高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)

姓名:年級(jí):學(xué)號(hào):

題型選擇題填空題解答題判斷題計(jì)算題附加題總分

得分

評(píng)卷入得分

一、選擇題(共6題，共30分)

1、設(shè)fn(x)是等比數(shù)列1,-x,x2,(-x)n的各項(xiàng)和，則f2016(2)等于()

22016+1

A.~3-

22016-1

B.-3~

22017+1

C.~3-

22017—1

D.-3~

【考點(diǎn)】

【答案】C

【解析】解：,.,fn(x)是等比數(shù)列1,-x,x2,…，(-x)n的各項(xiàng)和，x于-1時(shí),.'.fn(x)=1+x.

1-(-2產(chǎn)23017+1

.'.f2016⑵=1+2=-3~.

故選：C.

【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的前n項(xiàng)和對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和sn與

通項(xiàng)an的關(guān)系'KN2)..

2、已知f(x)=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1,若用秦九韶算法求f(5)的值，下面說(shuō)法正確的是()

A.至多4乘法運(yùn)算和5次加法運(yùn)算

B.15次乘法運(yùn)算和5次加法運(yùn)算

C.10次乘法運(yùn)算和5次加法運(yùn)算

D.至多5次乘法運(yùn)算和5次加法運(yùn)算

【考點(diǎn)】

【答案】D

【解析】解：多項(xiàng)式f(x)=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1=((((5x+4)x+3)x+2)x+1)x+1,發(fā)現(xiàn)要經(jīng)過(guò)5

次乘法5次加法運(yùn)算.

故需要做乘法和加法的次數(shù)分別為：5、5

故選：D.

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解秦九韶算法的相關(guān)知識(shí)，掌握求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)

層括號(hào)內(nèi)依次多項(xiàng)式的值，即v仁anx+an-1然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，把n次多項(xiàng)式的求值

問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值的問(wèn)題.

1

3、AABC的兩邊長(zhǎng)為2,3,其夾角的余弦為手，則其外接圓半徑為()

9"

A.~

9"

B.4

9"

C.丁

2M

D.于

【考點(diǎn)】

【答案】C

1

【解析】解：AABC中，a=2,b=3,且cosC=3由余弦定理可知

c2=a2+b2-2abcosC=22+32-2X2X3X=9,

.'.c-3；

2*2叵

又sinC=9=3,

...由正弦定理可知外接圓半徑為

3

1c2/9M

R=2xsinC=x3=8.

故選：C.

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)，掌握正弦定

—^―=—^―=~^—=2R

理：sindsinJsmC.

4、已知集合兇二僅|3*-*2>0},N={x|x2-4x+3>0},貝IjMClN;()

A.(0,1)

B.(1,3)

C.(0,3)

D.(3,+8)

【考點(diǎn)】

【答案】A

【解析】解：由M中不等式變形得：x(x-3)<0,解得：0<x<3,即M=(0,3),

由N中不等式變形得：(x-1)(x-3)>0,

解得：xV1或x>3,即N=(-8,1)U(3,+8),

則MDN=(0,1),

故選：A.

【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用集合的交集運(yùn)算，掌握交集的性質(zhì)：(1)AABA,APBB,AAA=A,

AH=,AnB=BQA;(2)若ACB=A,則AB,反之也成立即可以解答此題.

5、甲、乙兩位同學(xué)本學(xué)期幾次數(shù)學(xué)考試的平均成績(jī)很接近，為了判斷甲、乙兩名同學(xué)成績(jī)哪個(gè)穩(wěn)定，需要

知道這兩個(gè)人的()

A.中位數(shù)

B.眾數(shù)

C.方差

D.頻率分布

【考點(diǎn)】

【答案】C

【解析】解：在A中，中位數(shù)像一條分界線，將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分，因此用來(lái)代表一組數(shù)據(jù)的

“中等水平”.故A不成立；

在B中，眾數(shù)反映了出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，用來(lái)代表一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”，故B不成立；

在C中，方差是樣本中各數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)，方差是衡量一個(gè)樣本波動(dòng)大小的

量，故C成立；

在D中，頻率分布反映數(shù)據(jù)在整體上的分布情況，故D不成立.

故選：C.

【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，掌握⑴平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)

集中趨勢(shì)的量；⑵平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都有單位；⑶平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的平均水平，與這組數(shù)據(jù)中的

每個(gè)數(shù)都有關(guān)系，所以最為重要，應(yīng)用最廣；⑷中位數(shù)不受個(gè)別偏大或偏小數(shù)據(jù)的影響；⑸眾數(shù)與各組數(shù)

據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)有關(guān)，不受個(gè)別數(shù)據(jù)的影響，有時(shí)是我們最為關(guān)心的數(shù)據(jù)即可以解答此題.

6、雙曲線兩條漸近線互相垂直，那么它的離心率為()

B.事

0.2

3

D.2

【考點(diǎn)】

【答案】A

【解析】解：設(shè)雙曲線方程為『京口，則雙曲線的漸近線方程為y=±ax..?兩條漸近線互相垂直,

X(-)=-1

.'.a2=b2,

C/Q2+b之二在a

.*.e=a=

故選A

二、填空題(共3題，共15分)

7、4ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為A(-1,0),B(1,0),ZkABC周長(zhǎng)為6,則C點(diǎn)軌跡為.

【考點(diǎn)】

x2y2

【答案】以A,B為焦點(diǎn)的橢圓(除去橢圓與x軸的交點(diǎn))，方程為彳+7=1()'"°)

【解析】解：...△ABC的兩頂點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),ZiABC周長(zhǎng)為6,.?.AB=2,BC+AC=4,?.14>2,

???點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，點(diǎn)0滿足橢圓的定義，

...點(diǎn)C的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓(除去橢圓與x軸的交點(diǎn))，

；.2a=4,2c=2,.'.a=2,c=1,b=6,

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，

所以答案是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓(除去橢圓與x軸的交點(diǎn))，方程為.

y<x

{x+y<i且z=2x+y

8、若變量x,y滿足約束條件y之一1的最大值=

【考點(diǎn)】

【答案】3

【解析】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=2x+y得y=-2x+z,

平移直線y=-2x+z,

則當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-1)時(shí)，直線的截距最大，

此時(shí)z最大，

此時(shí)z=3,

所以答案是：3；

9、設(shè)方程f(x,y)=0的解集非空.如果命題“坐標(biāo)滿足方程f(x,y)=0的點(diǎn)都在曲線C上”是不正確

的，有下面5個(gè)命題：①坐標(biāo)滿足f(x,y)=0的點(diǎn)都不在曲線C上；

②曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足f(x,y)=0；

③坐標(biāo)滿足f(x,y)=0的點(diǎn)不都在曲線C上；

④一定有不在曲線C上的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足f(x,y)=0；

⑤坐標(biāo)滿足f(x,y)=0的點(diǎn)有些在曲線C上，有些不在曲線C上.

則上述命題正確的是.(填上所有正確命題的序號(hào))

【考點(diǎn)】

【答案】③④

【解析】解：..?命題"坐標(biāo)滿足方程f(x,y)=0的點(diǎn)都在曲線C上”不正確，.??命題"坐標(biāo)滿足方程f

(x,y)=0的點(diǎn)不都在曲線C上”正確，

即“至少有一個(gè)不在曲線C上的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足方程f(x,y)=0".

所以答案是：③④

【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用命題的真假判斷與應(yīng)用，掌握兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假

性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系即可以解答此題.

三、解答題(共5題，共25分)

:^+pr=l(a>d>0)坐

10、已知橢圓C川的離心率為2,點(diǎn)四個(gè)在橢圓C上.直線I過(guò)點(diǎn)(1,1),且

與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M.(I)求橢圓C的方程；

(II)點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，延長(zhǎng)線段0M與橢圓C交于點(diǎn)P,四邊形0APB能否為平行四邊形？若能，求出

此時(shí)直線I的方程，若不能，說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】

CW

0=-=----

a2

7+4?=1

a5+d5=e2

【答案】解：(I)由題意得，解得於…2,所以橢圓c的方程為

(II)四邊形0APB能為平行四邊形，分2種情況討論：

①當(dāng)直線I與x軸垂直時(shí)，直線I的方程為x=1滿足題意；

②當(dāng)直線I與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線I：y=kx+m,顯然k/0,m*0,A(x1,y1),B(x2,y2),

M(xM,yM).

將y=kx+m代入.得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,

A=(Stow)5-4+xi=

故"2-4P71加―=島

卜*=2xu

四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段0P互相平分，即

f8AwY

+

則4

由直線I:y=kx+m(k=#0,m*0),過(guò)點(diǎn)(1,1),得m=1-k.

(164+4)(7):

則Y爐+】)，

則(4k2+1)(8k-3)=0.

則gg.滿足△>().

=3x+5

所以直線I的方程為‘一§§時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形.

綜上所述：直線I的方程為或x=1

C和

e=a=T

C31

【解析】(I)根據(jù)題意，可得+屈=《2,解得@2與b2的值，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得答案；

(II)根據(jù)題意，分2種情況討論，(1)當(dāng)直線I與x軸垂直時(shí)，分析可得直線I的方程為x=1滿足題意;

(2)當(dāng)直線I與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線I為y=kx+m,分析A、B、M的坐標(biāo)，將y=kx+m代入7+3，=1.得

(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,由根與系數(shù)的關(guān)系可得M的坐標(biāo)，進(jìn)而由四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅

8km2

一款2+1)2m；_]

當(dāng)線段AB與線段0P互相平分可得P的坐標(biāo)，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得—5—+(4k2+P-，進(jìn)而

(16/c2+4)(l-k)2_]

分析可得dd+l)。，解可得k、m的值，即可得答案.

11、設(shè)數(shù)列｛an｝是公差為d的等差數(shù)列.(I)推導(dǎo)｛an｝的前n項(xiàng)和Sn公式；

(II)證明數(shù)列I"J是等差數(shù)列.

【考點(diǎn)】

【答案】(I)解:Sn=a1+a2+a3+'"+anSn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+"-+[a1+(n-1)d]①,Sn=an+(an

-d)+(an-2d)+",+[an-(n-1)d]②

吵

(||)+②得2Sa=…

2

（II）證明：,?

$=■+4=q

當(dāng)n=1時(shí)，12

S-Si_ai+%勺+?—/一、/

當(dāng)n22時(shí)，nn-12222,

，數(shù)列為公差的等差數(shù)列

又+an

【解析】（I）由等差數(shù)列的性質(zhì)，利用“倒序相加”即可得出；（II）.=2,利用遞推關(guān)系、等差

數(shù)列的定義即可證明.

【考點(diǎn)精析】掌握等比關(guān)系的確定和數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答本題的根本，需要知道等比數(shù)列可以通過(guò)

定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公

式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

12、小王為了鍛煉身體，每天堅(jiān)持“健步走”，并用計(jì)步器進(jìn)行統(tǒng)計(jì).小王最近8天“健步走”步數(shù)的頻

數(shù)分布直方圖（圖1）及相應(yīng)的消耗能量數(shù)據(jù)表（表1）如下：

（I）求小王這8天“健步走”步數(shù)的平均數(shù)；（II）從步數(shù)為17千步，18千步，19千步的幾天中

任選2天，求小王這2天通過(guò)“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里的概

16x3+17x2+18x1+19x2

=1725

【答案】解：（I）小王這8天每天“健步走”步數(shù)的平均數(shù)為8（千

步）（II）設(shè)小王這2天通過(guò)“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里為事件A.

“健步走”17千步的天數(shù)為2天，記為a1,a2,“健步走”18千步的天數(shù)為1天，記為b1,“健

步走”19千步的天數(shù)為2天，記為c1,c2.

5天中任選2天包含基本事件有：a1a2,a1b1,a1c1,a1c2,a2b1,a2c1,a2c2,b1c1,

b1c2,c1c2,共10個(gè).

事件A包含基本事件有：b1c1,b1c2,c1c2共3個(gè).

所以10

【解析】（I）由已知條件利用平均數(shù)公式能求出小王這8天每天“健步走”步數(shù)的平均數(shù).（II）設(shè)小王

這2天通過(guò)“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里為事件A.“健步走”17千步的天數(shù)為2天，記為

a1,a2,“健步走”18千步的天數(shù)為1天，記為b1,“健步走”19千步的天數(shù)為2天，記為c1,

c2.利用列舉法能求出小王這2天通過(guò)“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里的概率.

【考點(diǎn)精析】掌握頻率分布直方圖是解答本題的根本，需要知道頻率分布表和頻率分布直方圖，是對(duì)

相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通

過(guò)作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息.

AB=AD=\:D

13、在四棱錐P-ABCD中，平面PADJ■平面ABCD,4PAD為等邊三角形，2,AB_LAD,AB〃CD,

點(diǎn)M是PC的中點(diǎn).⑴求證：MB〃平面PAD；

(II)求二面角P-BC-D的余弦值.

【考點(diǎn)】

RHMICD,HM=-CD

【答案】證明：(I)取PD中點(diǎn)H,連結(jié)MH,AH.因?yàn)镸為4v=7,中點(diǎn)，所以2

ABICD,AB=-CD

因?yàn)?.所以AB〃HM且AB=HM.

所以四邊形ABMH為平行四邊形，所以BM〃AH.

因?yàn)锽M6平面PAD,AHu平面PAD,

所以BM〃平面PAD.

解：(II)取AD中點(diǎn)0,連結(jié)P0.

因?yàn)镻A=PD,所以P0_LAD.

因?yàn)槠矫鍼ADJ■平面ABCD,

平面PADCI平面ABCD=AD,POu平面PAD,

所以PO_L平面ABCD.取BC中點(diǎn)K,連結(jié)OK,則冰〃AB.

以。為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=2,則HLao)，R(L2.o).c(T4⑼皿-iAo),p(oa￡)

就=(-220)萬(wàn)=(L2,一招)

平面BCD的法向量有)，

設(shè)平面PBC的法向量”=(XJ*),

BC-n=0-2x+2y=0

由i而S=。，得1+2尸辰=。令則7=(11凡

COS<OP,n>|腎二=半

麗5

由圖可知，二面角P-BC-D是銳二面角,

岳

所以二面角P-BC-D的余弦值為5.

C

【解析】(I)取PD中點(diǎn)H,連結(jié)MH,AH.推導(dǎo)出四邊形ABMH為平行四邊形，從而B(niǎo)M〃AH,由此能證明

BM〃平面PAD.(II)取AD中點(diǎn)0,連結(jié)P0.以0為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面

角P-BC-D的余弦值.

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握平面外一條直線與此

平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，