重難點01 代數(shù)式規(guī)律題與代數(shù)式求值（解析版）-2024中考數(shù)學查缺補漏

重難點01代數(shù)式求值與代數(shù)式規(guī)律題考點一：代數(shù)式求值代數(shù)式核心考點：整式中：同類項與合并同類項、同底數(shù)冪的乘除法計算公式、乘法公式、整式的混合運算等；分式中：分式的意義、分式的基本性質、分式的化簡求值；題型01整式及其運算易錯點01：冪的各公式記背 易錯點02：乘法公式的記背與區(qū)別完全平方公式：首先，需注意公式中ab乘積項的符號與兩數(shù)和或差的一致性；其次，公式也是等式，從右往左也可以應用，故應用時要注意兩平方項符號的一致性，如：特別注意：當完全平方公式未知項為“中間項”時，答案一般會有兩種情況，即正負皆可。平方差公式：平方差公式從左往右應用，只要一項系數(shù)相同，一項系數(shù)互為相反數(shù)即可，不需要都和公式長的一模一樣，而結果特征為符號相同項的平方-符號相反項的平方；如：【中考真題練】1．（2023?黑龍江）下列運算正確的是（）A．2x+3y＝5xy B．（a+b）2＝a2+b2 C．（xy2）3＝x3y6 D．（a5）2÷a7＝a【分析】根據合并同類項的法則、完全平方公式、冪的乘方和積的乘方及同底數(shù)冪的除法進行計算即可作答．【解答】解：A．不能合并同類項，故本選項不符合題意；B．原式＝a2+b2+2ab，故本選項不符合題意；C．原式＝x3y6，故本選項符合題意；D．原式＝a3，故本選項不符合題意；故選：C．2．（2023?南充）關于x，y的方程組的解滿足x+y＝1，則4m÷2n的值是（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】根據方程組①﹣②得，2x+2y＝2m﹣n﹣1，即x+y＝，再根據x+y＝1，得2m﹣n＝3，所以4m÷2n＝22m÷2n＝22m﹣n＝23＝8．【解答】解：∵方程組，∴①﹣②得，2x+2y＝2m﹣n﹣1，∴x+y＝，∵x+y＝1，∴＝1，∴2m﹣n＝3，∴4m÷2n＝22m÷2n＝22m﹣n＝23＝8．故選：D．3．（2023?江西）化簡：（a+1）2﹣a2＝2a+1．【分析】根據完全平方公式將原式展開后合并同類項即可．【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣a2＝2a+1，故答案為：2a+1．4．（2023?涼山州）已知y2﹣my+1是完全平方式，則m的值是±2．【分析】利用完全平方式的意義解答即可．【解答】解：∵y2﹣my+1是完全平方式，y2﹣2y+1＝（y﹣1）2，y2﹣（﹣2）y+1＝（y+1）2，∴﹣m＝﹣2或﹣m＝2，∴m＝±2．故答案為：±2．5．（2023?宿遷）若實數(shù)m滿足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，則（m﹣2023）（2024﹣m）＝﹣1012．【分析】根據a2+b2＝（a+b）2﹣2ab即可得答案．【解答】解：（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，[（m﹣2023）+（2024﹣m）]2﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，1﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，1﹣2025＝2（m﹣2023）（2024﹣m），（m﹣2023）（2024﹣m）＝﹣1012，故答案為：﹣1012．6．（2023?麗水）如圖，分別以a，b，m，n為邊長作正方形，已知m＞n且滿足am﹣bn＝2，an+bm＝4．（1）若a＝3，b＝4，則圖1陰影部分的面積是25；（2）若圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，則圖2陰影部分的面積是．【分析】（1）根據正方形的面積公式列得代數(shù)式，然后代入數(shù)值計算即可；（2）結合已知條件可得a2+b2＝3，利用梯形面積公式可得（m+n）2＝10，然后將題干中的兩個等式分別平方再相加并整理可得（a2+b2）（m2+n2）＝20，繼而求得m2+n2＝，再結合（m+n）2＝10可求得mn＝，根據正方形性質可得圖2中陰影部分是一個直角三角形，利用勾股定理求得其兩直角邊長，再根據三角形面積公式可得其面積為mn＝．【解答】解：（1）由題意可得圖1陰影部分面積為：a2+b2，∵a＝3，b＝4，∴a2+b2＝32+42＝25，故答案為：25；（2）由題意可得a2+b2＝3，圖2中四邊形ABCD是直角梯形，∵AB＝m，CD＝n，它的高為：（m+n），∴（m+n）（m+n）＝5，∴（m+n）2＝10，∵am﹣bn＝2，an+bm＝4，∴將兩式分別平方并整理可得：a2m2﹣2abmn+b2n2＝4①，a2n2+2abmn+b2m2＝16②，①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）＝20，∵a2+b2＝3，∴m2+n2＝，∵（m+n）2＝10，∴（m+n）2﹣（m2+n2）＝10﹣，整理得：2mn＝，即mn＝，∵圖2中陰影部分的三角形的其中兩邊是兩正方形的對角線，∴這兩邊構成的角為：45°+45°＝90°，那么陰影部分的三角形為直角三角形，其兩直角邊的長分別為：＝m，＝n，故陰影部分的面積為：×m×n＝mn＝，故答案為：．7．（2023?西寧）計算：（2a﹣3）2﹣（a+5）（a﹣5）．【分析】利用完全平方公式和平方差公式解答即可．【解答】解：（2a﹣3）2﹣（a+5）（a﹣5）＝（4a2﹣12a+9）﹣（a2﹣25）＝4a2﹣12a+9﹣a2+25＝3a2﹣12a+34．8．（2023?河北）現(xiàn)有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長如圖所示（a＞1）．某同學分別用6張卡片拼出了兩個矩形（不重疊無縫隙），如表2和表3，其面積分別為S1，S2．表2表3（1）請用含a的式子分別表示S1，S2，當a＝2時，求S1+S2的值；（2）比較S1與S2的大小，并說明理由．【分析】（1）根據圖形，利用長方形的面積公式計算即可；（2）利用作差法比較即可．【解答】解：（1）由圖可知S1＝（a+2）（a+1）＝a2+3a+2，S2＝（5a+1）×1＝5a+1，當a＝2時，S1+S2＝4+6+2+10+1＝23；（2）S1＞S2，理由：∵S1﹣S2＝a2+3a+2﹣5a﹣1＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，又∵a＞1，∴（a﹣1）2＞0，∴S1＞S2．【中考模擬練】1．（2024?天河區(qū)校級一模）下列計算，正確的是（）A．a2?a3＝a6 B．a2+a2＝2a4 C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．（a﹣1）2＝a2﹣1【分析】根據同底數(shù)冪相乘，合并同類項，冪的乘方，完全平方公式，逐項判斷即可求解．【解答】解：A、a2?a3＝a5，故本選項錯誤，不符合題意；B、a2+a2＝2a2，故本選項錯誤，不符合題意；C、（﹣a2）3＝﹣a6，故本選項正確，符合題意；D、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故本選項錯誤，不符合題意；故選：C．2．（2024?惠州模擬）在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a＞b）（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證等式（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣ab﹣2b2【分析】第一個圖形中陰影部分的面積計算方法是邊長是a的正方形的面積減去邊長是b的小正方形的面積，等于a2﹣b2；第二個圖形陰影部分是一個長是（a+b），寬是（a﹣b）的長方形，面積是（a+b）（a﹣b）；這兩個圖形的陰影部分的面積相等．【解答】解：∵圖甲中陰影部分的面積＝a2﹣b2，圖乙中陰影部分的面積＝（a+b）（a﹣b），而兩個圖形中陰影部分的面積相等，∴陰影部分的面積＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：C．3．（2023秋?涼山州期末）已知x+y﹣3＝0，則2y?2x的值是（）A．6 B．﹣6 C． D．8【分析】根據同底數(shù)冪的乘法求解即可．【解答】解：∵x+y﹣3＝0，∴x+y＝3，∴2y?2x＝2x+y＝23＝8，故選：D．4．（2024?邗江區(qū)校級一模）已知a﹣2b＝8，則代數(shù)式a2﹣4ab+4b2的值為64．【分析】將代數(shù)式a2﹣4ab+4b2因式分解，然后根據a﹣2b＝8，即可解答本題．【解答】解：∵a﹣2b＝8，∴a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2＝82＝64，故答案為：64．5．（2024?長安區(qū)一模）規(guī)定一種新運算：a☆b＝ab+a﹣b，如2☆3＝2×3+2﹣3＝5．（1）計算：（3a）☆5＝18a﹣5；（2）如果2☆（2x﹣3）＝3x2﹣2，則x的值為1或．【分析】（1）按照定義的新運算進行計算，即可解答；（2）按照定義的新運算可得：2（2x﹣3）+2﹣（2x﹣3）＝3x2﹣2，從而整理得：3x2﹣2x﹣1＝0，然后按照解一元二次方程﹣因式分解法進行計算即可解答．【解答】解：（1）由題意得：（3a）☆5＝3a?5+3a﹣5＝15a+3a﹣5＝18a﹣5，故答案為：18a﹣5；（2）∵2☆（2x﹣3）＝3x2﹣2，∴2（2x﹣3）+2﹣（2x﹣3）＝3x2﹣2，整理得：3x2﹣2x﹣1＝0，（x﹣1）（3x+1）＝0，x﹣1＝0或3x+1＝0，x＝1或x＝﹣，故答案為：1或﹣．6．（2024?南崗區(qū)校級一模）閱讀材料：若x滿足（6﹣x）（x﹣4）＝﹣3，求（6﹣x）2+（x﹣4）2的值．解：設（6﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，則（6﹣x）（x﹣4）＝ab＝﹣3，a+b＝（6﹣x）+（x﹣4）＝2．所以（6﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．帶仿照上例解決下面問題：若x滿足（20﹣x）（x﹣10）＝﹣5，則（20﹣x）2+（x﹣10）2的值是110．【分析】仿照閱讀材料，設20﹣x＝a，x﹣10＝b，則a+b＝20﹣x+x﹣10＝10，ab＝﹣5，可得（20﹣x）2+（x﹣10）2＝（a+b）2﹣2ab，代入可得答案．【解答】解：設20﹣x＝a，x﹣10＝b，則a+b＝20﹣x+x﹣10＝10，ab＝﹣5，∴（20﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣5）＝100+10＝110；故答案為：110．7．（2024?南京模擬）如圖，點C是線段AB上的一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設AB＝9，兩正方形的面積和S1+S2＝51，則圖中陰影部分面積為．【分析】設AC＝m，CF＝n，可得m+n＝9，m2+n2＝51，求出mn即可．【解答】解：設AC＝m，CF＝n，∵AB＝9，∴m+n＝9，又∵S1+S2＝51，∴m2+n2＝51，由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴92＝51+2mn，∴mn＝15，∴S陰影部分＝mn＝，即：陰影部分的面積為．故答案為：．8．（2024?重慶模擬）要使（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）展開式中不含x2項和x3項，則a﹣b＝11．【分析】利用多項式乘多項式法則先計算（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b），再根據積的展開式中不含x2項和x3項求出a、b的值，最后計算a﹣b．【解答】解：（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）＝2x4﹣x3+bx2﹣2ax3+ax2﹣abx+12x2﹣6x+6b＝2x4﹣（2a+1）x3+（a+b+12）x2﹣（ab+6）x+6b．∵（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）展開式中不含x2項和x3項，∴﹣（2a+1）＝0，且a+b+12＝0．∴a＝﹣，b＝﹣．∴a﹣b＝﹣﹣（﹣）＝﹣+＝11．故答案為：11．9．（2024?鄲城縣二模）（1）計算：；（2）化簡：（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x﹣y）2．【分析】（1）根據二次根式的性質、絕對值的性質和負整數(shù)指數(shù)冪的性質，先算乘方、開方和去掉絕對值符號，再算加減即可；（2）根據平方差公式和完全平方公式計算乘方和乘法，最后合并同類項即可．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝4x2﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2＝4x2﹣4x2+4xy﹣y2﹣y2＝4xy﹣2y2．10．（2024?文水縣一模）請閱讀下面材料，并完成相應的任務，妙用平方差公式解決問題學完平方差公式后，王老師展示了以下例題：例計算+觀察算式發(fā)現(xiàn)：如果將乘這時可以連續(xù)運用平方差公式進行計算，為使等式恒成立，需將式子整體再乘2．解：原式＝＝＝＝＝＝2﹣+＝2．以上計算的關鍵是將原式進行適當?shù)淖冃魏?，運用平方差公式解決問題．計算符合算理，過程簡潔．這種變形來源于認真觀察（發(fā)現(xiàn)特點）、大膽猜想（運用公式）、嚴格推理（恒等變形）．學習數(shù)學要重視觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程．任務：（1）請仿照上述方法計算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）+1；（2）請認真觀察，計算：．【分析】（1）仿照題中給出的方法計算即可；（2）根據平方差公式分別計算，再根據有理數(shù)的乘法法則計算即可．【解答】解：（1）2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）+1＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）+1＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）+1＝（34﹣1）（34+1）（38+1）+1＝（38﹣1）（38+1）+1＝316﹣1+1＝316；（2）＝＝＝＝．題型02分式及其化簡計算 易錯點01：分式的判斷只需要確定分母中含有未知數(shù)即可，不需要看化簡后的結果；易錯點02：分式的值為0時，必須同步保證分母是有意義的，也就是分母不等于0，否則分式無意義；解題大招01：若，則A、B同號；若，則A、B異號；解題大招02：分式的化簡求值問題中，加減通分，乘除約分，結果最簡，喜歡的數(shù)既要方便計算，又盡可能大點；【中考真題練】1．（2023?赤峰）化簡+x﹣2的結果是（）A．1 B． C． D．【分析】利用分式的加法法則進行計算即可．【解答】解：原式＝+＝＝，故選：D．2．（2023?河北）化簡的結果是（）A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6【分析】先根據分式的乘方法則計算，再根據分式的乘法法則計算．【解答】解：x3（）2＝x3?＝xy6，故選：A．3．（2023?涼山州）分式的值為0，則x的值是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1【分析】根據分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零列式計算．【解答】解：∵分式的值為0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故選：A．4．（2023?北京）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是x≠2．【分析】根據分式的分母不為零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案為：x≠2．5．（2023?寧夏）計算：+＝．【分析】利用同分母分式的加法法則運算即可．【解答】解：原式＝＝．故答案為：．6．（2023?福建）已知+＝1，且a≠﹣b，則的值為1．【分析】根據+＝1，可得ab＝2a+b，再代入即可求出答案．【解答】解：∵+＝1，∴+＝＝1，∴ab＝2a+b，∴＝＝＝1．故答案為：1．7．（2023?大慶）若x滿足（x﹣2）x+1＝1，則整數(shù)x的值為﹣1或3或1．【分析】根據零指數(shù)冪可得x+1＝0，根據有理數(shù)的乘方可得x﹣2＝1；x﹣2＝﹣1，x+1為偶數(shù)，再解即可．【解答】解：由題意得：①x+1＝0，解得：x＝﹣1；②x﹣2＝1，解得：x＝3；③x﹣2＝﹣1，x+1為偶數(shù)，解得：x＝1，故答案為：﹣1或3或1．8．（2023?大連）計算：（+）÷．【分析】先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后進行計算即可解答．【解答】解：原式＝[+]?＝?＝．9．（2023?丹東）先化簡，再求值：，其中．【分析】先算括號內的，把除化為乘，化簡后將x的值代入計算即可．【解答】解：原式＝[﹣]×＝（﹣）×＝×＝；∵x＝（）﹣1+（﹣3）0＝2+1＝3，∴原式＝＝1．10．（2023?宜昌）先化簡，再求值：+3，其中a＝﹣3．【分析】根據分式的除法法則把原式化簡，把a的值代入計算即可．【解答】解：原式＝?+3＝?+3＝a+3，當a＝﹣3時，原式＝﹣3+3＝．11．（2023?廣安）先化簡（﹣a+1）÷，再從不等式﹣2＜a＜3中選擇一個適當?shù)恼麛?shù)，代入求值．【分析】根據分式的混合運算法則把原式化簡，根據分式有意義的條件確定a的值，代入計算即可．【解答】解：（﹣a+1）÷＝?＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合題意．當a＝0時，原式＝＝﹣1．【中考模擬練】1．（2024?珠海校級一模）下列計算正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據分式的加減法運算法則進行計算即可求解．【解答】解：，故A錯誤，不符合題意；，故B錯誤，不符合題意；，故C錯誤，不符合題意；，故D正確，符合題意；故選：D．2．（2024?綿陽模擬）如果a＝﹣3﹣2，b＝，c＝，那么a，b，c三數(shù)的大小為（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】利用負整式指數(shù)冪的性質、零次冪的性質分別進行計算即可．【解答】解：a＝﹣3﹣2＝﹣，b＝＝9；c＝＝1，∵﹣＜1＜9，∴a＜c＜b，故選：A．3．（2024?運城模擬）化簡的結果是（）A． B． C． D．1【分析】根據分式的加減法運算法則和順序計算即可．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝1，故選：D．4．（2024?蘭山區(qū)校級模擬）若x﹣y＝3xy，則的值是（）A．﹣3 B．3 C． D．【分析】先利用異分母分式加減法法則化簡要求值代數(shù)式，再整體代入得結論．【解答】解：∵﹣＝﹣＝＝﹣．當x﹣y＝3xy時，原式＝﹣＝﹣3．故選：A．5．（2024?湖州一模）若分式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是x≠5．【分析】根據分式有意義的條件，分母不等于零即可求解．【解答】解：由題意得：x﹣5≠0，解得：x≠5．故答案為：x≠5．6．（2024?西城區(qū)校級一模）如果分式的值為0，則x的值是0．【分析】根據分式值為零的條件列式計算即可．【解答】解：由題意得，x（x﹣2）＝0，x﹣2≠0，解得，x＝0，故答案為：0．7．（2024?新疆模擬）當a＝﹣2時，代數(shù)式的值為0．【分析】先根據分式的加減法把原式進行化簡，再把a＝﹣2代入求值即可．【解答】解：原式＝＝＝﹣a﹣2，當a＝﹣2時，原式＝2﹣2＝0．故答案為：0．8．（2024?鳳翔區(qū)一模）化簡：．【分析】先通分算括號內的，把除化為乘，再約分即可．【解答】解：原式＝＝＝2a﹣4．9．（2024?綿陽模擬）（1）計算：；（2）先化簡，再求值：，其中．【分析】（1）先化簡，然后計算加減法即可；（2）先通分括號內的式子，再算括號外的除法，然后將m的值代入化簡后的式子計算即可．【解答】解：（1）＝2﹣1﹣++1﹣＝2；（2）＝÷＝?＝＝，當時，原式＝＝+1．10．（2024?天河區(qū)校級一模）先化簡，然后從﹣1，0，1，2中選取一個合適的數(shù)作為x的值代入求值．【分析】先根據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再選取合適的x的代入進行計算即可．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝?＝?＝?＝﹣，∵x+1≠0，x﹣2≠0，∴x≠﹣1，x≠2，∴當x＝0時，原式＝﹣＝1．11．（2024?興慶區(qū)校級一模）在數(shù)學課上，老師出了一道題，讓甲、乙、丙、丁四位同學進行“接力游戲”規(guī)則如下：每位同學可以完成化簡分式的一步變形，即前一位同學完成一步后，后一個同學接著前一個同學的步驟進行下一步化簡變形，直至將該分式化簡完畢．請根據如表的“接力游戲”回答問題：接力游戲老師：化簡：甲同學：原式＝乙同學：＝丙同學：＝丁同學：＝．任務一：①在“接力游戲”中，丁同學是依據C進行變形的．A．等式的基本性質B．不等式的基本性質C．分式的基本性質D．乘法分配律②在“接力游戲”中，從乙同學開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是去括號時，括號前面是負號，沒有將括號內的每一項都變號．任務二：請你寫出該分式化簡的正確結果﹣．【分析】①利用分式的相應的運算法則進行分析即可；②利用分式的運算法則進行分析即可．【解答】解：①丁同學是依據是分式的基本性質進行變形的．故選：C；故答案為：C；②從乙同學開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是：去括號時，括號前面是負號，沒有將括號內的每一項都變號；故答案為：乙；去括號時，括號前面是負號，沒有將括號內的每一項都變號；任務二：原式＝＝?＝?＝﹣．故答案為：﹣．題型03利用整體思想解決代數(shù)式求值問題代數(shù)式求值問題常用處理辦法：①變形已知條件，使其符合待求式中含字母部分的最簡組合形式②將待求式變形，使其成為含有上面最簡組合式的表達式，③代入未知最簡組合形式部分的值，求出最后結果；【中考真題練】1．（2023?巴中）若x滿足x2+3x﹣5＝0，則代數(shù)式2x2+6x﹣3的值為（）A．5 B．7 C．10 D．﹣13【分析】首先將已知條件轉化為x2+3x＝5，再利用提取公因式將2x2+6x﹣3轉化為2（x2+3x）﹣3，然后整體代入即可得出答案．【解答】解：∵x2+3x﹣5＝0，∴x2+3x＝5，∴2x2+6x﹣3＝2（x2+3x）﹣3＝2×5﹣3＝7．故選：B．2．（2023?南通）若a2﹣4a﹣12＝0，則2a2﹣8a﹣8的值為（）A．24 B．20 C．18 D．16【分析】由已知條件可得a2﹣4a＝12，然后將2a2﹣8a﹣8變形后代入數(shù)值計算即可．【解答】解：∵a2﹣4a﹣12＝0，∴a2﹣4a＝12，∴2a2﹣8a﹣8＝2（a2﹣4a）﹣8＝2×12﹣8＝24﹣8＝16，故選：D．3．（2023?泰州）若2a﹣b+3＝0，則2（2a+b）﹣4b的值為﹣6．【分析】直接利用整式的加減運算法則化簡，進而把已知代入得出答案．【解答】解：2（2a+b）﹣4b＝4a+2b﹣4b＝4a﹣2b＝2（2a﹣b），∵2a﹣b+3＝0，∴2a﹣b＝﹣3，∴原式＝2×（﹣3）＝﹣6．故答案為：﹣6．4．（2023?寧夏）如圖是某種桿秤．在秤桿的點A處固定提紐，點B處掛秤盤，點C為0刻度點．當秤盤不放物品時，提起提紐，秤砣所掛位置移動到點C，秤桿處于平衡．秤盤放入x克物品后移動秤砣，當秤砣所掛位置與提紐的距離為y毫米時秤桿處于平衡．測得x與y的幾組對應數(shù)據如下表：x/克024610y/毫米1014182230由表中數(shù)據的規(guī)律可知，當x＝20克時，y＝50毫米．【分析】觀察列表中數(shù)據可知當放入x克物品時，秤砣所掛位置與提紐的距離為（10+2x）毫米，把x＝20代入求值即可．【解答】解：由題可得當放入0克物品時，秤砣所掛位置與提紐的距離為10毫米，當放入2克物品時，秤砣所掛位置與提紐的距離為10+2×2＝14（毫米），當放入4克物品時，秤砣所掛位置與提紐的距離為10+2×4＝18（毫米），當放入6克物品時，秤砣所掛位置與提紐的距離為10+2×6＝22（毫米），當放入8克物品時，秤砣所掛位置與提紐的距離為10+2×8＝26（毫米），當放入10克物品時，秤砣所掛位置與提紐的距離為10+2×10＝22（毫米），……所以當放入x克物品時，秤砣所掛位置與提紐的距離為（10+2x）毫米，當放入x＝20克物品時，秤砣所掛位置與提紐的距離為10+2×20＝50（毫米），故答案為：50．5．（2023?赤峰）已知2a2﹣a﹣3＝0，則（2a+3）（2a﹣3）+（2a﹣1）2的值是（）A．6 B．﹣5 C．﹣3 D．4【分析】分別利用平方差公式和完全平方公式將括號去掉，再合并同類項并利用已知條件即可解答．【解答】解：原式＝（2a）2﹣32+（2a）2﹣4a+1＝2×（2a）2﹣4a﹣32+1＝8a2﹣4a﹣9+1＝8a2﹣4a﹣8＝4（2a2﹣a）﹣8．∵2a2﹣a﹣3＝0，∴2a2﹣a＝3，∴4（2a2﹣a）﹣8＝4×3﹣8＝4．故選：D．6．（2023?福建）已知+＝1，且a≠﹣b，則的值為1．【分析】根據+＝1，可得ab＝2a+b，再代入即可求出答案．【解答】解：∵+＝1，∴+＝＝1，∴ab＝2a+b，∴＝＝＝1．故答案為：1．7．（2023?北京）已知x+2y﹣1＝0，求代數(shù)式的值．【分析】根據已知可得x+2y＝1，然后利用分式的基本性質化簡分式，再把x+2y＝1代入化簡后的式子進行計算即可解答．【解答】解：∵x+2y﹣1＝0，∴x+2y＝1，∴＝＝＝＝2，∴的值為2．8．（2023?成都）若3ab﹣3b2﹣2＝0，則代數(shù)式（1﹣）÷的值為．【分析】先根據分式的減法法則進行計算，再根據分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：（1﹣）÷＝?＝?＝b（a﹣b）＝ab﹣b2，∵3ab﹣3b2﹣2＝0，∴3ab﹣3b2＝2，∴ab﹣b2＝，∴原式＝．故答案為：．9．（2023?菏澤）先化簡，再求值：（+）÷，其中x，y滿足2x+y﹣3＝0．【分析】利用分式的相應的法則對式子進行化簡，再代入相應的值運算即可．【解答】解：（+）÷＝＝＝2（2x+y），∵2x+y﹣3＝0，∴2x+y＝3，∴原式＝2×3＝6．【中考模擬練】1．（2023?香洲區(qū)一模）已知2a+3b＝4，則整式﹣4a﹣6b+1的值是（）A．5 B．3 C．﹣7 D．﹣10【分析】根據相反數(shù)的定義得：﹣2a﹣3b＝﹣4，首先化簡﹣4a﹣6b+1，然后把﹣2a﹣3b＝﹣4代入化簡后的算式，求出算式的值是多少即可．【解答】解：∵2a+3b＝4，∴﹣2a﹣3b＝﹣4，∴﹣4a﹣6b+1＝2（﹣2a﹣3b）+1＝﹣8+1＝﹣7，故選：C．2．（2023?巴中）若x滿足x2+3x﹣5＝0，則代數(shù)式2x2+6x﹣3的值為（）A．5 B．7 C．10 D．﹣13【分析】首先將已知條件轉化為x2+3x＝5，再利用提取公因式將2x2+6x﹣3轉化為2（x2+3x）﹣3，然后整體代入即可得出答案．【解答】解：∵x2+3x﹣5＝0，∴x2+3x＝5，∴2x2+6x﹣3＝2（x2+3x）﹣3＝2×5﹣3＝7．故選：B．3．（2023?姑蘇區(qū)校級二模）若a2﹣3a+2＝0，則1+6a﹣2a2＝（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3【分析】由題意知a2﹣3a＝﹣2，根據1+6a﹣2a2＝﹣2（a2﹣3a）+1，計算求解即可．【解答】解：由題意知a2﹣3a＝﹣2，∴1+6a﹣2a2＝﹣2（a2﹣3a）+1＝﹣2×（﹣2）+1＝5，故選：A．4．（2023?龍江縣四模）代數(shù)式3x2﹣4x﹣5的值為7，則x2﹣x﹣5的值為（）A．4 B．﹣1 C．﹣5 D．7【分析】根據題意列出等式，變形后求出x2﹣x的值，代入原式計算即可得到結果．【解答】解：∵3x2﹣4x﹣5的值為7，3x2﹣4x＝12，代入x2﹣x﹣5，得（3x2﹣4x）﹣5＝4﹣5＝﹣1．故選：B．5．（2024?蘭山區(qū)校級模擬）若x﹣y＝3xy，則的值是（）A．﹣3 B．3 C． D．【分析】先利用異分母分式加減法法則化簡要求值代數(shù)式，再整體代入得結論．【解答】解：∵﹣＝﹣＝＝﹣．當x﹣y＝3xy時，原式＝﹣＝﹣3．故選：A．6．（2024?漢川市模擬）已知x2﹣x﹣6＝0，則的值是（）A． B． C． D．1【分析】先把已知條件變形為x2﹣x＝6，再將分式變形為，整體代入計算即可．【解答】解：∵x2﹣x﹣6＝0，∴x2﹣x＝6，∴＝＝＝＝，故選：B．7．（2024?潼南區(qū)一模）當x＝1時，ax3+bx+3＝5；則當x＝﹣2時，則多項式ax2﹣2bx﹣2的值為6．【分析】根據x＝1時，ax3+bx+3＝5可得a+b＝2，然后將x＝﹣2代入ax2﹣2bx﹣2中，可得結果．【解答】解：∵x＝1時，ax3+bx+3＝5，即a+b＝2，當x＝﹣2時，ax2﹣2bx﹣2＝4a+4b﹣2＝4（a+b）﹣2＝4×2﹣2＝6，故答案為：6．8．（2024?咸安區(qū)模擬）已知x2﹣2x﹣2＝0，代數(shù)式（x﹣1）2+2021＝2024．【分析】將已知條件利用完全平方公式整理得（x﹣1）2＝3，將其代入（x﹣1）2+2021中計算即可．【解答】解：∵x2﹣2x﹣2＝0，∴x2﹣2x+1﹣3＝0，∴（x﹣1）2＝3，∴（x﹣1）2+2021＝3+2021＝2024，故答案為：2024．9．（2024?安溪縣模擬）已知，且x≠y，則的值為3．【分析】先將已知條件化為3y﹣2x＝xy，再代入中化為，即可求值．【解答】解：∵，∴3y﹣2x＝xy，∴＝＝＝＝＝＝3，故答案為：3．10．（2024?武侯區(qū)校級一模）若2x2+2xy﹣5＝0，則代數(shù)式的值為．【分析】根據分式的加法法則、除法法則把原式化簡，整體代入計算即可．【解答】解：原代數(shù)式＝（+）?＝?＝x（x+y）＝x2+xy，∵2x2+2xy﹣5＝0，∴2x2+2xy＝5，∴x2+xy＝，則原式＝，故答案為：．11．（2024?東阿縣模擬）已知：m+＝5，則m2+＝23．【分析】將m+＝5代入m2+＝（m+）2﹣2，計算可得．【解答】解：當m+＝5時，m2+＝（m+）2﹣2＝52﹣2＝25﹣2＝23，故答案為：23．12．（2023?河源一模）已知m2﹣4m+1＝0，則代數(shù)式值＝14．【分析】由m2﹣4m+1＝0得出m﹣4+＝0，即m+＝4，再兩邊平方，進一步求解即可．【解答】解：∵m2﹣4m+1＝0，∴m﹣4+＝0，則m+＝4，∴（m+）2＝16，∴m2+2+＝16，∴m2+＝14，故答案為：14．13．（2024?東城區(qū)校級模擬）已知a2+a﹣2＝0，求代數(shù)式的值．【分析】先根據分式的減法法則進行計算，再根據分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：＝＝＝＝，∵a2+a﹣2＝0，∴a2+a＝2，∴原式＝．考點二：代數(shù)式規(guī)律題題型01數(shù)字變化類規(guī)律題解題大招01：周期型規(guī)律題常見處理辦法：①.找出第一周期的幾個數(shù)，確定周期數(shù)②.算出題目中的總數(shù)和待求數(shù)③.用總數(shù)÷周期數(shù)=m……n（表示這列數(shù)中有m個整周期，最后余n個）④.最后余幾，待求數(shù)就和每周期的第幾個一樣；解題大招02：推理型規(guī)律題常見處理辦法：①依題意推出前3~4項規(guī)律的表達式；②類推第N項表達式【中考真題練】1．（2023?牡丹江）觀察下面兩行數(shù)：1，5，11，19，29，…；1，3，6，10，15，…．取每行數(shù)的第7個數(shù)，計算這兩個數(shù)的和是（）A．92 B．87 C．83 D．78【分析】觀察第2行數(shù)可知第n個數(shù)為1+2+3+…+n，第一行數(shù)的第n個數(shù)為第2行第n個數(shù)的2倍減1，即可求出每行數(shù)的第7個數(shù)，從而得到答案．【解答】解：觀察第2行數(shù)可知，第7個數(shù)為：1+2+3+4+5+6+7＝28，第1行的第7個數(shù)為28×2﹣1＝55，∵28+55＝83，∴取每行數(shù)的第7個數(shù)，這兩個數(shù)的和是83；故選：C．2．（2023?常德）觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分數(shù)若排在第a行b列，則a﹣b的值為（）A．2003 B．2004 C．2022 D．2023【分析】觀察數(shù)表得到a，b的值，即可求出答案．【解答】解：觀察數(shù)表可得，同一行的分數(shù)，分子與分母的和不變，（m，n為正整數(shù)）在第（m+n﹣1）行，第n列，∴在第2042行，第20列，∴a＝2042，b＝20，∴a﹣b＝2042﹣20＝2022，故選：C．3．（2023?臨沂）觀察下列式子：1×3+1＝22；2×4+1＝32；3×5+1＝42；…按照上述規(guī)律，（n﹣1）（n+1）+1＝n2．【分析】根據數(shù)字的變化規(guī)律，寫出第（n﹣1）個等式即可．【解答】解：觀察下列式子：1×3+1＝22；2×4+1＝32；3×5+1＝42；…；按照上述規(guī)律，（n﹣1）（n+1）+1＝n2．故答案為：（n﹣1）（n+1）+1．4．（2023?內蒙古）觀察下列各式：S1＝＝1+，S2＝＝1+，S3＝＝1+…請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算：S1+S2+…+S50＝50．【分析】由題干中的式子總結規(guī)律，然后利用裂項法進行計算即可．【解答】解：S1+S2+…+S50＝1++1++1++...+1+＝（1+1+1+...+1）+（+++...+）＝1×50+（1﹣+﹣+﹣+...+﹣）＝50+（1﹣）＝50+＝50，故答案為：50．5．（2023?恩施州）觀察下列兩行數(shù)，探究第②行數(shù)與第①行數(shù)的關系：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…①0，7，﹣4，21，﹣26，71，…②根據你的發(fā)現(xiàn)，完成填空：第①行數(shù)的第10個數(shù)為（﹣2）10；取每行數(shù)的第2023個數(shù)，則這兩個數(shù)的和為﹣22024+2024．【分析】觀察可得，第①行數(shù)的第n個數(shù)為（﹣2）n，第②行數(shù)的第n個數(shù)為（﹣2）n+（n+1），即可得到答案．【解答】解：觀察數(shù)列可得，第①行數(shù)的第10個數(shù)為（﹣2）10，第①行數(shù)的第2023個數(shù)為（﹣2）2023，第②行數(shù)的第2023個數(shù)為（﹣2）2023+2024，∵（﹣2）2023+（﹣2）2023+2024＝﹣22024+2024，∴取每行數(shù)的第2023個數(shù)，這兩個數(shù)的和為﹣22024+2024．故答案為：（﹣2）10，﹣22024+2024．6．（2023?聊城）如圖，圖中數(shù)字是從1開始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣．從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個數(shù)字提取出來組成有序數(shù)對：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果單獨把每個數(shù)對中的第一個或第二個數(shù)字按順序排列起來研究，就會發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律．請寫出第n個數(shù)對：（n2+n+1，n2+2n+2）．【分析】根據題意把每一個數(shù)對中的第一個數(shù)字和第二個數(shù)字按順序排列起來，可發(fā)現(xiàn)第n個數(shù)對的第一個數(shù)為n（n+1）+1，“第n個數(shù)對的第二個數(shù)為（n+1）2+1，于是得到結論．【解答】解：每個數(shù)對的第一個數(shù)分別為3，7，13，21，31，．．．，即1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，5×6+1，..．，則第n個數(shù)對的第一個數(shù)為n2+n+1，每個數(shù)對的第二個數(shù)分別為5，10，17，26，37，..．，即22+1，32+1，42+1，52+1，．．．，則第n個數(shù)對的第二個數(shù)為（n+1）2+1＝n2+2n+2，∴第n個數(shù)對為（n2+n+1，n2+2n+2）．故答案為：（n2+n+1，n2+2n+2）．7．（2023?浙江）觀察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…（1）寫出192﹣172的結果；（2）按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）；（3）請運用有關知識，推理說明這個結論是正確的．【分析】（1）根據題目中的例子，可以寫出192﹣172的結果；（2）根據題目中給出的式子，可以得到（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）將（2）中等號左邊的式子利用平方差公式計算即可．【解答】解：（1）∵17＝2×9﹣1，∴192﹣172＝8×9＝72；（2）由題意可得，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n，∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正確．【中考模擬練】1．（2024?官渡區(qū)校級模擬）按一定規(guī)律排列的式子：a，2a3，4a5，8a7，16a9，…，則第2024個式子為（）A．22023a2025 B．（22024﹣1）a4047 C．22023a4047 D．22024a4049【分析】由題目可得式子的一般性規(guī)律：第n個式子為：2n﹣1?a2n﹣1，當n＝2024時，第2024個式子為：22023?a4047，即可得出答案．【解答】解：式子的系數(shù)為1，2，4，8，16，?，則第n個式子的系數(shù)為：2n﹣1；式子的指數(shù)為1，3，5，7，9，?，則第n個式子的指數(shù)為：2n﹣1，∴第n個式子為：2n﹣1?a2n﹣1，當n＝2024時，第2024個式子為：22023?a4047，故選：C．2．（2024?渝中區(qū)校級模擬）有一列數(shù){﹣1，﹣2，﹣3，﹣4}，將這列數(shù)中的每個數(shù)求其相反數(shù)得到{1，2，3，4}，再分別求與1的和的倒數(shù)，得到，設為{a1，a2，a3，a4}，稱這為一次操作，第二次操作是將{a1，a2，a3，a4}再進行上述操作，得到{a5，a6，a7，a8}；第三次將{a5，a6，a7，a8}重復上述操作，得到{a9，a10，a11，a12}…以此類推，得出下列說法中，正確的有（）個．①a5＝2，，，，②a10＝﹣2，③a2015＝3，④．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據所給的操作方式，求出前面的數(shù)，再分析得出規(guī)律，再進行分析即可．【解答】解：∵{a1，a2，a3，a4}對應為{，，，}，∴a5＝2，，，，故①說法正確；a9＝﹣1，a10＝﹣2，a11＝﹣3，a12＝﹣4，∴經過兩次操作后，所給的數(shù)重復出現(xiàn)，即每12個數(shù)為一組，∵2015÷12＝167……11，∴a2015＝﹣3，故③說法錯誤；②說法正確；∵a1+a2+a3+…+a12＝﹣，∴a1+a2+a3+…+a49+a50＝4×（﹣）+＝﹣＝﹣，故④說法錯誤．故正確的說法有1個．故選：C．3．（2024?南崗區(qū)校級一模）小王利用計算機設計了一個計算程序，輸入和輸出的數(shù)據如表：輸入…12345…輸出……那么，當輸入數(shù)據為8時，輸出的數(shù)據為（）A． B． C． D．【分析】由表格中的數(shù)據可知，輸入的數(shù)據與輸入的數(shù)據的分子相同，分母是分子的平方加1，從而可以解答本題．【解答】解：∵由表格可知，輸入的數(shù)據與輸出的數(shù)據的分子相同，而輸出數(shù)據的分母正好是分子的平方加1，∴當輸入數(shù)據為8時，輸出的數(shù)據為：＝．故選項A錯誤，選項B錯誤，選項C正確，項D錯誤．故選：C．4．（2024?東興區(qū)一模）對于每個正整數(shù)n，設f（n）表示n×（n+1）的末位數(shù)字．例如：f（1）＝2（1×2末位數(shù)字），f（2）＝6（2×3的末位數(shù)字），f（3）＝2（3×4的末位數(shù)字）…，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2023）的值是（）A．4020 B．4030 C．4040 D．4050【分析】根據題意，可以寫出前幾個式子的值，然后即可發(fā)現(xiàn)式子的變化特點，從而可以求得所求式子的值．【解答】解：由題意可得，f（1）＝2，f（1）+f（2）＝2+6＝8，f（1）+f（2）+f（3）＝2+6+2＝10，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+6+2+0＝10，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝2+6+2+0+0＝10，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝2+6+2+0+0+2＝12，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）＝2+6+2+0+0+2+6＝18，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）＝2+6+2+0+0+2+6+2＝20，…，∵2023÷5＝404…3，∴f（1）+f（2）+f（3）+…f（2023）＝（2+6+2+0+0）+（2+6+2+0+0）+（2+6+2+0+0）+…+（2+6+2+0+0）+2+6+2＝10×404+10＝4040+10＝4050，故選：D．5．（2024?沈陽模擬）定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：①當n為奇數(shù)時，F(xiàn)（n）＝3n+1；②當n為偶數(shù)時，（其中k是使F（n）為奇數(shù)的正整數(shù)）…兩種運算交替進行，例如，取n＝12，則有，按此規(guī)律繼續(xù)計算，第2024次“F”運算的結果是（）A． B．37 C．1 D．4【分析】根據題意，通過通過羅列計算可發(fā)現(xiàn)從第5次開始，結果就只是1，4兩個數(shù)輪流出現(xiàn)，且當次數(shù)是是偶數(shù)次時，結果是4；當次數(shù)是是奇數(shù)次時，結果是1．據此解答即可．【解答】解：當n＝12時，第1次結果是：＝3，第2次結果是：3×3+1＝10，第3次結果是：＝5，第4次結果是：3×5+1＝16，第5次結果是：＝1，第6次結果是：3×1+1＝4，第7次結果是：，第8次結果是：3×1+1＝4，???，可以看出，從第5次開始，結果就只是1，4兩個數(shù)輪流出現(xiàn)，且當次數(shù)是是偶數(shù)次時，結果是4；當次數(shù)是是奇數(shù)次時，結果是1．∴第2024次“F”運算的結果是4．故選：D．6．（2024?蘭山區(qū)校級模擬）如圖的數(shù)字三角形被稱為“楊輝三角”，圖中兩平行線之間的一列數(shù)：1，3，6，10，15，…，我們把第一個數(shù)記為a1，第二個數(shù)記為a2，第三個數(shù)記為a3，…，第n個數(shù)記為an，則a2023﹣a2021＝4045．【分析】通過歸納出第n個數(shù)an的表達式為進行求解．【解答】解：由題意得，a1＝1，a2＝3＝1+2＝，a3＝6＝1+2+3＝，a4＝10＝1+2+3+4＝，……，∴第n個數(shù)記為an＝，∴a2023﹣a2021＝﹣＝＝4045，故答案為：4045．7．（2024?湖南模擬）觀察下面“品”字圖形中各數(shù)字之間的規(guī)律，根據觀察到的規(guī)律得出a+b的值為139．【分析】根據題目中的圖形，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，①最上面的小正方形中的數(shù)字是連續(xù)奇數(shù)，②左下小正方形中的數(shù)字是2n，③右下是前兩個數(shù)的和；從而可以得到a和b的值，相加可得結論．【解答】解：由圖可知，每個圖形的最上面的小正方形中的數(shù)字是連續(xù)奇數(shù)，所以第n個圖形中最上面的小正方形中的數(shù)字是2n﹣1，即2n﹣1＝11，n＝6，∵2＝21，4＝22，8＝23，…，左下角的小正方形中的數(shù)字是2n，∴b＝26＝64，∵右下角中小正方形中的數(shù)字是2n﹣1+2n，∴a＝11+b＝11+64＝75，∴a+b＝75+64＝139，故答案為：139．8．（2023?咸豐縣模擬）把一根起點為0的數(shù)軸彎折成如圖所示的樣子，虛線最下面第1個數(shù)字是0，往上第2個數(shù)字是6，……，則第21個數(shù)字是1830．【分析】由虛線上第2個數(shù)字，虛線上第3個數(shù)字，虛線上第4個數(shù)字，???總結虛線上第n個數(shù)字的規(guī)律即可．【解答】解：虛線上第2個數(shù)字是6＝1+2+3，虛線上第3個數(shù)字是21＝1+2+3+4+5+6，虛線上第4個數(shù)字是1+2+3+4+5+6+7+8+9，???總結規(guī)律得：虛線上第n個數(shù)字是1+2+3+4+5+6+7+8+9+???+3（n﹣1），∴虛線上第21個數(shù)字是1+2+3+4+5+6+7+8+9+???+3（21﹣1）＝1+2+3+4+???+60＝＝1830．故答案為：1830．9．（2024?花山區(qū)校級一模）觀察下列等式：第1個等式：第2個式：第3個等式：第4個等式：…【總結規(guī)律】按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個等式：；（2）寫出第n個等式：（用含有n的等式表示）；（3）利用以上規(guī)律，化簡下面的問題（結果只需化簡）．．【分析】（1）根據題中所給的式子直接寫出第4個等式即可；（2）根據（1）中的規(guī)律可得第n個等式即可；（3）將（1）（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律代入進行計算即可得到答案．【解答】解：（1）根據題意可得：第5個等式為：，故答案為：；（2）∵第1個等式：第2個式：第3個等式：第4個等式：……，∴第n個等式為：，故答案為：；（3）＝＝＝＝．題型02圖形變化類規(guī)律題解題大招：多從圖形的變化規(guī)律上找相同點，再類比數(shù)字變化類推論去推導所求目標項的數(shù)字或表達式【中考真題練】1．（2023?重慶）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個圓圈，第②個圖案中有5個圓圈，第③個圖案中有8個圓圈，第④個圖案中有11個圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中圓圈的個數(shù)為（）A．14 B．20 C．23 D．26【分析】根據前4個圖中的個數(shù)找到規(guī)律，再求解．【解答】解：第①個圖案中有2個圓圈，第②個圖案中有2+3×1＝5個圓圈，第③個圖案中有2+3×2＝8個圓圈，第④個圖案中有2+3×3＝11個圓圈，...，則第⑦個圖案中圓圈的個數(shù)為：2+3×6＝20，故選：B．2．（2023?達州）如圖，四邊形ABCD是邊長為的正方形，曲線DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圓心角所對的弧組成的．其中，的圓心為A，半徑為AD；的圓心為B，半徑為BA1；的圓心為C，半徑為CB1；的圓心為D，半徑為DC1…，、、、的圓心依次為A、B、C、D循環(huán)，則的長是（）A． B．2023π C． D．2022π【分析】由觀察規(guī)律可得的半徑為2×2023﹣1＝4045，再用弧長公式列式計算即可．【解答】解：由已知可得，的半徑為為1，的半徑為，的半徑為2，的半徑為...，∴后一段90°的圓心角所對的弧比相鄰的前一段90°的圓心角所對的弧的半徑大，∴的半徑為3，的半徑為5，的半徑為7...，∴的半徑為2×2023﹣1＝4045，∴的長為×2π×4045＝，故選：A．3．（2023?廣元）在我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算術》（1261年）一書中，用如圖的三角形解釋二項和的乘方規(guī)律，因此我們稱這個三角形為“楊輝三角”，根據規(guī)律第八行從左到右第三個數(shù)為21．【分析】根據圖形中的規(guī)律即可求出（a+b）8的展開式中第三項．【解答】解：找規(guī)律發(fā)現(xiàn)（a+b）3的第三項系數(shù)為3＝1+2；（a+b）4的第三項系數(shù)為6＝1+2+3；（a+b）5的第三項系數(shù)為10＝1+2+3+4；不難發(fā)現(xiàn)（a+b）n的第三項系數(shù)為1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），因為第八行為（a+b）7，∴（a+b）7展開式的第三項的系數(shù)是1+2+3+…+6＝21，∴第八行從左到右第三個數(shù)為為21．故答案為：21．4．（2023?山西）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個大小相同的圓片組成．第1個圖案中有4個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4個圖案中有10個白色圓片，…依此規(guī)律，第n個圖案中有（2+2n）個白色圓片（用含n的代數(shù)式表示）．【分析】每增加一個圖案增加2個白色圓片，據此解答．【解答】解：第1個圖形中有2+2×1＝4個白色圓片；第2個圖形中有2+2×2＝6個白色圓片；第3個圖形中有2+2×3＝8個白色圓片；?????第n個圖形中有（2+2n）個白色圓片；故答案為：（2+2n）．5．（2023?十堰）用火柴棍拼成如圖圖案，其中第①個圖案由4個小等邊三角形圍成1個小菱形，第②個圖案由6個小等邊三角形圍成2個小菱形，…，若按此規(guī)律拼下去，則第n個圖案需要火柴棍的根數(shù)為6n+6．（用含n的式子表示）【分析】第①個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：12＝3×4，第②個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：18＝3×6，第③個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：24＝3×8，…，據此可求得第n個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)．【解答】解：∵第①個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：12＝3×4，第②個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：18＝3×6，第③個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：24＝3×8，…，∴第n個圖案需要火柴棍的根數(shù)為：3（2n+2）＝6n+6．故答案為：6n+6．6．（2023?綏化）在求1+2+3+…+100的值時，發(fā)現(xiàn)：1+100＝101，2+99＝101…，從而得到1+2+3+…+100＝101×50＝5050．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個三角形，記作a1＝1；分別連接這個三角形三邊中點得到圖（2），有5個三角形，記作a2＝5；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點得到圖（3），有9個三角形，記作a3＝9；按此方法繼續(xù)下去，則a1+a2+a3+…+an＝2n2﹣n.（結果用含n的代數(shù)式表示）【分析】根據題意可求得an＝4n﹣3，從而可求解．【解答】解：∵圖（1）有1個三角形，記作a1＝1；圖（2）有5個三角形，記作a2＝5＝1+4＝1+4×1；圖（3）有9個三角形，記作a3＝9＝1+4+4＝1+4×2；…，∴圖（n）中三角形的個數(shù)為：an＝1+4（n﹣1）＝4n﹣3，∴a1+a2+a3+…+an＝1+5+9+…+（4n﹣3）＝＝2n2﹣n．故答案為：2n2﹣n．7．（2023?安徽）【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請用含n的式子填空：（1）第n個圖案中“◎”的個數(shù)為3n；（2）第1個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第2個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第3個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第4個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，……，第n個圖案中“★”的個數(shù)可表示為．【規(guī)律應用】（3）結合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)n，使得連續(xù)的正整數(shù)之和1+2+3+……+n等于第n個圖案中“◎”的個數(shù)的2倍．【分析】（1）不難看出，第1個圖案中“◎”的個數(shù)為：3＝1+2，第2個圖案中“◎”的個數(shù)為：6＝1+2+2+1，第3個圖案中“◎”的個數(shù)為：9＝1+2+2+3+1，…，從而可求第n個圖案中“◎”的個數(shù)；（2）根據所給的規(guī)律進行總結即可；（3）結合（1）（2）列出相應的式子求解即可．【解答】解：（1）∵第1個圖案中“◎”的個數(shù)為：3＝1+2，第2個圖案中“◎”的個數(shù)為：6＝1+2+2+1，第3個圖案中“◎”的個數(shù)為：9＝1+2+2+3+1，…，∴第n個圖案中“◎”的個數(shù)：1+2（n﹣1）+n+1＝3n，故答案為：3n；（2）由題意得：第n個圖案中“★”的個數(shù)可表示為：；故答案為：；（3）由題意得：＝2×3n，解得：n＝11或n＝0（不符合題意）．【中考模擬練】1．（2024?濟寧一模）如圖都是由相同的小正方形按照一定規(guī)律擺放而成的，照此規(guī)律排列下去，第1個圖形中小正方形的個數(shù)是3個，第2個圖形中小正方形的個數(shù)是8個，第3個圖形中小正方形的個數(shù)是15個，第9個圖形中小正方形的個數(shù)是（）A．100 B．99 C．98 D．80【分析】根據圖形間變化可得第n個圖中小正方形的個數(shù)是（n+1）2﹣1，再代入n＝9進行計算即可．【解答】解：∵第1個圖中小正方形的個數(shù)是3＝22﹣1，第2個圖中小正方形的個數(shù)是8＝32﹣1，第3個圖中小正方形的個數(shù)是15＝42﹣1，第4個圖中小正方形的個數(shù)是24＝52﹣1，…∴第n個圖中小正方形的個數(shù)是（n+1）2﹣1，∴第9個圖中小正方形的個數(shù)是（9+1）2﹣1＝100﹣1＝99．故選：B．2．（2024?松山區(qū)一模）如圖所示是一組有規(guī)律的圖案，第1個圖案由4個基礎圖形組成，第2個圖案由7個基礎圖形組成，…，第n（n是正整數(shù)）個圖案中由（）個基礎圖形組成．A．3n﹣1 B．3n+1 C．4n﹣1 D．4n【分析】根據圖形的變化，找出其規(guī)律，再計算求值即可．【解答】解：根據題意有，第1個圖案基礎圖形個數(shù)為：1+3×1＝4，第2個圖案基礎圖形個數(shù)為：1+3×2＝7，第3個圖案基礎圖形個數(shù)為：1+3×3＝10，……，第n個圖案基礎圖形個數(shù)為：1+3×n＝3n+1．故選：B．3．（2024?張家口一模）如圖是P1，P2，…，P10十個點在圓上的位置圖，且此十點將圓周分成十等份．連接P1P2和P5P6，并延長交于一點，連接P9P10和P6P7并延長交于一點，則夾角各是多少（）A．30°和60° B．54°和72° C．36°和54° D．36°和72°【分析】先利用圓周角定理分別求出∠P1P2P5，∠P2P5P6，∠P10P7P6，∠P9P10P7度數(shù)，再利用三角形外角性質和三角形內角和定理分別求出∠P5QP2和∠P10PP7即可．【解答】解：如圖所示，設直線P9P10與直線P6P7交于P，直線P1P2和直線P5P6交于一點Q，連P2P5，P7P10，由題意得，弧P1P7P5所對圓周角∠P1P2P5的度數(shù)為：，弧P2P1P6所對圓周角∠P2P5P6的度數(shù)為：，∴∠QP2P5＝∠QP5P2＝180°﹣108°＝72°，則∠P5QP2＝180°﹣72°×2＝36°，弧P6P5P10所對圓周角∠P10P7P6的度數(shù)為：，弧P7P8P9所對圓周角∠P9P10P7的度數(shù)為：，∴∠P10PP7＝108°﹣36°＝72°，故選：D．4．（2024?重慶模擬）用大小相同的圓點擺成如圖所示的圖案，其中地①個圖案用了7個圓點，第②個圖案用了10個圓點，第③個圖案用了14個圓點，第④個圖案用了19個圓點，…，按照這樣的規(guī)律擺放，則第7個圖案中共有畫點的個數(shù)是（）A．40 B．49 C．50 D．52【分析】根據觀察圖形可