第11講 三元一次方程組及其解法（原卷版）

第11講三元一次方程組及其解法2.5【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解三元一次方程(或組)的含義；2．會(huì)解簡(jiǎn)單的三元一次方程組；3.會(huì)列三元一次方程組解決有關(guān)實(shí)際問題.【基礎(chǔ)知識(shí)】一、三元一次方程及三元一次方程組的概念1.三元一次方程的定義:含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要點(diǎn)：(1)三元一次方程的條件：①是整式方程，②含有三個(gè)未知數(shù)，③含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是1次．(2)三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不為零．2．三元一次方程組的定義：一般地，由幾個(gè)一次方程組成，并且含有三個(gè)未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組.要點(diǎn)：(1)三個(gè)方程中不一定每一個(gè)方程中都含有三個(gè)未知數(shù)，只要三個(gè)方程共含有三個(gè)未知量即可．（2）在實(shí)際問題中含有三個(gè)未知數(shù)，當(dāng)這三個(gè)未知數(shù)同時(shí)滿足三個(gè)相等關(guān)系時(shí)，可以建立三元一次方程組求解．二、三元一次方程組的解法解三元一次方程組的一般步驟(1)利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組；(2)解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；(3)將求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)一元一次方程；(4)解這個(gè)一元一次方程，求出最后一個(gè)未知數(shù)的值；(5)將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“{”合寫在一起．要點(diǎn)：（1）解三元一次方程組的基本思路是：通過“代入”或“加減”消元，把“三元”化為“二元”．使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時(shí)要根據(jù)各方程特點(diǎn)尋求其較簡(jiǎn)單的解法．三、三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：1．弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(gè)(或三個(gè))未知數(shù)；2．找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；3．根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；4．解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值；5．寫出答案(包括單位名稱)．要點(diǎn)：(1)解實(shí)際應(yīng)用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去．(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一．(3)一般來說，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個(gè)方程并組成方程組．【考點(diǎn)剖析】例1．解三元一次方程組，如果消掉未知數(shù)z，則應(yīng)對(duì)方程組變形為（

）A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+② C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③例2．已知方程組，則的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4例3．已知，，則y與x的關(guān)系是（

）A． B． C． D．例4．已知方程組的解，使成立，則的值是(

)A．0 B． C．1 D．2例5．解方程組：例6．解方程組：例7．解下列方程組：（1）

（2）例8．解三元一次方程組．例9．探索創(chuàng)新完成下面的探索過程：給定方程組，如果令=A，=B，=C，則方程組變成______；解出這個(gè)新方程組（要求寫出解新方程組的過程），得出A，B，C的值，從而得到：x=______；y=______；z=______．例10．兩個(gè)小伙伴共帶100只雞蛋去賣，一個(gè)帶得多，一個(gè)帶得少，但賣了同樣的價(jià)錢，一個(gè)對(duì)另一個(gè)說：“如果我有你那么多雞蛋，我能賣15元．”另一個(gè)說：“如果我有你那么多雞蛋，只能賣元．”問兩人各有多少雞蛋？希望你有盡可能簡(jiǎn)單的解答．例11．某工程由甲、乙兩隊(duì)合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊(duì)共元；乙、丙兩隊(duì)合做10天完成，廠家需付乙、丙兩隊(duì)共元；甲、丙兩隊(duì)合做5天完成全部工程的，廠家需付甲、丙兩隊(duì)共(1)求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天？(2)若工期要求不超過20天完成全部工程，問可由哪隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢最少？請(qǐng)說明理由．例12．已知實(shí)數(shù)x，y滿足①，②，求和的值．本題常規(guī)思路是先將①，②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．解決問題：(1)已知二元一次方程組，則__________，_________．(2)對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，定義新運(yùn)算：，其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知，，求的值．例13．閱讀感悟：有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實(shí)數(shù)x、y滿足①，②，求和的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．解決問題：(1)已知二元一次方程組、則___________，__________．(2)某班級(jí)組織活動(dòng)購買小獎(jiǎng)品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？例14．在正方形網(wǎng)格中有9個(gè)數(shù)，若各行、各列及對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，則稱此圖為“九宮圖”．(1)圖（甲）就是一個(gè)九宮圖的一部分，請(qǐng)你求出，的值；(2)已知圖（乙）和圖（丙）都是不完整的九宮圖．填空：a=______，b=______，c=______；d=______，e=______，f=______．例15．先閱讀下面材料，再完成任務(wù)：有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實(shí)數(shù)，滿足，……①，，……②，求和的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得，的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得，這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”解決問題：（1）已知二元一次方程組，則______，______；（2）某班級(jí)組織活動(dòng)購買小獎(jiǎng)品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記木共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？（3）對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義新運(yùn)算：，其中，，是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知，，那么______．【真題演練】一、單選題1．（2014·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）今年學(xué)校舉行足球聯(lián)賽，共賽17輪（即每隊(duì)均需參賽17場(chǎng)），記分辦法是：勝1場(chǎng)得3分，平1場(chǎng)得1分，負(fù)1場(chǎng)得0分．在這次足球比賽中，小虎足球隊(duì)得16分，且踢平場(chǎng)數(shù)是所負(fù)場(chǎng)數(shù)的整數(shù)倍，則小虎足球隊(duì)所負(fù)場(chǎng)數(shù)的情況有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種2．（2016·山東淄博·中考真題）小明用計(jì)算器計(jì)算（a+b）c的值，其按鍵順序和計(jì)算器顯示結(jié)果如表：這時(shí)他才明白計(jì)算器是先做乘法再做加法的，于是他依次按鍵：從而得到了正確結(jié)果，已知a是b的3倍，則正確的結(jié)果是（）A．24 B．39 C．48 D．963．（2012·四川德陽·中考真題）為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）.已知加密規(guī)則為：明文a，b，c，d對(duì)應(yīng)密文，，，，.例如：明文1，2，3，4對(duì)應(yīng)的密文5，7，18，16.當(dāng)接收方收到密文14，9，23，28時(shí)，則解密得到的明文為【】A．4，6，1，7 B．4，1，6，7 C．6，4，1，7 D．1，6，4，7二、填空題4．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）特產(chǎn)專賣店銷售桃片、米花糖、麻花三種特產(chǎn)，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售價(jià)分別比其成本高20%、30%、20%．該店五月份銷售桃片、米花糖、麻花的數(shù)量之比為1∶3∶2，三種特產(chǎn)的總利潤是總成本的25%，則每包米花糖與每包麻花的成本之比為_________．5．（2005·山東濰坊·中考真題）在濰坊市“朝陽讀書”系列活動(dòng)中，某學(xué)校為活動(dòng)優(yōu)秀班級(jí)發(fā)放購書券到書店購買工具書．已知購買1本甲種書恰好用1張購書券，購買1本乙種或丙種書恰好都用2張購書券．某班用4張購書券購書，如果用完這4張購書券共有________________種不同購法（不考慮購書順序）．6．（2019·重慶·統(tǒng)考中考真題）某磨具廠共有六個(gè)生產(chǎn)車間，第一、二、三、四車間每天生產(chǎn)相同數(shù)量的產(chǎn)品，第五、六車間每天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量分別是第一車間每天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量的和．甲、乙兩組檢驗(yàn)員進(jìn)駐該廠進(jìn)行產(chǎn)品檢驗(yàn)，在同時(shí)開始檢驗(yàn)產(chǎn)品時(shí)，每個(gè)車間原有成品一樣多，檢驗(yàn)期間各車間繼續(xù)生產(chǎn)．甲組用了6天時(shí)間將第一、二、三車間所有成品同時(shí)檢驗(yàn)完；乙組先用2天將第四、五車間的所有成品同時(shí)檢驗(yàn)完后，再用了4天檢驗(yàn)完第六車間的所有成品（所有成品指原有的和檢驗(yàn)期間生產(chǎn)的成品）．如果每個(gè)檢驗(yàn)員的檢驗(yàn)速度一樣，則甲、乙兩組檢驗(yàn)員的人數(shù)之比是________．7．（2019·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）若為實(shí)數(shù)，且，則代數(shù)式的最大值是_____．8．（2013·湖北孝感·中考真題）如圖，古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．例如：稱圖中的數(shù)1，5，12，22…為五邊形數(shù)，則第6個(gè)五邊形數(shù)是_____．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．下列方程中，三元一次方程共有(

)(1)x+y+z=3；(2)x·y·z=3；(3)；(4)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．解方程組時(shí)，為轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，最恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ牵?/p>

）A．由②③消去z B．由②③消去y C．由①②消去z D．由①③消去x3．三元一次方程有無數(shù)個(gè)解，下列四組值中不是該方程的解的是（

）A． B． C． D．4．解方程組，把上面的三元一次方程組消元轉(zhuǎn)化成下面的二元一次方程組，需要經(jīng)過如下的步驟，請(qǐng)你選出正確的步驟（

）A． B． C． D．5．若，則等于（

）A． B． C．2 D．6．已知滿足y＝ax2＋bx＋c的x，y的對(duì)應(yīng)值有x＝3，y＝0；x＝1，y＝0和x＝0，y＝3，則a，b，c三數(shù)值為()．A． B． C． D．7．若方程組的解x和y相等，則a的值是（

）A．11 B．10 C．12 D．48．甲、乙、丙三種商品，若購買甲3件、乙2件、丙1件，共需315元錢，購甲1件、乙2件、丙3件共需285元錢，那么購甲、乙、丙三種商品各一件共需多少錢()A．128元 B．130元 C．150元 D．160元9．若且，則k的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．410．設(shè)，，…，是從1，0，-1這三個(gè)數(shù)取值的一列數(shù)，若++…+=69，，則，，…，中為0的個(gè)數(shù)是（

）A．173 B．888 C．957 D．69二、填空題11．__________________（填“是”或“不是”）方程組的解．12．已知，則___________．13．解三元一次方程組，可_______________，并解得____________________．14．方程組的解是_____．15．若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則k的值為_______________．16．解三元一次方程組時(shí)，先消去z，得二元一次方程組，再消去y，得一元一次方程2x＝3，解得x＝，從而得y＝_____，z＝____．17．我校創(chuàng)造節(jié)插花藝術(shù)比賽中同學(xué)們制作了若干個(gè)甲、乙、丙三種造型的花籃．甲種花籃由9朵玫瑰花、16朵水仙花和10朵百合花搭配而成，乙種花籃由6朵玫瑰花、8朵水仙花搭配而成．丙種花籃由6朵玫瑰花、12朵水仙花和10朵百合搭配而成．這些花籃一共用了240朵玫瑰花，300朵百合花，則水仙花一共用了_____朵．18．閱讀下列材料，然后解答后面的問題．已知方程組，求x＋y＋z的值．解：將原方程組整理，得②－①，得x＋3y＝7，③把③代入①，得x＋y＋z＝6.仿照上述解法，解決下面問題．已知方程組則x＋2y－z的值為________．三、解答題19．20．解三元一次方程組.21．解方程組：.22．解方程組：.23．解方程組時(shí)，一馬虎的學(xué)生把寫錯(cuò)而得，而正確的解是,求a+b-c的值．24．閱讀下列解方程組的過程：解方程組：由①+②+③，得2(x+y+z)＝6，即x+y+z＝3．④由④-①，得z＝2；由④-②，得x＝1；由④-③，得y＝0．則原方程組的解為按上述方法解方程組：25．某農(nóng)場(chǎng)300名職工耕種51公頃田地，計(jì)劃種植水稻、棉花和蔬菜，已知種植植物每公頃所需的勞動(dòng)力人數(shù)及設(shè)備資金如下表：農(nóng)作物品種每公頃需勞動(dòng)力每公頃需設(shè)備資金水稻4人1萬元棉花8人1萬元蔬菜5人2