_y=tana{a|a。耳+左肛氏wZR

(1)在標直角坐標系內(nèi)研究角的問

題，其頂點都在原點，始邊都與x軸的非負半軸重合

(2)a是任意角，射線力是角a的終邊，a的各三角函數(shù)值(或是否有意義)與。x轉(zhuǎn)了幾圈，按

什么方向旋轉(zhuǎn)到0P的位置無關(guān)._

(3)sina是個整體符號，不能認為是“sin”與“a”的積.其余五個符號也是這樣._

⑷任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別：—

銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎(chǔ)共建立于相似(直角)三角形的性質(zhì),

“r”同為正值.所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標與距

離、坐標與坐標、距離與坐標的比來定義的，它也適合銳角三角函數(shù)的定義.實質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)

的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認識和研究過程

(5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標系的

第一象限，使一銳角頂點與原點重合，一直角邊與x軸的非負半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函

數(shù)類比記憶

3.例題分析

例1.求下列各角的四個三角函數(shù)值:(通過本例總結(jié)特殊角的三角函數(shù)值)

(1)0；(2)乃；

解：(1)因為當a=0時，x=r,y=0,所以

sin()=0,cost)=1,tan()=0,cot0不存在。

(2)因為當a=萬時，x--r,y=0,所以

sin1=0,cos萬=-1,lan乃=0,cot乃不存在，

(3)因為當-時，x=0,y=—r,所以

乃八

sin——=-1,cos—=0,tan一不存在，cot—3=0,

2222

例2.已知角a的終邊經(jīng)過點尸(2,-3),求a的四個函數(shù)值。

解：因為x=2,y=—3,所以r=，22+(-3)2=岳，于是

.y-33V13x22713

sin?=---=-=--------;cosa=—==

rV1313rV1313

tana=2=ycota」=二.

尤2)3

例3.已知角a的終邊過點(a,2a)(aw0),求a的四個三角函數(shù)值。

解：因為過點(a,2a)(a。0),所以r=逐必|,x=a,y=2a

2#)X__45a

當/7、OH寸.wina—)—2a2aa

tana=2;cota1,

r⑹al45a5r45a52

2a2a2V5

當a4OH寸?qinci—)—

ry/5\a\—y/Sci5

xay[5ac1

cosa=—=—7=-=------；tana=2;cota

r-45a52

4.三角函數(shù)的符號

由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點的坐標的符號，我們可以得知：

①正弦值上對于第一、二象限為正(y>0,r>0),對于第三、四象限為負(y<0,r>0)；

r

Y

②余弦值一對于第一、四象限為正(x>0,r>0),對于第二、三象限為負(x<0,r>0)；

③正切值上對于第一、三象限為正(x,y同號)，對于第二、四象限為負(x,y異號).

x

說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。

練習(xí)：確定下列三角函數(shù)值的符號：

JI1

(1)cos250；(2)sin(——)；(3)tan(-672)；(4)tan———.

例4.求證：若sinavO且tana>0,則角。是第三象限角，反之也成立。

5.誘導(dǎo)公式

由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有：

sin(o+2卜兀)=sin二，

cos(a+2k7r)=cosa,其中上EZ.

tan(cr+=tana,

這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為0?2n間角的三角函數(shù)值問題.

9萬11/T

例5.求下列三角函數(shù)的值：(1)cos—，(2)tan(-------),

46

Icostanx

例6.求函數(shù)y=J——[+產(chǎn))的值域

cosx|tan

解：定義域：cosxM的終邊不在x軸上又Ttanx。。，x的終邊不在y軸上

.??當x是第I象限角時，x>0,y>0cosx=|cosxItanx=|tanx|y=2

..............II...............,x<0,y>0|cosx|=-cosx|tanx|-tanxy=-2

|cosx|=-cosx|tanx|=tanx/.y=0

..............IllIV..........,x>0,y<0J

四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.任意角的三角函數(shù)的定義；2.三角函數(shù)的定義域、值域；3.三角函數(shù)的符號及誘導(dǎo)公式。

五、鞏固與練習(xí)

1、教材P15面練習(xí)；

2、作業(yè)P20面習(xí)題L2A組第1、2、3(1)(2)(3)題及P21面第9題的(1)、(3)題。

4-1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

教學(xué)目的：_

知識目標：1.能根據(jù)三角函數(shù)的定義導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及它們之間的聯(lián)系；_

2.熟練掌握已知一個角的三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值的方法。_

能力目標：牢固掌握同角三角函數(shù)的兩個關(guān)系式，并能靈活運用于解題，提高學(xué)生分析、解決

三角的思維能力；_

教學(xué)重點：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式—

教學(xué)難點：三角函數(shù)值的符號的確定，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變式應(yīng)用—

教學(xué)過程：_

一、復(fù)習(xí)引入：_

1.任意角的三角函數(shù)定義：

設(shè)角a是一個任意角，a終邊上任意一點P(x,y),它與原點的距離為.

r(r=41xF+=Qx?+y：>0),那么：sina=—,cosa=—,tana=—,

rrx

2.當角a分別在不同的象限時，sina、cosa、tga的符號分別是怎樣的？_

3

3.背景：如果sinA=1,A為第一象限的角，如何求角A的其它三角函數(shù)值;

4.問題：由于a的三角函數(shù)都是由x、y、r表示的，則角a的三個三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？

二、講解新課：_

(-)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：_

(板書課題：同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系)_

由三角函數(shù)的定義，我們可以得到以下關(guān)系：

cir?zy

(1)商數(shù)關(guān)系：tancr=-------(2)平方關(guān)系：sin2a+corra=1

cona——

說明：_

①注意“同角”，至于角的形式無關(guān)重要，如sin24a+cos24o=l等；_

k冗

②注意這些關(guān)系式都是對于使它們有意義的角而言的，如1211。-01。=1(0。一,左€2)：

2

③對這些關(guān)系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運用(正用、反用、變形用)，如：_

I.O.212sina長慶

cosa=±Vl—sura，sina=l—cosa,coscr=------等。_

tana

2.例題分析：_

一、求值問題—

12

例1.(1)已知sina=—,并且a是第二象限角，求cosa,tan。,cota._

4

(2)已知cosa二一w，求sin。,tana._

解：⑴-Jsin2+cos2(7=1cos2a=1—sin2a=1-(—)2=(—)2

1313

又???a是第二象限角,/.cosav0,即有cosa=---,從而

13

sin。1215

tana=------=------cota=------=-----

cosa5tana12

-入

(2);sin2a+cos2a=1,sin2a=1—cos2a=1-

4

又「cosa=——<0，???a在第二或三象限角。

5

3sina_3

當a在第二象限時，即有sina>0,從而sina二一，tana二

5cosa-4

3sina3

當a在第四象限時，即有sina<(),從而sina=——，tana=------=—.

5cosa4

總結(jié)：

1.已知一個角的某一個三角函數(shù)值，便可運用基本關(guān)系式求出其它三角函數(shù)值。在求值中，確定

角的終邊位置是關(guān)鍵和必要的。有時，由于角的終邊位置的不確定，因此解的情況不止一種。

2.解題時產(chǎn)生遺漏的主要原因是：①沒有確定好或不去確定角的終邊位置；②利用平方關(guān)系開平

方時，漏掉了負的平方根。

例2.已知tana為非零實數(shù)，用tana表示sin%cos二.

e.22sina

解：snra+cosa=l,tana=------

cosa

(cosa?tana)2+cos2a=cos2a(\+tan2or)=1,即有cos2a=-------：—

1+tana

又???tan。為非零實數(shù)，??.a為象限角。

當a在第一、四象限時，即有cosa>0,從而cosa=J、=,l+taiy。

Yl+tan~a14-tan-a

.tanajl+tan，a

sma=tana?coscr=-----------；-------

1+tarra

當a在第二、三象限時，即有cosavO,從而cosa=-J------z—=-----------z—

V1+tana14-tana

.tandfVl+tan2a

sma=tana?cosa------------------------

1+tana

而八一,八.小上sinar—4cosa

例3、已知sina=2cosa,求---------------4222sin2+2sin?cos<z-cos2a.

5sina+2cosa

解：,.?sina=2cosa/.tana=2

sina-4cosa_tana-42_1

5sina+2cosce5tana+2126

強調(diào)(指出)技巧：1。分子、分母是正余弦的一次(或二次)齊次式

注意所求值式的分子、分母均為一次齊次式，把分子、分母同除以cosa,將分子、分母轉(zhuǎn)

化為tana的代數(shù)式；

20“化1法”

可利用平方關(guān)系siMc+cos2a=l,將分子、分母都變?yōu)槎锡R次式，再利用商數(shù)關(guān)系化歸為

tana的分式求值；

小結(jié)：化簡三角函數(shù)式，化簡的一般要求是：

(1)盡量使函數(shù)種類最少，項數(shù)最少，次數(shù)最低；

(2)盡量使分母不含三角函數(shù)式；

(3)根式內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開出來；

(4)能求得數(shù)值的應(yīng)計算出來，其次要注意在三角函數(shù)式變形時，常將式子中的“1”作巧妙的變形,

二、化簡

練習(xí)1.化簡Jl—sir?").

解：原式=嶼而彳麗=Ji=而而=而而=cos80.

i-coseji+cose

練習(xí)2.化簡(萬＜e＜芳)

1+cos。v1-cos6

三、證明恒等式

COSX1+sinx

例4.求證:

1-sinxcosx

證法一：由題義知cosxw(),所以l+sinxwO,l—sinxwO.

?一、上cosx(l+sinx)cosx(l+sinx)1+sinx.

??左邊二----------------=--------------=--------=右M邊?

(l-sinx)(l+sinx)cosxcosx

J原式成立.

證法二：由題義知cosxw(),所以l+sinxwO,l-sinx工0.

又V(1-sinx)(l+sin^)=1-sin2x=cos2x=cosx-cosx,

.cosx1+sinx

?.■=?

1-sinxcosx

證法三：由題義知cosxw(),所以l+sinxwO,l-sinxwO.

cosx1+sinxcosx-cosx-(1+sinx)(l-sinx)cos2x-l+sin2x八

=———0,

1-sinxcosx(1-sinx)cosx(1-sinx)cosx

.cosx1+sinx

---------=----------.

l-sinxcosx

總結(jié)：證明恒等式的過程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，證明時常用的方法

有：(1)從一邊開始，證明它等于另一邊；

(2)證明左右兩邊同等于同一個式子；

(3)證明與原式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立。

四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及成立的條件；

2.根據(jù)一個角的某一個三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值；

五、課后作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)第五課時

參考資料

化簡Jl—2sin40cos40.

解：原式=Jsin24O+cos240-2sin40cos40

二J(sin40-cos40『=|cos40-sin40|=cos40-sin40.

思考1.已知sina+cosa=—(0<0<7i),求tan9及sin^a-cos?。的值。

解：1。由sina8sa=-----,0<0<K,得：cos0<00e(—,K)

sin0+cos0=-sin0=-A

[=〈=>tan0=——

733

sin0-cosO=—cos0=——

2°sin30-cos30=(^)3-(-1)3=

2、己知since=——,cosa=——a是第四象限角，求tana的值。

解:Vsina+cos2a

m+5m+5

化簡，整理得：m(m-8)=0叫=0,徑=8

43

當必=0時，sina=g,cosa=(與a是第四象限角不合)

止…?

當加二8時，sina=---1-2-,cosa=—5,..tuna=---1--2

1.3誘導(dǎo)公式（二

教學(xué)目標—

（-）知識與技能目標—

⑴理解正弦、余弦的誘導(dǎo)公式._

⑵培養(yǎng)學(xué)生化歸、轉(zhuǎn)化的能力.—

（二）過程與能力目標—

（1）能運用公式一、二、三的推導(dǎo)公式四、五._

（2）掌握誘導(dǎo)公式并運用之進行三角函數(shù)式的求值、化簡以及簡單三角恒等式的證明.

（三）情感與態(tài)度目標—

通過公式四、五的探究，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴密性與科學(xué)性等思維品質(zhì)以及孜孜以

求的探索精神等良好的個性品質(zhì)._

教學(xué)重點—

掌握誘導(dǎo)公式四、五的推導(dǎo)，能觀察分析公式的特點，明確公式用途，熟練駕馭公式._

教學(xué)難點

運用誘導(dǎo)公式對三角函數(shù)式的求值、化簡以及簡單三角恒等式的證明.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)：

誘導(dǎo)公式（一）

sin（36（FZ+a）=sinacos（360PZ+a）=cosatan06（FA:+a）=tana

誘導(dǎo)公式（二）

sin（l8CP+a）=-sinacos(l8(P+a)=-cos6rtan08cp+a)=tana

誘導(dǎo)公式（三）

sin（-a）=-sina,cos(-a)=cosatanga)=-tana

誘導(dǎo)公式（四）

sin（兀一a）=sinacos(7i-a)=一cosatan(兀一a)=-tana

誘導(dǎo)公式（五）

sin（y-a）=cosacos(y-6Z)=sina

誘導(dǎo)公式（六）

..71..7t..

sin（—+cr）=cosacos(—4-cu)=-sincr

二、新課講授：

練習(xí)1.將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)：

(l)tan—,(2)sin空，(3)cos519°,(4)sin(-—1).

5363

練習(xí)2：求下列函數(shù)值：

Q1

(l)cos-,(2)sin(--),(3)sin6700,(4)tan5800).

64

37r

例L證明：(1)sin(--a)=-cos(7

3zr

(2)cos(--cr)=—sina

n1\jt

sin(2?-a)cos(?+a)cos(—+a)cos(-----a)

例2.化簡：------------------------工---------2------

cos(乃-a)sin(3"-a)sin(-a-乃)sin(^-+a)

2cos^r-a)-3sin^r+a)

例3.已知tan(r+a)=3,求:的值。

4cos^a)+sin(2r-a)

解：,/tan(r+a)=3,tana=3.

一2cosa+3sina—2+3tana—2+3x3

原式----------------=------------=----------=7.

4cosa-sina4-tana4-3

例4.已知sinQ+")=-,fisinacosa<0,求利吆~%)+3tan,"__/的值.

54cos0—3萬)

小結(jié)：

①三篇函數(shù)的簡化過程圖:

②三角函數(shù)的簡化過程口訣:

負化正，正化小，化到銳角就行了.

練習(xí)3：教材P28頁7.

?sin(z-2^r)cos(2^--a);

tan06(T+a)

(2)cos2(-a)-

sin(-a)

例5.^Hsina,cosi^^^HxHHHx2-ax■—-■■■——.

cos(?-180")sin(900,-■)

三.課堂小結(jié)

①熟記誘導(dǎo)公式五、六；

②公式一至四記憶口訣：函數(shù)名不變，正負看象限；

③運用誘導(dǎo)公式可以將任意角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).

四.課后作業(yè)：

①閱讀教材；

②《學(xué)案》P.16-P.17的雙基訓(xùn)練.

1.3誘導(dǎo)公式(一)—

教學(xué)目標—

(-)知識與技能目標—

⑴理解正弦、余弦的誘導(dǎo)公式.—

⑵培養(yǎng)學(xué)生化歸、轉(zhuǎn)化的能力._

(二)過程與能力目標—

(1)能運用公式一、二、三的推導(dǎo)公式四、五._

(2)掌握誘導(dǎo)公式并運用之進行三角函數(shù)式的求值、化簡以及簡單三角恒等式的證明

(三