壓軸題08計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理、概率統(tǒng)計(jì)壓軸題6題型 （學(xué)生版）

壓軸題06計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理、概率統(tǒng)計(jì)壓軸題六大題型匯總命題預(yù)測(cè)本專(zhuān)題考查類(lèi)型主要涉及點(diǎn)為計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理、概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)。預(yù)計(jì)2024年后命題會(huì)繼續(xù)在上述幾個(gè)方面進(jìn)行。高頻考法題型01概率與數(shù)列結(jié)合問(wèn)題題型02二項(xiàng)式定理相關(guān)問(wèn)題題型03排列組合新定義問(wèn)題題型04概率統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合問(wèn)題題型05進(jìn)制問(wèn)題題型06條件概率全概率問(wèn)題01概率與數(shù)列結(jié)合問(wèn)題遞推數(shù)列與概率知識(shí)的交匯問(wèn)題，解決該類(lèi)問(wèn)題應(yīng)該注意的事項(xiàng)有：（1）做好互斥事件的劃分，正確進(jìn)行獨(dú)立事件概率的計(jì)算；（2）借助待定系數(shù)方法建立不同事件概率間的遞推關(guān)系，即構(gòu)建遞推數(shù)列；（3）正確運(yùn)用數(shù)列求通項(xiàng)公式或求和的方法解決問(wèn)題.1.（21-22高二下·黑龍江雙鴨山·期中）足球運(yùn)動(dòng)被譽(yù)為“世界第一運(yùn)動(dòng)”．深受青少年的喜愛(ài)．為推廣足球運(yùn)動(dòng)，某學(xué)校成立了足球社團(tuán)，社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開(kāi)始隨機(jī)地球傳給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開(kāi)始傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率為Pn，即P（1）P2=0；（2）P3=1A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2.（23-24高三下·山東菏澤·開(kāi)學(xué)考試）國(guó)際象棋是國(guó)際通行的智力競(jìng)技運(yùn)動(dòng).國(guó)際象棋使用8×8格黑白方格相間棋盤(pán)，骨牌為每格與棋盤(pán)的方格大小相同的1×2格灰色方格.若某種黑白相間棋盤(pán)與骨牌滿(mǎn)足以下三點(diǎn)：①每塊骨牌覆蓋棋盤(pán)的相鄰兩格；②棋盤(pán)上每一格都被骨牌覆蓋；③沒(méi)有兩塊骨牌覆蓋同一格，則稱(chēng)骨牌構(gòu)成了棋盤(pán)的一種完全覆蓋.顯然，我們能夠舉例說(shuō)明8×8格黑白方格相間棋盤(pán)能被骨牌完全覆蓋.(1)證明：切掉8×8格黑白方格相間棋盤(pán)的對(duì)角兩格，余下棋盤(pán)不能被骨牌完全覆蓋；(2)請(qǐng)你切掉8×8格的黑白方格相間棋盤(pán)的任意兩個(gè)異色方格，然后畫(huà)出余下棋盤(pán)的一種骨牌完全覆蓋方式，并證明：無(wú)論切掉的是哪兩個(gè)異色方格，余下棋盤(pán)都能被骨牌完全覆蓋；(3)記m×n格黑白方格相間棋盤(pán)的骨牌完全覆蓋方式數(shù)為F(m,n)，數(shù)列{F(2,n)}的前n項(xiàng)和為Sn，證明：S3.（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè)）某游戲設(shè)置了兩套規(guī)則，規(guī)則A：拋擲一顆骰子n次，若n次結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)之和大于2n(1)若執(zhí)行規(guī)則A，求拋擲次數(shù)恰為1次的概率；(2)若執(zhí)行規(guī)則B，證明：拋擲次數(shù)的數(shù)學(xué)期望不大于3.4.（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有n枚硬幣C1,C2,?,Cn(1)將C1,C2,C3(2)將這n枚硬幣拋起，求落下時(shí)正面朝上的硬幣個(gè)數(shù)為奇數(shù)的概率．5.（2023·河南開(kāi)封·一模）某市每年上半年都會(huì)舉辦“清明文化節(jié)”，下半年都會(huì)舉辦“菊花文化節(jié)”，吸引著眾多海內(nèi)外游客.為了更好地配置“文化節(jié)”旅游相關(guān)資源，2023年該市旅游管理部門(mén)對(duì)初次參加“菊花文化節(jié)”的游客進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計(jì)，有23(1)從2023年初次參加“菊花文化節(jié)”的游客中隨機(jī)抽取三人，求三人合計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望；(2)2024年的“清明文化節(jié)”擬定于4月4日至4月19日舉行，為了吸引游客再次到訪，該市計(jì)劃免費(fèi)向到訪的游客提供“單車(chē)自由行”和“觀光電車(chē)行”兩種出行服務(wù).已知游客甲每天的出行將會(huì)在該市提供的這兩種出行服務(wù)中選擇，甲第一天選擇“單車(chē)自由行”的概率為45，若前一天選擇“單車(chē)自由行”，后一天繼續(xù)選擇“單車(chē)自由行”的概率為14，若前一天選擇“觀光電車(chē)行”，后一天繼續(xù)選擇“觀光電車(chē)行”的概率為（i）求甲第二天選擇“單車(chē)自由行”的概率；（ii）求甲第n（n=1，2，?，16）天選擇“單車(chē)自由行”的概率Pn02二項(xiàng)式定理相關(guān)問(wèn)題6.（2018·上?！ひ荒＃┮阎?1+2x)6展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，系數(shù)的最大值為b，則ba=7.（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知(ax?1)2(2x?1)3=a08．（多選）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知m∈N，m≥2，a1，a2，?，am∈0,1,2,?,9，記M=10m+i=1m10i?1aiA．若m=2，則GB．若m=19，則GC．對(duì)于任意奇數(shù)mD．對(duì)于任意整數(shù)m9．（2023·廣西南寧·二模）已知當(dāng)x∈?12,12時(shí)，有11+2x=1?2x+4x10．（2024·湖南衡陽(yáng)·二模）莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用．所有大于1的正整數(shù)n都可以被唯一表示為有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積形式：n=p1r1p2r2???pkrk（k為n(1)求μ78(2)若正整數(shù)x,y互質(zhì)，證明：μxy(3)若n>1且μn=1，記n的所有真因數(shù)（除了1和n以外的因數(shù)）依次為a103排列組合新定義問(wèn)題11.（23-24高三下·江蘇泰州·階段練習(xí)）將“用一條線(xiàn)段聯(lián)結(jié)兩個(gè)點(diǎn)”稱(chēng)為一次操作，把操作得到的線(xiàn)段稱(chēng)為“邊”．若單位圓上n個(gè)顏色不相同且位置固定的點(diǎn)經(jīng)過(guò)k次操作后，從任意一點(diǎn)出發(fā)，沿著邊可以到達(dá)其他任意點(diǎn)，就稱(chēng)這n個(gè)點(diǎn)和k條邊所構(gòu)成的圖形滿(mǎn)足“條件T”，并將所有滿(mǎn)足“條件T”的圖形個(gè)數(shù)記為T(mén)(n,k)，則T(5,4)=．12.（22-23高三下·浙江杭州·階段練習(xí)）七選五型選擇題組是許多類(lèi)型考試的熱門(mén)題型.為研究此類(lèi)題型的選拔能力，建立以下模型.有數(shù)組a1,a2,…,ai和數(shù)組b1,b2(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出P(1),P(2)的值；(2)已知P(n+1)=(n+2)P(n)+nP(n?1).①對(duì)a1,a2,…,a5和b②試給出P(n+1)=(n+2)P(n)+nP(n?1)的證明.13．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）若集合A,B,C，D滿(mǎn)足A,B,C都是D的子集，且A∩B，B∩C，A∩C均只有一個(gè)元素，且A∩B∩C=?，稱(chēng)A,B,C為D的一個(gè)“有序子集列”，若D有5個(gè)元素，則有多少個(gè)“有序子集列”.14．（2024·遼寧·一模）十七世紀(jì)至十八世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上第一個(gè)提出二進(jìn)制記數(shù)法的人，用二進(jìn)制記數(shù)只需數(shù)字0和1，對(duì)于整數(shù)可理解為逢二進(jìn)一，例如：自然數(shù)1在二進(jìn)制中就表示為12，2表示為102，3表示為112，5表示為1012，發(fā)現(xiàn)若n∈N+可表示為二進(jìn)制表達(dá)式a0a1(1)記Sn=a(2)記In為整數(shù)n的二進(jìn)制表達(dá)式中的0的個(gè)數(shù)，如I2=1（?。┣驣60（ⅱ）求n=151115．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）在組合恒等式的證明中，構(gòu)造一個(gè)具體的計(jì)數(shù)模型從而證明組合恒等式的方法叫做組合分析法，該方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，我們將通過(guò)如下的例子感受其妙處所在．(1)對(duì)于n元一次方程x1(2)對(duì)于n元一次方程組x1(3)證明：Cp+q+n+1注：x1=ax04概率統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合問(wèn)題16.（2024·浙江杭州·二模）在概率統(tǒng)計(jì)中，常常用頻率估計(jì)概率．已知袋中有若干個(gè)紅球和白球，有放回地隨機(jī)摸球n次，紅球出現(xiàn)m次．假設(shè)每次摸出紅球的概率為p，根據(jù)頻率估計(jì)概率的思想，則每次摸出紅球的概率p的估計(jì)值為p=(1)若袋中這兩種顏色球的個(gè)數(shù)之比為1:3，不知道哪種顏色的球多．有放回地隨機(jī)摸取3個(gè)球，設(shè)摸出的球?yàn)榧t球的次數(shù)為Y，則Y～注：PpY=k表示當(dāng)每次摸出紅球的概率為p時(shí)，摸出紅球次數(shù)為（?。┩瓿上卤?；k0123P271P927（ⅱ）在統(tǒng)計(jì)理論中，把使得PpY=k的取值達(dá)到最大時(shí)的p，作為p的估計(jì)值，記為p，請(qǐng)寫(xiě)出(2)把（1）中“使得PpY=k的取值達(dá)到最大時(shí)的p作為p的估計(jì)值具體步驟：先對(duì)參數(shù)θ構(gòu)建對(duì)數(shù)似然函數(shù)lθ，再對(duì)其關(guān)于參數(shù)θ求導(dǎo)，得到似然方程l'θ=0，最后求解參數(shù)θ的估計(jì)值．已知Y～Bn,p的參數(shù)p17．（2024·山東濟(jì)南·二模）隨機(jī)游走在空氣中的煙霧擴(kuò)散、股票市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)等動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象中有重要應(yīng)用.在平面直角坐標(biāo)系中，粒子從原點(diǎn)出發(fā)，每秒向左、向右、向上或向下移動(dòng)一個(gè)單位，且向四個(gè)方向移動(dòng)的概率均為14.例如在1秒末，粒子會(huì)等可能地出現(xiàn)在(1)設(shè)粒子在第2秒末移動(dòng)到點(diǎn)x,y，記x+y的取值為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX(2)記第n秒末粒子回到原點(diǎn)的概率為pn（i）已知k=0n(Cnk（ii）令bn=p2n，記Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意實(shí)數(shù)M>0，存在18．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx(1)討論fx(2)若函數(shù)fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，曲線(xiàn)y=fx上兩點(diǎn)(3)盒子中有編號(hào)為1~100的100個(gè)小球（除編號(hào)外無(wú)區(qū)別），有放回的隨機(jī)抽取20個(gè)小球，記抽取的20個(gè)小球編號(hào)各不相同的概率為p，求證：p<119．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）某景區(qū)的索道共有三種購(gòu)票類(lèi)型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票．為提高服務(wù)水平，現(xiàn)對(duì)當(dāng)日購(gòu)票的120人征集意見(jiàn)，當(dāng)日購(gòu)買(mǎi)單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為36、60和24．(1)若按購(gòu)票類(lèi)型采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這120人中隨機(jī)抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4人，求隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購(gòu)買(mǎi)單程上山票的概率．(2)記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見(jiàn)時(shí)要求把購(gòu)買(mǎi)單程上山票的2人和購(gòu)買(mǎi)回程票的m（m>2且m∈N（i）試用含m的代數(shù)式表示p；（ii）若一共詢(xún)問(wèn)了5組，用gp表示恰有3組被標(biāo)為B的概率，試求g20．（2024·廣東汕頭·一模）2023年11月，我國(guó)教育部發(fā)布了《中小學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)基本目錄》，內(nèi)容包括高中數(shù)學(xué)在內(nèi)共有16個(gè)學(xué)科900多項(xiàng)實(shí)驗(yàn)與實(shí)踐活動(dòng).我市某學(xué)校的數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生到“牛田洋”進(jìn)行科學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，在某種植番石榴的果園中，老師建議學(xué)生嘗試去摘全園最大的番石榴，規(guī)定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，學(xué)生小明兩手空空走出果園，因?yàn)樗恢狼懊媸欠裼懈蟮?，所以沒(méi)有摘，走到前面時(shí)，又發(fā)覺(jué)總不及之前見(jiàn)到的，最后什么也沒(méi)摘到.假設(shè)小明在果園中一共會(huì)遇到n顆番石榴（不妨設(shè)n顆番石榴的大小各不相同），最大的那顆番石榴出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石榴中摘到那顆最大的，小明在老師的指導(dǎo)下采用了如下策略：不摘前k(1≤k<n)顆番石榴，自第k+1顆開(kāi)始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見(jiàn)過(guò)的番石榴大的，就摘這顆番石榴，否則就摘最后一顆.設(shè)k=tn，記該學(xué)生摘到那顆最大番石榴的概率為P.(1)若n=4,k=2，求P；(2)當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，從理論的角度，求P的最大值及P取最大值時(shí)t的值.（取1k05進(jìn)制問(wèn)題21.（20-21高三下·江蘇·階段練習(xí)）十六進(jìn)制是一種逢16進(jìn)1的計(jì)數(shù)制.我國(guó)曾在重量單位上使用過(guò)十六進(jìn)制，比如成語(yǔ)“半斤八兩”，即十六兩為一斤.在現(xiàn)代，計(jì)算機(jī)中也常用到十六進(jìn)制，其采用數(shù)字0～9和字母A～F共16個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào).這些符號(hào)與十進(jìn)制的數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：十六進(jìn)制0123456789ABCDEF十進(jìn)制0123456789101112131415例如，用十六進(jìn)制表示：E+D=1B，則A×B=（

）A．6E B．72 C．5F D．BD22．（23-24高三下·江西贛州·期中）十進(jìn)制計(jì)數(shù)法簡(jiǎn)單易懂，方便人們進(jìn)行計(jì)算.也可以用其他進(jìn)制表示數(shù)，如十進(jìn)制下，68=1×72+2×7+5A．1 B．2 C．5 D．623．（2022·江蘇南京·三模）19世紀(jì)，美國(guó)天文學(xué)家西蒙·紐康在翻閱對(duì)數(shù)表時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個(gè)世紀(jì)后，物理學(xué)家本福特又重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象，從實(shí)際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率約為總數(shù)的三成，接近期望值19的3倍，并提出本福特定律，即在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為Pbn=logbn+1n，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律．后來(lái)常有數(shù)學(xué)愛(ài)好者用此定律來(lái)檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．根據(jù)本福特定律，在某項(xiàng)大量經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)（十進(jìn)制）中，以6開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為24．（2014·吉林延邊·一模）給出下列命題：①已知線(xiàn)性回歸方程y=3+2x，當(dāng)變量x②在進(jìn)制計(jì)算中，100(2)③若ξ~N(3,σ2)，且P(0≤ξ≤3)=0.4④“a=011?⑤設(shè)函數(shù)f(x)=2014x+1+201325．（2022·安徽合肥·二模）通信編碼信號(hào)利用BEC信道傳輸，如圖1，若BEC信道傳輸成功，則接收端收到的信號(hào)與發(fā)來(lái)的信號(hào)完全相同；若BEC信道傳輸失敗，則接收端收不到任何信號(hào).傳統(tǒng)通信傳輸技術(shù)采用多個(gè)信道各自獨(dú)立傳輸信號(hào)（以?xún)蓚€(gè)信道為例，如圖2）．華為公司5G信道編碼采用土耳其通訊技術(shù)專(zhuān)家ErdalArikan教授的極化碼技術(shù)（以?xún)蓚€(gè)相互獨(dú)立的BEC信道傳輸信號(hào)為例）：如圖3，信號(hào)U2直接從信道2傳輸；信號(hào)U1在傳輸前先與U2“異或”運(yùn)算得到信號(hào)X1，再?gòu)男诺?傳輸．接收端對(duì)收到的信號(hào)，運(yùn)用“異或”運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行解碼，從而得到或得不到發(fā)送的信號(hào)（注：“異或”是一種2進(jìn)制數(shù)學(xué)邏輯運(yùn)算．兩個(gè)相同數(shù)字“異或”得到0，兩個(gè)不同數(shù)字“異或”得到1，“異或”運(yùn)算用符號(hào)“⊕”表示：0⊕0=0，1⊕1=0，1⊕0=1，0⊕1=1．“異或”運(yùn)算性質(zhì)：A⊕B=C，則A=C⊕B）．假設(shè)每個(gè)信道傳輸成功的概率均為p0<p<1．U(1)在傳統(tǒng)傳輸方案中，設(shè)“信號(hào)U1和U2均被成功接收”為事件A，求(2)對(duì)于極化碼技術(shù)：①求信號(hào)U1被成功解碼（即根據(jù)BEC信道1與2傳輸?shù)男盘?hào)可確定U1的值）的概率；②若對(duì)輸入信號(hào)U1賦值（如U1=006條件概率全概率問(wèn)題條件概率公式P(A|B)=26.（多選）（23-24高三下·江蘇泰州·階段練習(xí)）甲、乙兩個(gè)口袋各裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．把從甲、乙兩個(gè)口袋中各任取一個(gè)球放入對(duì)方口袋中稱(chēng)為一次操作，重復(fù)n次操作后，甲口袋中恰有0個(gè)紅球，1個(gè)紅球，2個(gè)紅球分別記為事件An，Bn，A．PB1=59 B．P(C327.（2024·浙江寧波·二模）三個(gè)人利用手機(jī)軟件依次進(jìn)行拼手氣搶紅包活動(dòng)，紅包的總金額數(shù)為3nn≥2,n∈N個(gè)單位.第一個(gè)人搶到的金額數(shù)為1到2n?1個(gè)單位且等可能（記第一個(gè)人搶完后剩余的金額數(shù)為W），第二個(gè)人在剩余的W個(gè)金額數(shù)中搶到1到(1)若n=2，則第一個(gè)人搶到的金額數(shù)可能為1,2,3個(gè)單位且等可能.（i）求第一個(gè)人搶到金額數(shù)X的分布列與期望；（ii）求第一個(gè)人獲得手氣王的概率；(2)在三個(gè)人搶到的金額數(shù)為2,3,4的一個(gè)排列的條件下，求第一個(gè)人獲得手氣王的概率.28．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）小蔣同學(xué)喜歡吃餃子，某日他前往食堂購(gòu)買(mǎi)16個(gè)餃子，其中有X個(gè)為香菇肉餡，其余為玉米肉餡，且PX=iA．45 B．1316 C．141729．（多選）（2024·山西朔州·一模）在信道內(nèi)傳輸M,N,P信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立，發(fā)送某一信號(hào)時(shí)，收到的信號(hào)字母不變的概率為α0<α<1，收到其他兩個(gè)信號(hào)的概率均為1?α2．若輸入四個(gè)相同的信號(hào)MMMM,NNNN,PPPP的概率分別為p1,p2,p3，且p1+p2A．若輸入信號(hào)MMMM，則輸出的信號(hào)只有兩個(gè)M的概率為αB．PC．PD．P30．（2024·遼寧·三模）一個(gè)書(shū)包中有標(biāo)號(hào)為“1,1,2,2,3,3,?,n,n”的2n張卡片.一個(gè)人每次從中拿出一張卡片，并且不放回；如果他拿出一張與已拿出的卡片中有相同標(biāo)號(hào)的卡片，則他將兩張卡片都扔掉；如果他手中有3張單張卡片或者書(shū)包中卡片全部被拿走，則操作結(jié)束.記書(shū)包中卡片全部被拿走的概率為Pn，則P3=.P31．（2024·浙江嘉興·二模）已知集合A=i=1m2ai∣0≤a1<a2<?<am,ai∈N，定義：當(dāng)(1)寫(xiě)出b(2)5,b(2)判斷88是否為數(shù)列b(3)(3)若2024是數(shù)列b(t)n中的某一項(xiàng)bt0n32．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）在概率較難計(jì)算但數(shù)據(jù)量相當(dāng)大?誤差允許的情況下，可以使用UnionBound（布爾不等式）進(jìn)行估計(jì)概率.已知UnionBound不等式為：記隨機(jī)事件A1,?,A(1)有n個(gè)不同的球，其中k個(gè)有數(shù)字標(biāo)號(hào).每次等概率隨機(jī)抽取n個(gè)球中的一個(gè)球.抽完后放回.記抽取t次球