高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

姓名:年級(jí):學(xué)號(hào):

題型選擇題填空題解答題判斷題計(jì)算題附加題總分

得分

評(píng)卷人得分

一、選擇題（共11題，共55分）

1、已知Rt中，乙4=90°,4B=2,BC=4,若AM是BC邊上的高，垂足為M,點(diǎn)P在

內(nèi)部或邊界上運(yùn)動(dòng)，則八加8P的取值范圍是0

A.[-4,0卜.[-3,0]c.[-3,2h.[-2,0]

【考點(diǎn)】

【答案】B

【解析】

以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)兩直線方程聯(lián)立得M得坐標(biāo)，然后用向量數(shù)量積公式得八用BP,

最后用線性規(guī)劃知識(shí)求得最大最小值.

貝心(0,0)、8(2,0)、C(0,2?),設(shè)P(x,y)

vAMLBCt八匕知=_立=_飛=,

,直線AM：）-3"，直線BC：2邛，

y=Tx

Xy

尹平=1M

聯(lián)立Y解得：

一,34r，、

“GR8P=d，y)

，，

1；￡=恭-2)+多=￥(屜+刈-3

設(shè)z=?c+y,則y=-?x+z,

7p（x，y）在△'BC內(nèi)部或邊界上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)直線與直線BC重合時(shí)，Z取得最大值2樞，

當(dāng)直線，過(guò)原點(diǎn)A時(shí)，Z取得最小值0,

8P的最大值為￥.2日-3=°,最小值為go-3=-3,

故的取值范圍為：［-3,0］,

故選：B.

2、若函數(shù)=sm（gx+8）（g：＞°）圖象的兩條相鄰的對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為"且該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)

（%°）成中心對(duì)稱(chēng)，'°e［網(wǎng)則X。=（）

7T5n71R

A.12B.12C.6D,4

【考點(diǎn)】

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意利用函數(shù)y=4sin（3X+3）的圖象的對(duì)稱(chēng)性，得出結(jié)論.

函數(shù)""=sm（3X+了）（3：＞°）圖象的兩條相鄰的對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為3=3'丁=3

???3=2

??.f（x）=sin（2x+

令2x+g=Skez,求得、=刖一運(yùn)故該函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為亙Q）,.

根據(jù)該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（丫0'°）成中心對(duì)稱(chēng)，結(jié)合與6［叼，則與=苴,

故選：B.

3、^log5^o+4S=10,925(ab),則a+b的最小值為。

A6+2-^-g7+2Mc6+7+4,

【考點(diǎn)】

【答案】D

【解析】

43_

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得怎十石=1,a,b>,再根據(jù)基本不等式即可求出.

vlogs；3a+4b=lo52S(ab)

3a+4b=ab

43

=1

A-a+rb,a,.

..434bV-7+2居；=7+40

a+b=(a+刀仁+/=4+3+工

當(dāng)且僅當(dāng)a=4+2機(jī)時(shí)取等號(hào).

??,。+/?的最小值是7+4渦'.

故選：D.

4、如果一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位長(zhǎng)度：,則此幾何體的表面積是)

c(6+a)c7n2

D.6cm

【考點(diǎn)】

【答案】A

【解析】

由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個(gè)四棱柱（正方體）與四棱錐的組合體，分別計(jì)算各個(gè)面的面積,

相加可得答案.

由已知中的三視圖，可知該幾何體是下部一個(gè)四棱柱正方體與上部是四棱錐的組合體，

四棱柱正方體的棱長(zhǎng)為1cm,故每個(gè)面的面積為：1x1=Icm21

1p

四棱錐的底面邊長(zhǎng)為1cm,高為產(chǎn)故斜高為：爹””,

lx1xf2、

故每個(gè)側(cè)面的面積為：224,（cm）.

故組合體的表面積5=5x1+4x號(hào)=5+網(wǎng)優(yōu)）；

故選:A.

5、《張丘建算經(jīng)》卷上有“女子織布”問(wèn)題：某女子善于織布，一天比一天織得快，而且每天增加的數(shù)

量相同?已知第一天織布6尺，30天共織布540尺，則該女子織布每天增加O

1162416

A.'尺B.K尺C.西尺D,西尺

【考點(diǎn)】

【答案】C

【解析】

利用數(shù)學(xué)文化知識(shí)，首先判定數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)一步利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的前n項(xiàng)和公式求出

結(jié)果.

由于某女子善于織布，一天比一天織得快，而且每天增加的數(shù)量相同.

所以織布的數(shù)據(jù)構(gòu)成等差數(shù)列，

設(shè)公差為d,第一天織的數(shù)據(jù)為第30天織的數(shù)據(jù)為030,

30（6+a30）

則:540=^^,

解得：。30=30,

則：。30=4+（30-l）d,

〃—上

解得：29,

故選：C.

6、設(shè)I,m是兩條不同的直線，&是一個(gè)平面，則下列命題正確的是0

A.若mua,則若〃/a,m.//a,則〃/m

c.若，，則D.若，血,a,則

【考點(diǎn)】

【答案】D

【解析】

在A中，I與a相交、平行或lua；在B中，I與m相交、平行或異面；在c中，1//a或；在D中,

由線面垂直的性質(zhì)定理得〃/m.

由I,m是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，知：

在A中，若I'm,mua,則?與相交、平行或，故A錯(cuò)誤；

在B中，若，則I與m相交,平行或異面，故B錯(cuò)誤；

在C中，若，，則或，故c錯(cuò)誤；

在D中，若1La,m■!?<?,則由線面垂直的性質(zhì)定理得，故D正確.

故選：D.

__o-=2”+-r=2"_-

7、?1,/是夾角為6°的單位向量，則ael0,bel%的夾角的余弦值為（）

3

A.耳B.{{1351【答案】B

【解析】

先由奇偶性來(lái)確定是A還是B選項(xiàng)中的一個(gè)，再通過(guò)對(duì)數(shù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，可進(jìn)一

步確定選項(xiàng).

?"（7）=一/。）是偶函數(shù)，

所以排除C,D,

當(dāng)時(shí)，y=-1夕函數(shù)為減函數(shù)，排除A.

故選:B.

9、直線％cos8-ysin0+a=0與xsin8+ycos8+b=0的位置關(guān)系是（）

A.平行B.垂直

c.斜交D.與a,b,6的值有關(guān)

【考點(diǎn)】

【答案】B

【解析】

當(dāng)這兩條直線中有一條斜率不存在時(shí)，檢驗(yàn)他們的位置關(guān)系式垂直關(guān)系?當(dāng)它們的斜率都存在時(shí)，求出

它們的斜率，發(fā)現(xiàn)斜率之積等于一1,兩條直線垂直.

當(dāng)cos8=°或sin8=°時(shí)，這兩條直線中，有一條斜率為o,另一條斜率不存在，兩條直線垂直.

1

當(dāng)cosB和sin8都不等于。時(shí)，這兩條直線的斜率分別為一五歷和tan。，顯然，斜率之積等于，

故兩直線垂直綜上，兩條直線一定是垂直的關(guān)系，

故選：B.

國(guó)

10、已知“'）=—4—,則下列正確的是。

A.奇函數(shù)，在（°，+8）上為增函數(shù)B.偶函數(shù)，在上為增函數(shù)

C.奇函數(shù)，在上為減函數(shù)D.偶函數(shù)，在上為減函數(shù)

【考點(diǎn)】

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得/（一幻=/（幻，可得/'（%）為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)

數(shù)，由函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分析可的在（°，+8）上為增函數(shù)；即可得答案.

根據(jù)題意，代X）=—4一,

。1-41一gT-M一g-IM

則"-X）=4=―4—=/（X）,則函數(shù)為偶函數(shù)；

ex-e~xex+e~x

當(dāng)時(shí)，代叫=4,—>0,則在上為增函數(shù)；

故選：B.

11、若集和M={刈刈Ml},N=（x\x2-4x=0）,則MClN=（）

A.{0}B.{4}c.{-l，0,1}D.0,1,4}

【考點(diǎn)】

【答案】A

【解析】

先解出M,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.

解：M={-1<X<1]5N={0,4}；

MClN={0}

故選：A.

二、填空題（共3題，共15分）

12、函數(shù)AX）的定義域?yàn)镈,若存在閉區(qū)間口⑼UD,使得函數(shù)滿足：①fCO在口力】?jī)?nèi)是單調(diào)函數(shù);

⑵fa）在上的值域?yàn)?，則稱(chēng)區(qū)間為y=fa）的“等值區(qū)間”?下列函數(shù)中存在“等值區(qū)間”的有.

①f（X）=/

②f（約=2、

③/（X）=島?

（4）/（%）=sinx

【考點(diǎn)】

【答案】①③

【解析】

利用“等值區(qū)間”的定義，只要方程/'（X）=%在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根即可得出“等值區(qū)間”

的兩個(gè)端點(diǎn)值，然后驗(yàn)證單調(diào)性得答案.

①由，可得/=x,解得x=0或x=l,

函數(shù)f（x）=/在［0,1］上為單調(diào)增函數(shù)，且值域?yàn)椋?/p>

???/（X）=/有等值區(qū)間；

⑵令9（X）=2'-X,當(dāng)x工0時(shí)，9（%）＞。，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)、＞0時(shí)，9'。）=212-1,

1x1

由g1（x）=2，12-1=0,可得2'=而，:.存在4e（0,+8）,滿足2°=血，

使得當(dāng)*e（0式0）時(shí)，9‘。）＜°,當(dāng)*e（X。，+s）時(shí)，g'（x）＞0,

Xci.i

Mmtn=9（x0）=2°-與=位-晦通＞0

.?.g（x）=2"-x無(wú)零點(diǎn)，即/'（x）=2"不存在"等值區(qū)間”；

q2X

③由外為=?77=;可得或"±i.

2x2

f（x）=H7F=—r，…

當(dāng)時(shí)，x+?在（°1］上為增函數(shù)，

2x

而對(duì)于一*2+1,滿足/'（0）=0,f（l）=1,

-有等值區(qū)間；

④令9。)=sin%-%,則9'(x)=cosx-1<0

???g(x)=sinx-X為單調(diào)減函數(shù)，又g(0)=o,

方程sinx=x僅有一解，故/<(X)=Sinx不存在“等值區(qū)間”.

存在“等值區(qū)間”的有.

故答案為：.

13、定義在R上的偶函數(shù)f(x)在［°，+8)上單調(diào)遞增，且/1⑴=0,貝嗨足"岷/)"°的*的集合

為.

【考點(diǎn)】

【答案】或x>2)

【解析】

根據(jù)定義在R上的偶函數(shù)/'(X)在［°，+8)上單調(diào)遞增，且f⑴=°,則/1(-1)=0,f(x)>0)

彳.logIX>1log1%<-1

可得X>1或XV-1,可得2或2，即可求解X的集合.

是定義在R上的偶函數(shù)，且在(°，+8)上遞增；

f(X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

且,則，

由，可得或，

/(logIX)>0

要滿足2,

即或，

1

解得：0<或x>2.

故答案為：或

11

14、計(jì)算：sinl5,+cosl5。.

【考點(diǎn)】

【答案】2下

【解析】

通分后利用兩角和的正弦及倍角公式化簡(jiǎn)求值.

11cosl50+sinlS0

-----+------=---------------

由題，sE15。coslS0sinlS8cosl58

_#sin(lS。+45°)#sin600?心

zsin300T

4'?

故答案為：.

三、解答題(共6題，共30分)

15、已知函數(shù)/1(%)=2/-3%+1.

n

⑴當(dāng)°工”“彳時(shí)，求y=f(sinx)的最大值；

(2)問(wèn)a取何值時(shí)，方程f(sinx)=a-sinx在［0,2萬(wàn))上有兩解？

【考點(diǎn)】

1

【答案】(1)1；(2)°七(1，5)或°=2.

【解析】

0)根據(jù)函數(shù)f(x)得出y=f(sinx)的解析式，用換元法，設(shè)弋=a1壬，C［O,引，求出f(t)在區(qū)

間［°1］上的最值即可；

(2)把方程f(sinx)=a-sinx轉(zhuǎn)化為Zsi/x-2sinx4-1=。在［0,2布上有兩解的問(wèn)題，用換元

法，求方程2t2-2t+1=a在［-1,1］上解的情況即可.

⑴函數(shù)/'㈤=2--3X+1,

y=/(sinx)=2sinx-3sinx+1,

設(shè)，，則1,

.?.y=2(t2-ft)+l=2(t-1)2-1

?

當(dāng)t=°時(shí)，函數(shù)y取得最大值=1;

⑵???方程，

2sinx-3sinx+1=a-sinx

即在上有兩解，

設(shè)，則

在上解的情況如下；

①當(dāng)方程在(一1，1)上只有一個(gè)解或相等解時(shí)，

x有兩解（5~a）（l-a）<0或△=0；

???a6（1,5）或；

3

⑵當(dāng)t=T時(shí)，X有唯一解，=產(chǎn),

n

。，當(dāng)*=1時(shí)，x有唯一解'2；

綜上，當(dāng)或時(shí)，方程在上有兩解.

16、如圖，已知在直三棱柱比g中，AC=4,4B=5,COSNC/B=5，^1=3,

是AB上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：ACLBC\.

（2）若D是AB上的中點(diǎn)，求證：4cl〃平面CD"

（3）求三棱錐"1一Bi。。的體積.

【考點(diǎn)】

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）6.

【解析】

（1）由余弦定理得BC,由勾股定理得4c1BC,由C011面ABC得到1AC,從而得到4C1面

BCC

lt故ACC1；

⑵連接監(jiān)交BQ于點(diǎn)E,則DE為△力叫的中位線,得到DE//4C1,從而得到"1//面/CD；

（3）過(guò)c作CF—B垂足為F,CFJ.面面積法求CF,求出三角形的面積，代入

體積公式進(jìn)行運(yùn)算.

4

證明：在中，由AC=4,蟲(chóng)=5,coszSB，，

利用余弦定理得BC=3,貝+EC?=

???△ABC為直角三角形，得.

又CC11面ABC,CC11AC,

而nBC=C,...AC1面，則力C-LBCi.

證明：設(shè)交于點(diǎn)E,則E為的中點(diǎn)，

連接DE,則DE為的中位線，則，

又DEU面CD%,則面；

解：在中，過(guò)C作垂足為F,

由面4町411

面ABC,得面，

VV

Al-B1CD=C-AiDB1

11-15

而=刑四-=2X5X3=y,

SAA/B]AAY

在中，由等面積法得CF=AB=T,

11512

AIZXX=6

/11-B1CD=3TT

17、已知圓C：I)?+O'—2產(chǎn)=25,直線?：(2m+l)x+(m+l)y-7?n—4=0

(I)求證：直線l與圓c必相交；

II求直線I被圓0截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)直線I的方程以及最短弦長(zhǎng).

【考點(diǎn)】

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)2x-y-5=0,46

【解析】

(1)根據(jù)直線I方程得到直線I恒過(guò)M(3,l),求出|MC|距離小于半徑，即可得到直線?與圓c必相

交；

2當(dāng)直線11直線MC時(shí)，直線I被圓C截得的弦長(zhǎng)最短，求出直線MC的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率

乘積為-1求出直線I斜率，根據(jù)M坐標(biāo)確定出直線I方程，利用垂徑定理，勾股定理求出最短弦長(zhǎng)即可.

1證明：根據(jù)題意得：直線I：Qm+l)x+(m+l)y-7m-4=°恒過(guò)點(diǎn)，

圓心C(L2),半徑為5,

22

V\CM\=7（3-I）+（1-2）=^<51

???M為圓內(nèi)，

則直線I與圓c必相交；

2當(dāng)直線直線MC時(shí)，直線I被圓C截得的弦長(zhǎng)最短，

設(shè)直線MC解析式為丫=kx+，

/3k+b=1

把M與c坐標(biāo)代入得：W+0=2,

.1.5

解得：k=-2,b=2,

15

??直線MC解析式為>'=-2X+2,

直線I斜率為2,

7直線I過(guò)點(diǎn)M,

直線I方程為yT=2（x-3）,即；

根據(jù)題意得：最短弦長(zhǎng)為252-承）2=函，

18、在A/IBC中，角A,B）C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c,已知C0S24-3C0S（8+0=1.

（1）求角A的大??；

（2）若的面積S=6p,b=3,求sinBsinC的值.

【考點(diǎn)】

n3

【答案】⑴4=3（2）sin8sinc=>

【解析】

（1）利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式，求得COS力的值，可得A的值.

（2）利用余弦定理求得a,再利用正弦定理求得sinBsinC的值

中，：cos2/-3cos（B+C）=1,二2cos2>4-1+3cos4=1,解得cos4="

n

??^=3.

⑵：b=3,△4BC的面積S=^bcsinA=6#,...c=4

再由余弦定理可得

o.oo27abe12

a=b+c-2bc-cosA=21....（2/?）=-^=28=^-sinB.sinC

3

?，sinBsinC=y

19、設(shè)等差數(shù)歹4a，J的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足04=7,^5=25.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

⑵記%=求數(shù)列&｝的前n項(xiàng)和丁”.

【考點(diǎn)】

n3

【答案】⑴/=2n-l；⑵4-

【解析】

（1）首先利用已知條件建立方程組，求出數(shù)列的首項(xiàng)與公差，進(jìn)一步確定等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）利用的結(jié)論，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和.

等差數(shù)歹十%｝的前n項(xiàng)和為S”，且滿足q=7,55=25.

設(shè)首項(xiàng)為01,公差為d,

'。4=7

Sc=25

則：5,

%+3d=7

5。|+10d=25

整理得：1

解得：4=1,d=2,

所以：%=%+5-l）d=2n-1

由得：%=%郵=（2"1"（扔，

所以：*=14+3,*+5,*+…+（2〃-1）-冠，

111-1,、1

/n=1?齊+3,理+5?尹+...+（2n-1）?