第04講 圓與圓的位置關(guān)系-【寒假預(yù)習(xí)】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)核心考點+重難點講練與測試（滬教版）（解析版）

第04講圓與圓的位置關(guān)系目錄考點一：圓與圓的位置關(guān)系考點二：相切兩圓的性質(zhì)考點三：相交兩圓的性質(zhì)【基礎(chǔ)知識】一．圓與圓的位置關(guān)系（1）圓與圓的五種位置關(guān)系：①外離；②外切；③相交；④內(nèi)切；⑤內(nèi)含．如果兩個圓沒有公共點，叫兩圓相離．當(dāng)每個圓上的點在另一個圓的外部時，叫兩個圓外離，當(dāng)一個圓上的點都在另一圓的內(nèi)部時，叫兩個圓內(nèi)含，兩圓同心是內(nèi)含的一個特例；如果兩個圓有一個公共點，叫兩個圓相切，相切分為內(nèi)切、外切兩種；如果兩個圓有兩個公共點叫兩個圓相交．（2）圓和圓的位置與兩圓的圓心距、半徑的數(shù)量之間的關(guān)系：①兩圓外離?d＞R+r；②兩圓外切?d＝R+r；③兩圓相交?R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④兩圓內(nèi)切?d＝R﹣r（R＞r）；⑤兩圓內(nèi)含?d＜R﹣r（R＞r）．二．相切兩圓的性質(zhì)相切兩圓的性質(zhì)：如果兩圓相切，那么連心線必經(jīng)過切點．這說明兩圓的圓心和切點三點共線，為證明帶來了很大方便．三．相交兩圓的性質(zhì)（1）相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線（經(jīng)過兩個圓心的直線），垂直平分兩圓的公共弦．注意：在習(xí)題中常常通過公共弦在兩圓之間建立聯(lián)系．（2）兩圓的公切線性質(zhì)：兩圓的兩條外公切線的長相等；兩圓的兩條內(nèi)公切線的長也相等．兩個圓如果有兩條（內(nèi)）公切線，則它們的交點一定在連心線上．【考點剖析】一．圓與圓的位置關(guān)系（共26小題）1．（2022春?長寧區(qū)校級月考）已知圓A的半徑長為4，圓B的半徑長為7，它們的圓心距為d，要使這兩圓沒有公共點，那么d的值可以?。ǎ〢．11 B．6 C．3 D．2【分析】若兩圓沒有公共點，則可能外離或內(nèi)含，據(jù)此考慮圓心距的取值范圍．【解答】解：若兩圓沒有公共點，則可能外離或內(nèi)含，外離時的數(shù)量關(guān)系應(yīng)滿足d＞11；內(nèi)含時的數(shù)量關(guān)系應(yīng)滿足0≤d＜3．觀察選項，只有D符合題意．故選：D．【點評】考查了圓與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)兩圓的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系之間的等價關(guān)系解答．2．（2022春?青浦區(qū)校級期中）如果兩圓的半徑長分別為6與2，圓心距為4，那么這兩個圓的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．外切 D．相交【分析】根據(jù)數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系．設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為d：外離，則d＞R+r；外切，則d＝R+r；相交，則R﹣r＜d＜R+r；內(nèi)切，則d＝R﹣r；內(nèi)含，則d＜R﹣r．【解答】解：∵兩圓半徑之差＝6﹣2＝4＝圓心距，∴兩個圓的位置關(guān)系是內(nèi)切．故選：B．【點評】本題考查了由兩圓位置關(guān)系的知識點，利用了兩圓內(nèi)切時，圓心距等于兩圓半徑的差求解．3．（2022春?松江區(qū)校級期中）⊙A半徑為3，⊙B半徑為5，若兩圓相交，那么AB長度范圍為（）A．3＜AB＜5 B．2＜AB＜8 C．3＜AB＜8 D．2＜AB＜5【分析】根據(jù)圓心距和兩圓半徑的關(guān)系可得．【解答】解：根據(jù)兩圓相交，則圓心距小于兩圓半徑之和，而大于兩圓半徑之差，則2＜AB＜8．故選B．【點評】考查了兩圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的等價關(guān)系：兩圓相交，則圓心距小于兩圓半徑之和，而大于兩圓半徑之差．4．（2022?松江區(qū)校級模擬）已知△ABC，AB＝10cm，BC＝6cm，以點B為圓心，以BC為半徑畫圓⊙B，以點A為圓心，半徑為r，畫圓⊙A．已知⊙A與⊙B外離，則r的取值范圍為（）A．.0＜r≤4 B．.0≤r≤4 C．.0＜r＜4 D．.0≤r＜4【分析】設(shè)⊙B半徑為Rcm，則R＝6cm，根據(jù)兩圓外離的條件得到AB＞r+R，從而得到r的范圍．【解答】解：設(shè)⊙B半徑為Rcm，則R＝BC＝6cm，∵⊙A與⊙B外離，∴AB＞r+R，∴r＜AB﹣R，即r＜4，∵r＞0，∴0＜r＜4．故選：C．【點評】本題考查圓與圓的位置關(guān)系：兩圓的圓心距為d、兩圓的半徑分別為R，r，兩圓外離?d＞R+r；兩圓外切?d＝R+r；兩圓相交?R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；兩圓內(nèi)切?d＝R﹣r（R＞r）；兩圓內(nèi)含?d＜R﹣r（R＞r）．5．（2022?楊浦區(qū)三模）如圖，已知∠POQ＝30°，點A、B在射線OQ上（點A在點O、B之間），半徑長為2的⊙A與直線OP相切，半徑長為3的⊙B與⊙A相交，那么OB的取值范圍是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7【分析】作半徑AD，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)得：OA＝4，再確認⊙B與⊙A相切時，OB的長，可得結(jié)論．【解答】解：設(shè)⊙A與直線OP相切時切點為D，連接AD，∴AD⊥OP，∵∠O＝30°，AD＝2，∴OA＝4，當(dāng)⊙B與⊙A相內(nèi)切時，設(shè)切點為C，如圖1，∵BC＝3，∴OB＝OA+AB＝4+3﹣2＝5；當(dāng)⊙A與⊙B相外切時，設(shè)切點為E，如圖2，∴OB＝OA+AB＝4+2+3＝9，∴半徑長為3的⊙B與⊙A相交，那么OB的取值范圍是：5＜OB＜9，故選：A．【點評】本題考查了圓和圓的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握圓和圓相交和相切的關(guān)系是關(guān)鍵，還利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形確定OB的取值范圍．6．（2022春?浦東新區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，點E是CD的中點，聯(lián)結(jié)BE，如果AB＝6，BC＝4，那么分別以AD、BE為直徑的⊙M與⊙N的位置關(guān)系是（）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【分析】直接利用已知得出兩圓的半徑，進而得出兩圓位置關(guān)系．【解答】解：如圖所示：連接MN，可得M是AD的中點，N是BE的中點，則MN是梯形ABED的中位線，則MN＝（AB+DE）＝4.5，∵EC＝3，BC＝AD＝4，∴BE＝5，則⊙N的半徑為2.5，⊙M的半徑為2，則2+2.5＝4.5．故⊙M與⊙N的位置關(guān)系是：外切．故選：B．【點評】此題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系，正確得出兩圓心距離是解題關(guān)鍵．7．（2022春?閔行區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，點D在邊BC上，CD＝3，⊙A的半徑長為3，⊙D與⊙A相交，且點B在⊙D外，那么⊙D的半徑長r的取值范圍是（）A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8【分析】連接AD，根據(jù)勾股定理得到AD＝5，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系得到r＞5﹣3＝2，由點B在⊙D外，于是得到r＜4，即可得到結(jié)論．【解答】解：連接AD，∵AC＝4，CD＝3，∠C＝90°，∴AD＝5，∵⊙A的半徑長為3，⊙D與⊙A相交，∴r＞5﹣3＝2，∵BC＝7，∴BD＝4，∵點B在⊙D外，∴r＜4，∴⊙D的半徑長r的取值范圍是2＜r＜4，故選：B．【點評】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系，設(shè)點到圓心的距離為d，則當(dāng)d＝r時，點在圓上；當(dāng)d＞r時，點在圓外；當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)．8．（2022春?奉賢區(qū)校級期中）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以A為圓心2為半徑長作⊙A，以B為圓心BC為半徑作⊙B，如果⊙A與⊙B內(nèi)切，那么△ABC的面積等于3．【分析】根據(jù)兩圓內(nèi)切的性質(zhì)求出AB，根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【解答】解：∵⊙A的半徑為2，⊙B的半徑為6，⊙A與⊙B內(nèi)切，∴AB＝6﹣2＝4，過點A作AD⊥BC于D，則BD＝BC＝3，由勾股定理得，AD＝＝＝，∴△ABC的面積＝×6×＝3，故答案為：3．【點評】本題考查的是圓與圓的位置關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)，掌握兩圓內(nèi)切?d＝R﹣r是解題的關(guān)鍵．9．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如果⊙O1與⊙O2內(nèi)含，O1O2＝4，⊙O1的半徑是3，那么⊙O2的半徑的取值范圍是r＞7．【分析】首先由題意知⊙O1與⊙O2兩圓內(nèi)含，則知兩圓圓心距d＜R﹣r，分兩種情況進行討論．【解答】解：根據(jù)題意兩圓內(nèi)含，故知r﹣3＞4，解得r＞7．故答案為：r＞7．【點評】本題考查了由數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓位置關(guān)系的方法．兩圓外離，則P＞R+r；外切，則P＝R+r；相交，則R﹣r＜P＜R+r；內(nèi)切，則P＝R﹣r；內(nèi)含，則P＜R﹣r．10．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）已知兩圓內(nèi)切，一個圓的半徑是3，圓心距是2，那么另一個圓的半徑是5或1．【分析】由兩圓內(nèi)切，一個圓的半徑是3，圓心距是2，根據(jù)兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系，即可求得答案．【解答】解：∵兩圓內(nèi)切，一個圓的半徑是3，圓心距是2，∴①若另一個圓的半徑大，則另一個圓的半徑是：3+2＝5；②若另一個圓的半徑小，則另一個圓的半徑是：3﹣2＝1．∴另一個圓的半徑是：5或1．故答案為：5或1．【點評】此題考查了圓與圓的位置關(guān)系．此題比較簡單，注意掌握兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．11．（2022春?普陀區(qū)校級期中）如圖，已知∠POQ＝30°，點A、B在射線OQ上（點A在點O、B之間），半徑長為2的⊙A與直線OP相切，半徑長為5的⊙B與⊙A內(nèi)含，那么OB的取值范圍是（）A．4＜OB＜7 B．5＜OB＜7 C．4＜OB＜9 D．2＜OB＜7【分析】作半徑AD，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)得：OA＝4，再確認⊙B與⊙A內(nèi)切時，OB的長，可得結(jié)論．【解答】解：設(shè)⊙A與直線OP相切時切點為D，連接AD，∴AD⊥OP，∵∠O＝30°，AD＝2，∴OA＝4，當(dāng)⊙B與⊙A相內(nèi)切時，設(shè)切點為C，如圖，∵BC＝5，∴OB＝OA+AB＝4+5﹣2＝7；∴⊙B與⊙A內(nèi)含，那么OB的取值范圍是：4＜OB＜7，故選：A．【點評】本題考查了圓和圓的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握圓和圓內(nèi)含和相切的關(guān)系是關(guān)鍵，還利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形確定OB的取值范圍．12．（2022春?普陀區(qū)校級期中）已知點A（4，0），B（0，3），如果⊙A的半徑為2，⊙B的半徑為7，則兩圓的位置關(guān)系是（）A．外離 B．外切 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含【分析】求出AB＝5，根據(jù)圓心距＝半徑之差，即可判斷．【解答】解：∵點A（4，0），B，0，3），∴AB＝＝5，⊙A的半徑為2，⊙B的半徑為7，∴半徑差為：7﹣2＝5，∴這兩圓的位置關(guān)系是：內(nèi)切．故選：C．【點評】此題考查了圓與圓的位置關(guān)系．注意掌握兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系是解此題的關(guān)鍵．13．（2022?黃浦區(qū)校級二模）如果⊙O1與⊙O2內(nèi)含，O1O2＝4，⊙O1的半徑是3，那么⊙O2的半徑可以是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】首先由題意知⊙O1與⊙O2兩圓內(nèi)含，則知兩圓圓心距d＜R﹣r，分兩種情況進行討論．【解答】解：根據(jù)題意兩圓內(nèi)含，故知r﹣3＞4，解得r＞7．故選：D．【點評】本題考查了由數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓位置關(guān)系的方法．兩圓外離，則P＞R+r；外切，則P＝R+r；相交，則R﹣r＜P＜R+r；內(nèi)切，則P＝R﹣r；內(nèi)含，則P＜R﹣r．14．（2022春?虹口區(qū)校級期中）已知⊙A與⊙B外切，⊙C與OA、⊙B都內(nèi)切，且AB＝7，AC＝8，BC＝9，那么⊙C的半徑長是（）A．12 B．11 C．10 D．9【分析】如圖，設(shè)⊙A，⊙B，⊙C的半徑為x，y，z．構(gòu)建方程組即可解決問題．【解答】解：如圖，設(shè)⊙A，⊙B，⊙C的半徑為x，y，z．由題意：，解得，故選：A．【點評】本題考查兩圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問題，屬于中考?？碱}型．15．（2022春?黃浦區(qū)期中）如果兩圓的直徑長分別為4與6，圓心距為2，那么這兩個圓的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．外切 D．相交【分析】根據(jù)數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系．設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為d：外離，則d＞R+r；外切，則d＝R+r；相交，則R﹣r＜d＜R+r；內(nèi)切，則d＝R﹣r；內(nèi)含，則d＜R﹣r．【解答】解：∵兩圓半徑之差＝3﹣2＝1＝圓心距，∴兩個圓的位置關(guān)系是內(nèi)切．故選：D．【點評】本題考查了由兩圓位置關(guān)系的知識點，利用了兩圓內(nèi)切時，圓心距等于兩圓半徑的差求解．16．（2022?徐匯區(qū)模擬）已知兩圓相交，當(dāng)每個圓的圓心都在在另一個圓的圓外時，我們稱此兩圓的位置關(guān)系為“外相交”．已知兩圓“外相交”，且半徑分別為2和5，則圓心距的取值可以是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】先利用兩圓相交的判定方法得到3＜d＜7，再根據(jù)“外相交”的定義得到d＞2且d＞5，然后根據(jù)寫出滿足所有不等式的公共部分即可．【解答】解：∵⊙O1、⊙O2相交，∴5﹣2＜d＜5+2，即3＜d＜7，∵兩圓“外相交”，∴d＞2且d＞5，∴兩圓的圓心距d的取值范圍為5＜d＜7．∴兩圓“外相交”時的圓心距d的取值范圍是5＜d＜7．故選C．【點評】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系：設(shè)兩圓的圓心距為d，兩圓半徑分別為R、r，當(dāng)兩圓外離?d＞R+r；兩圓外切?d＝R+r；兩圓相交?R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；兩圓內(nèi)切?d＝R﹣r（R＞r）；兩圓內(nèi)含?d＜R﹣r（R＞r）．17．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）已知半徑分別是3和5的兩個圓沒有公共點，那么這兩個圓的圓心距d的取值范圍是（）A．d＞2 B．d＞8 C．0≤d＜2 D．d＞8或0≤d＜2【分析】沒有公共點的兩個圓的位置關(guān)系，應(yīng)該是內(nèi)含和外離，外離，則d＞R+r；內(nèi)含，則d＜R﹣r．【解答】解：沒有公共點的兩個圓的位置關(guān)系，應(yīng)該是內(nèi)含和外離，當(dāng)內(nèi)含時，這兩個圓的圓心距d的取值范圍是d＜R﹣r，即d＜2；當(dāng)外離時，這兩個圓的圓心距d的取值范圍是d＞R+r，即d＞8．故選：D．【點評】本題難度中等，主要是考查圓與圓的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系．18．（2022春?虹口區(qū)期中）已知圓O1、圓O2的半徑不相等，圓O1的半徑長為5，若圓O2上的點A滿足AO1＝5，則圓O1與圓O2的位置關(guān)系是（）A．相交或相切 B．相切或相離 C．相交或內(nèi)含 D．相切或內(nèi)含【分析】根據(jù)圓與圓的五種位置關(guān)系，分類討論．【解答】解：當(dāng)兩圓外切時，切點A能滿足AO1＝5，當(dāng)兩圓相交時，交點A能滿足AO1＝5，當(dāng)兩圓內(nèi)切時，切點A能滿足AO1＝5，所以，兩圓相交或相切．故選：A．【點評】本題考查了由數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓位置關(guān)系的方法．19．（2022?寶山區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，DE∥BC，且AD＝2CD，則以點C為圓心、DC長為半徑的圓C和以點E為圓心、EB長為半徑的圓E的位置關(guān)系是（）A．外離 B．相交 C．外切 D．不能確定【分析】根據(jù)勾股定理得到AC＝＝4，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BE＝，CD＝，DE＝2，求得CE＝＝＝，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴＝＝，∵AD＝2CD，∴＝，∴BE＝，CD＝，DE＝2，∴CE＝＝＝，∵BE+CD＝＞，∴以點C為圓心、DC長為半徑的圓C和以點E為圓心、EB長為半徑的圓E的位置關(guān)系是相交，故選：B．【點評】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．20．（2022?金山區(qū)校級模擬）已知⊙O的半徑OA長為3，點B在線段OA上，且OB＝2，如果⊙B與⊙O有公共點，那么⊙B的半徑r的取值范圍是（）A．r≥1 B．r≤5 C．1＜r＜5 D．1≤r≤5【分析】求得⊙B內(nèi)切于⊙O時⊙B的半徑和⊙O內(nèi)切于⊙B時⊙B的半徑，根據(jù)圖形即可求得．【解答】解：如圖，當(dāng)⊙B內(nèi)切于⊙O時，⊙B的半徑為3﹣2＝1，當(dāng)⊙O內(nèi)切于⊙B時，⊙B的半徑為3+2＝5，∴如果⊙B與⊙O有公共點，那么⊙B的半徑r的取值范圍是1≤r≤5，故選：D．【點評】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．21．（2022春?靜安區(qū)期中）如圖，∠MON＝30°，P是∠MON的平分線上一點，PQ∥ON交OM于點Q，以P為圓心，半徑為8的圓與ON相切，如果以Q為圓心，半徑為r的圓與⊙P相交，那么r的取值范圍是8＜r＜24．【分析】過點P作PA⊥OM于點A．根據(jù)題意首先判定OM是切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到PA＝8．由角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)判定直角△APQ中含有30度角，則由“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”得到PQ的長度；然后根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求得r的取值范圍．【解答】解：如圖，過點P作PA⊥OM于點A．∵圓P與ON相切，設(shè)切點為B，連接PB．∴PB⊥ON．∵OP是∠MON的角平分線，∴PA＝PB．∴PA是半徑，∴OM是圓P的切線．∵∠MON＝30°，OP是∠MON的角平分線，∴∠1＝∠2＝15°．∵PQ∥ON，∴∠3＝∠2＝15°．∴∠4＝∠1+∠3＝30°．∵PA＝8，∴PQ＝2PA＝16．∴r最小值＝16﹣8＝8，r最大值＝16+8＝24．∴r的取值范圍是8＜r＜24．故答案為：8＜r＜24．【點評】考查了圓與圓的位置關(guān)系，切線的判定與性質(zhì)，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡記作：見切點，連半徑，見垂直．22．（2022春?金山區(qū)月考）已知一個圓的半徑長為3，另一個圓的半徑長r的取值范圍為0＜r＜6．如果兩個圓的圓心距為3，那么這兩個圓的公共點的個數(shù)為2．【分析】根據(jù)數(shù)量關(guān)系確定它們的位置關(guān)系，再根據(jù)位置關(guān)系確定交點個數(shù)．【解答】∵一個圓的半徑長為3，另一個圓的半徑長r的取值范圍為0＜r＜6，∴兩圓相交，∴兩圓有兩個公共點．故答案為：2．【點評】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為位置關(guān)系．23．（2022春?松江區(qū)校級期中）如果⊙O1與⊙O2相交，⊙O1的半徑是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半徑r的取值范圍是2＜r＜8．【分析】根據(jù)數(shù)量關(guān)系與兩圓位置關(guān)系的對應(yīng)情況求得，兩圓相交，則R﹣r＜d＜R+r．【解答】解：∵兩圓相交，∴圓心距的取值范圍是|5﹣r|＜3＜5+r，即2＜r＜8．故答案為：2＜r＜8．【點評】本題考查了由數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓位置關(guān)系的方法．外離，則P＞R+r；外切，則P＝R+r；相交，則R﹣r＜P＜R+r；內(nèi)切，則P＝R﹣r；內(nèi)含，則P＜R﹣r．（P表示圓心距，R，r分別表示兩圓的半徑）．24．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，已知⊙B半徑長為1，如果⊙A與⊙B內(nèi)切，那么下列判斷中，正確的是（）A．點C在⊙A外，點D在⊙A內(nèi) B．點C在⊙A外，點D在⊙A外 C．點C在⊙A上，點D在⊙A內(nèi) D．點C在⊙A內(nèi)，點D在⊙A外【分析】求出⊙A的半徑為5，根據(jù)AD＝3，AC＝5即可作出判斷．【解答】解：如圖，連接AC，∵⊙A與⊙B內(nèi)切，⊙B的半徑為1，AB＝4，∴⊙A的半徑為5，∵AD＝3，DC＝4，∠D＝90°，∴AC＝5，∴點D在⊙A內(nèi)，點C在⊙A上．故選：C．【點評】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出⊙A的半徑．25．（2022春?普陀區(qū)校級期中）已知兩圓的半徑長分別為1和3，兩圓的圓心距為d，如果兩圓沒有公共點，那么d的取值范圍是0≤d＜2或d＞4．【分析】先確定兩圓的位置關(guān)系再求范圍．【解答】解：∵兩圓沒有公共點，∴兩圓內(nèi)含或外離．當(dāng)兩圓內(nèi)含時，0≤d＜3﹣1＝2，即0≤d＜2，當(dāng)兩圓外離時，d＞1+3＝4，∴d的取值范圍是：0≤d＜2或d＞4．故答案為：0≤d＜2或d＞4．【點評】本題考查兩圓的位置關(guān)系，掌握各位置關(guān)系的條件是求解本題的關(guān)鍵．26．（2022秋?青浦區(qū)校級月考）兩圓的半徑分別為3和5，當(dāng)這兩圓相切時，圓心距d為2或8．【分析】兩圓的位置關(guān)系有5種：①外離；②外切；③相交；④內(nèi)切；⑤內(nèi)含．若d＞R+r則兩圓相離，若d＝R+r則兩圓外切，若d＝R﹣r則兩圓內(nèi)切，若R﹣r＜d＜R+r則兩圓相交．本題可把半徑的值代入，根據(jù)兩圓相切可得出圓心距．【解答】解：∵兩圓相切，∴兩圓有可能外切，也有可能內(nèi)切，∵兩圓內(nèi)切：d＝5﹣3＝2，兩圓外切：d＝5+3＝8．∴d為2或8．【點評】本題主要考查兩圓的位置關(guān)系．兩圓的位置關(guān)系有：外離（d＞R+r）、內(nèi)含（d＜R﹣r）、相切（外切：d＝R+r或內(nèi)切：d＝R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）．二．相切兩圓的性質(zhì)（共3小題）27．（2022?嘉定區(qū)二模）已知圓O1與圓O2外切，其中圓O2的半徑是4cm，圓心距O1O2＝6cm，那么圓O1的半徑是2cm．【分析】利用兩圓外切的性質(zhì)解答即可．【解答】解：設(shè)圓O1的半徑是rcm，∵圓O1與圓O2外切，圓O2的半徑是4cm，圓心距O1O2＝6cm，∴4+r＝6，∴r＝2．故答案為：2．【點評】本題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)，利用外切兩圓的圓心距等于兩圓半徑之和列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．28．（2021?上海模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，我們把半徑相等且外切、連心線與直線y＝x平行的兩個圓，稱之為“孿生圓”；已知圓A的圓心為（﹣2，3），半徑為，那么圓A的所有“孿生圓”的圓心坐標(biāo)為（﹣4，1），（0，5）．【分析】如圖，與⊙A外切半徑相等且連心線與直線y＝x平行的兩個圓分別為⊙B，⊙C，運用兩圓外切的性質(zhì)和點的坐標(biāo)特點，運用數(shù)形結(jié)合求出圖形中AE、BE、AF、CF的長，進而得到兩圓心的坐標(biāo)．【解答】解：點A的坐標(biāo)為（﹣2，3過點A的直線與y＝x平行并過點A，∴過點A的直線與y＝x平行，∴過點A的直線與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，∴與⊙A外切半徑相等且連心線與直線y＝x平行的兩個圓分別為⊙B，⊙C如圖，△AEB△AFC都是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，∴AE＝BE＝AF＝CF＝2，∴C（﹣4，1），B（0，5）．故答案為：（﹣4，1），（0，5）【點評】本題主要考查了兩圓外切的性質(zhì)，點的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形，熟練的運用數(shù)形結(jié)合思想是解決問題的關(guān)鍵．29．（2020秋?金山區(qū)期末）已知：如圖，⊙O1與⊙O2外切于點T，經(jīng)過點T的直線與⊙O1、⊙O2分別相交于點A和點B．（1）求證：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的長．【分析】（1）聯(lián)結(jié)O1O2，即O1O2為連心線，欲證明O1A∥O2B，只需推知∠A＝∠B；（2）利用（1）中的結(jié)論，結(jié)合平行線截線段成比例得到，通過計算求得AT的值．【解答】（1）證明：聯(lián)結(jié)O1O2，即O1O2為連心線，又∵⊙O1與⊙O2外切于點T，∴O1O2經(jīng)過點T．∵O1A＝O1T，O2B＝O2T．∴∠A＝∠O1TA，∠B＝∠O2TB．∵∠O1TA＝∠O2TB，∴∠A＝∠B．∴O1A∥O2B；（2）∵O1A∥O2B，∴．∵O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，∴，解得：．【點評】此題考查了相切兩圓的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，作出相應(yīng)的輔助線是解本題的關(guān)鍵．三．相交兩圓的性質(zhì)（共6小題）30．（2022?浦東新區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，點D在邊BC上，CD＝3，⊙A的半徑長為3，⊙D與⊙A相交，且點B在⊙D外，那么⊙D的半徑長r可能是（）A．r＝1 B．r＝3 C．r＝5 D．r＝7【分析】連接AD交⊙A于E，根據(jù)勾股定理求出AD，求出DE和DB，再根據(jù)相交兩圓的性質(zhì)和點與圓的位置關(guān)系得出r的范圍即可．【解答】解：連接AD交⊙A于E，如圖1，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝＝5，則DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2，∵BC＝7，CD＝3，∴BD＝7﹣3＝4，∴要使⊙D與⊙A相交，且點B在⊙D外，必須2＜r＜4，即只有選項B符合題意；故選：B．【點評】本題考查了相交兩圓的性質(zhì)，點與圓的位置關(guān)系，勾股定理等知識點，能熟記相交兩圓的性質(zhì)和點與圓的位置關(guān)系的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．31．（2022?上海模擬）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，點O在對角線BD上，且⊙O與邊AD、CD相切．點P是⊙O與線段OB的交點，如果⊙P是既與⊙O內(nèi)切，又與正方形ABCD的兩條邊相切，那么關(guān)于⊙O的半徑r的方程是（）A．2r+r?cos45°＝1 B．2r+2r?cos45°＝1 C．3r+r?cos45°＝1 D．3r+2r?cos45°＝1【分析】先畫出符合題意的圖形，過點P作PM⊥CD于點M，過點O作ON⊥PM于點N，過點O作OQ⊥CD于點Q，由此可得△OPN是等腰直角三角形，四邊形ONMQ是矩形，根據(jù)三角形函數(shù)和線段的和差計算可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，由內(nèi)切的定義可知，⊙P的半徑為2r，過點P作PM⊥CD于點M，過點O作ON⊥PM于點N，過點O作OQ⊥CD于點Q，∴四邊形ONMQ為矩形，∴ON＝QM，∵OP＝r，∠OPN＝45°，∴ON＝r?cos45°，∵DQ+QM+CM＝1，∴r+r?cos45°+2r＝1，即3r+r?cos45°＝1，故選：C．【點評】本題主要考查圓的相關(guān)計算，涉及內(nèi)切的定義，切線的定義及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定等相關(guān)知識，解題關(guān)鍵是畫出符合題意的圖形．32．（2022?崇明區(qū)二模）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以點A、B、C為圓心的圓分別記作圓A、圓B、圓C，這三個圓的半徑長都是2，那么下列結(jié)論中，正確的是（）A．圓A與圓C相交 B．圓B與圓C外切 C．圓A與圓B外切 D．圓A與圓B外離【分析】根據(jù)已知條件畫出圖形即可得出三個圓的位置關(guān)系．【解答】解：根據(jù)題意作圖如下：∴圓A與圓C外切，圓A與圓C外離，圓B與圓C相交，故選：D．【點評】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意畫出圖象是解題的關(guān)鍵．33．（2022春?楊浦區(qū)校級月考）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙C與AB相切，若⊙A與⊙C相交，則⊙A半徑r的取值范圍是1.6＜r＜6.4．【分析】過C點作CD⊥AB于D點，如圖，利用勾股定理計算出AB＝5，則利用面積法得到OH＝2.4，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到OH為⊙的半徑，即⊙O的半徑為2.4，然后利用兩圓相交的性質(zhì)得到r﹣2.4＜4＜2.4+r，最后解不等式即可．【解答】解：過C點作CD⊥AB于D點，如圖，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵OH?AB＝OA?OB，∴OH＝＝2.4，∵⊙C與AB相切，∴OH為⊙的半徑，即⊙O的半徑為2.4，∵⊙A與⊙C相交，∴r﹣2.4＜4＜2.4+r，解得1.6＜r＜6.4．故答案為：1.6＜r＜6.4．【點評】本題考查了相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線（經(jīng)過兩個圓心的直線），垂直平分兩圓的公共弦．若兩圓半徑為R、r，圓心距為d，兩圓相交，則R﹣r＜d＜R+r（R＞r）．34．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）半徑分別為3cm與cm的⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，如果公共弦AB＝4cm，那么圓心距O1O2的長為2或4cm．【分析】利用連心線垂直平分公共弦的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理及有關(guān)性質(zhì)解題．【解答】解：如圖，∵⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，∴O1O2⊥AB，且AD＝BD；又∵AB＝4厘米，∴AD＝2厘米，∴在Rt△AO1D中，根據(jù)勾股定理知O1D＝1厘米；在Rt△AO2D中，根據(jù)勾股定理知O2D＝3厘米，∴O1O2＝O1D+O2D＝4厘米；同理知，當(dāng)小圓圓心在大圓內(nèi)時，解得O1O2＝3厘米﹣1厘米＝2厘米．故答案是：4或2；【點評】本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系，勾股定理等知識點．注意，解題時要分類討論，以防漏解．35．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）已知：如圖，⊙O1與⊙O2相交于點A和點B，AC∥O1O2，交⊙O1于點C，⊙O1的半徑為5，⊙O2的半徑為，AB＝6．求：（1）弦AC的長度；（2）四邊形ACO1O2的面積．【分析】（1）作O1H⊥AC，垂足為點H．根據(jù)相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦和平行線的性質(zhì)，求得O1H的長，再進一步根據(jù)勾股定理和垂徑定理進行計算；（2）根據(jù)梯形的面積公式進行計算．【解答】解：（1）作O1H⊥AC，垂足為點H，那么可得AH＝CH．∵⊙O1與⊙O2相交于點A和點B，∴O1O2垂直平分AB，記垂足為D．由題意，可證得四邊形ADO1H是矩形．又由AB＝6，可得O1H＝＝3．∵O1C＝5，∴CH＝4，∴AC＝8．（2）在Rt△ADO2中，AO2＝，AD＝3，∴DO2＝2．而DO1＝AH＝4，∴O1O2＝6．∴梯形ACO1O2的面積是．【點評】此題綜合運用了相交兩圓的性質(zhì)、垂徑定理和勾股定理．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2021·上海松江·二模）已知⊙O的半徑OA長為3，點B在線段OA上，且OB＝2，如果⊙B與⊙O有公共點，那么⊙B的半徑r的取值范圍是（）A．r≥1 B．r≤5 C．1＜r＜5 D．1≤r≤5【答案】D【分析】求得⊙B在⊙O內(nèi)部且有唯一公共點時⊙B的半徑和⊙O在⊙B內(nèi)部且有唯一公共點時⊙B的半徑，根據(jù)圖形即可求得．【詳解】解：如圖，當(dāng)⊙B在⊙O內(nèi)部且有唯一公共點時，⊙B的半徑為：3-2=1，當(dāng)⊙O在⊙B內(nèi)部且有唯一公共點時，⊙B的半徑為3+2＝5，∴如果⊙B與⊙O有公共點，那么⊙B的半徑r的取值范圍是1≤r≤5，故答案為：D．【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合和分類討論思想的應(yīng)用．2．（2021·上海金山·二模）已知⊙A、⊙B、⊙C的半徑分別為2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么這三個圓的位置關(guān)系（）．A．⊙A與⊙B、⊙C外切，⊙B與⊙C相交B．⊙A與⊙B、⊙C相交，⊙B與⊙C外切C．⊙B與⊙A、⊙C外切，⊙A與⊙C相交D．⊙B與⊙A、⊙C相交，⊙A與⊙C外切【答案】A【分析】結(jié)合題意，根據(jù)圓與圓位置關(guān)系的性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】∵⊙A、⊙B、⊙C的半徑分別為2、3、4，∴AB＝5＝2+3，AC＝6＝2+4，BC＝6＜3+4根據(jù)圓與圓之間的位置關(guān)系可知：⊙A與⊙B、⊙C外切，⊙B與⊙C相交．故選：A．【點睛】本題考查了圓與圓之間位置關(guān)系的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓與圓之間位置關(guān)系的性質(zhì)，從而完成求解．3．（2021·上海嘉定·二模）已知點，，如果⊙A的半徑為2，⊙B的半徑為7，那么⊙A與⊙B的位置關(guān)系（）A．內(nèi)切 B．外切 C．內(nèi)含 D．外離【答案】A【分析】求出AB=5，根據(jù)圓心距=半徑之差，即可判斷．【詳解】解：∵點A（4，0），B，0，3），∴AB==5，∵⊙A與⊙B的半徑分別為：2與7，∴半徑差為：7-2=5，∴這兩圓的位置關(guān)系是：內(nèi)切．故選：A．【點睛】此題考查了圓與圓的位置關(guān)系．注意掌握兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系是解此題的關(guān)鍵．4．（2021·上海靜安·九年級期中）對于命題：①如果一個圓上所有的點都在另一個圓的內(nèi)部，那么這個圓內(nèi)含；②如果一個圓上所有的點都在另一個圓的外部，那么這個圓外離．下列判斷正確的是（）A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題C．①、②都是真命題 D．①、②都是假命題【答案】A【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷即可．【詳解】解：①如果一個圓上所有的點都在另一個圓的內(nèi)部，那么這兩個圓內(nèi)含，是真命題；②如果第一個圓上的點都在另一個圓的外部，那么這兩個圓外離或內(nèi)含，故原命題是假命題；故選：A．【點睛】本題考查了命題的判斷，掌握命題的定義及分類并能運用所學(xué)知識判斷命題的真假是解題的關(guān)鍵．5．（2018·上海金山·九年級期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中點，G是△ABC的重心，如果以點D為圓心DG為半徑的圓和以點C為圓心半徑為r的圓相交，那么r的取值范圍是（）A．r＜5 B．r＞5 C．r＜10 D．5＜r＜10【答案】D【解析】延長CD交⊙D于點E，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴AB==15，∵D是AB中點，∴CD=，∵G是△ABC的重心，∴CG==5，DG=2.5，∴CE=CD+DE=CD+DF=10，∵⊙C與⊙D相交，⊙C的半徑為r，∴，故選D.【點睛】本題考查了三角形的重心的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半、兩圓相交等，根據(jù)知求出CG的長是解題的關(guān)鍵.6．（2019·上海·九年級期末）如果兩圓的圓心距為2，其中一個圓的半徑為3，另一個圓的半徑，那么這兩個圓的位置關(guān)系不可能是（）A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．外離 D．相交【答案】C【分析】利用兩圓之和一定大于兩圓的圓心距可判斷這兩個圓不可能外離．【詳解】解：∵r＞1，∴2＜3＋r，∴這兩個圓的位置關(guān)系不可能外離．故選C．【點睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系：兩圓的圓心距為d、兩圓的半徑分別為r、R：①兩圓外離?d＞R＋r；②兩圓外切?d＝R＋r；③兩圓相交?R?r＜d＜R＋r（R≥r）；④兩圓內(nèi)切?d＝R?r（R＞r）；⑤兩圓內(nèi)含?d＜R?r（R＞r）．二、填空題7．（2021·上海靜安·九年級期中）已知⊙與⊙兩圓內(nèi)含，，⊙的半徑為5，那么⊙的半徑r的取值范圍是_______．【答案】或【詳解】首先由題意知⊙O1與⊙O2兩圓內(nèi)含，則知兩圓圓心距d＜R-r，分兩種情況進行討論．故知r-5＞3或者5-r＞3，解得0＜r＜2或r＞8．故答案為0＜r＜2或r＞88．（2019·上海上?！ぞ拍昙壠谥校┮阎獌蓤A外切，圓心距為7，其中一個圓的半徑為3，那么另一個圓的半徑長為___．【答案】4．【分析】根據(jù)題意，兩圓外切，故圓心距為兩圓半徑和，已知一個圓半徑為3，可求得另一圓的半徑.【詳解】∵兩圓外切，圓心距為7，若其中一個圓的半徑為3∴另一個圓的半徑＝7﹣3＝4．故答案為4．【點睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，本題的解題關(guān)鍵是掌握當(dāng)兩圓外切時圓心距為兩圓半徑之和，兩圓內(nèi)切時，圓心距為大圓半徑-小圓半徑.9．（2021·上海浦東新·模擬預(yù)測）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（3，4），以2為半徑的圓A與以r為半徑的圓O相交，那么圓O半徑r的取值范圍為____．【答案】3＜r＜7．【分析】根據(jù)題意作圖，連接OA并延長交圓A于C，過A作AM⊥x軸于M，根據(jù)勾股定理求OA，已知圓A的半徑，求OA和OC長，即可求出兩圓相交時r的取值范圍．【詳解】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（3，4），連接OA并延長交圓A于C，過A作AM⊥x軸于M，∵點A的坐標(biāo)為（3，4），∴AM＝3，OM＝3，由勾股定理得：∵⊙A的半徑是2，∴OB＝5﹣2＝3，OC＝5+2＝7，∵以2為半徑的圓A與以r為半徑的圓O相交，∴3＜r＜7，故答案為：3＜r＜7．【點睛】本題考查圓與圓的相交位置關(guān)系．根據(jù)題意作圖本題的解題關(guān)鍵．10．（2020·上海閔行·九年級期末）半徑分別為3cm與cm的⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，如果公共弦AB=cm，那么圓心距O1O2的長為______cm.【答案】2或4【分析】首先連接O1O2、O1A、O2A，令O1O2交AB于點C，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可得解.【詳解】連接O1O2、O1A、O2A，令O1O2交AB于點C，如圖所示由已知得O1A=3，O2A=，AB=∴∴∴或∴答案為2或4.【點睛】此題主要考查垂徑定理以及勾股定理的應(yīng)用，注意有兩種情況，不要遺漏.11．（2021·上海靜安·二模）如果⊙O1與⊙O2相交，⊙O1的半徑是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半徑r的取值范圍是_____．【答案】2＜r＜8【分析】根據(jù)數(shù)量關(guān)系與兩圓位置關(guān)系的對應(yīng)情況求得，兩圓相交，則R﹣r＜d＜R+r．【詳解】解：∵兩圓相交，∴圓心距的取值范圍是|5﹣r|＜3＜5+r，即2＜r＜8．故答案為：2＜r＜8．【點睛】本題考查了由數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓位置關(guān)系的方法．外離，則P＞R+r；外切，則P＝R+r；相交，則R﹣r＜P＜R+r；內(nèi)切，則P＝R﹣r；內(nèi)含，則P＜R﹣r．（P表示圓心距，R，r分別表示兩圓的半徑）．12．（2021·上海普陀·二模）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以A為圓心2為半徑長作⊙A，以B為圓心BC為半徑作⊙B，如果⊙A與⊙B內(nèi)切，那么△ABC的面積等于_____．【答案】3【分析】根據(jù)兩圓內(nèi)切的性質(zhì)求出AB，根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【詳解】解：∵⊙A的半徑為2，⊙B的半徑為6，⊙A與⊙B內(nèi)切，∴AB＝6﹣2＝4，過點A作AD⊥BC于D，則BD＝BC＝3，由勾股定理得，AD＝＝＝，∴△ABC的面積＝，故答案為：3．【點睛】本題考查了兩個圓的位置關(guān)系，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握兩個圓內(nèi)切的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2021·上海市實驗學(xué)校二模）已知兩圓半徑分別為3和5，圓心距為d，若兩圓沒有交點，則d的取值范圍是___________【答案】或．【分析】兩圓相離，可能外離，或者內(nèi)含，分情況即可求出d的取值范圍．【詳解】解：兩圓相離有兩種情況：內(nèi)含時圓心距大于等于0，且小于半徑之差，故；外離時圓心距大于半徑之和，故，所以d的取值范圍是或．故答案為：或．【點睛】本題考查根據(jù)兩圓的位置關(guān)系判斷圓心距與半徑之間的關(guān)系，熟記概念是解題的關(guān)鍵．14．（2021·上海楊浦·三模）如圖，已知在等邊中，，點在邊上，如果以線段為半徑的與以邊為直徑的外切，那么的半徑長是________．【答案】【分析】由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求，，由勾股定理可求解．【詳解】解：如圖，連接，過點作于H，在等邊中，，，，點是的中點，，以線段為半徑的與以邊為直徑的外切，，，，，，，，，故答案為．【點睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．15．（2021·上海奉賢·三模）如圖，已知在等邊△ABC中，AB＝4，點P在邊BC上，如果以線段PB為半徑的⊙P與以邊AC為直徑的⊙O外切，那么⊙P的半徑長是________________．【答案】【分析】由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求CH，OH，由勾股定理可求解．【詳解】解：如圖，連接OP，過點O作OH⊥BC于P，在等邊△ABC中，AB＝4，∴AC＝BC＝AB＝4，∠ACB＝60°，∵點O是AC的中點，∴AO＝OC＝2，∵以線段PB為半徑的⊙P與以邊AC為直徑的⊙O外切，∴PO＝2＋BP，∵OH⊥BC，∴∠COH＝30°，∴HC＝1，OH＝，∵，∴∴BP＝，故答案為．【點睛】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系、等邊三角形性質(zhì)以及勾股定理得應(yīng)用，利用勾股定理列出關(guān)于BP的方程是解題的關(guān)鍵．16．（2017·上海靜安·九年級期中）如圖，⊙A和⊙B的半徑分別為5和1，AB＝3，點O在直線AB上，⊙O與⊙A、⊙B都內(nèi)切，那么⊙O半徑是________．【答案】或．【分析】根據(jù)兩圓內(nèi)切時圓心距=兩圓半徑之差的絕對值，分兩種情況求解即可．【詳解】當(dāng)點O在點A左側(cè)時，⊙O半徑r=,當(dāng)點O在點B右側(cè)時，⊙O半徑r=.故填或.【點睛】此題考查圓與圓之間的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量之間的聯(lián)系.17．（2018·上海長寧·九年級期末）已知⊙的半徑為4，⊙的半徑為R，若⊙與⊙相切，且，則R的值為________．【答案】6或14【分析】⊙O1和⊙O2相切，有兩種情況需要考慮：內(nèi)切和外切．內(nèi)切時，⊙O2的半徑=圓心距+⊙O1的半徑；外切時，⊙O2的半徑=圓心距-⊙O1的半徑．【詳解】若⊙與⊙外切，則有4+R=10，解得：R=6；若⊙與⊙內(nèi)切，則有R-4=10，解得：R=14，故答案為6或14.18．（2018·上海金山·九年級期末）兩圓內(nèi)切，其中一個圓的半徑長為6，圓心距等于2，那么另一個圓的半徑長等于__．【答案】4或8【解析】∵兩圓內(nèi)切，一個圓的半徑是6，圓心距是2，∴另一個圓的半徑=6-2=4；或另一個圓的半徑=6+2=8，故答案為4或8．【點睛】本題考查了根據(jù)兩圓位置關(guān)系來求圓的半徑的方法．注意圓的半徑是6，要分大圓和小圓兩種情況討論．19．（2019·上海嘉定·九年級期末）已知兩圓內(nèi)切，半徑分別為2厘米和5厘米，那么這兩圓的圓心距等于_____厘米．【答案】3【分析】由兩圓的半徑分別為2和5，根據(jù)兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系和兩圓位置關(guān)系求得圓心距即可．【詳解】解：∵兩圓的半徑分別為2和5，兩圓內(nèi)切，∴d＝R﹣r＝5﹣2＝3cm，故答案為3．【點睛】此題考查了圓與圓的位置關(guān)系．解題的關(guān)鍵是掌握兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系．20．（2018·上海寶山·九年級期末）⊙O的直徑AB＝6，C在AB延長線上，BC＝2，若⊙C與⊙O有公共點，那么⊙C的半徑r的取值范圍是______．【答案】2≤r≤8【分析】利用圓與圓之間的位置關(guān)系即可得.【詳解】∵⊙O的直徑AB＝6，C在AB延長線上，BC＝2∴CA=8∵⊙C與⊙O有公共點，即⊙C與⊙O相交∴r=2或r=8或2<r<8即2≤r≤8故答案為2≤r≤8.【點睛】本題考查的知識點是圓與圓之間的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟記圓與圓之間的位置關(guān)系.21．（2020·上海市民辦文綺中學(xué)九年級期中）在矩形中，，，點是邊上一點（不與、重合），以點為圓心，為半徑作，如果與外切，那么的半徑的取值范圍是_______．【答案】【解析】分析：先利用勾股定理計算得出AC=13，利用與外切可確定的半徑的取值范圍.詳解：∵在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC==13，∴以點A為圓心AE為半徑作，如果與外切，可得的半徑r的取值范圍是8<r<13.故答案為8<r<13.點睛：本題考查了圓與圓的位置關(guān)系：關(guān)鍵是根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系進行解答.三、解答題22．（2021·上海金山·一模）已知：如圖，⊙與⊙外切于點，經(jīng)過點的直線與⊙、⊙分別相交于點和點．（1）求證：；（2）若，，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）聯(lián)結(jié)，即為連心線，根據(jù)⊙與⊙外切于點，推出經(jīng)過點，由求出，即可得到結(jié)論；（2）利用，得到，代入數(shù)值得，計算即可．【詳解】（1）證明：聯(lián)結(jié)，即為連心線，又∵⊙與⊙外切于點，∴經(jīng)過點；∵,∴,∵，∴，∴．（2）∵，∴；∵，，，∴，解得：．【點睛】此題考查兩圓外切的性質(zhì)，平行線的判定定理平行線截線段成比例，熟記兩圓外切的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2021·上海寶山·九年級期中）如圖，已知垂足分別為點、點，與交于點，（1）如果，以點為圓心作圓，圓與直線相切，①求圓的半徑長；②又，以為直徑作圓，試判斷圓與圓的位置關(guān)系，并說明理由：（2）如果分別以為直徑的兩圓外切，求證：與相似．【答案】（1）①；②⊙O與⊙P內(nèi)切，證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）①過點P作PH⊥BC于H．利用平行線分線段成比例定理求出PH，可得結(jié)論．②求出OP的長，即可判斷．（2）設(shè)AB，DC的中點分別為，連接，過點作于E，設(shè)AB=a，DC=b．根據(jù)兩邊成比例夾角相等，證明三角形相似即可．【詳解】解：（1）①如圖，過點P作PH⊥BC于H．∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴AB∥PH∥DC，∴∵AB=3，DC=5，∴∴，∵直線BC與⊙P相切，∴⊙P的半徑為．②結(jié)論：⊙O與⊙P內(nèi)切．理由：設(shè)BC的中點為O，∵BC=8，∴OB=OC=4，由得：∴CH=5，OH=1，∴即∴⊙O與⊙P內(nèi)切．（2）設(shè)AB，DC的中點分別為，以為直徑的兩圓外切，如圖，連接，過點作于E，設(shè)AB=a，DC=b．由題意，在Rt△中，∴，即，∵∠ABC=∠DCB=90°，∴△ABC∽△BCD．【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了切線的判定，圓與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．24．（2019·上海普陀·一模）如圖，⊙和⊙相交于A、B兩點，與AB交于點C，的延長線交⊙于點D，點E為AD的中點，AE=AC，連接．（1）求證：；（2）如果＝10，，求⊙的半徑長．【答案】（1）證明見解析；（2）5.【分析】（1）連接，利用垂徑定理，連心線與公共弦關(guān)系原理，證明△E≌△即可；（2）利用△E∽△CA即可解答．【詳解】（1）⊙和⊙相交于A、B兩點，∴是AB的垂直平分線，∴∠CA=90°，∵E為AD的中點，∴E⊥AD，∴∠EA=90°，∴∠CA=∠EA，如圖,連接∵AE＝AC，A=A∴△E≌△C，∴E＝C.（2）∵E⊥AD，∴∠E＝90°，在Rt△E中，∠E＝90°，＝10，E＝6，∵，∴，∴E＝8，∵∠E＝∠CA＝90°，∠＝∠，∴△E∽△CA，∴,∵＝10，AC＝AE＝E－A＝8－A，E＝6，，∴＝5，即⊙的半徑長為5.故答案為5.【點睛】本題考查圓，圓與圓的位置關(guān)系，三角形的相似，勾股定理，熟記圓垂徑定理，連心線與公共弦的關(guān)系定理，三角形相似判定定理是解題的關(guān)鍵.25．（2021·上海浦東新·模擬預(yù)測）已知：如圖所示，P是∠MAN的邊AN上的一個動點，B是邊AM上的一個定點，以PA為半徑作圓P，交射線AN于點C，過B作直線使∥AN交圓與D、E兩點（點D、點E分別在點B的左側(cè)和右側(cè)），聯(lián)結(jié)CE并延長，交射線AM于點F．聯(lián)結(jié)FP，交DE于G，cos∠BAP=，AB＝5，AP＝x，BE=y，（1）求證：BG＝EG；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）當(dāng)△BEF是以BF為腰的等腰三角形時，求經(jīng)過B、E兩點且半徑為的圓O與圓P的圓心距．【答案】（1）見解析；（2）y＝x﹣3+，定義域是x＞；（3）圓O與圓P的圓心距為或．【分析】（1）證明△FBG∽△FAP，得出比例線段，同理可得△FEG∽△FCP，得出，則可得出結(jié)論；（2）過點P作PK⊥DE于K，過點A作AQ⊥DE于點Q，連接PE，由銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理可求出答案；（3）由等腰三角形的性質(zhì)得出y+5＝2x，解方程求出x＝5，分兩種情況畫出圖形，由勾股定理可求出答案．【詳解】（1）證明：∵BGAP，∴∠FBG=∠FAP，∠FGB=∠FPA，∴△FBG∽△FAP，∴，∵GEPC，∴∠FEG=∠FCP，∠FGE=∠FPC，△FEG∽△FCP，∴，∴，∵AP＝PC，∴BG＝EG；（2）解：過點P作PK⊥DE于K，過點A作AQ⊥DE于點Q，∴∠AQK=∠QKP=90°，∵DEAP，∴AQ⊥AP，∴∠QAP=∠AQK=∠QKP=90°，∴四邊形APKG為矩形，∴PK＝AQ，AP＝QK，∵cos∠BAP＝cos∠ABQ＝，AB＝5，∴BQ＝AB?cos∠ABQ＝×5＝3，∴AQ＝，∴PK＝4，∵AP＝x∴PE=AP=x，∴KE＝，又∵BK＝QK﹣QB＝x﹣3，∴BE＝BK+EG＝，∴y＝，當(dāng)圓P過點B時，點D與點B重合，過B作BH⊥AP于H，∵AQ⊥AP，QBAH，∴∠Q=∠QAH=∠BHA=90°，∴四邊形QAHB為矩形，∴AH=QB=QD=3，AQ=BH=4，在Rt△BHP中，由勾股定理即解得,∴AP＝，∴定義域是x＞；（3）當(dāng)△BEF是以BF為腰的等腰三角形時，連結(jié)OG，直線OG交AC于V，當(dāng)BF=EF時，點D與點B重合，不成立，∴BF＝BE，∴∠BFE=∠FEB，∵BEAC，∴∠ACF=∠BEF，∴∠AFC=∠ACF，∴AF=AC，∴y+5＝2x，∵y＝，∴2x﹣5＝，整理得,兩邊平方得,整理得,∴x＝5，∴BE＝5，∴BG=EG＝，∵圓O的半徑為，在Rt△BOG中，BO=，根據(jù)勾股定理∴OG＝，∴E