甘肅省張掖市某重點校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．共4頁，總分150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若點在雙曲線的漸近線上，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由漸近線上點的坐標得出，然后結(jié)合可求得離心率．【詳解】由題意，∴故選：D.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，考查漸近線的斜率與離心率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．2.已知直線：與直線：平行，則（）A. B.或 C. D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的等價條件列方程組即可求解.【詳解】因為直線：與直線：平行，所以，解得：或，故選：D.3.著名的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家約翰尼斯·開普勒（JohannesKepler）發(fā)現(xiàn)了行星運動三大定律，其中開普勒第一定律又稱為軌道定律，即所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，且太陽處在橢圓的一個焦點上.記地球繞太陽運動的軌道為橢圓C，在地球繞太陽運動的過程中，若地球與太陽的最遠距離與最近距離之比為，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)橢圓C的焦距為2c，長軸長為2a，根據(jù)題意可得地球與太陽的最遠距離為，最近距離為，再由地球與太陽的最遠距離與最近距離之比為，列出方程，即可得出答案.【詳解】解：設(shè)橢圓C的焦距為2c，長軸長為2a，根據(jù)題意可得地球與太陽的最遠距離為，最近距離為，則，解得，即C的離心率為.故選：C4.設(shè)為坐標原點，，是拋物線與圓關(guān)于軸對稱的兩個交點，若，則（）A.4 B.2C. D.【答案】D【解析】【分析】不妨設(shè)點A在第一象限，由題設(shè)可得為等邊三角形，故可用表示，結(jié)合在圓上可求的值，從而可求的值.【詳解】不妨設(shè)點A在第一象限，則為等邊三角形，故.代入中，解得，則，代入拋物線方程，解得，故選：D.5.在拋物線上有一點P，P到橢圓左頂點的距離最小，這個最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，由兩點間的距離公式即可得到P到橢圓左頂點的距離，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解出．【詳解】設(shè)，橢圓左頂點為，所以P到橢圓左頂點的距離為，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即P到橢圓左頂點的距離最小值為．故選：A．6.已知拋物線的頂點為O，焦點為F，準線為直線l，點E在拋物線上．若E在直線l上的射影為Q，且Q在第四象限，，則直線FE的傾斜角為（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義與性質(zhì)解三角形求對應(yīng)線段夾角及直線傾斜角即可.【詳解】如圖所示，易知，所以，故,又由拋物線定義可知，故直線的傾斜角為.故選：B.7.已知A，B是雙曲線實軸的兩個端點，M，N是雙曲線上關(guān)于x軸對稱的兩點，直線的斜率分別為．若雙曲線的離心率為2，則的最小值為（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜率及點在雙曲線上可得，利用基本不等式可求的最小值.【詳解】由題設(shè)可設(shè)，，則，故，因為雙曲線的離心率為2，故，故，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為.故選：D.8.拋物線上任意兩點，處的切線交于點，稱為“阿基米德三角形”，當(dāng)線段經(jīng)過拋物線的焦點時，具有以下特征：①點必在拋物線的準線上；②．若經(jīng)過拋物線的焦點的一條弦為，“阿基米德三角形”為，且點的縱坐標為4，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由為“阿基米德三角形”，且線段經(jīng)過拋物線的焦點，得到點，進而得到直線的斜率，再由，得到直線的斜率即可.【詳解】設(shè)拋物線的焦點為，由題意可知，拋物線的焦點坐標為，準線方程為，因為為“阿基米德三角形”，且線段經(jīng)過拋物線的焦點，所以點必在拋物線的準線上，所以點，直線的斜率為．又因為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故選：A．二、選擇題：本小題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.已知點到直線l：的距離為d，則d的可能取值是（）A.0 B.1 C. D.4【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)直線過定點求出點P到直線的最大距離即可判斷選項.【詳解】由，解方程組，即直線過定點，則，顯然，即C、D錯誤，A、B正確.故選：AB10.（多選）已知橢圓的左，右焦點分別為直線與橢圓相交于，則（）A.當(dāng)時，的面積為B.不存在使為直角三角形C.存使四邊形面積最大D.存在使周長最大【答案】AC【解析】【分析】對A，當(dāng)時，解出相應(yīng)點的坐標，進而解得三角形面積；對B，考慮和兩種極端情況，進而結(jié)合橢圓的性質(zhì)判斷答案；對C，點A,B位于短軸上時四邊形的面積最大，進而判斷答案；對D，結(jié)合橢圓的定義，進而考慮點A,B,E三點共線時取得最大值，然后判斷答案.【詳解】對于A選項，當(dāng)時，直線為，代入橢圓方程得，所以，故A正確.對于選項B，當(dāng)時，結(jié)合A，，，當(dāng)時，將代入橢圓解得：，所以，則，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知：存在使為直角三角形，故B錯誤.對于C選項，容易判斷，當(dāng)即點A,B位于短軸上時，四邊形的面積最大，故C正確.對于D選項，由橢圓的定義得的周長當(dāng)且僅當(dāng)過點時取等號，，即直線過橢圓的右焦點時，的周長最大，此時，又，所以不存在使得周長最大，故D錯誤.故選：AC11.已知O為坐標原點，是拋物線上兩點，F(xiàn)為其焦點，若F到準線的距離為2，則下列說法正確的有（）A.周長的最小值為B.若，則最小值為4C.若直線過點F，則直線的斜率之積恒為D.若外接圓與拋物線C的準線相切，則該圓面積為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)F到準線的距離為2，求出，可得焦點和準線方程，利用拋物線的定義可求出周長的最小值為，故A不正確；利用拋物線的定義將弦長轉(zhuǎn)化為弦的中點到準線的距離可得最小值為4。故B正確；設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理和斜率公式，計算可知C不正確；利用外接圓與拋物線C的準線相切，求出圓心的橫坐標和圓的半徑，可得圓的面積為，故D正確.【詳解】因為F到準線的距離為2，所以，所以拋物線，，，準線，對于A，過作，垂足為，則，所以周長的最小值為，故A不正確；對于B，若，則弦過，過作的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為，設(shè)的中點為，過作，垂足為，則，即最小值為4，故B正確；對于C，若直線過點F，設(shè)直線，聯(lián)立，消去得，設(shè)、，則，，所以，故C不正確；對于D，因為為外接圓的弦，所以圓心的橫坐標為，因為外接圓與拋物線C的準線相切，所以圓的半徑為，所以該圓面積為，故D正確.故選：BD12.十七世紀法國數(shù)學(xué)家費馬在《平面與立體軌跡引論》中證明，方程表示橢圓，費馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì)：若從橢圓上任意一點P（異于A，B兩點）向長軸AB引垂線，垂足為Q，記.下列說法正確的是（）A.M的值與Р點在橢圓上的位置有關(guān) B.M的值與Р點在橢圓上的位置無關(guān)C.M的值越大，橢圓的離心率越大 D.M的值越大，橢圓的離心率越小【答案】BD【解析】【分析】不妨設(shè)橢圓方程為，設(shè)，，求出和橢圓的離心率后，可得答案.【詳解】不妨設(shè)橢圓方程為，設(shè)，，則，所以，，，所以，因為為定值，所以M的值與Р點在橢圓上的位置無關(guān)，故A不正確，B正確；橢圓的離心率，所以M的值越大，橢圓的離心率越小，故C不正確，D正確.故選：BD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知點P(－2，0)，AB是圓x2＋y2＝1的直徑，則＝____________.【答案】3【解析】【分析】設(shè)，則根據(jù)向量數(shù)量積坐標公式即可求解．【詳解】設(shè)，則，且．又，，∴．故答案為：314.拋物線的焦點為F，過拋物線上一點P作x軸的平行線交y軸于M點，拋物線的準線交x軸于點N，四邊形PMNF為平行四邊形，則點P到x軸的距離為___________.（用含P的代數(shù)式表示）【答案】【解析】【分析】可設(shè)，由已知可得即計算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，，準線方程為，，不妨設(shè)，四邊形PMNF為平行四邊形，點P到x軸的距離為.故答案為：15.已知雙曲線的左，右焦點分別為、，過點作傾斜角為的直線l交雙曲線C的右支于A，B兩點，其中點A在第一象限，若，且雙曲線C的離心率為2，則___________．【答案】##0.25【解析】【分析】結(jié)合雙曲線的性質(zhì)和余弦定理,即可求解.【詳解】由雙曲線的定義知，，∵，∴，即，∴，在中，由余弦定理知，，∵.故答案為：．16.已知橢圓的方程為，，為橢圓的左右焦點，P為橢圓上在第一象限的一點，I為的內(nèi)心，直線PI與x軸交于點Q，橢圓的離心率為，若，則的值為___________.【答案】【解析】【分析】連接?，是的內(nèi)心，得到為的角平分線，即到直線?的距離相等，利用三角形的面積比，得到，結(jié)合橢圓的離心率的定義，即可求解.【詳解】解：如圖所示，連接?，是的內(nèi)心，所以?分別是和的角平分線，由于經(jīng)過點與的內(nèi)切圓圓心的直線交軸于點，則為的角平分線，則到直線?的距離相等，所以，同理可得，，由比例關(guān)系性質(zhì)可知.又橢圓的離心率.所以，所以，故，故答案為：4.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.四、解答題：本小題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作傾斜角為的弦AB．求：（1）AB的長；（2）的周長．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，，，，求出雙曲線的焦點坐標，求出直線的斜率，利用點斜式求出直線方程，將直線的方程代入雙曲線的方程，利用韋達定理求得，，再根據(jù)弦長公式即可得解；（2）求出，的坐標，由兩點的距離，即可得到△的周長．【小問1詳解】解：雙曲線的左焦點為，設(shè)，，，，則直線的方程為，代入方程得，，，，；【小問2詳解】解：，不妨設(shè)，由（1）可得，，，，則的周長為．18.設(shè)曲線上一點到焦點的距離為3．（1）求曲線C方程；（2）設(shè)P，Q為曲線C上不同于原點O的任意兩點，且滿足以線段PQ為直徑的圓過原點O，試問直線PQ是否恒過定點？若恒過定點，求出定點坐標；若不恒過定點，說明理由．【答案】（1）（2）直線恒過定點，詳見解析【解析】【分析】(1)由拋物線定義得，可解得的值，從而得到拋物線的方程.

(2)以為直徑的圓過原點，有,設(shè)直線的方程為,與曲線C方程聯(lián)立,得到點的坐標,同理得到點的坐標,寫出的方程，從而得到答案.【詳解】解：（1）由拋物線定義得，解得，所以曲線C方程為（2）以為直徑圓過原點，設(shè)直線的方程為,與曲線C方程聯(lián)立，得解得（舍去）或，則.又直線的方程為，同理：.又直線斜率存在，的直線方程為即直線恒過定點.【點睛】本題考查根據(jù)拋物線的定義求拋物線的方程，求直線過定點問題，屬于難題.19.已知橢圓與拋物線有相同的焦點，拋物線的準線交橢圓于兩點，且.（1）求橢圓與拋物線的方程；（2）為坐標原點，若為橢圓上任意一點，以為圓心，為半徑的圓與橢圓的焦點為圓心，以為半徑的圓交于兩點，求證：為定值.【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題意知，解方程組求得的值，即可求解；（2）設(shè)，則，寫出圓和圓的方程，兩個圓的方程相減可得直線的方程，計算點到直線的距離為，再利用計算弦長即可.【詳解】（1）由橢圓方程得焦點為：，拋物線的焦點為，…①，由可得：，解得：，…②，由①②可得：，，橢圓的方程為：；拋物線的方程為：；（2）設(shè)，則，圓的方程為：，圓的方程為：，兩圓方程作差可得直線的方程為：，設(shè)點到直線的距離為，則，.為定值.【點睛】方法點睛：圓的弦長的求法：（1）幾何法，設(shè)圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數(shù)法，設(shè)直線與圓相交于，，聯(lián)立直線與圓的方程，消去得到一個關(guān)于的一元二次方程，從而可求出，，根據(jù)弦長公式，即可得出結(jié)果.20.橢圓的焦點到直線的距離為，離心率為，拋物線的焦點與橢圓的焦點重合，斜率為的直線過的焦點與交于兩點，與交于兩點﹒（1）求橢圓及拋物線的方程；（2）是否存在常數(shù)，使得為常數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1），；（2）存在；，理由見解析.【解析】【分析】（1）由點到直線的距離求出，可得的值，由離心率求出的值，再由可得的值，即可求解；（2）設(shè)直線，，，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得，，弦長，聯(lián)立拋物線與直線方程，計算，再由是常數(shù)即可得的值.【詳解】（1）設(shè)橢圓與拋物線的公共焦點為所以焦點到直線的距離為，可得：，所以，，由，可得：，所以，所以橢圓，拋物線；由（1）知：，設(shè)直線，，，，，由可得：，所以，，所以，由可得：，所以，因為是焦點弦，所以，所以若為常數(shù)，則，所以.21.設(shè)橢圓的左焦點為，上頂點為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上.若（為原點），且，求直線的斜率.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.【解析】【分析】(Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b,c的方程，解方程可得橢圓方程；(Ⅱ)聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定點P的坐標，從而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表達式