北京市西城區(qū)第五十六中學(xué)2024屆高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

北京市西城區(qū)第五十六中學(xué)2024屆高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知實(shí)數(shù)滿足則的最大值為（）A．2 B． C．1 D．02．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．下列說(shuō)法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．在中，“”是“”成立的必要不充分條件C．“若，則”是真命題D．存在，使得成立5．胡夫金字塔是底面為正方形的錐體，四個(gè)側(cè)面都是相同的等腰三角形．研究發(fā)現(xiàn)，該金字塔底面周長(zhǎng)除以倍的塔高，恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率．設(shè)胡夫金字塔的高為，假如對(duì)胡夫金字塔進(jìn)行亮化，沿其側(cè)棱和底邊布設(shè)單條燈帶，則需要燈帶的總長(zhǎng)度約為A． B．C． D．6．已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．57．設(shè)函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)8．已知向量，，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．9．《聊齋志異》中有這樣一首詩(shī)：“挑水砍柴不堪苦，請(qǐng)歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無(wú)所阻，額上墳起終不悟.”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：，，，，則按照以上規(guī)律，若具有“穿墻術(shù)”，則（）A．48 B．63 C．99 D．12010．相傳黃帝時(shí)代，在制定樂(lè)律時(shí)，用“三分損益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音調(diào)．如圖的程序是與“三分損益”結(jié)合的計(jì)算過(guò)程，若輸入的的值為1，輸出的的值為（）A． B． C． D．11．設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖像可能為（）A． B． C． D．12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=e-x-1-x，則曲線y=f(x)14．若函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在和兩處取得極值，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．15．已知函數(shù)函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________．16．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線與曲線交于點(diǎn)，將射線繞極點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)交曲線于點(diǎn).（1）求曲線的參數(shù)方程；（2）求面積的最大值．18．（12分）如圖，平面四邊形為直角梯形，，，，將繞著翻折到.（1）為上一點(diǎn)，且，當(dāng)平面時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)平面與平面所成的銳二面角大小為時(shí)，求與平面所成角的正弦.19．（12分）某商場(chǎng)為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量，在進(jìn)場(chǎng)購(gòu)物的顧客中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查．調(diào)查后，就顧客“購(gòu)物體驗(yàn)”的滿意度統(tǒng)計(jì)如下：滿意不滿意男女是否有的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)？若在購(gòu)物體驗(yàn)滿意的問(wèn)卷顧客中按照性別分層抽取了人發(fā)放價(jià)值元的購(gòu)物券．若在獲得了元購(gòu)物券的人中隨機(jī)抽取人贈(zèng)其紀(jì)念品，求獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率．附表及公式：．20．（12分）在如圖所示的多面體中，四邊形是矩形，梯形為直角梯形，平面平面，且，，.（1）求證：平面.（2）求二面角的大小.21．（12分）已知橢圓，上、下頂點(diǎn)分別是、，上、下焦點(diǎn)分別是、，焦距為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作與軸平行的直線，直線與交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，判斷是否為定值，說(shuō)明理由.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，直線交曲線于兩點(diǎn)，為中點(diǎn).（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程；（2）若，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

作出可行域，平移目標(biāo)直線即可求解.【詳解】解：作出可行域：由得，由圖形知，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，其截距最大，此時(shí)最大得，當(dāng)時(shí)，故選：B【點(diǎn)睛】考查線性規(guī)劃，是基礎(chǔ)題.2、B【解析】

分別比較復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與0的大小關(guān)系，可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，所以，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

試題分析：由題意可得：.共軛復(fù)數(shù)為，故選A.考點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算;2.以及復(fù)平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的關(guān)系4、C【解析】

A：否命題既否條件又否結(jié)論，故A錯(cuò).B：由正弦定理和邊角關(guān)系可判斷B錯(cuò).C：可判斷其逆否命題的真假，C正確.D：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯(cuò).【詳解】解：A：“若，則”的否命題是“若，則”，故A錯(cuò).B：在中，，故“”是“”成立的必要充分條件，故B錯(cuò).C：“若，則”“若，則”，故C正確.D：由冪函數(shù)在遞減，故D錯(cuò).故選：C【點(diǎn)睛】考查判斷命題的真假，是基礎(chǔ)題.5、D【解析】

設(shè)胡夫金字塔的底面邊長(zhǎng)為，由題可得，所以，該金字塔的側(cè)棱長(zhǎng)為，所以需要燈帶的總長(zhǎng)度約為，故選D．6、D【解析】試題分析：拋物線焦點(diǎn)在軸上，開口向上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，所以點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為，因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為5.考點(diǎn)：本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評(píng)：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，這條性質(zhì)在解題時(shí)經(jīng)常用到，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.7、C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，，，故函數(shù)是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤，為偶函數(shù)，故錯(cuò)誤，是奇函數(shù)，故正確．為偶函數(shù)，故錯(cuò)誤，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．8、C【解析】

求出，進(jìn)而可求,即能求出向量夾角.【詳解】解：由題意知，.則所以，則向量與的夾角為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示.求向量夾角時(shí)，通常代入公式進(jìn)行計(jì)算.9、C【解析】

觀察規(guī)律得根號(hào)內(nèi)分母為分子的平方減1，從而求出n.【詳解】解：觀察各式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根號(hào)內(nèi)分母為分子的平方減1所以故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理，發(fā)現(xiàn)總結(jié)各式規(guī)律是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

根據(jù)循環(huán)語(yǔ)句，輸入，執(zhí)行循環(huán)語(yǔ)句即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】輸入，由題意執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖，可得：第次循環(huán)：，，不滿足判斷條件；第次循環(huán)：，，不滿足判斷條件；第次循環(huán)：，，滿足判斷條件；輸出結(jié)果.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)語(yǔ)句的程序框圖，求輸出的結(jié)果，解答此類題目時(shí)結(jié)合循環(huán)的條件進(jìn)行計(jì)算，需要注意跳出循環(huán)的判定語(yǔ)句，本題較為基礎(chǔ).11、B【解析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)排除，再計(jì)算排除得到答案.【詳解】定義域?yàn)椋?，函?shù)為偶函數(shù)，排除，排除故選【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，特殊值排除選項(xiàng)是常用的技巧.12、B【解析】

列出每一次循環(huán)，直到計(jì)數(shù)變量滿足退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：，退出循環(huán)，輸出的為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果，要注意在哪一步退出循環(huán)，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、y=2x【解析】試題分析：當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，則f(-x)=ex-1+x．又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(x)=f(-x)=ex-1+x，所以f'【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性、解析式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義【知識(shí)拓展】本題題型可歸納為“已知當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y=f(x)，則當(dāng)x<0時(shí)，求函數(shù)的解析式”．有如下結(jié)論：若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)的解析式為y=-f(x)；若f(x)為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為y=-f(-x)．14、【解析】

先將函數(shù)在和兩處取得極值，轉(zhuǎn)化為方程有兩不等實(shí)根，且，再令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)滿足，用導(dǎo)數(shù)方法研究單調(diào)性，作出簡(jiǎn)圖，求出時(shí)，的值，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，又函?shù)在和兩處取得極值，所以是方程的兩不等實(shí)根，且，即有兩不等實(shí)根，且，令，則直線與曲線有兩交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，又，由得，所以，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，即函數(shù)在和上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)，因此，由得.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，已知函數(shù)極值點(diǎn)間的關(guān)系求參數(shù)的問(wèn)題，通常需要將函數(shù)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，再轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)的問(wèn)題來(lái)處理，屬于?？碱}型.15、【解析】∵，∴，∵函數(shù)y=f(x)?g(x)恰好有四個(gè)零點(diǎn)，∴方程f(x)?g(x)=0有四個(gè)解，即f(x)+f(2?x)?b=0有四個(gè)解，即函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，，作函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象如下，，結(jié)合圖象可知，<b<2，故答案為.點(diǎn)睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍．16、【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法求解再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.【詳解】解：復(fù)數(shù)為純虛數(shù),解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求解參數(shù)的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（為參數(shù)）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)伸縮變換結(jié)合曲線的參數(shù)方程可得出曲線的參數(shù)方程；（2）將曲線的方程化為普通方程，然后化為極坐標(biāo)方程，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，將這兩點(diǎn)的極坐標(biāo)代入橢圓的極坐標(biāo)方程，得出和關(guān)于的表達(dá)式，然后利用三角恒等變換思想即可求出面積的最大值．【詳解】（1）由于曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線，則曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（2）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程得，化為極坐標(biāo)方程得，即，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，將這兩點(diǎn)的極坐標(biāo)代入橢圓的極坐標(biāo)方程得，，的面積為，當(dāng)時(shí)，的面積取到最大值.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，考查了伸縮變換，同時(shí)也考查了利用極坐標(biāo)方程求解三角形面積的最值問(wèn)題，要熟悉極坐標(biāo)方程所適用的基本類型，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，連接，利用線面平行的性質(zhì)定理可推導(dǎo)出，然后利用平行線分線段成比例定理可求得的值；（2）取中點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作，則，作于，連接，推導(dǎo)出，，可得出為平面與平面所成的銳二面角，由此計(jì)算出、，并證明出平面，可得出直線與平面所成的角為，進(jìn)而可求得與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，平面，平面，平面平面，，在梯形中，，則，，，，所以，；（2）取中點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作，則，作于，連接.為的中點(diǎn)，且，，且，所以，四邊形為平行四邊形，由于，，，，，，，為的中點(diǎn)，所以，，，同理，，，，平面，，，，為面與面所成的銳二面角，，，，，則，，，平面，平面，，，，面，為與底面所成的角，，，.在中，.因此，與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用線面平行的性質(zhì)求參數(shù)，同時(shí)也考查了線面角的計(jì)算，涉及利用二面角求線段長(zhǎng)度，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.19、有的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)；.【解析】

由題得，根據(jù)數(shù)據(jù)判斷出顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)；獲得了元購(gòu)物券的人中男顧客有人，記為，；女顧客有人，記為，，，．從中隨機(jī)抽取人，所有基本事件有個(gè)，其中僅有1人是女顧客的基本事件有個(gè)，進(jìn)而求出獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.【詳解】解析：由題得所以，有的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)．獲得了元購(gòu)物券的人中男顧客有人，記為，；女顧客有人，記為，，，．從中隨機(jī)抽取人，所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)．其中僅有1人是女顧客的基本事件有：，，，，，，，，共個(gè)．所以獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率．【點(diǎn)睛】本小題主要考查統(tǒng)計(jì)案例、卡方分布、概率等基本知識(shí)，考查概率統(tǒng)計(jì)基本思想以及抽象概括等能力和應(yīng)用意識(shí)，屬于中檔題．20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）根據(jù)面面垂直性質(zhì)及線面垂直性質(zhì)，可證明；由所給線段關(guān)系，結(jié)合勾股定理逆定理，可證明，進(jìn)而由線面垂直的判定定理證明平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得平面和平面的法向量，由空間向量法求得兩個(gè)平面夾角的余弦值，結(jié)合圖形即可求得二面角的大小.【詳解】（1）證明：∵平面平面ABEG，且，∴平面，∴，由題意可得，∴，∵，且，∴平面.（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.設(shè)平面的法向量是，則，令，，由（1）可知平面的法向量是，∴，由圖可知，二面角為鈍二面角，所以二面角的大