高中數(shù)學(xué)培優(yōu)習(xí)題大全之統(tǒng)計(jì)

板塊一.隨機(jī)抽樣

mate知識(shí)內(nèi)容

隨機(jī)抽樣

i.隨機(jī)抽樣：滿足每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是均等的抽樣，共有三種經(jīng)常采用的隨機(jī)抽樣方

法：

⑴簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：從元素個(gè)數(shù)為N的總體中不放回地抽取容量為〃的樣本，如果每一次抽

取時(shí)總體中的各個(gè)個(gè)體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

抽出辦法：①抽簽法：用紙片或小球分別標(biāo)號(hào)后抽簽的方法.

②隨機(jī)數(shù)表法：隨機(jī)數(shù)表是使用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)的應(yīng)用程序生成隨機(jī)數(shù)的功能生成的一張

數(shù)表.表中每一位置出現(xiàn)各個(gè)數(shù)字的可能性相同.

隨機(jī)數(shù)表法是對(duì)樣本進(jìn)行編號(hào)后，按照一定的規(guī)律從隨機(jī)數(shù)表中讀數(shù)，并取出相應(yīng)的樣本的

方法.

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是最簡(jiǎn)單、最基本的抽樣方法.

⑵系統(tǒng)抽樣：將總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)

個(gè)體，得到所需要的樣本的抽樣方法.

抽出辦法：從元素個(gè)數(shù)為N的總體中抽取容量為〃的樣本，如果總體容量能被樣本容量整

除，設(shè)憶=老，先對(duì)總體進(jìn)行編號(hào)，號(hào)碼從1到N,再?gòu)臄?shù)字1到人中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)s作

為起始數(shù)，然后順次抽取第s+k,6+23…，s+5-l4個(gè)數(shù)，這樣就得到容量為〃的樣

本.如果總體容量不能被樣本容量整除，可隨機(jī)地從總體中剔除余數(shù)，然后再按系統(tǒng)抽樣

方法進(jìn)行抽樣.

系統(tǒng)抽樣適用于大規(guī)模的抽樣調(diào)查，由于抽樣間隔相等，又被稱為等距抽樣.

⑶分層抽樣：當(dāng)總體有明顯差別的幾部分組成時(shí)，要反映總體情況，常采用分層抽樣，使

總體中各個(gè)個(gè)體按某種特征分成若干個(gè)互不重疊的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按

層在總體中所占比例進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣.

分層抽樣的樣本具有較強(qiáng)的代表性，而且各層抽樣時(shí)，可靈活選用不同的抽樣方法，

應(yīng)用廣泛.

2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣必須具備下列特點(diǎn)：

⑴簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣要求被抽取的樣本的總體個(gè)數(shù)N是有限的.

⑵簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)n小于等于樣本總體的個(gè)數(shù)N.

⑶簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是從總體中逐個(gè)抽取的.

⑷簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種不放回的抽樣.

⑸簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的每個(gè)個(gè)體入樣的可能性均為4.

N

3.系統(tǒng)抽樣時(shí)，當(dāng)總體個(gè)數(shù)N恰好是樣本容量〃的整數(shù)倍時(shí)，取k=J

若豈不是整數(shù)時(shí)，先從總體中隨機(jī)地剔除幾個(gè)個(gè)體，使得總體中剩余的個(gè)體數(shù)能被樣本容

量〃整除.因?yàn)槊總€(gè)個(gè)體被剔除的機(jī)會(huì)相等，因而整個(gè)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)仍

然相等，為上N.

n

—.頻率直方圖

列出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖的步驟：

①計(jì)算極差：找出數(shù)據(jù)的最大值與最小值，計(jì)算它們的差;

極差

②決定組距與組數(shù)：取組距，用決定組數(shù);

③決定分點(diǎn)：決定起點(diǎn)，進(jìn)行分組；

④列頻率分布直方圖：對(duì)落入各小組的數(shù)據(jù)累計(jì)，算出各小數(shù)的頻數(shù)，除以樣本容量，得

到各小組的頻率.

⑤繪制頻率分布直方圖：以數(shù)據(jù)的值為橫坐標(biāo)，以黑的值為縱坐標(biāo)繪制直方圖,

組距

頻率

知小長(zhǎng)方形的面積=組距X=頻率.

頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖各個(gè)長(zhǎng)方形上邊的中點(diǎn)用線段連接起來(lái)，就得到頻率分

布折線圖，一般把折線圖畫(huà)成與橫軸相連，所以橫軸左右兩端點(diǎn)沒(méi)有實(shí)際意義.

總體密度曲線：樣本容量不斷增大時(shí)，所分組數(shù)不斷增加，分組的組距不斷縮小，頻率分布

直方圖可以用一條光滑曲線y=/(x)來(lái)描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線.總體密度

曲線精確地反映了一個(gè)總體在各個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律.

三.莖葉圖

制作莖葉圖的步驟：

①將數(shù)據(jù)分為“莖”、“葉”兩部分；

②將最大莖與最小莖之間的數(shù)字按大小順序排成一列，并畫(huà)上豎線作為分隔線;

4)將各個(gè)數(shù)據(jù)的“葉”在分界線的一側(cè)對(duì)應(yīng)莖處同行列出.

四.統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征

用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)；用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差.

數(shù)據(jù)的離散程序可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述.

極差又叫全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差，反映一組數(shù)據(jù)的變動(dòng)幅度；

樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)平均數(shù)波動(dòng)的大小，樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根.

一般地，設(shè)樣本的元素為不，々，…，毛樣本的平均數(shù)為了，

定義樣本方差為$2=?一反2+區(qū)■■君2+…+(X“一豆,

樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=卜&一丁尸+(%一＜/+???+

Vn

簡(jiǎn)化公式：S?=匕(與2+考+…+片)一就2].

n

五.獨(dú)立性檢驗(yàn)

1.兩個(gè)變量之間的關(guān)系；

常見(jiàn)的有兩類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系；另一類是變量間存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系

所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有一定隨機(jī)性的.當(dāng)一個(gè)變量取值一定時(shí)，另一個(gè)變量的

取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系.

2.散點(diǎn)圖：將樣本中的〃個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(七,y)(i=1,2,…，〃)描在平面直角坐標(biāo)系中，就得到

了散點(diǎn)圖.

散點(diǎn)窗形象地反映了各個(gè)數(shù)據(jù)的密切程度，根據(jù)散點(diǎn)圖的分布趨勢(shì)可以直觀地判斷分析兩個(gè)

變量的關(guān)系.

3.如果當(dāng)一個(gè)變量的值變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也在變大，則這種相關(guān)稱為正相關(guān)；此時(shí)，

散點(diǎn)圖中的點(diǎn)在從左下角到右上角的區(qū)域.

反之，一個(gè)變量的值變大時(shí)，另一個(gè)變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān).止匕時(shí)，散點(diǎn)

圖中的點(diǎn)在從左上角到右下角的區(qū)域.

散點(diǎn)圖可以判斷兩個(gè)變量之間有沒(méi)有相關(guān)關(guān)系.

4.統(tǒng)計(jì)假設(shè)：如果事件A與B獨(dú)立，這時(shí)應(yīng)該有尸(AB)=P(A)P(8),用字母4表示此式,

即Ho:P(AB)=P(A)P(B)，稱之為統(tǒng)計(jì)假設(shè).

5.%"(讀作“卡方”)統(tǒng)計(jì)量：

統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一個(gè)非常有用的統(tǒng)計(jì)量，它的表達(dá)式為個(gè)叫)一,用它的大小可以

〃l+〃2+"+l”+2

用來(lái)決定是否拒絕原來(lái)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)“0.如果/的值較大，就拒絕“°,即認(rèn)為A與B是有

關(guān)的.

/統(tǒng)計(jì)量的兩個(gè)臨界值：3.841、6.635；當(dāng)/>3.841時(shí)，有95%的把握說(shuō)事件A與8有

關(guān)；當(dāng)/>6.635時(shí)，有99%的把握說(shuō)事件A與5有關(guān)；當(dāng)/W3.841時(shí)，認(rèn)為事件A與8

是無(wú)關(guān)的.

獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想與反證法類似，由結(jié)論不成立時(shí)推出有利于結(jié)論成立的小概率事件發(fā)

生，而小概率事件在一次試驗(yàn)中通常是不會(huì)發(fā)生的，所以認(rèn)為結(jié)論在很大程度上是成立的.

1.獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟：統(tǒng)計(jì)假設(shè)：Hn；列出2x2聯(lián)表；計(jì)算/統(tǒng)計(jì)量：查對(duì)臨界值表，

作出判斷.

2.幾個(gè)臨界值：P(/>2.706)=0.10,P(*》3.841)=0.05,P(*26.635)=0.01.

2x2聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)：

如果對(duì)于某個(gè)群體有兩種狀態(tài)，對(duì)于每種狀態(tài)又有兩個(gè)情況，這樣排成一張2x2的表，如

下：

狀態(tài)B狀態(tài)》合計(jì)

狀態(tài)A勺+

狀態(tài)A%+

%%2n

如果有調(diào)查得來(lái)的四個(gè)數(shù)據(jù)勺，與，%,n22,并希望根據(jù)這樣的4個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)上述的兩種

狀態(tài)A與8是否有關(guān)，就稱之為2x2聯(lián)表向獨(dú)立性檢驗(yàn).

六.回歸分析

I.回歸分析：對(duì)于具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析，即回歸分

析就是尋找相關(guān)關(guān)系中這種非確定關(guān)系的某種確定性.

回歸直線：如果散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)都大致分布在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性

相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.

2.最小二乘法：

記回歸直線方程為：y=a+bx,稱為變量丫對(duì)變量x的回歸直線方程，其中叫做回歸

系數(shù).

9是為了區(qū)分丫的實(shí)際值y,當(dāng)x取值茗時(shí)，變量V的相應(yīng)觀察值為y,而直線上對(duì)應(yīng)于蒼

的縱坐標(biāo)是力="+bxi.

設(shè)x,丫的一組觀察值為(先，y),i=1,2,…，且回歸直線方程為^=。+公，

當(dāng)x取值答時(shí)，K的相應(yīng)觀察值為％,差必-力(i=1,2,…，〃)刻畫(huà)了實(shí)際觀察值y與回歸

直線上相應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)之間的偏離程度，稱這些值為離差.

我們希望這〃個(gè)離差構(gòu)成的總離差越小越好，這樣才能使所找的直線很貼近已知點(diǎn).

記。=，回歸直線就是所有直線中。取最小值的那條?

/=!

這種使“離差平方和為最小”的方法，叫做最小二乘法.

用最小二乘法求回歸系數(shù)4,人有如下的公式：

2%切_時(shí)

5=三---------a=y-bx,其中a"上方加“人”，表示是由觀察值按最小二乘法求得的

i=l

回歸系數(shù).

3.線性回歸模型：將用于估計(jì)y值的線性函數(shù)4+所作為確定性函數(shù)；y的實(shí)際值與估計(jì)

值之間的誤差記為￡,稱之為隨機(jī)誤差；將），=a+bx+￡稱為線性回歸模型.

產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有：

①所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)即模型近似引起的誤差；

②忽略了某些因素的影響，通常這些影響都比較?。?/p>

③由于測(cè)量工具等原因，存在觀測(cè)誤差.

4.線性回歸系數(shù)的最佳估計(jì)值：

利用最小二乘法可以得到4,3的計(jì)算公式為

__

3=-^,----------=得-------->a^y-bx,其中x=丫=一卻，

之（X,.-JC）2'X；一心>"I"t

/=|1=1

由此得到的直線？=&+%就稱為回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程.其中4,5分

別為a,b的估計(jì)值，育稱為回歸截距，5稱為回歸系數(shù)，9稱為回歸值.

5.相關(guān)系數(shù)：

__

2（七一x）（x-y）?-nxy

i=l_i=l

、忙（七-;）2。（必一?。?-〃G）2）

Vi=1i=lVf=l/=!

6.相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)：

⑴|r|Wl；

⑵|r|越接近于1,x,y的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；

（3）|川越接近于0,x,y的線性相關(guān)程度越弱.

可見(jiàn)，一條回歸直線有多大的預(yù)測(cè)功能，和變量間的相關(guān)系數(shù)密切相關(guān).

7,轉(zhuǎn)化思想：

根據(jù)專業(yè)矢贏或散點(diǎn)圖，對(duì)某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)

化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù).

8.一些備案

①回歸（regression）一詞的來(lái)歷：“回歸”這個(gè)詞英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家FrancilsGalton提出來(lái)的.1889

年，他在研究祖先與后代的身高之間的關(guān)系時(shí)發(fā)現(xiàn)，身材較高的父母，他們的孩子也較高，

但這些孩子的平均身高并沒(méi)有他們父母的平均身高高；身材較矮的父母,他們的孩子也較矮，

但這些孩子的平均身高卻比他們父母的平均身高高.Galton把這種后代的身高向中間值靠近

的趨勢(shì)稱為''回歸現(xiàn)象后來(lái)，人們把由一個(gè)變量的變化去推測(cè)另一個(gè)變量的變化的方法稱

為回歸分析.

②回歸系數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程：

Q=ZKy-a）-如『=Zy：-2@%+na2-2bz+2abz占+^x；

=na2+2a（心毛-￡%）+從￡xj-2b￡x,%+，y；,

把上式看成a的二次函數(shù)，"的系數(shù)”>o,

因此當(dāng)叫_2（m>）=—￡時(shí)取最小值.

2〃n

同理，把。的展開(kāi)式按6的降基排列，看成6的二次函數(shù)，當(dāng)6=2士設(shè)；工出時(shí)取最小值.

Lx"

一〃

Z茗y,--時(shí)

Z。一君（％一田

解得：b=R--------a=y-bx,

Z（%-君2

/=!

其中y=』ZM，5=1?>,是樣本平均數(shù).

nn

9.對(duì)相關(guān)系數(shù)/"進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)的步驟：

①提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)H。：變量x,y不具有線性相關(guān)關(guān)系；

②如果以95%的把握作出推斷，那么可以根據(jù)1-0.95=0.05與〃-2（〃是樣本容量）在相

關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表中查出一個(gè)r的臨界值Qo,（其中1-0.95=0.05稱為檢驗(yàn)水平）；

③計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r；

④作出統(tǒng)計(jì)推斷：若則否定“。，表明有95%的把握認(rèn)為變量y與x之間具有線

性相關(guān)關(guān)系；若"氏a5,則沒(méi)有理由拒絕”。，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒(méi)有充分理由認(rèn)為變

量y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.

說(shuō)明：

⑴對(duì)相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，一般取檢驗(yàn)水平a=0.05,即可靠程度為95%.

⑵這里的/?指的是線性相關(guān)系數(shù)，r的絕對(duì)值很小，只是說(shuō)明線性相關(guān)程度低，不一定不相

關(guān)，可能是非線性相關(guān)的某種關(guān)系.

⑶這里的r是對(duì)抽樣數(shù)據(jù)而言的.有時(shí)即使|r|=1,兩者也不一定是線性相關(guān)的.故在統(tǒng)計(jì)

分析時(shí)，不能就數(shù)據(jù)論數(shù)據(jù)，要結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行合理解釋.

mte典例分析

題型一系統(tǒng)抽樣

【例1】已知某商場(chǎng)新進(jìn)3000袋奶粉，為檢查其三聚氟胺是否超標(biāo)，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣

的方法從中抽取150袋檢查，若第一組抽出的號(hào)碼是11,則第六十一組抽出的

號(hào)碼為.

【例2】某校高三年級(jí)195名學(xué)生已編號(hào)為1,2,3,...195,為了解高三學(xué)生的飲食情

況，要按1：5的比例抽取一個(gè)樣本，若采用系統(tǒng)抽樣方法進(jìn)行抽取，其中抽取3

名學(xué)生的編號(hào)可能是（）

A.3,24,33B.31,47,147C.133,153,193D.102,

132,159

【例3】從編號(hào)為1~5。的50枚最新研制的某種型號(hào)的導(dǎo)彈中隨機(jī)抽取5枚來(lái)進(jìn)行發(fā)射

實(shí)驗(yàn)，若采用每部分選取的號(hào)碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法，則所選取5枚導(dǎo)彈

的編號(hào)可能是（）

A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43C.1,2,3,4,5

D.2,4,6,16,32

【例4】有40件產(chǎn)品，編號(hào)從1至40,現(xiàn)在從中抽取4件檢驗(yàn)，用系統(tǒng)抽樣法所抽的編

號(hào)可能為（）

A.5,10,15,20B.2,12,22,32

C.2,14,26,38D.5,8,31,36

【例5】采用系統(tǒng)抽樣法，從121人中抽取一個(gè)容量為12人的樣本，寫(xiě)出抽樣的步驟,

并求每人被抽取的機(jī)率.

【例6】用系統(tǒng)抽樣法要從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將160名學(xué)生隨機(jī)地

從1?160編號(hào),按編號(hào)順序平均分成20組（1~8號(hào)，9~16號(hào)，…，153~160

號(hào)），若第16組抽出的號(hào)碼為126,則第1組中用抽簽的方法確定的號(hào)碼是

【例7】某單位有工程師6人，技術(shù)員12人，技工18人，要從這些人中抽取一個(gè)容量為

〃的樣本；如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣方法抽取，不用剔除個(gè)體；如果樣本

容量增加1個(gè)，則在采用系統(tǒng)抽樣時(shí)，需要在總體中先剔除1個(gè)個(gè)體，則樣本容

量為.

【例8】一個(gè)總體中有100個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號(hào)0,1,2,99,依編號(hào)順序平均分成

10個(gè)小組，組號(hào)依次為1,2,3,10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量

為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為機(jī)，那么在第k組中抽取的

號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與加+%的個(gè)位數(shù)字相同，若加=6,則在第7組中抽取的號(hào)碼

是?

題型二分層抽樣

【例9】（2010朝陽(yáng)二模）

某校共有學(xué)生2000名，各年級(jí)男、女學(xué)生人數(shù)如下表，已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽

取1名，抽到二年級(jí)女生的概率是0.19,現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校學(xué)生中抽取

64人，則應(yīng)在三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為（）

一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)

女生385ab

男生375360C

A.24B.18C.16D.12

【例10】（2010湖北高考）

將參加夏令營(yíng)的600名學(xué)生編號(hào)為：001,002,...,600.采用系統(tǒng)抽樣療法抽取一個(gè)容量

為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號(hào)碼為003.這600名學(xué)生分住在三個(gè)營(yíng)區(qū)，從001到300

在第1營(yíng)區(qū)，從301到495在第H營(yíng)區(qū)，從496到600在第HI營(yíng)區(qū).三個(gè)營(yíng)區(qū)被抽中的

人數(shù)依次為

A.26,16,8B.25,17,8C.25,16,9D.24,17,9

【例11】某城市有學(xué)校500所，其中大學(xué)10所，中學(xué)200所.現(xiàn)在取50所學(xué)校作為一個(gè)

樣本進(jìn)行一項(xiàng)調(diào)查，用分層抽樣進(jìn)行抽樣，應(yīng)該選取大學(xué)所.

【例12】某商場(chǎng)有四類食品，其中糧食類、植物油類、動(dòng)物性食品類及果蔬類分別有40

種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行食品安全檢測(cè).若

采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是

（）

A.4B.5C.6D.7

【例13］（北京市西城區(qū)2009年4月高三一模抽樣測(cè)試）

某單位有27名老年人，54名中年人，81名青年人.為了調(diào)查他們的身體情況，

用分層抽樣的方法從他們中抽取了”個(gè)人進(jìn)行體檢，其中有6名老年人，那么

n=.

【例14】某中學(xué)高中部有三個(gè)年級(jí)，其中高一有學(xué)生400人，采用分層抽樣抽取一個(gè)容

量為45的樣本，高二年級(jí)抽取15人，高三年級(jí)抽取10人，問(wèn)高中部共有多少

學(xué)生？

【例15】某學(xué)校共有師生2400人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個(gè)容量為

160的樣本，已知從學(xué)生中抽取的人數(shù)為150,那么該學(xué)校的教師人數(shù)

是

【例16】（2（X）9天津文）

為了了解某市工廠開(kāi)展群眾體育活動(dòng)的情況，擬采用分層抽樣的方法從A,B,C

三個(gè)區(qū)中抽取7個(gè)工廠進(jìn)行調(diào)查.已知A,8,C區(qū)中分別有18,27,18個(gè)工廠.求

從A,B,C區(qū)中應(yīng)分別抽取的工廠個(gè)數(shù)；

【例17】某校高三年級(jí)一共有900個(gè)學(xué)生，其中女生400人.為了解該年級(jí)學(xué)生的健康

情況，使用分層抽樣法進(jìn)行抽樣調(diào)查.已知從男生中任意抽取了25人，則需要

從女生中任意抽取人進(jìn)行調(diào)查.

【例18】某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：3：5.現(xiàn)用

分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為〃的樣本，樣本中A種型號(hào)產(chǎn)品有16件.那么此樣

本的容量n=.

【例19】某校有500名學(xué)生，A型血的有125人，B型血的有125人，A3型血的有50人，

為了研究血型與色弱的關(guān)系，要從中抽取一個(gè)20人的樣本，按分層抽樣，。型

血應(yīng)抽取的人數(shù)為人.

【例20】某校1000名學(xué)生中，。型血有400人，A型血有250人，3型血有250人，AB

型血有100人，為了研究血型與性格的關(guān)系，按照分層抽樣的方法從中抽取樣

本.如果從A型血中抽取了10人，則從AB型血中應(yīng)當(dāng)抽取的人數(shù)

為.

【例21】某單位業(yè)務(wù)人員、管理人員、后勤服務(wù)人員人數(shù)之比依次為15:3:2.為了了解

該單位職員的某種情況，采用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為〃的樣本，樣本中

業(yè)務(wù)人員人數(shù)為30,則此樣本的容量〃為（）

A.20B.30C.40D.80

【例22】某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：3：5.現(xiàn)

用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為〃的樣本，樣本中A種型號(hào)產(chǎn)品有16件.那么

此樣本的容量〃=.

【例23】（2009湖南）

一個(gè)總體分為A,8兩層，其個(gè)體數(shù)之比為4:1,用分層抽樣方法從總體中抽取

一個(gè)容量為10的樣本，已知8層中甲、乙都被抽到的概率為,，則總體中的

28

個(gè)體數(shù)為.

【例24】（05年湖南）某工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品16800件，它們來(lái)自甲、乙、丙三條生產(chǎn)

線.為檢查產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣法進(jìn)行抽樣.已知甲'乙、丙三條

生產(chǎn)線抽取的個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則乙生產(chǎn)了件產(chǎn)品.

【例25】某單位有工程師6人，技術(shù)員12人，技工18人，要從這些人中抽取一個(gè)容量為

〃的樣本；如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣方法抽取，不用剔除個(gè)體；如果樣本

容量增加1個(gè)，則在采用系統(tǒng)抽樣時(shí)，需要在總體中先剔除1個(gè)個(gè)體，則樣本容

量為.

【例26】（2009廣東12）

某單位200名職工的年齡分布情況如圖，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)

抽樣法，將全體職工隨機(jī)按1~200編號(hào)，并按編號(hào)順序平均分為40組（1~5號(hào)，

6~10號(hào)，...，196~200號(hào)）.若第5組抽出的號(hào)碼為22,則第8組抽出的號(hào)碼應(yīng)

是.若用分層抽樣方法，則40歲以下年齡段應(yīng)抽取人.

40歲以下

【例27】（北京市朝陽(yáng)區(qū)2009年4月高三一模理）

從6名女生，4名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生組成課外小組,

則不同的抽取方法種數(shù)為.

A-B.C〉C：C.C：。D.

【例28】（2008廣東19）

某初級(jí)中學(xué)共有學(xué)生2000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表:

初一年級(jí)初二年級(jí)初三年級(jí)

女生373Xy

男生377370Z

已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到初二年級(jí)女生的概率是0.19.

⑴求x的值；

⑵現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問(wèn)應(yīng)在初三年級(jí)抽取多少名？

⑶已知.V2245,z2245,求初三年級(jí)中女生比男生多的概率.

【例29】（2009山東文）

一汽車(chē)廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車(chē)，每類轎車(chē)均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的

產(chǎn)量如下表（單位：輛）：

轎車(chē)A轎車(chē)B轎車(chē)C

舒適型100150Z

標(biāo)準(zhǔn)型300450600

按類型分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車(chē)中抽取50輛，其中有A類轎車(chē)10輛.

⑴求z的值.

⑵用分層抽樣的方法在C類轎車(chē)中抽取一個(gè)容量為5的樣本.將該樣本看成一個(gè)總

體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車(chē)的概率；

⑶用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車(chē)中抽取8輛，經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下：9.4,

8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把這8輛轎車(chē)的得分看作一個(gè)總體，從中

任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的概率.

題型三抽樣方法選擇及其他

【例30】（04湖南）某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、

150個(gè)銷售點(diǎn)，公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)

容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從

中抽取7個(gè)調(diào)查其銷售收入和銷后服務(wù)等情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②.則完成①、

②這兩項(xiàng)調(diào)查采用的抽樣方法依次是.

【例31]⑴某社區(qū)有400戶家庭，其中高收入家庭25戶，中收入家庭280戶，低收入

家庭95戶，為了了解社會(huì)購(gòu)買(mǎi)力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100的樣

本；

⑵從10名職工中抽取3名參加座談會(huì)；

⑶一個(gè)年級(jí)有10個(gè)班，每個(gè)班有50名同學(xué)，隨機(jī)編為1至50號(hào)，為了了解他

們的學(xué)習(xí)情況，要求每個(gè)班的30號(hào)同學(xué)留下來(lái)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.

以上問(wèn)題各對(duì)應(yīng)哪種隨機(jī)抽樣方法？

【例32】下列抽樣問(wèn)題中最適合用系統(tǒng)抽樣方法抽樣的是（）

A.從全班48名學(xué)生中隨機(jī)抽取8人參加一項(xiàng)活動(dòng).

B.一個(gè)城市有210家百貨商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150

家，為了掌握各商店的營(yíng)業(yè)情況，要從中抽取一個(gè)容量為21的樣本.

C.從參加模擬考試的1200名考生中隨機(jī)抽取100人分析試題作答情況.

D.從參加模擬考試的1200名考生中隨機(jī)抽取10人了解某些情況.

【例33】某學(xué)校有職工140人，其中教師91人，教輔行政人員28人，總務(wù)后勤人員21

人.為了解職工的某種情況，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本.以下的抽樣方

法中，依簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣順序的是

方法1：將140人從1~140編號(hào)，然后制作出有編號(hào)1~1人的140個(gè)形狀、大小

相同的號(hào)簽，并將號(hào)簽放入同一箱子里進(jìn)行均勻攪拌，然后從中抽取20

個(gè)號(hào)簽，編號(hào)與簽號(hào)相同的20個(gè)人被選出.

方法2：將140人分成20組，每組7人，并將每組7人按1~7編號(hào)，在第一組

采用抽簽法抽出上號(hào)（1W上W7）,則其余各組上號(hào)也被抽到，20個(gè)人被

選出.

方法3:按20:140=1:7的比例，從教師中抽取13人，從教輔行政人員中抽取4

人，從總務(wù)后勤人員中抽取3人，從各類人員中抽取所需人員時(shí)，均采

用隨機(jī)數(shù)表法，可抽到20個(gè)人.

A.方法2,方法1,方法3B.方法2,方法3,方法1

C.方法1,方法2,方法3D.方法3,方法1,方法2

【例34】某工廠有工人1021人，其中高級(jí)工程師20人，現(xiàn)抽取普通工人40人，高級(jí)工

程師4人組成代表隊(duì)參加某項(xiàng)活動(dòng)，怎樣抽取較好？

【例35】現(xiàn)有以下兩項(xiàng)調(diào)查：①某裝訂廠平均每小時(shí)大約裝訂圖書(shū)361冊(cè)，要求檢驗(yàn)員

每小時(shí)抽取40冊(cè)圖書(shū)，檢查其裝訂質(zhì)量狀況；②某市有大型、中型與小型的商

店共1500家，三者數(shù)量之比為1:5:9.為了調(diào)查全市商店每日零售額情況，抽

取其中15家進(jìn)行調(diào)查.

完成①、②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是（）

A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法B.分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法

C.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法D.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法

【例36】某校有40個(gè)班，每班有50人，每班選派3人參加“學(xué)代會(huì)”，在這個(gè)問(wèn)題中樣

本容量是（）

A.40B.50C.120D.150

【例37】為了了解參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的2000名運(yùn)動(dòng)員的年齡情況，從中抽取100名運(yùn)動(dòng)員；就

這個(gè)問(wèn)題，下列說(shuō)法中正確的有（）個(gè)

①2000名運(yùn)動(dòng)員是總體；

②每個(gè)運(yùn)動(dòng)員是個(gè)體；

③所抽取的100名運(yùn)動(dòng)員是一個(gè)樣本；

④樣本容量為100;

⑤這個(gè)抽樣方法可采用按年齡進(jìn)行分層抽樣；

⑥每個(gè)運(yùn)動(dòng)員被抽到的概率相等

A.1B.2C.3D.4

【例38】（2008湖南12）

從某地區(qū)15000位老人中隨機(jī)抽取500人，其生活能否自理的情況如下表所示：

人別

男女

生活"—能否自''理''二------

能178278

不能2321

則該地區(qū)生活不能自理的老人中男性比女性約多人.

【例39】一個(gè)總體含有100個(gè)個(gè)體，以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個(gè)容量為5

的樣本，則指定的某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為.

板塊二.頻率直方圖

mte知識(shí)內(nèi)容

一.隨機(jī)抽樣

i.隨機(jī)抽樣：滿足每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是均等的抽樣，共有三種經(jīng)常采用的隨機(jī)抽樣方

法：

⑴簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：從元素個(gè)數(shù)為N的總體中不放回地抽取容量為〃的樣本，如果每一次抽

取時(shí)總體中的各個(gè)個(gè)體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

抽出辦法：①抽簽法：用紙片或小球分別標(biāo)號(hào)后抽簽的方法.

②隨機(jī)數(shù)表法：隨機(jī)數(shù)表是使用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)的應(yīng)用程序生成隨機(jī)數(shù)的功能生成的一張

數(shù)表.表中每一位置出現(xiàn)各個(gè)數(shù)字的可能性相同.

隨機(jī)數(shù)表法是對(duì)樣本進(jìn)行編號(hào)后，按照一定的規(guī)律從隨機(jī)數(shù)表中讀數(shù)，并取出相應(yīng)的樣本的

方法.

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是最簡(jiǎn)單、最基本的抽樣方法.

⑵系統(tǒng)抽樣：將總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)

個(gè)體，得到所需要的樣本的抽樣方法.

抽出辦法：從元素個(gè)數(shù)為N的總體中抽取容量為”的樣本，如果總體容量能被樣本容量整

除，設(shè)女=包，先對(duì)總體進(jìn)行編號(hào)，號(hào)碼從1到N,再?gòu)臄?shù)字1到4中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)s作

n

為起始數(shù),然后順次抽取第s+A,s+23…，s+(〃-l)無(wú)個(gè)數(shù),這樣就得到容量為"的樣

本.如果總體容量不能被樣本容量整除，可隨機(jī)地從總體中剔除余數(shù)，然后再按系統(tǒng)抽樣

方法進(jìn)行抽樣.

系統(tǒng)抽樣適用于大規(guī)模的抽樣調(diào)查，由于抽樣間隔相等，又被稱為等距抽樣.

⑶分層抽樣：當(dāng)總體有明顯差別的幾部分組成時(shí)，要反映總體情況，常采用分層抽樣，使

總體中各個(gè)個(gè)體按某種特征分成若干個(gè)互不重疊的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按

層在總體中所占比例進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣.

分層抽樣的樣本具有較強(qiáng)的代表性，而且各層抽樣時(shí)，可靈活選用不同的抽樣方法，

應(yīng)用廣泛.

2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣必須具備下列特點(diǎn)：

⑴簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣要求被抽取的樣本的總體個(gè)數(shù)N是有限的.

⑵簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)〃小于等于樣本總體的個(gè)數(shù)N.

⑶簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是從總體中逐個(gè)抽取的.

⑷簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種不放回的抽樣.

⑸簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的每個(gè)個(gè)體入樣的可能性均為烏.

N

3.系統(tǒng)抽樣時(shí)，當(dāng)總體個(gè)數(shù)N恰好是樣本容量〃的整數(shù)倍時(shí)，取女=包；

n

若d不是整數(shù)時(shí)，先從總體中隨機(jī)地剔除幾個(gè)個(gè)體，使得總體中剩余的個(gè)體數(shù)能被樣本容

n

量〃整除.因?yàn)槊總€(gè)個(gè)體被剔除的機(jī)會(huì)相等，因而整個(gè)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)仍

然相等，為紇

n

—.頻率直方圖

列出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖的步驟：

①計(jì)算極差：找出數(shù)據(jù)的最大值與最小值，計(jì)算它們的差；

②決定組距與組數(shù)：取組距，用餐決定組數(shù)；

組距

G)決定分點(diǎn)：決定起點(diǎn)，進(jìn)行分組：

列頻率與布直方圖；對(duì)落入各小組的數(shù)據(jù)累計(jì)，算出各小數(shù)的頻數(shù)，除以樣本容量，得

到各小組的頻率.

⑤繪制頻率分布直方圖：以數(shù)據(jù)的值為橫坐標(biāo)，以禁的值為縱坐標(biāo)繪制直方圖,

組距

頻率

知小長(zhǎng)方形的面積=組距X=頻率.

頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖各個(gè)長(zhǎng)方形上邊的中點(diǎn)用線段連接起來(lái)，就得到頻率分

布折線圖，一般把折線圖畫(huà)成與橫軸相連，所以橫軸左右兩端點(diǎn)沒(méi)有實(shí)際意義.

總體密度曲線：樣本容量不斷增大時(shí)，所分組數(shù)不斷增加，分組的組距不斷縮小，頻率分布

直方圖可以用一條光滑曲線y=/(x)來(lái)描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線.總體密度

曲線精確地反映了一個(gè)總體在各個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律.

三.莖葉圖

制作莖葉圖的步驟：

①將數(shù)據(jù)分為“莖”、“葉”兩部分；

②將最大莖與最小莖之間的數(shù)字按大小順序排成一列，并畫(huà)上豎線作為分隔線；

國(guó)將各個(gè)數(shù)據(jù)的“葉”在分界線的一側(cè)對(duì)應(yīng)莖處同行列出.

四.統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征

用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)；用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差.

數(shù)據(jù)的離散程序可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述.

極差又叫全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差，反映一組數(shù)據(jù)的變動(dòng)幅度；

樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)平均數(shù)波動(dòng)的大小，樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根.

一般地，設(shè)樣本的元素為玉，々，…，馬樣本的平均數(shù)為5，

定義樣本方差為S?=g二4I+區(qū)一君+…+(%—宜,

n

樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=卜「丁『+(占一丁y+…+區(qū)-立

Vn

簡(jiǎn)化公式:S1=，[(k+X；+…+*)-成2].

n

五.獨(dú)立性檢驗(yàn)

1.兩個(gè)變量之間的關(guān)系；

常見(jiàn)的有兩類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系；另一類是變量間存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系

所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有一定隨機(jī)性的.當(dāng)一個(gè)變量取值一定時(shí)，另一個(gè)變量的

取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系.

2.散點(diǎn)圖：將樣本中的〃個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(七,y)(i=l,2,…，〃)描在平面直角坐標(biāo)系中，就得到

了散點(diǎn)圖.

散點(diǎn)窗形象地反映了各個(gè)數(shù)據(jù)的密切程度，根據(jù)散點(diǎn)圖的分布趨勢(shì)可以直觀地判斷分析兩個(gè)

變量的關(guān)系.

3.如果當(dāng)一個(gè)變量的值變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也在變大，則這種相關(guān)稱為正相關(guān)；此時(shí),

散點(diǎn)圖中的點(diǎn)在從左下角到右上角的區(qū)域.

反之，一個(gè)變量的值變大時(shí)，另一個(gè)變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān).此時(shí)，散點(diǎn)

圖中的點(diǎn)在從左上角到右下角的區(qū)域.

散點(diǎn)圖可以判斷兩個(gè)變量之間有沒(méi)有相關(guān)關(guān)系.

4.統(tǒng)計(jì)假設(shè)：如果事件4與B獨(dú)立，這時(shí)應(yīng)該有P(AB)=P(A)P(8),用字母兒表示此式,

即Ho:P(4B)=P(4)P(8),稱之為統(tǒng)計(jì)假設(shè).

5.力2(讀作，，卡方，，)統(tǒng)計(jì)量：

統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一個(gè)非常有用的統(tǒng)計(jì)量，它的表達(dá)式為個(gè)=〃5也2一八%)］用它的大小可以

nl+n2+n+ln+2

用來(lái)決定是否拒絕原來(lái)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)如果/的值較大，就拒絕“”,即認(rèn)為A與B是有

關(guān)的.

/統(tǒng)計(jì)量的兩個(gè)臨界值：3.841、6.635；當(dāng)％?>3.841時(shí)，有95%的把握說(shuō)事件4與8有

關(guān)；當(dāng)/>6.635時(shí)，有99%的把握說(shuō)事件A與8有關(guān)；當(dāng)/W3.841時(shí)，認(rèn)為事件A與B

是無(wú)關(guān)的.

獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想與反證法類似，由結(jié)論不成立時(shí)推出有利于結(jié)論成立的小概率事件發(fā)

生，而小概率事件在一次試驗(yàn)中通常是不會(huì)發(fā)生的，所以認(rèn)為結(jié)論在很大程度上是成立的.

1.獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟：統(tǒng)計(jì)假設(shè)：出,；列出2x2聯(lián)表；計(jì)算/統(tǒng)計(jì)量：查對(duì)臨界值表，

作出判斷.

2.幾個(gè)臨界值：2(.222.706)=0.10,P(力223.841)=0.05,P(力226.635)=0.01.

2x2聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)：

如果對(duì)于某個(gè)群體有兩種狀態(tài)，對(duì)于每種狀態(tài)又有兩個(gè)情況，這樣排成一張2x2的表，如

狀態(tài)B狀態(tài)萬(wàn)合計(jì)

狀態(tài)A勺年4+

狀態(tài)入%〃22%+

%n

如果有調(diào)查得來(lái)的四個(gè)數(shù)據(jù)勺，勺，％,”22,并希望根據(jù)這樣的4個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)上述的兩種

狀態(tài)A與8是否有關(guān)，就稱之為2x2族表向獨(dú)立性檢驗(yàn).

六.回歸分析

1.回歸分析：對(duì)于具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析，即回歸分

析就是尋找相關(guān)關(guān)系中這種非確定關(guān)系的某種確定性.

回歸直線：如果散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)都大致分布在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性

相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.

2.最小二乘法：

記回歸直線方程為：y=a+bx,稱為變量丫對(duì)變量x的回歸直線方程，其中a,h叫做回歸

系數(shù).

9是為了區(qū)分V的實(shí)際值y,當(dāng)x取值%時(shí)，變量丫的相應(yīng)觀察值為天，而直線上對(duì)應(yīng)于七

的縱坐標(biāo)是1=a+bXj.

設(shè)x,丫的一組觀察值為(%,%),i=l,2,…，"，且回歸直線方程為9=a+,

當(dāng)x取值七時(shí)，丫的相應(yīng)觀察值為％,差%-力4=1,2,…，〃)刻畫(huà)了實(shí)際觀察值y與回歸

直線上相應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)之間的偏離程度，稱這些值為離差.

我們希望這，7個(gè)離差構(gòu)成的總離差越小越好，這樣才能使所找的直線很貼近已知點(diǎn).

記。='(》-。-6七)2，回歸直線就是所有直線中。取最小值的那條.

/=1

這種使“離差平方和為最小”的方法，叫做最小二乘法.

用最小二乘法求回歸系數(shù)a,匕有如下的公式:

〉:x.y—nxy

3=上」------a^y-bx,其中a,6上方加“八”，表示是由觀察值按最小二乘法求得的

Z->—2

X；-X

1=1

回歸系數(shù).

3.線性回歸模型：將用于估計(jì)y值的線性函數(shù)4+法作為確定性函數(shù)；），的實(shí)際值與估計(jì)

值之間的誤差記為￡,稱之為隨機(jī)誤差；將丫=。+云+￡稱為線性回歸模型.

產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有：

①所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)即模型近似引起的誤差；

②忽略了某些因素的影響，通常這些影響都比較?。?/p>

③由于測(cè)量工具等原因，存在觀測(cè)誤差.

4.線性回歸系數(shù)的最佳估計(jì)值：

利用最小二乘法可以得到a,h的計(jì)算公式為

〃__n__

.=且不----------=々--------.a=y-bx,其中犬=一￡%，y=-^jyi

豆吠-稱￡片-疝了n<=>NM

1=11=1

由此得到的直線嬴就稱為回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程.其中a,g分

別為“，方的估計(jì)值，a稱為回歸截距，/稱為回歸系數(shù)，》稱為回歸值.

5.相關(guān)系數(shù)：

__

Z（若-x）（x-y）nxy

.二j=l一i=l

.￡（必一亍）2-〃（]）（￡￥

Vi=]7=1V1=1/=1

6.相關(guān)系數(shù);?的性質(zhì)：

⑴|r|Wl；

⑵IrI越接近于1,x,y的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；

⑶|r|越接近于0，x,y的線性相關(guān)程度越弱.

可見(jiàn)，一條回歸直線有多大的預(yù)測(cè)功能，和變量間的相關(guān)系數(shù)密切相關(guān).

7.轉(zhuǎn)化思想：

根據(jù)專業(yè)矢贏或散點(diǎn)圖，對(duì)某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)

化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù).

8.一些備案

①回歸（regression）一詞的來(lái)歷：“回歸”這個(gè)詞英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家FrancilsGalton提出來(lái)的.1889

年，他在研究祖先與后代的身高之間的關(guān)系時(shí)發(fā)現(xiàn)，身材較高的父母，他們的孩子也較高，

但這些孩子的平均身高并沒(méi)有他們父母的平均身高高;身材較矮的父母,他們的孩子也較矮,

但這些孩子的平均身高卻比他們父母的平均身高高.Gallon把這種后代的身高向中間值靠近

的趨勢(shì)稱為“回歸現(xiàn)象”.后來(lái)，人們把由一個(gè)變量的變化去推測(cè)另一個(gè)變量的變化的方法稱

為回歸分析.

②回歸系數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程：

Q=Z。一“）一如『=Zyj-2匯y+na2-2bz應(yīng)%+2a必x.+b1^x；

=na2+2a（心七-Z%）+〃gxf-2b￡x*+Z#,

把上式看成a的二次函數(shù)，a?的系數(shù)〃>o,

因此當(dāng)a=-2（￡N%）=Z）；一￡時(shí)取最小值.

2nn

同理，把。的展開(kāi)式按6的降基排列，看成b的二次函數(shù)，當(dāng)6=》票在小時(shí)取最小值.

Z石

解得：6=初二=斗曰"2,八"反，

Z（x，-君

i=l

其中工=lz七是樣本平均數(shù).

9.對(duì)相關(guān)系數(shù)/"進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)的步驟：

①提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)/：變量x,y不具有線性相關(guān)關(guān)系；

②如果以95%的把握作出推斷，那么可以根據(jù)1-0.95=0.05與〃-2（〃是樣本容量）在相

關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表中查出一個(gè)/?的臨界值%.%（其中1-0.95=0.05稱為檢驗(yàn)水平）；

③計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r；

④作出統(tǒng)計(jì)推斷：若|網(wǎng)>領(lǐng)5,則否定表明有95%的把握認(rèn)為變量y與x之間具有線

性相關(guān)關(guān)系；若IrWQg，則沒(méi)有理由拒絕”。，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒(méi)有充分理由認(rèn)為變

量>與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.

說(shuō)明：

⑴對(duì)相關(guān)系數(shù)/■進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，一般取檢驗(yàn)水平a=0.05,即可靠程度為95%.

⑵這里的/?指的是線性相關(guān)系數(shù)，r的絕對(duì)值很小，只是說(shuō)明線性相關(guān)程度低，不一定不相

關(guān)，可能是非線性相關(guān)的某種關(guān)系.

⑶這里的r是對(duì)抽樣數(shù)據(jù)而言的.有時(shí)即使|r|=l,兩者也不一定是線性相關(guān)的.故在統(tǒng)計(jì)

分析時(shí)，不能就數(shù)據(jù)論數(shù)據(jù)，要結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行合理解釋.

典例分析

題型一頻率分布直方圖

【例1】（2010西城二模）

某區(qū)高二年級(jí)的一次數(shù)學(xué)統(tǒng)考中，隨機(jī)抽取200名同學(xué)的成績(jī)，成績(jī)?nèi)吭?0分

至100分之間，將成績(jī)按如下方式分成5組：第一組，成績(jī)大于等于50分且小于60

分；第二組，成績(jī)大于等于60分且小于70分；……第五組，成績(jī)大于等于90分且

小于等于100分，據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

則這200名同學(xué)中成績(jī)大于等于80分且小于90分的學(xué)生有名.

【例2】（2010東城二模）

已知一個(gè)樣本容量為100的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，樣本數(shù)據(jù)落在

[6,10）內(nèi)的樣本頻數(shù)為，樣本數(shù)據(jù)落在[2,10）內(nèi)的頻率為.

率

距

o?

n

-9

二

82￡.

c

s.

0

oS.1

.3.1一

2

O..O丁

0\2610141822樣本藪據(jù)

【例3】（2010北京）

從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分

布直方圖（如圖）.由圖中數(shù)據(jù)可知“=.若要從身高在［120,130）,

［130,140）,［140,150］三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活

動(dòng)，則從身高在［140,150］內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為.

【例4】（2010江蘇高考）

某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了