高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第8練 正弦定理、余弦定理及應(yīng)用精準(zhǔn)提分練習(xí) 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第8練正弦定理、余弦定理及應(yīng)用[明晰考情]1.命題角度：考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式，常與三角恒等變換相結(jié)合.2.題目難度：單獨(dú)考查正弦、余弦定理時(shí)，難度中檔偏下；和三角恒等變換交匯考查時(shí)，中檔難度.考點(diǎn)一正弦定理、余弦定理方法技巧(1)分析已知的邊角關(guān)系，合理設(shè)計(jì)邊角互化.(2)結(jié)合三角函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，大邊對大角等求出三角形的基本量.1.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，則b等于()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.2D.3答案D解析由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即5＝b2＋22－2×b×2×eq\f(2,3)，解得b＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(1,3)舍去))，故選D.2.(2018·全國Ⅱ)在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，則AB等于()A.4eq\r(2) B.eq\r(30)C.eq\r(29) D.2eq\r(5)答案A解析∵coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，∴cosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2－1＝－eq\f(3,5).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝32，∴AB＝eq\r(32)＝4eq\r(2).故選A.3.(2017·全國Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，則B＝________.答案eq\f(π,3)解析方法一由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C).又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝eq\f(1,2).又∵B∈(0，π)，∴B＝eq\f(π,3).方法二在△ABC中，由余弦定理，得acosC＋ccosA＝a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(c2＋b2－a2,2bc)＝b，∴條件等式變?yōu)?bcosB＝b，∴cosB＝eq\f(1,2).又0＜B＜π，∴B＝eq\f(π,3).4.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2eq\r(3)bcsinA，則C＝________.答案eq\f(π,6)解析由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以b2＋c2－2bccosA＝3b2＋3c2－2eq\r(3)bcsinA，eq\r(3)sinA－cosA＝eq\f(b2＋c2,bc)，b，c>0，2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝eq\f(b2＋c2,bc)＝eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)，等號(hào)成立，因此b＝c，A－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以A＝eq\f(2π,3)，所以C＝eq\f(π－\f(2π,3),2)＝eq\f(π,6).考點(diǎn)二與三角形的面積有關(guān)的問題要點(diǎn)重組三角形的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)aha＝eq\f(1,2)bhb＝eq\f(1,2)chc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)casinB.(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑).5.(2018·全國Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為eq\f(a2＋b2－c2,4)，則C等于()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)答案C解析∵S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(a2＋b2－c2,4)＝eq\f(2abcosC,4)＝eq\f(1,2)abcosC，∴sinC＝cosC，即tanC＝1.又∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,4).6.鈍角三角形ABC的面積是eq\f(1,2)，AB＝1，BC＝eq\r(2)，則AC等于()A.5 B.eq\r(5)C.2 D.1答案B解析∵S＝eq\f(1,2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)sinB＝eq\f(1,2)，∴sinB＝eq\f(\r(2),2)，∴B＝eq\f(π,4)或eq\f(3π,4).當(dāng)B＝eq\f(3π,4)時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝eq\r(5)，此時(shí)△ABC為鈍角三角形，符合題意；當(dāng)B＝eq\f(π,4)時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此時(shí)AB2＋AC2＝BC2，△ABC為直角三角形，不符合題意.故AC＝eq\r(5).7.(2018·全國Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為________.答案eq\f(2\r(3),3)解析∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC＞0，∴sinA＝eq\f(1,2).由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(8,2bc)＝eq\f(4,bc)＞0，∴cosA＝eq\f(\r(3),2)，bc＝eq\f(4,cosA)＝eq\f(8\r(3),3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\f(8\r(3),3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3),3).8.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為3eq\r(15)，b－c＝2，cosA＝－eq\f(1,4)，則a的值為________.答案8解析∵cosA＝－eq\f(1,4)，eq\f(π,2)＜A＜π，∴sinA＝eq\f(\r(15),4)，S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc×eq\f(\r(15),4)＝3eq\r(15)，∴bc＝24，又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，∴b2＋c2＝52.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝64，∴a＝8.考點(diǎn)三解三角形中的最值(范圍)問題方法技巧由余弦定理中含兩邊和的平方(如a2＋b2－2abcosC＝c2)且a2＋b2≥2ab，因此在解三角形中，若涉及已知條件中含邊長之間的關(guān)系，且與面積有關(guān)的最值問題，一般利用S＝eq\f(1,2)absinC型面積公式及基本不等式求解，有時(shí)也用到三角函數(shù)的有界性.9.在△ABC中，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，則△ABC的面積的最大值為()A.eq\r(21) B.eq\f(3\r(21),4)C.eq\f(\r(21),2) D.3eq\r(21)答案B解析設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∵eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，即bccosA＝3，a＝3，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥1－eq\f(9,2bc)＝1－eq\f(3cosA,2)，∴cosA≥eq\f(2,5)，∴0＜sinA≤eq\f(\r(21),5)，∴0＜tanA≤eq\f(\r(21),2).∴△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(3,2)tanA≤eq\f(3,2)×eq\f(\r(21),2)＝eq\f(3\r(21),4)，故△ABC面積的最大值為eq\f(3\r(21),4).10.已知a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊，其面積滿足S△ABC＝eq\f(1,4)a2，則eq\f(c,b)的最大值為()A.eq\r(2)－1 B.eq\r(2)C.eq\r(2)＋1 D.eq\r(2)＋2答案C解析根據(jù)題意，有S△ABC＝eq\f(1,4)a2＝eq\f(1,2)bcsinA，即a2＝2bcsinA.應(yīng)用余弦定理，可得b2＋c2－2bccosA＝a2＝2bcsinA，令t＝eq\f(c,b)，于是t2＋1－2tcosA＝2tsinA.于是2tsinA＋2tcosA＝t2＋1，所以2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝t＋eq\f(1,t)，從而t＋eq\f(1,t)≤2eq\r(2)，解得t的最大值為eq\r(2)＋1.11.已知a，b，c分別是△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，滿足cosAsinBsinC＋cosBsinAsinC＝2cosCsinAsinB，則C的最大值為______.答案eq\f(π,3)解析由正弦定理，得bccosA＋accosB＝2abcosC，由余弦定理，得bc·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋ac·eq\f(c2＋a2－b2,2ac)＝2ab·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，∴a2＋b2＝2c2，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－\f(1,2)a2＋b2,2ab)＝eq\f(a2＋b2,4ab)≥eq\f(2ab,4ab)＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取等號(hào).∵0<C<π，∴0<C≤eq\f(π,3)，∴C的最大值為eq\f(π,3).12.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosB－bcosA＝eq\f(1,2)c，當(dāng)tan(A－B)取最大值時(shí)，角B的值為________.答案eq\f(π,6)解析由acosB－bcosA＝eq\f(1,2)c及正弦定理，得sinAcosB－sinBcosA＝eq\f(1,2)sinC＝eq\f(1,2)sin(A＋B)＝eq\f(1,2)(sinAcosB＋cosAsinB)，整理得sinAcosB＝3cosAsinB，即tanA＝3tanB，易得tanA>0，tanB>0.所以tan(A－B)＝eq\f(tanA－tanB,1＋tanAtanB)＝eq\f(2tanB,1＋3tan2B)＝eq\f(2,\f(1,tanB)＋3tanB)≤eq\f(2,2\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,tanB)＝3tanB，即tanB＝eq\f(\r(3),3)時(shí)，tan(A－B)取得最大值，所以B＝eq\f(π,6).1.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2＋c2，則角A的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))答案C解析因?yàn)閍2＜b2＋c2，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＞0，所以A為銳角.又因?yàn)閍＞b＞c，所以A為最大角，所以角A的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).2.在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，若S＋a2＝(b＋c)2，則cosA等于()A.eq\f(4,5) B.－eq\f(4,5)C.eq\f(15,17) D.－eq\f(15,17)答案D解析由S＋a2＝(b＋c)2，得a2＝b2＋c2－2bc·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)sinA－1)).由余弦定理，可得eq\f(1,4)sinA－1＝cosA，結(jié)合sin2A＋cos2A＝1，可得cosA＝－eq\f(15,17).3.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，記S為△ABC的面積，若A＝60°，b＝1，S＝eq\f(3\r(3),4)，則c＝________，cosB＝________.答案3eq\f(5\r(7),14)解析因?yàn)锳＝60°，b＝1，S＝eq\f(3\r(3),4)＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×1×c×eq\f(\r(3),2)，解得c＝3.由余弦定理，可得a＝eq\r(b2＋c2－2bccosA)＝eq\r(1＋9－2×1×3×\f(1,2))＝eq\r(7)，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(7＋9－1,2×\r(7)×3)＝eq\f(5\r(7),14).解題秘籍(1)解三角形時(shí)要依據(jù)三角形的形狀及邊角大小正確處理多解問題.(2)對已知關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，一定要等價(jià)變形，尤其注意式子兩邊不可隨意同除以同一個(gè)式子.1.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°，則角A等于()A.60° B.120°C.90° D.60°或120°答案D解析由正弦定理可知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(\r(3),sinA)＝eq\f(\r(2),sin45°)＝2，所以sinA＝eq\f(\r(3),2)，因?yàn)閍>b，所以A>45°，所以A＝60°或A＝120°.故選D.2.在△ABC中，若eq\f(sinC,sinA)＝3，b2－a2＝eq\f(5,2)ac，則cosB的值為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,4)答案D解析由題意知，c＝3a，b2－a2＝eq\f(5,2)ac＝c2－2accosB，所以cosB＝eq\f(c2－\f(5,2)ac,2ac)＝eq\f(9a2－\f(5,2)×a×3a,2a×3a)＝eq\f(1,4).3.已知在△ABC中，(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝asinB，其中A，B，C為△ABC的內(nèi)角，a，b，c分別為A，B，C的對邊，則C等于()A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(5π,6)答案B解析因?yàn)?a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝asinB，所以由正弦定理，可得(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab，整理得c2＝a2＋b2＋ab，所以cosC＝－eq\f(1,2)，因?yàn)镃∈(0，π)，所以C＝eq\f(2π,3).故選B.4.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝1，2b－eq\r(3)c＝2acosC，sinC＝eq\f(\r(3),2)，則△ABC的面積為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4) D.eq\r(3)或eq\f(\r(3),2)答案C解析因?yàn)?b－eq\r(3)c＝2acosC，所以由正弦定理可得2sinB－eq\r(3)sinC＝2sinAcosC，所以2sin(A＋C)－eq\r(3)sinC＝2sinAcosC.所以2cosAsinC＝eq\r(3)sinC，又sinC≠0，所以cosA＝eq\f(\r(3),2)，因?yàn)锳∈(0°，180°)，所以A＝30°，因?yàn)閟inC＝eq\f(\r(3),2)，所以C＝60°或120°.當(dāng)C＝60°時(shí)，A＝30°，所以B＝90°，又a＝1，所以△ABC的面積為eq\f(1,2)×1×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)；當(dāng)C＝120°時(shí)，A＝30°，所以B＝30°，又a＝1，所以△ABC的面積為eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，故選C.5.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且tanB＝eq\f(2－\r(3),a2＋c2－b2)，eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)，則tanB等于()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\r(3)－1C.2 D.2－eq\r(3)答案D解析由余弦定理，得a2＋c2－b2＝2accosB，再由eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)，得accosB＝eq\f(1,2)，所以tanB＝eq\f(2－\r(3),a2＋c2－b2)＝eq\f(2－\r(3),2×\f(1,2))＝2－eq\r(3).故選D.6.(2017·山東)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC為銳角三角形，且滿足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，則下列等式成立的是()A.a＝2b B.b＝2aC.A＝2B D.B＝2A答案A解析∵等式右邊＝sinAcosC＋(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAcosC＋sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinB，等式左邊＝sinB＋2sinBcosC，∴sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB.由cosC＞0，得sinA＝2sinB.根據(jù)正弦定理，得a＝2b.7.如圖所示，一學(xué)生在河岸緊靠河邊筆直行走，在A處時(shí)，經(jīng)觀察，在河對岸有一參照物C與學(xué)生前進(jìn)方向成30°角，學(xué)生前進(jìn)200m后，測得該參照物與前進(jìn)方向成75°角，則河的寬度為()A.50(eq\r(3)＋1)m B.100(eq\r(3)＋1)mC.50eq\r(2)m D.100eq\r(2)m答案A解析在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝200，由正弦定理得BC＝eq\f(200×sin30°,sin45°)＝100eq\r(2)(m)，所以河的寬度為BCsin75°＝100eq\r(2)×eq\f(\r(2)＋\r(6),4)＝50(eq\r(3)＋1)(m).8.如圖所示，某電力公司為保護(hù)一墻角處的電塔，計(jì)劃利用墻OA，OB，再修建一長度為AB的圍欄，圍欄的造價(jià)與AB的長度成正比.現(xiàn)已知墻角∠AOB＝120°，當(dāng)△AOB的面積為eq\r(3)時(shí)，就可起到保護(hù)作用.則當(dāng)圍欄的造價(jià)最低時(shí)，∠ABO等于()A.30° B.45°C.60° D.90°答案A解析只要AB的長度最小，圍欄的造價(jià)就最低.設(shè)OA＝a，OB＝b，則由余弦定理得AB2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))，又S△AOB＝eq\f(1,2)absin120°＝eq\r(3)，所以ab＝4.故AB2≥12，即AB的最小值為2eq\r(3).由a＝b及3ab＝12，得a＝b＝2.所以∠ABO＝∠BAO，故∠ABO＝30°，故選A.9.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝eq\f(3,5)，則b＝________.答案eq\f(5,7)解析因?yàn)閏osA＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5)，所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(4,5)cos45°＋eq\f(3,5)sin45°＝eq\f(7\r(2),10).由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得b＝eq\f(c·sinB,sinC)＝eq\f(1,\f(7\r(2),10))×sin45°＝eq\f(5,7).10.已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC