6.2.4-向量的數(shù)量積-高一數(shù)學(xué)考點講解練(人教A版2019必修第二冊)

6.2.4向量的數(shù)量積考點講解考點1：平面向量的數(shù)量積運算1．向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則（1）a·e＝e·a＝|a|cosθ.（2）a⊥b?a·b＝0.（3）當(dāng)a與b同向時，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).（4）|a·b|≤|a||b|.2．向量數(shù)量積的運算律（1）a·b＝b·a.（2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c.【例1】（1）已知|a|＝6，|b|＝4，a與b的夾角為60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．（2）如圖，在?ABCD中，|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝4，|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝3，∠DAB＝60°，求：①eq\o(AD,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))；②eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(DA,\s\up14(→)).【解析】(1)(a＋2b)·(a＋3b)＝a·a＋5a·b＋6b·b＝|a|2＋5a·b＋6|b|2＝|a|2＋5|a||b|cos60°＋6|b|2＝62＋5×6×4×cos60°＋6×42＝192.(2)①因為eq\o(AD,\s\up14(→))∥eq\o(BC,\s\up14(→))，且方向相同，所以eq\o(AD,\s\up14(→))與eq\o(BC,\s\up14(→))的夾角是0°，所以eq\o(AD,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))＝|eq\o(AD,\s\up14(→))||eq\o(BC,\s\up14(→))|·cos0°＝3×3×1＝9.②因為eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(AD,\s\up14(→))的夾角為60°，所以eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(DA,\s\up14(→))的夾角為120°，所以eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(DA,\s\up14(→))＝|eq\o(AB,\s\up14(→))||eq\o(DA,\s\up14(→))|·cos120°＝4×3×＝－6.【方法技巧】求平面向量數(shù)量積的步驟（1）求a與b的夾角θ，θ∈[0，π]．（2）分別求|a|和|b|.（3）求數(shù)量積，即a·b＝|a||b|cosθ，要特別注意書寫時a與b之間用實心圓點“·”連接，而不能用“×”連接，也不能省略．【針對訓(xùn)練】1．（1）已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角θ為60°，求：①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)．（2）設(shè)正三角形ABC的邊長為eq\r(,2)，eq\o(AB,\s\up14(→))＝c，eq\o(BC,\s\up14(→))＝a，eq\o(CA,\s\up14(→))＝b，求a·b＋b·c＋c·a.【解析】(1)①a·b＝|a||b|cosθ＝2×3×cos60°＝3.②(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×22＋5×3－3×32＝－4.(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝eq\r(,2)，且a與b，b與c，c與a的夾角均為120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝eq\r(,2)×eq\r(,2)×cos120°×3＝－3.考點2：與向量模有關(guān)的問題【例2】（1）已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________.（2）已知向量a與b夾角為45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝eq\r(10)，求|b|.[思路探究]靈活應(yīng)用a2＝|a|2求向量的模．【解析】（1）|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2·|a|·|2b|·cos60°＋(2|b|)2＝22＋2×2×2×eq\f(1,2)＋22＝4＋4＋4＝12，所以|a＋2b|＝eq\r(12)＝2eq\r(3).](2)[解]因為|2a＋b|＝eq\r(10)，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10.又因為向量a與b的夾角為45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×eq\f(\r(2),2)＋|b|2＝10，整理得|b|2＋2eq\r(2)|b|－6＝0，解得|b|＝eq\r(2)或|b|＝－3eq\r(2)(舍去)．【方法技巧】求向量的模的常見思路及方法求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘記開方．a(chǎn)·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)，此性質(zhì)可用來求向量的模，可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化．一些常見的等式應(yīng)熟記，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．【針對訓(xùn)練】2．若向量a，b的夾角為120°，|a|＝1，|a－2b|＝eq\r(7)，則|b|＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(7),2)C．1D．2【解析】設(shè)向量a，b的夾角為θ，因為|a－2b|2＝|a|2＋4|b|2－4|a||b|cosθ，又θ＝120°，|a|＝1，|a－2b|＝eq\r(7)，所以7＝1＋4|b|2＋2|b|，解得|b|＝－eq\f(3,2)(舍去)或|b|＝1.故選C．考點3：與向量垂直、夾角有關(guān)的問題【例3】（1）已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量，若向量e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角，則k的取值范圍為________．（2）已知非零向量a，b滿足a＋3b與7a－5b互相垂直，a－4b與7a－2b互相垂直，求a與b的夾角．[思路探究](1)兩個向量夾角為銳角等價于這兩個向量數(shù)量積大于0且方向不相同．（2）由互相垂直的兩個向量的數(shù)量積為0列方程，推出|a|與|b|的關(guān)系，再求a與b的夾角．【解析】（1）∵e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(2,1)＋keeq\o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.當(dāng)k＝1時，e1＋ke2＝ke1＋e2，它們的夾角為0°，不符合題意，舍去．綜上，k的取值范圍為k＞0且k≠1.](2)[解]由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3b·7a－5b＝0，,a－4b·7a－2b＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7a2＋16a·b－15b2＝0，①,7a2－30a·b＋8b2＝0，②))②－①得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)b2,|b|2)＝eq\f(1,2).∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,3).【變式探究】1．將本例(1)中的條件“銳角”改為“鈍角”，其他條件不變，求k的取值范圍．【解析】∵e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為鈍角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(2,1)＋keeq\o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，∴k＜0.當(dāng)k＝－1時，e1＋ke2與ke1＋e2方向相反，它們的夾角為π，不符合題意，舍去．綜上，k的取值范圍是k＜0且k≠－1.2．將本例(1)中的條件“銳角”改為“eq\f(π,3)”，求k的值．【解析】由已知得|e1＋ke2|＝eq\r(e\o\al(2,1)＋2ke1·e2＋k2e\o\al(2,2))＝eq\r(1＋k2)，|ke1＋e2|＝eq\r(k2e\o\al(2,1)＋2ke1·e2＋e\o\al(2,2))＝eq\r(k2＋1)，(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(2,1)＋keeq\o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k，則coseq\f(π,3)＝eq\f(e1＋ke2ke1＋e2,|e1＋ke2||ke1＋e2|)＝eq\f(2k,1＋k2)，即eq\f(2k,1＋k2)＝eq\f(1,2)，整理得k2－4k＋1＝0，解得k＝eq\f(4±\r(12),2)＝2±eq\r(3).【方法技巧】1．求向量夾角的方法（1）求出a·b，|a|，|b|，代入公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求解．（2）用同一個量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解．（3）借助向量運算的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求夾角．2．要注意夾角θ的范圍θ∈[0，π]，當(dāng)cosθ＞0時，θ∈；當(dāng)cosθ＜0時，θ∈，當(dāng)cosθ＝0時，θ＝eq\f(π,2).考點過關(guān)一、選擇題1．已知△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，若a·b<0，則△ABC是()A．鈍角三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．任意三角形【解析】由a·b<0易知〈a，b〉為鈍角.故選A2．對于向量a、b、c和實數(shù)λ，下列命題中真命題是()A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0B．若λa＝0，則λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，則a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，則b＝c【解析】A中，若a·b＝0，則a＝0或b＝0或a⊥b，故A錯；C中，若a2＝b2，則|a|＝|b|，C錯；D中，若a·b＝a·c，則可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有選項B正確故選B．3．若向量a與b的夾角為60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則|a|＝()A．2 B．4C．6 D．12【解析】∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72．∴|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝－72．∴|a|2－2|a|－24＝0．又∵|a|≥0，∴|a|＝6．4．已知非零向量a，b滿足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，則a與b的夾角為()A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,2)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)【解析】由題意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，所以cosa，b＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－2a2,4a2)＝－eq\f(1,2)，所以a，b＝eq\f(2π,3)，故選C．5．P是△ABC所在平面上一點，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，則P是△ABC的()A．外心 B．內(nèi)心C．重心 D．垂心【解析】由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))得eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，∴PB⊥CA.同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P為△ABC的垂心.二、填空題6．已知e1、e2是夾角為eq\f(2π,3)的兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，則實數(shù)k的值為____.【解析】由a·b＝0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0．整理，得k－2＋(1－2k)coseq\f(2π,3)＝0，解得k＝eq\f(5,4).7．(2020·全國Ⅰ卷理)設(shè)a，b為單位向量，且|a＋b|＝1，則|a－b|＝____.【解析】因為a，b為單位向量，所以|a|＝|b|＝1，所以|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(|a|2＋2a·b＋|b|2)＝eq\r(2＋2a·b)＝1，解得2a·b＝－1，所以|a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(|a|2－2a·b＋|b|2)＝eq\r(3).8．已知向量a，b，其中|a|＝eq\r(2)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，則|2a－b|＝____.【解析】設(shè)向量b和a的夾角是α，因為|a|＝eq\r(2)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝a2－a·b＝2－a·b＝2－2eq\r(2)cosα＝0，所以cosα＝eq\f(\r(2),2)，所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝8＋4－4×eq\r(2)×2×eq\f(\r(2),2)＝4，故|2a－b|＝2．三、解答題9．已知|a|＝10，|b|＝12，a與b的夾角為120°，求：（1）a·b；（2）(3a)·；（3）(3b－2a)·(4a＋b).【解析】(1)a·b＝|a||b|cosθ＝10×12×cos120°＝－60．(2)(3a)·＝eq\f(3,5)(a·b)＝eq\f(3,5)×(－60)＝－36．(3)(3b－2a)·(4a＋b)＝12b·a＋3b2－8a2－2a·b＝10a·b＋3|b|2－8|a|2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968．10．已知向量a與b的夾角為120°，|a|＝2，|b|＝3，m＝3a－2b，n＝2a＋kb.若m⊥n，求實數(shù)k的值.【解析】因為向量a與b的夾角為120°，|a|＝2，|b|＝3，所以a·b＝|a|·|b|cos120°＝2×3×＝－3．又m⊥n且m＝3a－2b，n＝2a＋kb，所以m·n＝(3a－2b)(2a＋kb)＝6a2＋(3k－4)a·b－2kb2＝0所以6×22＋(3k－4)·(－3)－2k×32＝0，所以k＝eq\f(4,3).11．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．（1）求|a＋b|；（2）求向量a在向量a＋b方向上的投影向量的長度.【解析】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61．∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝eq\r(|a|2＋|b|2＋2a·b)＝eq\r(42＋32＋2×－6)＝eq\r(13).(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a在向量a＋b上的投影向量的長度為eq\f(a·a＋b,|a＋b|)＝eq\f(10,\r(13))＝eq\f(10\r(13),13).12．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，以點A為圓心，r為半徑作圓，如圖所示，其中PQ為圓A的直徑，試判斷P，Q在什么位置時，eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))有最大值.【解析】∵eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(QA,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))，∴eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))＝(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(A