人教版高中數學選修二專題4.4 數學歸納法（原卷版）

專題4.4數學歸納法*知識儲備知識點數學歸納法一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n＝n0(n0∈N*)時命題成立；(2)(歸納遞推)以“當n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當n＝k＋1時命題也成立”．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立，這種證明方法稱為數學歸納法．【名師點津】1．數學歸納法的兩個步驟缺一不可，前者是基礎，后者是遞推的依據．2．運用數學歸納法時易犯的錯誤：(1)對項數估算錯誤，特別是尋找n＝k與n＝k＋1的關系時，項數發(fā)生什么變化易弄錯；(2)不利用歸納假設：歸納假設是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不過去了；(3)步驟不嚴謹、不規(guī)范，在利用假設后，不作任何推導或計算而直接寫出所要結論．能力檢測注意事項：本試卷滿分100分，考試時間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．用數學歸納法證明：首項是a1，公差是d的等差數列的前n項和公式是Sn＝na1＋d時，假設當n＝k時，公式成立，則Sk＝()A．a1＋(k－1)d B．C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d2．已知f(n)＝，則()A．f(n)中共有n項，當n＝2時，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n項，當n＝2時，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋3．用數學歸納法證明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)時，若記f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，則f(k＋1)－f(k)等于()A．3k－1 B．3k＋1C．8k D．9k4．證明等式12＋22＋32＋…＋n2＝(n∈N*)時，某學生的證明過程如下：①當n＝1時，12＝，等式成立；②假設n＝k(k∈N*)時，等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＝，則當n＝k＋1時，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＝＋(k＋1)2＝＝＝，所以當n＝k＋1時，等式也成立，故原式成立．那么上述證明()A．過程全都正確B．當n＝1時驗證不正確C．歸納假設不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值為()A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在這樣的a，b，c6.用數學歸納法證明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步驗證()A.n=1 B.n=2C.n=3 D.n=47.利用數學歸納法證明不等式1+12+13+…+12n-1<n(n≥2,n∈N*)的過程中,由n=k變到A.1項 B.k項C.2k-1項 D.2k項8．觀察下列式子:，，，…，則可歸納出小于（）A． B． C． D．二、多選題9.一個與正整數n有關的命題,當n=2時命題成立,且由n=k時命題成立可以推得n=k+2時命題也成立,則下列說法正確的是()A.該命題對于n=6時命題成立B.該命題對于所有的正偶數都成立C.該命題何時成立與k取值無關D.以上答案都不對10．在悠久燦爛的中國古代文化中，數學文化是其中的一朵絢麗的奇葩．《張丘建算經》是我國古代有標志性的內容豐富的眾多數學名著之一，大約創(chuàng)作于公元五世紀．書中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？”．其大意為：“有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多織相同數量的布，第一天織尺，一個月共織了九匹三丈，問從第二天起，每天比前一天多織多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若這一個月有天，記該女子這一個月中的第天所織布的尺數為，，對于數列、，下列選項中正確的為（）A． B．是等比數列C． D．11．意大利數學家列昂納多·斐波那契是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人，斐波那契數列被譽為是最美的數列，斐波那契數列滿足：，，.若將數列的每一項按照下圖方法放進格子里，每一小格子的邊長為1，記前項所占的格子的面積之和為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．12．用數學歸納法證明對任意的自然數都成立，則以下滿足條件的的值為（）A． B． C． D．三、填空題13．用數學歸納法證明“當n為正奇數時，xn＋yn能被x＋y整除”，當第二步假設n＝2k－1(k∈N*)命題為真時，進而需證n＝________時，命題亦真．14．用數學歸納法證明“當n∈N*時，求證：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍數”時，當n＝1時，原式為__________，從n＝k到n＝k＋1時需增添的項是________________．16．用數學歸納法證明：“兩兩相交且不共點的n條直線把平面分為f(n)部分，則f(n)＝1＋.”證明第二步歸納遞推時，用到f(k＋1)＝f(k)＋________.16.用數學歸納法證明1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1四、解答題17．設f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求證：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．18．已知數列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．(1)計算a2，a3，a4；(2)猜想an的表達式，并用數學歸納法證明．19．已知數列{an}的各項均為正數，且滿足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N*.證明an＜an＋1＜2(n∈N*)．20．平面內有n(n≥2)個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，記這n個圓的交點個數為f(n)，猜想f(n)的表達式，并用數學歸納法證明．20．已知f(n)＝1＋＋＋＋＋，－，n∈N*.（1）當n＝1，2，3時，試比較f(n)與g(n)的大小關系；（2）猜想f(n)與g(n)的大小關系，