相平面法例題解析相平面法例題詳細步驟解析

相平面法例題解析：要求：1.正確求出對于非線性系統(tǒng)在每個線性區(qū)的相軌跡方程，也就是之間關(guān)系的方程（或）。會畫相軌跡（模型中是給具體數(shù)的）?！P(guān)鍵是確定開關(guān)線方程。2.※※※如果發(fā)生自持振蕩，計算振幅和周期。注意相平面法一般應(yīng)：1）按照信號流向與傳輸關(guān)系。線性部分產(chǎn)生導(dǎo)數(shù)關(guān)系，非線性部分形成不同分區(qū)。連在一起就形成了不同線性分區(qū)對應(yīng)的運動方程，即含有或者的運動方程。2）※※※根據(jù)不同線性分區(qū)對應(yīng)的運動方程的條件方程確定開關(guān)線方程。開關(guān)線方程確定很關(guān)鍵。3）※※※根據(jù)不同線性分區(qū)對應(yīng)的運動方程，利用解析法（分離變量積分法或者消去t法）不同線性分區(qū)對應(yīng)的相軌跡方程，即和之間關(guān)系。4）※根據(jù)不同分區(qū)的初始值繪制出相軌跡，并求出穩(wěn)態(tài)誤差和超調(diào)、以及自持振蕩的周期和振幅等。例2：具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)分析。設(shè)系統(tǒng)開始處于靜止?fàn)顟B(tài)。問題1.用相平面法分析系統(tǒng)在輸入r(t)=4.1(t)時的運動情況。

問題2.如果發(fā)生自持振蕩，求自持振蕩的周期和振幅。解：問題1：1）設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，死區(qū)特性的表達式：2）線性部分：，則運動方程為：3）繪制平面相軌跡圖。因為，，，。代入則（1）當(dāng)，，。代入，則各區(qū)的運動方程由于非線性特性有3個分區(qū)，相平面分為3個線性區(qū)。注意，當(dāng)相平面選好后，輸入代入后，最后代入非線性特性。4）系統(tǒng)開關(guān)線：。5）由題意知初始條件，在II區(qū)，則從初始值出發(fā)繪制相軌跡：【注】：用解析法中的斜率法求：上課時按照此方法求相軌跡方程：II區(qū)：------不是標(biāo)準(zhǔn)線性系統(tǒng)運動方程的形式。根據(jù)斜率方程，則分離變量積分得則之間的相軌跡方程為結(jié)論：II區(qū)以為中心的圓，與右開關(guān)線的交點A（2，-2）I區(qū)：，，水平線，與左開關(guān)線的交點B（-2，-2）III區(qū)：------不是標(biāo)準(zhǔn)線性系統(tǒng)運動方程的形式。根據(jù)斜率方程，則分離變量積分得（注意新的初始值B（-2，-2））則之間的相軌跡方程為結(jié)論：III區(qū)以為中心的圓。以此例推，出現(xiàn)了一個封閉橢圓?！獦O限環(huán)問題2：若相平面中出現(xiàn)了穩(wěn)定的極限環(huán)——對應(yīng)著非線性的自持振蕩。問題：自持振蕩的周期怎么算呢？如圖：這是個橢圓，1）周期：II區(qū)：，這是因為：→，注意，在圖中為負的。I區(qū)：例3：具有繼電器特性的非線性系統(tǒng)分析2006-B(15分)非線性控制系統(tǒng)如圖。問題1：設(shè)，繪制起點在，的相軌跡圖。(10分)問題2：計算相軌跡旋轉(zhuǎn)一周所需時間。(5分)解：問題1：(10分)1）非線性環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)表達式：；2）線性部分：所以描述線性部分的運動方程為：則3）繪制平面相軌跡。，令，，則各區(qū)的運動方程注意：條件方程也要改成的。4）開關(guān)線方程：5）由已知條件，起點，，從II區(qū)開始，下面繪制相軌跡：【注】：用解析法中消去參變量時間t的方法求相軌跡方程：上課時按照此方法求的，以下同。當(dāng)然如果用斜率法求相軌跡方程也可以。不過，這個例子為常數(shù)，消去參變量時間t的方法更適合。Ⅱ區(qū)：，則；；相軌跡為開口向左的拋物線，；在右開關(guān)線處的交點為=1,---(1,-2)Ⅰ區(qū)：，則；；相軌跡為平行橫軸的直線（因為縱坐標(biāo)不變-2，而橫坐標(biāo)雖時間變化）；在左開關(guān)線處的交點為=-1,---(-1,-2)Ⅲ區(qū)：；；----相軌跡為開口向右的拋物線，在開關(guān)線處的交點(-1,2)以此類推，求得如圖的極限環(huán)。注意:每個區(qū)的初始值是不同的。當(dāng)進入II區(qū)時的第一個位置即為II的初始值，每個區(qū)的初始值的求法就是根據(jù)上一個區(qū)的區(qū)域根軌跡方程可以求出進入下一區(qū)的初始值，以此一個個區(qū)經(jīng)過后，會變成一個連續(xù)的曲線軌跡——非線性系統(tǒng)的相軌跡。問題：自持振蕩的周期怎么算呢？幅值怎么算呢？問題2：運動一周所需時間為（因為II區(qū),則，注意，在圖中為負的。）振幅——代表此時的位移，也就是此時與橫軸的交點位置大小——即C點的橫坐標(biāo)。這是因為，對于整個非線性系統(tǒng)的奇點是（0，0）。對于該點，最大的位移就是振幅，因此是C點的橫坐標(biāo)2。注意:并不是所有開關(guān)線都是垂直于橫軸的，開關(guān)線關(guān)鍵要看各個線性區(qū)域的邊界條件。例4：2008年非線性控制系統(tǒng)如下圖所示。圖中。1、以為相變量，寫出相軌跡分區(qū)運動方程（8分）；2、若M=0.5，畫出起始于、的相軌跡（4分）；3、利用相軌跡計算穩(wěn)態(tài)誤差及超調(diào)量（3分）。解：1.1）非線性特性：2）線性部分：（1）注意：線性部分關(guān)鍵是產(chǎn)生的運動方程，但是更關(guān)鍵的是，此運動方程必須能與非線性特性的輸出產(chǎn)生關(guān)系。3）繪制以平面的相軌跡。因此，代入式（1）中，則則即運動方程為因為，則（2）式（2）中代入非線性特性，于是各區(qū)的運動方程：M=0.5，則各區(qū)的運動方程：4）開關(guān)線方程：2.繪制相軌跡：起點為（0，0）在I區(qū)。I區(qū)：，積分分離后則，相軌跡為奇