信號與系統(tǒng)教案第4章1

第四章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.1信號分解為正交函數4.2傅里葉級數4.3周期信號的頻譜4.4非周期信號的頻譜——傅里葉變換4.5傅里葉變換的性質4.6周期信號的傅里葉變換4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析4.8取樣定理點擊目錄，進入相關章節(jié)第四章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.1信號分解為正交函數一、矢量正交與正交分解

時域分析，以沖激函數為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數；而yzs(t)=h(t)*f(t)。本章將以正弦信號和虛指數信號ejωt為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數信號之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率。故稱為頻域分析。

矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)與Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定義：其內積為0。即4.1信號分解為正交函數由兩兩正交的矢量組成的矢量集合---稱為正交矢量集如三維空間中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個正交矢量集。

例如對于一個三維空間的矢量A=(2，5，8)，可以用一個三維正交矢量集{vx，vy，vz}分量的線性組合表示。即

A=vx+2.5vy+4vz

矢量空間正交分解的概念可推廣到信號空間，在信號空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。4.1信號分解為正交函數二、信號正交與正交函數集1.定義：

定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個函數

1(t)和

2(t),若滿足(兩函數的內積為0)則稱

1(t)和

2(t)在區(qū)間(t1，t2)內正交。2.正交函數集：

若n個函數

1(t)，

2(t)，…，

n(t)構成一個函數集，當這些函數在區(qū)間(t1，t2)內滿足則稱此函數集為在區(qū)間(t1，t2)的正交函數集。4.1信號分解為正交函數3.完備正交函數集：

如果在正交函數集{

1(t)，

2(t)，…，

n(t)}之外，不存在函數φ(t)(≠0）滿足則稱此函數集為完備正交函數集。例如：三角函數集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}和虛指數函數集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完備正交函數集。(i=1，2，…，n)4.1信號分解為正交函數三、信號的正交分解設有n個函數

1(t)，

2(t)，…，

n(t)在區(qū)間(t1，t2)構成一個正交函數空間。將任一函數f(t)用這n個正交函數的線性組合來近似，可表示為

f(t)≈C1

1+C2

2+…+Cn

n

如何選擇各系數Cj使f(t)與近似函數之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內為最小。通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為4.1信號分解為正交函數為使上式最小展開上式中的被積函數，并求導。上式中只有兩項不為0，寫為即所以系數4.1信號分解為正交函數代入，得最小均方誤差（推導過程見教材）在用正交函數去近似f(t)時，所取得項數越多，即n越大，則均方誤差越小。當n→∞時（為完備正交函數集），均方誤差為零。此時有上式稱為(Parseval)帕斯瓦爾方程，表明：在區(qū)間(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數集中分解的各正交分量能量的總和。函數f(t)可分解為無窮多項正交函數之和4.2傅里葉級數4.2傅里葉級數一、傅里葉級數的三角形式設周期信號f(t)，其周期為T，角頻率

=2

/T，當滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為如下三角級數——稱為f(t)的傅里葉級數

系數an,bn稱為傅里葉系數

可見，an

是n的偶函數，bn是n的奇函數。4.2傅里葉級數式中，A0=a0上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。其中，A0/2為直流分量；

A1cos(

t+

1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號相同；

A2cos(2

t+

2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；一般而言，Ancos(n

t+

n)稱為n次諧波?？梢夾n是n的偶函數，

n是n的奇函數。an=Ancos

n，bn=–Ansin

n，n=1,2,…將上式同頻率項合并，可寫為4.2傅里葉級數例：將下圖所示的方波信號f(t)展開為傅里葉級數。4.2傅里葉級數二、波形的對稱性與諧波特性1.f(t)為偶函數——對稱縱坐標bn=0，展開為余弦級數。2.f(t)為奇函數——對稱于原點an=0，展開為正弦級數。實際上，任意函數f(t)都可分解為奇函數和偶函數兩部分，即f(t)=fod(t)+fev(t)

由于f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)所以4.2傅里葉級數3.f(t)為奇諧函數——f(t)=–f(t±T/2)此時其傅里葉級數中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即a0=a2=…=b2=b4=…=04．f(t)為偶諧函數——f(t)=f(t±T/2)此時其傅里葉級數中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量即a1=a3=…=b1=b3=…=04.2傅里葉級數三、傅里葉級數的指數形式三角形式的傅里葉級數，含義比較明確，但運算常感不便，因而經常采用指數形式的傅里葉級數?？蓮娜切问酵瞥觯豪胏osx=(ejx+e–jx)/24.2傅里葉級數上式中第三項的n用–n代換，A–n=An，

–n=–

n，則上式寫為令A0=A0ej

0ej0

t

，

0=0所以4.2傅里葉級數令復數稱其為復傅里葉系數，簡稱傅里葉系數。n=0,±1,±2，…表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數信號之和。F0=A0/2為直流分量。4.3周期信號的頻譜4.3周期信號的頻譜一、信號頻譜的概念

從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關系，即將An~ω和

n~ω的關系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因為n≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫|Fn|~ω和

n~ω的關系，稱為雙邊譜。若Fn為實數，也可直接畫Fn

。周期信號的頻譜：指各次諧波幅值An或Fn、相位

n振幅頻譜圖：

n~ω的關系畫在以ω為橫軸的平面上得到的圖。隨頻率ω（nΩ）的變化關系。相位頻譜圖：將An或Fn~ω的關系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的圖。單邊頻譜圖：雙邊頻譜圖：An~ωFn~ω4.3周期信號的頻譜4.3周期信號的頻譜例：周期信號f(t)=試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率Ω，畫出它的單邊頻譜圖。解首先應用三角公式改寫f(t)的表達式，即顯然1是該信號的直流分量。的周期T1=8的周期T2=6所以f(t)的周期T=24，基波角頻率Ω=2π/T=π/124.3周期信號的頻譜是f(t)的[π/4]/[π/12]=3次諧波分量；是f(t)的[π/3]/[π/12]=4次諧波分量；畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖4.3周期信號的頻譜二、周期信號頻譜的特點舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為

的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻譜。令Sa(x)=sin(x)/x(取樣函數）,n=0,±1，±2，…

(1)包絡線形狀：取樣函數(3)離散譜（諧波性）4.3周期信號的頻譜譜線的結構與波形參數的關系：(a)T一定，

變小，此時

（譜線間隔）不變。兩零點之間的譜線數目：

1/

=（2

/

）/(2

/T)=T/

增多。(b)

一定，T增大，間隔

減小，頻譜變密。幅度減小。如果周期T無限增長（這時就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。三．頻帶寬度1.問題提出第一個零點集中了信號絕大部分能量（平均功率）由頻譜的收斂性可知，信號的功率集中在低頻段。2．頻帶寬度在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍對于一般周期信號，將幅度下降為0.1|Fn|max

的頻率區(qū)間定義為頻帶寬度。矩形：一般把第一個零點作為信號的頻帶寬度。語音信號 頻率大約為

300~3400Hz音樂信號

50~15,000Hz擴音器與揚聲器有效帶寬約為

15~20,000Hz3.系統(tǒng)的通頻帶>信號的帶寬，才能不失真帶寬與脈寬成反比內的信號來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。記為：

4.3周期信號的頻譜四、周期信號的功率上兩式都稱為帕斯瓦爾恒等式。表明，對于周期信號，在時域中求得的信號功率與在頻域中求得的信號功率相等。4.4傅里葉變換4.4非周期信號的頻譜—傅里葉變換一、傅里葉變換

非周期信號f(t)可看成是周期T→∞時的周期信號。前已指出當周期T趨近于無窮大時，譜線間隔

趨近于無窮小，從而信號的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍有差別。為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令(單位頻率上的頻譜）稱F(jω)為頻譜密度函數。4.4傅里葉變換考慮到：T→∞，Ω→無窮小，記為dω；

nΩ→ω（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而同時，∑→∫于是，傅里葉變換式傅里葉反變換式F(jω)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數，簡稱頻譜。f(t)稱為F(jω)的傅里葉反變換或原函數。根據傅里葉級數4.4傅里葉變換也可簡記為F(jω)=F[f(t)]f(t)=F

–1[F(jω)]或f(t)←→F(jω)F(jω)一般是復函數，寫為

F(jω)=|F(jω)|ej

(ω)=R(ω)+jX(ω)說明

(1)前面推導并未遵循嚴格的數學步驟?？勺C明，函數f(t)的傅里葉變換存在的充分條件:(2)用下列關系還可方便計算一些積分4.4傅里葉變換二、常用函數的傅里葉變換單邊指數函數f(t)=e–

tε(t)，

>0實數2.雙邊指數函數f(t)=e–

t

,

>04.4傅里葉變換3.門函數(矩形脈沖)4.沖激函數

(t)、′(t)4.4傅里葉變換5.常數1有一些函數不滿足絕對可積這一充分條件，如1，

(t)等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。

可構造一函數序列{fn(t)}逼近f

(t)

，即而fn(t)滿足絕對可積條件，并且{fn(t)}的傅里葉變換所形成的序列{Fn(j

)}是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換F

(j

)為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。4.4傅里葉變換構造f

(t)=e-

t

，

>0←→所以又因此，1←→2()

另一種求法：(t)←→1代入反變換定義式，有將→t，t→-再根據傅里葉變換定義式，得6.符號函數4.4傅里葉變換7.階躍函數

(t)4.4傅里葉變換歸納記憶：1.F變換對2.常用函數F變換對：δ(t)ε(t)e-

t

ε(t)gτ(t)sgn

(t)e–

|t|112πδ(ω)4.5傅里葉變換的性質4.5傅里葉變換的性質一、線性(LinearProperty)Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)thenProof:

F[af1(t)+bf2(t)]=[aF1(jω)+bF2(jω)][af1(t)+bf2(t)]←→[aF1(jω)+bF2(jω)]4.5傅里葉變換的性質Forexample

F(jω)=?Ans:f

(t)=f1(t)–g2(t)f1(t)=1←→2πδ(ω)g2(t)←→2Sa(ω)∴F(jω)=2πδ(ω)-2Sa(ω)‖-4.5傅里葉變換的性質二、奇偶性(Parity)Iff(t)isreal,then=R(ω)+jX(ω)SothatR(ω)=R(–ω),X(ω)=–X(–ω)|F(jω)|=|F(–jω)|,

(ω)=–

(–ω)(2)Iff(t)=f(-t),thenX(ω)=0,F(jω)=R(ω)Iff(t)=-f(-t),thenR(ω)=0,F(jω)=jX(ω)(3)4.5傅里葉變換的性質二、奇偶性(Parity)如f(t)是t的虛函數，f(t)=jx(t)=R(ω)+jX(ω)SothatR(ω)=–R(–ω),X(ω)=X(–ω)|F(jω)|=|F(–jω)|,

(ω)=–

(–ω)(2)4.5傅里葉變換的性質三、對稱性質(SymmetricalProperty)Iff(t)←→F(jω)thenProof:（1）in(1)t→ω，ω→tthen

（2）in(2)ω→-ωthen∴F(jt)←→2πf(–ω)endF(jt)←→2πf(–ω)4.5傅里葉變換的性質Forexample←→F(jω)=?Ans:ifα=1,∴對稱性舉例1Forexamplef1(t)F1(ω)F2(ω)f2(t)12π1

f(t)←→F(jω)F(jt)←→2πf(–ω)14.5傅里葉變換的性質Forexample4.5傅里葉變換的性質四、尺度變換性質(ScalingTransformProperty)Iff(t)←→F(jω)thenwhere“a”isanonzerorealconstant.Proof:F[f(at)]=Fora>0,F[f(at)]fora<0,F[f(at)]Thatis,f(a

t)←→Also,lettinga=-1,f(-t)←→F(-jω)4.5傅里葉變換的性質五、時移性質(TimeshiftingProperty)也稱為延時特性Iff(t)←→F(jω)thenwhere“t0”isrealconstant.Proof:F[f(t–t0)]4.5傅里葉變換的性質Forexample1Giventhatf(t)←→F(jω),findf(at–b)←→?Ans:

f(t–b)←→e-jωb

F(jω)f(at–b)←→orf(at)←→f(at–b)=4.5傅里葉變換的性質ForexampleF(jω)=?Ans:

f1(t)=g6(t-5),

f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)←→g2(t-5)←→∴F(jω)=‖+4.5傅里葉變換的性質六、頻移性質(調制特性)Iff(t)←→F(jω)thenProof:where“ω0”isrealconstant.F[ejω0t

f(t)]=F[j(ω-ω0)]endForexample1f(t)=ej3t←→F(jω)=?Ans:1←→2πδ(ω)ej3t×1←→2πδ(ω-3)4.5傅里葉變換的性質Forexample2f(t)=cosω0t

←→F(jω)=?Ans:F(jω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]Forexample3Giventhatf(t)←→F(jω)Themodulatedsignalf(t)cos(ω0t)←→?

f(t)sin(ω0t)←→?4.5傅里葉變換的性質Forexample4已知f(t)←→F(jω)求ej4t

f(3-2t)

的傅里葉變換4.5傅里葉變換的性質七、卷積性質(ConvolutionProperty)Convolutionintimedomain：Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)Convolutioninfrequencydomain：Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)4.5傅里葉變換的性質Proof:

F[f1(t)*f2(t)]=UsingtimeshiftingSothat,

F[f1(t)*f2(t)]==F1(jω)F2(jω)4.5傅里葉變換的性質ForexampleAns:Usingsymmetry,4.5傅里葉變換的性質Forexample求函數r(t)=te(t)和函數|t|

的頻譜函數。4.5傅里葉變換的性質八、時域的微分和積分(DifferentiationandIntegrationintimedomain)Iff(t)←→F(jω)thenProof:f(n)(t)=

(n)(t)*f(t)←→(jω)nF(jω)f(-1)(t)=

(t)*f(t)←→4.5傅里葉變換的性質f(t)=1/t2←→?Forexample1Ans:4.5傅里葉變換的性質ForexampleDeterminef(t)←→F

(jω)Ans:f”(t)=(t+2)–2(t)+(t–2)F2(jω)=F[f”(t)]=ej2ω–2+e–

j2ω=2cos(2ω)–2F

(jω)=Notice:dε(t)/dt=(t)←→14.5傅里葉變換的性質九、頻域的微分和積分(DifferentiationandIntegrationinfrequencydomain)Iff(t)←→F(jω)then(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)whereForexample1Determinef(t)=tε(t)←→F

(jω)=?Ans:4.5傅里葉變換的性質Notice:tε(t)=ε(t)*ε(t)←→It’swrong.Because

(

)

(

)and(1/j

)

(

)isnotdefined.Forexample2求Ans:4.5傅里葉變換的性質Forexample求函數的頻譜函數。Iff1(t)和

f2(t)是實信號，

f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)，f(t)←→F(jω)then

F[R12(τ)]=F1(jω)F2*

(jω)F[R21(τ)]=F1*

(jω)F2(jω)

F[R(τ)]=|F

(jω)|24.5傅里葉變換的性質十、相關定理一．帕塞瓦爾關系Parseval’sRelation

Proof4.6能量譜和功率譜二．能量譜密度（能量譜）

定義能量譜指單位頻率的信號能量，記為

頻帶df內信號的能量為

，因而信號在整個頻率范圍的總能量由帕塞瓦爾關系可得能量譜函數與自相關函數是一對傅里葉變換對。4.6能量譜和功率譜三、功率譜是功率有限信號

則

的平均功率為：4.6能量譜和功率譜功率譜指單位頻率的信號功率，記為P(ω)在頻帶df內信號的功率為P(ω)df，因而信號在整個頻率范圍的總功率

P(ω)

P(ω)P(ω)=因此R(τ)←→P(ω)功率有限信號的功率譜與自相關函數是一對傅里葉變換。維納-欣欽關系式4.6能量譜和功率譜4.7周期信號的傅里葉變換4.7周期信號傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換1←→2πδ(ω)由頻移特性得

ejω0t←→2πδ(ω–ω0)e–jω0t←→2πδ(ω+ω0)cos(ω0t)=?(ejω0t+e–jω0t)←→π[δ(ω–ω0)+δ(ω+ω0)]sin(ω0t)=

(ejω0t-e–jω0t)/(2j)←→jπ[δ(ω+ω0)–δ(ω–ω0)]頻譜圖4.7周期信號傅里葉變換二、一般周期信號的傅里葉變換(1)einΩt←→2πδ(ω–nΩ)(1)離散譜---周期信號fT(t)的傅氏變換由沖激序列組成，且沖激函數僅存在于諧波頻率處；(2)譜線的幅度不是有限值，而是沖擊函數；(3)含義—頻譜密度，在頻譜點取得無限大的頻譜值。例1：周期信號如圖，求其傅里葉變換。解：表達式：傅里葉系數：周期信號的傅里葉變換：1tωT2T3T-T00Ω2Ω3Ω-ΩΩ=Ω

Ω(ω)4.7周期信號傅里葉變換例2：周期信號如圖，求其傅里葉變換。解：周期信號f(t)也可看作一時限非周期信號f0(t)的周期拓展。即f(t)=

T(t)*f0(t)F(jω)=Ω

Ω(ω)F0(jω)F(jω)=本題f0(t)=g2(t)←→(2)(2)式與上頁(1)式比較，得這也給出求周期信號傅里葉級數的另一種方法。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數函數之和。對周期信號：對非周期信號：其基本信號為ej

t一、基本信號ej

t作用于LTI系統(tǒng)的響應說明：頻域分析中，信號的定義域為(–∞，∞)，而t=–∞總可認為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應指零狀態(tài)響應，常寫為y(t)。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

設LTI系統(tǒng)的沖激響應為h(t)，當激勵是角頻率ω上式積分正好是h(t)的傅里葉變換，y(t)=H(j

)ej

t表明：激勵為幅度為1的虛指數函數ejωt時，系統(tǒng)由卷積定義：的虛指數信號ej

t時，其零狀態(tài)響應記為H(j

)，稱為系統(tǒng)的頻率響應函數。H(j

)反映了響應y(t)的幅度和相位隨頻率變化情況。的響應是系數為H(j

)的同頻率虛指數函數。y(t)=h(t)*ej

t4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析二、一般信號f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應ej

tH(j

)ej

tF(j

)ej

td

F(j

)H(j

)ej

td

齊次性可加性‖f(t)‖y(t)=F

–1[F(j

)H(j

)]Y(j

)=F(j

)H(j

)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應H(j

)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應的傅里葉變換Y(j

)與激勵f(t)的傅里葉變換F(j

)之比，即

H(j

)

稱為幅頻特性（或幅頻響應）；j()稱為相頻特性（或相頻響應）。

H(j

)

是

的偶函數，j(

)是

的奇函數。頻域分析法步驟：傅里葉變換法4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析對周期信號還可用傅里葉級數法。周期信號若則可推導出4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析例：某LTI系統(tǒng)的

H(j

)

和θ()如圖，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應。解法一：用傅里葉變換F(j

)=4πδ(ω)+4π[δ(ω–5)+δ(ω+5)]+4π[δ(ω–10)+δ(ω+10)]Y(j

)=F(j

)H(j

)=4πδ(ω)H(0)+4π[δ(ω–5)H(j5)+δ(ω+5)H(-j5)]+4π[δ(ω–10)H(j10)+δ(ω+10)H(-j10)]H(j

)=H(j

)

ej

θ()=4πδ(ω)+4π[-j0.5δ(ω–5)+j0.5δ(ω+5)]y(t)=F-1[Y(j

)]=2+2sin(5t)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析解法二：用三角傅里葉級數f(t)的基波角頻率Ω=5rad/sf(t)=2+4cos(Ωt)+4cos(2Ωt)H(0)=1，H(jΩ)=0.5e-j0.5π，H(j2Ω)=0y(t)=2+4×0.5cos(Ωt–0.5π)=2+2sin(5t)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析三、頻率響應H(j

)的求法1.H(j

)=F[h(t)]

2.H(j

)=Y(j

)/F(j

)由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換。由電路直接求出。例1：某系統(tǒng)的微分方程為

y′(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-tε(t)時的響應y(t)。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析例2.如下圖所示系統(tǒng)，已知乘法器的輸入f(t)=sin(2t)/t，s(t)=cos(3t)，系統(tǒng)的頻率響應為求輸出y(t)。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析四、無失真?zhèn)鬏斉c濾波系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類：一類是信號的傳輸，一類是濾波。傳輸要求信號盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。1、無失真?zhèn)鬏?/p>

（1）定義：信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有幅度的大小和出現時間的先后不同，而沒有波形上的變化。即輸入信號為f(t)，經過無失真?zhèn)鬏敽?，輸出信號應?/p>

y(t)=Kf(t–td)

其頻譜關系為Y(j

)=Ke–j

tdF(j

)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)要實現無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng)h(t)，H(j

)的要求是：

(a)對h(t)的要求：

h(t)=K

(t–td)(b)對H(j

)的要求：

H(j

)=Y(j

)/F(j

)=Ke-j

td即

H(j

)

=K,θ(

)=–

td

上述是信號無失真?zhèn)鬏數睦硐霔l件。當傳輸有限帶寬的信號是，只要在信號占有頻帶范圍內，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。(2)無失真?zhèn)鬏敆l件：4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析例：系統(tǒng)的幅頻特性|H(jω)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信號通過該系統(tǒng)時，不產生失真的是(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析2、理想低通濾波器

具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。

c稱為截止角頻率。理想低通濾波器的頻率響應可寫為：(1)沖激響應

h(t)=?-1[g2

c()e-jtd]=可見，它實際上是不可實現的非因果系統(tǒng)。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析(2)階躍響應

g(t)=h(t)*

(t)=經推導，可得稱為正弦積分特點：有明顯失真，只要

c<∞，則必有振蕩，其過沖比穩(wěn)態(tài)值高約9%。這一由頻率截斷效應引起的振蕩現象稱為吉布斯現象。gmax=0.5+Si(π)/π=1.08954.8LTI系統(tǒng)的頻域分析3、物理可實現系統(tǒng)的條件

就時域特性而言，一個物理可實現的系統(tǒng)，其沖激響應在t<0時必須為0，即h(t)=0,t<0即響應不應在激勵作用之前出現。就頻域特性來說，佩利（Paley)和維納（Wiener)證明了物理可實現的幅頻特性必須滿足并且稱為佩利-維納準則。（必要條件）從該準則可看出，對于物理可實現系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立頻率點上為0，但不能在某個有限頻帶內為0。練習某二階系統(tǒng)的頻率響應為，則該系統(tǒng)具有以下微分方程形式（）。A. B.C. D.2.有一因果線性時不變系統(tǒng)，其頻率響應，對于某一輸入x(t)所得輸出信號的傅里葉變換為，則該輸入x(t)為（）。A. B.C. D.練習3.信號通過系統(tǒng)傳輸，以下不會產生信號失真?zhèn)鬏數南到y(tǒng)響應函數為（）。A.H(jw)=3jw B.H(jw)=2/(jw)C.H(jw)=3e-jw D.H(jw)=pd(w)