重難點(diǎn)02 三角形與特殊三角形 （解析版）-2024中考數(shù)學(xué)查缺補(bǔ)漏

重難點(diǎn)02三角形與特殊三角形考點(diǎn)一：三角形的基礎(chǔ)知識(shí)三角形的基礎(chǔ)知識(shí)是學(xué)習(xí)三角形后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)，也是其他幾何圖形學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，雖然中考中單獨(dú)考察的幾率不是很大，但是它卻可以融合在其他圖形中輔助解題。特別是三角形內(nèi)角和定理、外角定理、角平分線的性質(zhì)、線段中垂線的性質(zhì)，都是解決幾何問(wèn)題中不可或缺的輔助手段，也更需要我們重視這塊知識(shí)的復(fù)習(xí)。題型01三角形的內(nèi)角和與外角定理易錯(cuò)點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和=180°三角形外角定理：三角形的一個(gè)外角=與它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和三角形內(nèi)角和與外角定理是幾何圖形求解角度時(shí)常用的等量關(guān)系；即使是其他多邊形，也常轉(zhuǎn)化為三角形求角度；【中考真題練】1．（2023?十堰）一副三角板按如圖所示放置，點(diǎn)A在DE上，點(diǎn)F在BC上，若∠EAB＝35°，則∠DFC＝100°．【分析】由題意可得∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，由平角的定義可求得∠CAD＝85°，再由三角形的內(nèi)角和可求得∠AGD＝50°，利用對(duì)頂角相等得∠CGF＝50°，再利用三角形的內(nèi)角和即可求∠DFC．【解答】解：如圖，由題意得：∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，∵∠EAB＝35°，∴∠CAD＝180°﹣∠EAB﹣∠BAC＝85°，∴∠AGD＝180°﹣∠D﹣∠CAD＝50°，∴∠CGF＝∠AGD＝50°，∴∠DFC＝180°﹣∠C﹣∠CGF＝100°．故答案為：100°．2．（2023?聊城）如圖，分別過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．65° B．75° C．85° D．95°【分析】由平行線的性質(zhì)可求∠ADC得度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求解．【解答】解：∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠EBC＝80°，∵∠CAD+∠ADC+∠ACB＝180°，∠CAD＝25°，∴∠ACB＝180°﹣25°﹣80°＝75°，故選：B．3．（2023?遂寧）若三角形三個(gè)內(nèi)角的比為1：2：3，則這個(gè)三角形是直角三角形．【分析】設(shè)這個(gè)三角形最小的內(nèi)角是x°，則另外兩內(nèi)角的度數(shù)分別為2x°，3x°，利用三角形內(nèi)角和是180°，可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之可求出x的值，再將其代入3x°中即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)這個(gè)三角形最小的內(nèi)角是x°，則另外兩內(nèi)角的度數(shù)分別為2x°，3x°，根據(jù)題意得：x+2x+3x＝180，解得：x＝30，∴3x°＝3×30°＝90°，∴這個(gè)三角形是直角三角形．故答案為：直角．4．（2023?株洲）《周禮?考工記》中記載有：“…半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）．問(wèn)題：圖（1）為中國(guó)古代一種強(qiáng)弩圖，圖（2）為這種強(qiáng)弩圖的部分組件的示意圖，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，則∠C＝22.5度．【分析】根據(jù)題意可知：∠A＝90°，∠B＝67.5°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求得∠C的度數(shù)．【解答】解：∵1宣＝矩，1欘＝1宣，1矩＝90°，∠A＝1矩，∠B＝1欘，∴∠A＝90°，∠B＝1××90°＝67.5°，∴∠C＝180°﹣90°﹣∠B＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°，故答案為：22.5．5．（2023?徐州）如圖，在△ABC中，若DE∥BC，F(xiàn)G∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，則∠C＝55°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∠BDE＝120°，∴∠B＝180°﹣120°＝60°，∵FG∥AC，∠DFG＝115°，∴∠A＝180°﹣115°＝65°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝55°，故答案為：55．【中考真題練】1．（2024?鹽城模擬）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為（）A．105° B．75° C．65° D．55°【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)解答即可．【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)可知：∠α＝30°+45°＝75°，故選：B．2．（2023?新邵縣校級(jí)一模）如圖，在△ABC中，延長(zhǎng)AB至D，延長(zhǎng)BC至E如果∠1+∠2＝230°，則∠A＝50°．【分析】由三角形的外角性質(zhì)可得∠1＝∠A+∠ACB，∠2＝∠A+∠ABC，再結(jié)合∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，從而可求∠A的度數(shù)．【解答】解：∵∠1，∠2是△ABC的外角，∴∠1＝∠A+∠ACB，∠2＝∠A+∠ABC，∵∠1+∠2＝230°，∴∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝230°，即2∠A+∠ACB+∠ABC＝230°，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴2∠A+180°﹣∠A＝230°，解得：∠A＝50°．故答案為：50°．3．（2023?紹興模擬）將一副三角尺按如圖所示的位置擺放，其中O，E，F(xiàn)在直線l上，點(diǎn)B恰好落在DE邊上，∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．則∠ABE的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．70° D．75°【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的定義求出∠ABO＝45°，∠BOE＝70°，再由三角形外角的性質(zhì)求出∠OBE＝20°，進(jìn)一步即可得到∠ABE的度數(shù)．【解答】解：∵∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．∴∠ABO＝180°﹣∠AOB﹣∠A＝45°，∠BOE＝180°﹣∠AOB﹣∠1＝70°，∴∠OBE＝∠DEF﹣∠BOE＝20°，∴∠ABE＝∠ABO+∠OBE＝65°．故選：B．4．（2023?碑林區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD為∠ACB的平分線，CE⊥AB于點(diǎn)E，則∠ECD度數(shù)為（）A．5° B．8° C．10° D．12°【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠ACB的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)求出∠ACD的度數(shù)數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠ACE的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°．∵CD是∠ACB的平分線，∴∠ACD＝∠ACB＝50°．∵CE⊥AB于點(diǎn)E，∴∠CEB＝90°．∴∠ACE＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°．故選：C．5．（2023?石峰區(qū)一模）如圖，考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)在地下A處有一座古墓，古墓上方是煤氣管道，為了不影響管道，準(zhǔn)備在B，C處開(kāi)工挖出“V”字形通道．如果∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，那么∠A的度數(shù)是75°．【分析】先求出∠ABC，∠ACB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：∵∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∠ACB＝180°﹣135°＝45°，∴∠A＝180°﹣60°﹣45°＝75°，故答案為：75°．題型02三角形的三邊關(guān)系解題大招01：三角形兩邊之差＜第三邊＜三角形兩邊之和解題大招02：判定三邊能否組成三角形，直接用“定理”，且只需要較小的兩邊之和大于最大的邊長(zhǎng)即可解題大招03：“三點(diǎn)共線”類(lèi)最值：當(dāng)兩線段長(zhǎng)固定，且首尾相連，可用三點(diǎn)共線來(lái)求其最大值與最小值【中考真題練】1．（2023?福建）若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，m，則m的值可以是（）A．1 B．5 C．7 D．9【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出4﹣3＜m＜4+3，求出即可．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得：4﹣3＜m＜4+3，解得：1＜m＜7，即符合的只有5，故選：B．2．（2023?長(zhǎng)沙）下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（）A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系分別判斷即可．【解答】解：∵1+3＝4，∴1，3，4不能組成三角形，故A選項(xiàng)不符合題意；∵2+2＜7，∴2，2，7不能組成三角形，故B不符合題意；∵4+5＞7，∴4，5，7能組成三角形，故C符合題意；∵3+3＝6，∴3，3，6不能組成三角形，故D不符合題意，故選：C．3．（2023?金華）在下列長(zhǎng)度的四條線段中，能與長(zhǎng)6cm，8cm的兩條線段圍成一個(gè)三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm【分析】首先設(shè)第三條線段長(zhǎng)為xcm，再利用三角形的三邊關(guān)系可得x的范圍，然后可得答案．【解答】解：設(shè)第三條線段長(zhǎng)為xcm，由題意得：8﹣6＜x＜8+6，解得：2＜x＜14，只有13cm適合，故選：C．4．（2023?徐州）若一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且兩邊長(zhǎng)分別為3和5，則第三邊的長(zhǎng)可以為3或4或5或6或7（答案不唯一）（寫(xiě)出一個(gè)即可）．【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊確定第三邊的范圍，根據(jù)題意計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)三角形的第三邊長(zhǎng)為x，則5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，∵第三邊的長(zhǎng)為整數(shù)，∴x＝3或4或5或6或7．故答案為：3或4或5或6或7（答案不唯一）．【中考模擬練】1．（2024?韶關(guān)模擬）如圖，人字梯的支架AB，AC的長(zhǎng)度都為2m（連接處的長(zhǎng)度忽略不計(jì)），則B、C兩點(diǎn)之間的距離可能是（）A．3m B．4.2m C．5m D．6m【分析】根據(jù)三角形任意一邊小于其它兩邊兩邊之和求出BC的取值范圍，判斷各選項(xiàng)即可得的答案．【解答】解：∵AC＝AC＝2m，∴2﹣2＜BC＜2+2，即0m＜BC＜4m．故選：A．2．（2024?新華區(qū)一模）為估計(jì)池塘兩岸A、B間的距離，如圖，小明在池塘一側(cè)選取了一點(diǎn)O，測(cè)得OA＝16m，OB＝12m，那么AB的距離不可能是（）A．5m B．15m C．20m D．30m【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得16﹣12＜AB＜16+12，再解即可．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：16﹣12＜AB＜16+12，即4＜AB＜28，30m不可能．故選：D．3．（2024?邳州市校級(jí)一模）三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和9，周長(zhǎng)為偶數(shù)，則第三邊長(zhǎng)為9．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求得第三邊的取值范圍，再求得周長(zhǎng)的取值范圍．根據(jù)周長(zhǎng)為偶數(shù)，確定第三邊的長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)x．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得7＜x＜11．∴三角形的周長(zhǎng)l的取值范圍是：18＜l＜22．又∵三角形的周長(zhǎng)為偶數(shù)，因而滿足條件的數(shù)有20．∴第三邊長(zhǎng)為20﹣2﹣9＝9．故答案為9．4．（2023?六安三模）三角形的兩邊長(zhǎng)分別是10和8，則第三邊的取值范圍是2＜x＜18．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即可得答案．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：10﹣8＜x＜10+8，解得：2＜x＜18．故答案為：2＜x＜185．（2023?二道區(qū)校級(jí)模擬）已知一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和5，若第三邊的長(zhǎng)為整數(shù)，則此三角形周長(zhǎng)的最大值17．【分析】第三邊的長(zhǎng)為x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出x的取值范圍，再由第三邊的長(zhǎng)為整數(shù)得出x的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：第三邊的長(zhǎng)為x，∵一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和5，∴5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9，∵第三邊的長(zhǎng)為整數(shù)，∴x的值可以為2，3，4，5，6，7，8，∴當(dāng)x＝8時(shí)，此三角形周長(zhǎng)的最大值＝4+5+8＝17．故答案為：17．6．（2023?婁星區(qū)一模）已知四根小棒的長(zhǎng)度分別為5cm、6cm、10cm、12cm，從中取出三根小棒，能?chē)扇切蔚母怕蕿椋痉治觥咳∷母景糁械娜我馊?，共?中取法，然后依據(jù)三角形三邊關(guān)系定理將不合題意的方案舍去，最后根據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．【解答】解：共有4種方案：①取5cm、6cm、10cm；由于10﹣5＜6＜10+5，能構(gòu)成三角形；②取5cm、6cm、12cm；由于5+6＜12，不能構(gòu)成三角形；③取6cm、10cm、12cm；由于12﹣6＜10＜12+6，能構(gòu)成三角形；④取5cm、10cm、12cm；由于12﹣5＜10＜12+5，能構(gòu)成三角形．∴一個(gè)有4種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中能構(gòu)成三角形的結(jié)果數(shù)有3種，∴能?chē)扇切蔚母怕蕿椋蚀鸢笧椋海}型03三角形“三線”的性質(zhì)由△的三線組成的幾個(gè)“心”：△三邊中線交點(diǎn)—→重心—→性質(zhì)：△的重心到一中線中點(diǎn)的距離=重心到這條中線定點(diǎn)距離的一半；△三條角平分線交點(diǎn)—→內(nèi)心—→性質(zhì)：△的內(nèi)心到△三邊的距離（垂線段）相等；△三邊中垂線交點(diǎn)—→外心—→性質(zhì)：△的外心到△三個(gè)頂點(diǎn)的距離（連接）相等；解題大招01：三角形中線常見(jiàn)作用及其輔助線常見(jiàn)“用途”：平分線段、平分面積；輔助線類(lèi)型：倍長(zhǎng)中線造全等—→延伸：倍長(zhǎng)中線類(lèi)模型；解題大招02：三角形高線常見(jiàn)作用及其輔助線常見(jiàn)“用途”：求面積（等積法）、求角度（余角）；輔助線類(lèi)型：見(jiàn)特殊角做⊥，構(gòu)特殊直角△、見(jiàn)等腰做底邊上高線，構(gòu)三線合一；解題大招03：角平分線常見(jiàn)作用及其輔助線常見(jiàn)“用途”：得角相等（定義）、得線段相等（性質(zhì)）、SAS證全等、知2得1等；輔助線類(lèi)型：見(jiàn)角平分線作雙垂、見(jiàn)角平分線作對(duì)稱(chēng)、截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)全等、見(jiàn)角平分線＋垂直，延長(zhǎng)出等腰；解題大招04：中垂線常見(jiàn)作用及其輔助線常見(jiàn)“用途”：平分線段、得90°、證全等、求新形成三角形周長(zhǎng)等；輔助線類(lèi)型：連接兩點(diǎn)【中考真題練】1．（2023?廣州）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，則點(diǎn)E到直線AD的距離為．【分析】過(guò)E作EH⊥AD于H，由角平分線的性質(zhì)得到DE＝DF＝5，由勾股定理求出AD＝＝13，由三角形面積公式得到13EH＝12×5，因此EH＝，即可得到點(diǎn)E到直線AD的距離．【解答】解：過(guò)E作EH⊥AD于H，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF＝5，∵AE＝12，∴AD＝＝13，∵△ADE的面積＝AD?EH＝AE?DE，∴13EH＝12×5，∴EH＝，點(diǎn)E到直線AD的距離為．故答案為：．2．（2023?青海）如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線．若AB＝5，AC＝8，則△ABD的周長(zhǎng)是13．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BD＝CD，即可求解．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分線．∴BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝AD+BD，∴△ABD的周長(zhǎng)＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，故答案為：13．3．如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，則DC的長(zhǎng)是4．【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理求出AD，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出DC．【解答】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，∴AD＝AB＝4，∵DE是AC的垂直平分線，∴DC＝AD＝4，故答案為：4．4．（2023?攀枝花）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則∠EBC＝10°．【分析】由∠C＝90°，∠A＝40°，求得∠ABC＝50°，根據(jù)線段的垂直平分線、等邊對(duì)等角和直角三角形的兩銳角互余求得．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案為：10°．5．（2023?隨州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D為AC上一點(diǎn)，若BD是∠ABC的角平分線，則AD＝5．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，由角平分線的性質(zhì)得到CD＝DE，再通過(guò)HL證明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC＝BE＝6，根據(jù)勾股定理可求出AB＝10，進(jìn)而求出AE＝4，設(shè)CD＝DE＝x，則AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，∵BD是∠ABC的角平分線，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC＝BE＝6，在Rt△ABC中，＝＝10，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，設(shè)CD＝DE＝x，則AD＝AC﹣CD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AD＝8﹣x＝5．故答案為：5．【中考模擬練】1．（2024?沭陽(yáng)縣校級(jí)模擬）已知：如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點(diǎn)，且S△ABC＝4cm2，則陰影部分的面積為1cm2．【分析】易得△ABD，△ACD為△ABC面積的一半，同理可得△BEC的面積等于△ABC面積的一半，那么陰影部分的面積等于△BEC的面積的一半．【解答】解：∵D為BC中點(diǎn)，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），∴S△BCE＝2（cm2），∵F為EC中點(diǎn)，∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．故答案為1．2．（2024?天山區(qū)一模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°．用尺規(guī)作圖法作出射線AE，AE交BC于點(diǎn)D，CD＝2，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PD的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】當(dāng)DP⊥AB時(shí)，根據(jù)垂線段最短可知，此時(shí)DP的值最?。俑鶕?jù)角平分線的性質(zhì)定理可得DP＝CD解決問(wèn)題；【解答】解：當(dāng)DP⊥AB時(shí)，根據(jù)垂線段最短可知，此時(shí)DP的值最?。勺鲌D可知：AE平分∠BAC，∵DC⊥AC，DP⊥AB，∴DP＝CD＝2，∴PD的最小值為2，故選：A．3．（2024?南昌一模）小明將兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺如圖放置在∠AOB上，兩把直尺的接觸點(diǎn)為P，邊OA與其中一把直尺邊緣的交點(diǎn)為C，點(diǎn)C、P在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2、5，則OC的長(zhǎng)度是3cm．【分析】過(guò)P作PN⊥OB于N，由角平分線性質(zhì)定理的逆定理推出PO平分∠AOB，得到∠COP＝∠NOP，由平行線的性質(zhì)推出∠CPO＝∠NOP，得到∠COP＝∠CPO，因此OC＝PC，由PC＝5﹣2＝3（cm），即可得到OC的長(zhǎng)度是3cm．【解答】解：過(guò)P作PN⊥OB于N，由題意得：PM＝PN，∵PM⊥OA，∴PO平分∠AOB，∴∠COP＝∠NOP，∵PC∥OB，∴∠CPO＝∠NOP，∴∠COP＝∠CPO，∴OC＝PC，∵C、P在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2、5，∴PC＝5﹣2＝3（cm），∴OC的長(zhǎng)度是3cm．故答案為：3cm．4．（2024?永靖縣一模）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，則S△ACD＝1．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE＝DF＝1，然后利用三角形的面積進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝1，∵AC＝2，∴S△ACD＝AC?DF＝×2×1＝1，故答案為：1．5．（2023?長(zhǎng)清區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于MN長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)O，作射線AO，交BC于點(diǎn)E．已知CE＝3，BE＝5，則AC的長(zhǎng)為（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】直接利用基本作圖方法得出AE是∠CAB的平分線，進(jìn)而結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出AC＝AD，再利用勾股定理得出AC的長(zhǎng)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作ED⊥AB于點(diǎn)D，由作圖方法可得出AE是∠CAB的平分線，∵EC⊥AC，ED⊥AB，∴EC＝ED＝3，在Rt△ACE和Rt△ADE中，，∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AD，∵在Rt△EDB中，DE＝3，BE＝5，∴BD＝4，設(shè)AC＝x，則AB＝4+x，故在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，即x2+82＝（x+4）2，解得：x＝6，即AC的長(zhǎng)為：6．故選：C．考點(diǎn)二：全等三角形全等三角形的性質(zhì)是對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。附帶推論是全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的“三線”也分別相等。全等三角形判定方法有“4+1”種，出題時(shí)常把全等三角形的判定和性質(zhì)同時(shí)出題，難度一般不大，但是這個(gè)考點(diǎn)后期的可結(jié)合性比較大，所以也是非常重要的一個(gè)考點(diǎn)。題型01全等三角形的判定易錯(cuò)點(diǎn)01：全等三角形的判定通用方法為：SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形全等的判定方法為：HL易錯(cuò)點(diǎn)02：三角形全等的基本步驟：①準(zhǔn)備條件；②羅列條件；③得出結(jié)論?！局锌颊骖}練】1．（2023?甘孜州）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，AC∥BD，只添加一個(gè)條件，能判定△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD【分析】根據(jù)題目給出的條件結(jié)合全等三角形的判定定理分別分析即可．【解答】解：A、不能證明△AOC≌△BOD，故此選項(xiàng)不合題意；B、由AC∥BD可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，可利用AAS證明△AOC≌△BOD，故此選項(xiàng)符合題意；C、不能證明△AOC≌△BOD，故此選項(xiàng)不合題意；D、不能證明△AOC≌△BOD，故此選項(xiàng)不合題意；故選：B．2．（2023?涼山州）如圖，點(diǎn)E、點(diǎn)F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一個(gè)條件，不能證明△ABF≌△DCE的是（）A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE【分析】根據(jù)BE＝CF求出BF＝CE，再根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行分析即可．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∴當(dāng)∠A＝∠D時(shí)，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合題意；當(dāng)∠AFB＝∠DEC時(shí)，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合題意；當(dāng)AB＝DC時(shí)，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合題意；當(dāng)AF＝DE時(shí)，無(wú)法證明△ABF≌△DCE，故D符合題意；故選：D．3．（2023?衢州）已知：如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上．下面四個(gè)條件：①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．（1）請(qǐng)選擇其中的三個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF（寫(xiě)出一種情況即可）．（2）在（1）的條件下，求證：△ABC≌△DEF．【分析】（1）根據(jù)兩三角形全等的判定定理，選擇合適的條件即可．（2）根據(jù)（1）中所選條件，進(jìn)行證明即可．【解答】解：（1）由題知，選擇的三個(gè)條件是：①②③；或者選擇的三個(gè)條件是：①③④．證明：（2）當(dāng)選擇①②③時(shí)，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．當(dāng)選擇①③④時(shí)，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【中考模擬練】1．（2024?朝陽(yáng)區(qū)模擬）工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，做法是：如圖在∠AOB的邊OA、OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺的兩邊相同的刻度分別與M、N重合，得到∠AOB的平分線OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL【分析】已知兩三角形三邊分別相等，可考慮SSS證明三角形全等，從而證明角相等．【解答】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是SSS證明如下：由題意得，PN＝PM，在△ONP和△OMP中，，∴△ONP≌△OMP（SSS）所以∠NOP＝∠MOP故OP為∠AOB的平分線．故選：A．2．（2024?重慶模擬）根據(jù)下列條件，不能畫(huà)出唯一確定的△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝6 B．AB＝4，∠B＝45°，∠A＝60° C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠C＝90°，AB＝8，AC＝4【分析】利用全等三角形的判定定理依次判斷每個(gè)選項(xiàng)即可．【解答】解：A：三邊確定，符合全等三角形判定定理SSS，能畫(huà)出唯一的△ABC，故不符合題意，B：已知兩個(gè)角及其公共邊，符合全等三角形判定定理ASA，能畫(huà)出唯一的△ABC，故不符合題意，C：已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，屬于“SSA”的情況，不符合全等三角形判定定理，故不能畫(huà)出唯一的三角形，故本選項(xiàng)符合題意，D：已知一個(gè)直角和一條直角邊以及斜邊長(zhǎng)，符合全等三角形判定定理HL，能畫(huà)出唯一的△ABC，故不符合題意．故選：C．3．（2023?文昌二模）如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，E，C在一條直線上，AF＝CE，AD＝CB，則添加下列條件仍不能判斷△ADE≌△CBF的是（）A．DE＝BF B．DE∥BF C．AD∥CB D．∠D＝∠B＝90°【分析】先由AF＝CE得到AE＝CF，然后結(jié)合AD＝CB，再根據(jù)全等三角形的判定條件逐項(xiàng)判定即可解答．【解答】解：∵AF＝CE，∴AF+EF＝CE+EF，即AE＝CF，∵AD＝CB，A．由DE＝BF，結(jié)合AD＝CB、AE＝CF，根據(jù)SSS即可證明△ADE?△CBF，不滿足題意；B．由DE∥BF可得∠BFC＝∠AED，結(jié)合AD＝CB、AE＝CF，根據(jù)SSA不能證明△ADE?△CBF，滿足題意；C．由AD∥CB可得∠C＝∠A，結(jié)合AD＝CB、AE＝CF，根據(jù)SAS能證明△ADE?△CBF，不滿足題意；D．由∠D＝∠B＝90°，結(jié)合AD＝CB、AE＝CF，根據(jù)SAS能證明△ADE?△CBF，不滿足題意．故選：B．4．（2023?西寧二模）如圖，正方形格點(diǎn)圖中，點(diǎn)A、B、C、D、E、F均在格點(diǎn)上，若以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)（1，1）或（4，﹣2）或（﹣1，﹣1）或（2，﹣4）．【分析】先根據(jù)全等三角形的判定定理畫(huà)出符合的F點(diǎn)的位置，再得出F點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【解答】解：如圖所示，有4種情況，∵A（2，2），C（1，1），B（2，4），E（1，﹣1），D（2，﹣2），∴當(dāng)F的坐標(biāo)是（1，1）或（4，﹣2）或（﹣1，﹣1）或（1，﹣4）時(shí)，以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，故答案為：（1，1）或（4，﹣2）或（﹣1，﹣1）或（2，﹣4）．5．（2024?伊通縣一模）如圖，AD⊥AE，AB⊥AC，AD＝AE，AB＝AC．求證：△ABD≌△ACE．【分析】根據(jù)SAS證明三角形全等即可．【解答】證明：∵AD⊥AE，AB⊥AC，∴∠CAB＝∠DAE＝90°．∴∠CAB+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．6．（2023?農(nóng)安縣模擬）如圖，ED⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，垂足分別為D、C，AC＝BD，AE＝BF．求證：△AED≌△BFC．【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠ADE＝∠BCF＝90°，根據(jù)全等三角形的判定證明即可．【解答】證明：∵ED⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，∴∠ADE＝∠BCF＝90°，∵AC＝BD，∴AC+CD＝BD+CD，即AD＝BC，在Rt△ADE與Rt△BCF中，，∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）．題型02全等三角形的判定與性質(zhì)全等三角形的判定通用方法為：SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形全等的判定方法為：HL解題大招01：解題大招：有關(guān)三角形全等問(wèn)題應(yīng)用的三個(gè)方向：①證邊相等就證它們所在的三角形全等；②證角相等就證它們所在的三角形全等；③全等三角形可以提供相等線段、相等角解題大招02：【中考真題練】1．（2023?成都）如圖，已知△ABC≌△DEF，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上．若BC＝8，CE＝5，則CF的長(zhǎng)為3．【分析】根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到EF＝BC＝8，計(jì)算即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，又BC＝8，∴EF＝8，∵EC＝5，∴CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3．故答案為：3．2．（2023?遼寧）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若AC＝4，CE＝5，則CD的長(zhǎng)為．【分析】由“ASA”可證△ABD≌△ECD，可得AB＝CE＝5，由勾股定理可求BC的長(zhǎng)，即可求解．【解答】解：∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵CE∥AB，∴∠B＝∠DCE，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（ASA），∴AB＝CE＝5，∴BC＝＝3，∴CD＝，故答案為：．3．（2023?重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長(zhǎng)度為3．【分析】先證明△ABE≌△CAF（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，進(jìn)一步可得EF的長(zhǎng)．【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠FAC＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AF＝BE，AE＝CF，∵BE＝4，CF＝1，∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3，故答案為：3．4．（2023?通遼）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB，交邊AC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作等邊三角形PQD，使點(diǎn)A，D在PQ異側(cè)，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，點(diǎn)P需移動(dòng)1s．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到角與邊的等量關(guān)系，從而證明△BDP≌APQ，由此得到邊之間的關(guān)系，進(jìn)而求解．【解答】解：設(shè)點(diǎn)P需移動(dòng)t秒，點(diǎn)D落在BC邊上，如圖所示．∵三角形PQD是等邊三角形，∴∠DPQ＝60°，∴∠BPD＝180°﹣∠APQ﹣∠DPQ＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠BDP＝180°﹣∠B﹣∠BPD＝180°﹣60°﹣30°＝90°．∠AQP＝180°﹣∠APQ﹣∠A＝180°﹣90°﹣60°＝30°．∵∠BDP＝∠APQ＝90°，DP＝PQ，∠BPD＝∠AQP＝30°，∴△BDP≌△APQ（ASA）．∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，BD＝AP＝2t，∵∠BPD＝30°，∴BD＝BP，即2t＝（6﹣2t），∴t＝1．故答案為：1．5．（2023?蘇州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為△ABC的角平分線．以點(diǎn)A圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF．（1）求證：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度數(shù)．【分析】（1）由角平分線定義得出∠BAD＝∠CAD．由作圖知：AE＝AF．由SAS可證明△ADE≌△ADF；（2）由作圖知：AE＝AD．得出∠AED＝∠ADE，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠ADE＝70°，則可得出答案．【解答】（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD．由作圖知：AE＝AF．在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝80°，AD為△ABC的角平分線，∴∠EAD＝∠BAC＝40°，由作圖知：AE＝AD．∴∠AED＝∠ADE，∴∠ADE＝×（180°﹣40°）＝70°，∵AB＝AC，AD為△ABC的角平分線，∴AD⊥BC．∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝20°．6．（2023?長(zhǎng)沙）如圖，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E．（1）求證：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）利用“AAS”可證明△ABE≌△ACD；（2）先利用全等三角形的性質(zhì)得到AD＝AE＝6，再利用勾股定理計(jì)算出AC，從而得到AB的長(zhǎng)，然后計(jì)算AB﹣AD即可．【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE＝6，在Rt△ACD中，AC＝＝＝10，∵AB＝AC＝10，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．7．（2023?大連）如圖，AC＝AE，BC＝DE，BC的延長(zhǎng)線與DE相交于點(diǎn)F，∠ACF+∠AED＝180°．求證：AB＝AD．【分析】由已知∠ACF+∠AED＝180°，可得到∠ACB＝∠AED，再利用SAS證明△ABC≌△ADE，從而得到AB＝AD．【解答】證明：∵∠ACF+∠AED＝180°，∠ACF+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝∠AED，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴AB＝AD．8．（2023?營(yíng)口）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB的兩側(cè)，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．（1）求證：△ACE≌△BDF；（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理證明△ACE≌△BDF即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：在△ACE和△BDF中，，∴△ACE≌△BDF（AAS）；（2）由（1）知△ACE≌△BDF，∴BD＝AC＝2，∵AB＝8，∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝4，故CD的長(zhǎng)為4．9．（2023?聊城）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．（1）求證：∠EAD＝∠EDA；（2）若∠C＝60°，DE＝4時(shí)，求△AED的面積．【分析】（1）利用AAS證明∴△ABE≌△ECD，即可證明結(jié)論；（2）先證明△AED為等邊三角形，可得AE＝AD＝ED＝4，過(guò)A點(diǎn)作AF⊥ED于F，利用等邊三角形的性質(zhì)可得EF＝2，再根據(jù)勾股定理求得AF的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式可求解．【解答】（1）證明：∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AED+∠CED，∴∠BAE＝∠CED，在△ABE和△ECD中，，∴△ABE≌△ECD（AAS），∴AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA；（2）解：∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED，∴△AED為等邊三角形，∴AE＝AD＝ED＝4，過(guò)A點(diǎn)作AF⊥ED于F，∴EF＝ED＝2，∴AF＝，∴S△AED＝ED?AF＝．【中考模擬練】1．（2024?寧波模擬）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在BC，AC邊上，點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合，且BD＝CE，則（）A．∠AFE＜∠FAE B．∠AFE＜∠FEA C．∠AFE＝∠FAE D．∠AFE＝∠FEA【分析】由“SAS”可證△ABD≌△BCE，可得∠BAD＝∠CBE，由三角形的外角性質(zhì)可求解．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∴∠FAE＝∠ABE，∵∠AFE＝∠ABE+∠BAD＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝60°，∴∠AFE＞∠ABE，∴∠AFE＞∠FAE，∵∠AEF＝∠ACB+∠CBE，∴∠AEF＞60°，∴∠AEF＞∠AFE，故選：B．2．（2024?蜀山區(qū)一模）如圖，△ABC中，高AD，BE相交于點(diǎn)H，連接DE，若BD＝AD，BE＝5，AE＝2，則DE＝．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DN⊥DE交BE于點(diǎn)N，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、角的和差求出∠NBD＝∠EAD，∠BDN＝∠ADE，利用ASA證明△ADE≌△BDN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DN＝DE，BN＝AE＝2，根據(jù)線段的和差求出NE＝3，解直角三角形求解即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥DE交BE于點(diǎn)N，∵高AD，BE相交于點(diǎn)H，∴∠BDH＝∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DAC+∠AHE＝∠DBH+∠BHD＝90°，∵∠AHE＝∠BHD，∴∠DAC＝∠DBH，即∠NBD＝∠EAD，∵DN⊥DE，∴∠NDE＝90°＝∠ADB，∴∠BDN＝∠ADE，在△ADE和△BDN中，，∴△ADE≌△BDN（ASA），∴DN＝DE，BN＝AE＝2，∴NE＝BE﹣BN＝5﹣2＝3，∵∠NDE＝90°，DN＝DE，∴DE＝NE＝，故答案為：．3．（2024?潼南區(qū)一模）如圖，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝52°，B、D、E在同一直線上，則∠BEC的度數(shù)為52°．【分析】由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得∠AEC＝∠ADB，即可求解．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE＝52°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（（SAS），∴∠AEC＝∠ADB，∵∠ADB＝∠AED+∠DAE，∴∠AEC＝∠AED+∠DAE＝∠AED+∠BEC，∴∠BEC＝∠DAE＝52°，故答案為：52°．4．（2024?河?xùn)|區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)E在△ABC外，連接AE，BE，CE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE，交CE于點(diǎn)F，連接BF，若AE＝AF＝．則：（Ⅰ）線段EF的長(zhǎng)等于2；（Ⅱ）△ABC的面積為5．【分析】（Ⅰ）在Rt△AEF中，根據(jù)AE＝AF＝，由勾股定理可得EF的長(zhǎng)；（Ⅱ）連接BF，先證△AEF為等腰直角三角形，則∠AEF＝∠AFE＝45°，進(jìn)而得∠AFC＝135°，再證△EAB和△FAC全等得BE＝CF，∠AEB＝∠AFC＝135°，則∠BEC＝∠AEB﹣∠AEF＝90°，在Rt△BEF中由勾股定理得BE＝2，則CF＝BE＝2，CE＝EF+CF＝4，在Rt△BCE中由勾股定理得BC＝，由此可得△ABC的面積．【解答】解：（Ⅰ）∵AF⊥AE，AE＝AF＝，在Rt△AEF中，由勾股定理得：EF＝＝2，故答案為：2．（Ⅱ）連接BF，如圖所示：∵AF⊥AE，AE＝AF＝，∴△AEF為等腰直角三角形，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴∠AFC＝180°﹣∠AFE＝135°，∵AF⊥AE，∠BAC＝90°，∴∠EAB+∠BAF＝90°，∠BAF+∠FAC＝90°，∴∠EAB＝∠FAC，在△EAB和△FAC中，，∴△EAB≌△FAC（SAS），∴BE＝CF，∠AEB＝∠AFC＝135°，∴∠BEC＝∠AEB﹣∠AEF＝135°﹣45°＝90°，∵BF＝，∴BF＝，在Rt△BEF中，EF＝2，BF＝，由勾股定理得：BE＝＝2，∴CF＝BE＝2，∴CE＝EF+CF＝2+2＝4，在Rt△BCE中，BE＝2，CE＝4，由勾股定理得：BC＝＝，在Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝，由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2，∴2AB2＝（）2，∴AB2＝10，∴S△ABC＝AB?AC＝AB2＝5．5．（2024?南崗區(qū)校級(jí)一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC、BD相交于點(diǎn)E，AC＝BD，且AC⊥BD，若AB＝4，AD＝5，則CD邊的長(zhǎng)為．【分析】過(guò)D作DF⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于F，過(guò)C作CG⊥DF，交FD的延長(zhǎng)線于G，判定△ABC≌△DFB，即可得到DF＝AB＝4，進(jìn)而得出CG＝7，DG＝7﹣4＝3，再根據(jù)勾股定理，即可得到Rt△CDG中，CD＝＝．【解答】解：如圖所示，過(guò)D作DF⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于F，過(guò)C作CG⊥DF，交FD的延長(zhǎng)線于G，則∠F＝∠G＝90°，∵∠ABC＝90°，AC⊥BD，∴∠FBD+∠DBC＝∠BCA+∠DBC＝90°，∴∠FBD＝∠BCA，又∵∠ABC＝∠F＝90°，AC＝DB，∴△ABC≌△DFB，∴DF＝AB＝4，又∵AD＝5，∴Rt△ADF中，AF＝3，∴BF＝7＝BC，F(xiàn)G＝CG＝7，∴DG＝7﹣4＝3，∴Rt△CDG中，CD＝＝．故答案為：．6．（2024?蓮湖區(qū)一模）如圖，F(xiàn)，C是AD上兩點(diǎn)，且AF＝CD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G在同一直上，∠B＝∠AGF，BC＝EF，求證：∠A＝∠D．【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵∠B＝∠AGF，∴BC∥EG，∴∠BCA＝∠EFD，∵AF＝CD，∴AF+FC＝CD+FC，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠A＝∠D．7．（2024?天河區(qū)校級(jí)一模）如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1＝∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O（1）求證：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝38°，求∠BDE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可判斷△AEC≌△BED；（2）由（1）可知：EC＝ED，∠C＝∠BDE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可知∠C的度數(shù)，從而可求出∠BDE的度數(shù)；【解答】（1）證明：∵AE和BD相交于點(diǎn)O，∴∠AOD＝∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（ASA）．（2）∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝38°，∴∠C＝∠EDC＝71°，∴∠BDE＝∠C＝71°．8．（2024?湖州一模）如圖，已知△ABC，∠C＝50°，將AB沿射線BC的方向平移至A′B′，使B′為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AA′，記A′B′與AC的交點(diǎn)為O．（1）求證：△AOA′≌△COB′；（2）若AC平分∠BAA′，求∠B的度數(shù)．【分析】（1）利用三角形中位線定理得出OA＝OC，進(jìn)而利用SAS證明△AOA′≌△COB′即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠A'AO的度數(shù)，進(jìn)而利用三角形的內(nèi)角和定理解答即可．【解答】（1）證明：由平移可知，AB＝A'B'，AB∥A'B'，∵B′為BC的中點(diǎn)，∴OB'是△ABC的中位線，∴OA＝OC，OB'＝AB，∴OB'＝A'B'，即A'O＝OB'，在△AOA'與△COB'中，，∴△AOA′≌△COB′（SAS）；（2）解：∵△AOA′≌△COB′，∴∠A'AO＝∠C＝50°，∵AC平分∠BAA′，∴∠BAC＝∠OAA'＝50°，∴∠B＝180°﹣50°﹣50°＝80°．考點(diǎn)三：特殊三角形特殊三角形在中考數(shù)學(xué)中包含等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形。其中等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”和直角三角形的“勾股定理”是特殊三角形非常重要的性質(zhì)。題型01等腰三角形的性質(zhì)和判定易錯(cuò)點(diǎn)01：等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有1條或3條對(duì)稱(chēng)軸易錯(cuò)點(diǎn)02：等腰三角形重要性質(zhì)：“三線合一”、等邊對(duì)等角易錯(cuò)點(diǎn)03：等腰三角形判定方法：①定義法；②等角對(duì)等邊當(dāng)一個(gè)三角形的角平分線與高線，或者中線出現(xiàn)重合時(shí)，雖然不能直接得等腰三角形，但是也可以用三角形全等來(lái)證明該三角形是等腰三角形，遇到時(shí)要記得用?！局锌颊骖}練】1．（2023?眉山）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．70° B．100° C．110° D．140°【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠B＝∠ACB，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠ACD的度數(shù)．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB＝，∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，∴∠ACD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，故選：C．2．（2023?河北）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，則∠C′＝（）A．30° B．n° C．n°或180°﹣n° D．30°或150°【分析】分兩種情況討論，當(dāng)BC＝B′C′時(shí)，則△ABC≌△A′B′C′，得出∠C′＝∠C＝n°，當(dāng)BC≠B′C′時(shí)，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠A′C″C′＝∠C′＝n°，從而求得∠A′C″B′＝180°﹣n°．【解答】解：當(dāng)BC＝B′C′時(shí)，△ABC≌△A′B′C′（SSS），∴∠C′＝∠C＝n°，當(dāng)BC≠B′C′時(shí)，如圖，∵A′C′＝A′C″，∴∠A′C″C′＝∠C′＝n°，∴∠A′C″B′＝180°﹣n°，∴∠C′＝n°或180°﹣n°，故選：C．3．（2023?菏澤）△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形【分析】由等式可分別得到關(guān)于a、b、c的等式，從而分別計(jì)算得到a、b、c的值，再由a2+b2＝c2的關(guān)系，可推導(dǎo)得到△ABC為直角三角形．【解答】解：由題意得，解得，∵a2+b2＝c2，且a＝b，∴△ABC為等腰直角三角形，故選：D．4．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，直線a∥b，直線l與直線a，b分別相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C在直線b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，則∠2的度數(shù)為（）A．32° B．58° C．74° D．75°【分析】由CA＝CB可得△ABC是等腰三角形，從而可求∠CBA的大小，再結(jié)合平行線的性質(zhì)即可解答．【解答】解：∵CA＝CB，∴△ABC是等腰三角形，∴∠CBA＝∠CAB＝（180°﹣32°）÷2＝74°，∵a∥b，∴∠2＝∠CBA＝74°．故選：C．5．（2023?西寧）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，若△ABD為直角三角形，則∠ADB的度數(shù)是90°或50°．【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠B＝∠C＝40°，然后分兩種情況進(jìn)行討論：①∠ADB＝90°；②∠BAD＝90°，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADB的度數(shù)即可．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝40°，∵△ABD為直角三角形，∴有以下兩種情況：①∠ADB＝90°，②∠BAD＝90°，此時(shí)∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣90°﹣40°＝50°．∴若△ABD為直角三角形，則∠ADB的度數(shù)是90°或50°．故答案為：90°或50°．6．（2023?山西）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，則AD的長(zhǎng)為．【分析】過(guò)A作AH⊥BC于H，延長(zhǎng)AD，BC于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BH＝HC＝BC＝3，根據(jù)勾股定理求出AH＝＝4，證明∠CBD＝∠CED，得到DB＝DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出CE＝BC＝6，證明CD∥AH，得到＝，求出CD＝，根據(jù)勾股定理求出DE＝＝＝，根據(jù)CD∥AH，得到＝，即＝，求出結(jié)果即可．【解答】解：過(guò)A作AH⊥BC于H，延長(zhǎng)AD，BC于E，如圖所示：則∠AHC＝∠AHB＝90°，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BH＝HC＝BC＝3，∴AH＝＝4，∵∠ADB＝∠CBD+∠CED，∠ADB＝2∠CBD，∴∠CBD＝∠CED，∴DB＝DE，∵∠BCD＝90°，∴DC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∴EH＝CE+CH＝9，∴＝，∵DC⊥BE，AH⊥BC，∴CD∥AH，∴，∴，解得AD＝．故答案為：．7．（2023?煙臺(tái)）如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC，BC為等腰三角形的底邊，在AB的同側(cè)作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在線段EC上取一點(diǎn)F，使EF＝AD，連接BF，DE．（1）如圖1，求證：DE＝BF；（2）如圖2，若AD＝2，BF的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)DE的中點(diǎn)G，求BE的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE，進(jìn)而得出AD∥CE，得出∠ADC＝∠DCE，即可證得△DCE≌△FEB（SAS），得出DE＝BF；（2）作GH∥CD，交CE于H，即可證得DG＝EG，GH∥BE，根據(jù)三角形中位線定理求得GH＝1，設(shè)CE＝BE＝m，則EH＝，F(xiàn)H＝，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到，解得m＝2+2．【解答】（1）證明：∵△ACD、△BCE分別是以AC，BC為底邊的等腰三角形，∴∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE，∵∠A＝∠CBE，∴∠A＝∠ECB，∠ADC＝∠CEB，∴AD∥CE，∴∠ADC＝∠DCE，∴∠DCE＝∠CEB，∵EF＝AD，CE＝BE，∴△DCE≌△FEB（SAS），∴DE＝BF；（2）解：∵∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE，∵∠DCA＝∠CBE，∴∠A＝∠ECB，∴DC∥BE，作GH∥CD，交CE于H，∵DG＝EG，GH∥CD，∴CH＝EH，∵AD＝2，AD＝CD，∴CD＝2，∴GH＝，設(shè)CE＝BE＝m，∴EH＝，∵EF＝AD＝2，∴FH＝，∵GH∥BE，∴△GHF∽△BEF，∴，即，解得m＝2+2或m＝2﹣2（舍去），∴BE的長(zhǎng)為2+2．【中考模擬練】1．（2024?宿遷二模）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為80°，則這個(gè)等腰三角形的底角為（）A．80°或50° B．80° C．50° D．50°或20°【分析】由于不明確80°的角是等腰三角形的底角還是頂角，故應(yīng)分80°的角是頂角和底角兩種情況討論．【解答】解：分兩種情況：①當(dāng)80°的角為等腰三角形的頂角時(shí)，底角的度數(shù)＝（180°﹣80°）÷2＝50°；②當(dāng)80°的角為等腰三角形的底角時(shí)，其底角為80°，故它的底角度數(shù)是50°或80°．故選：A．2．（2024?道里區(qū)一模）定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，這樣的三角形叫做“倍長(zhǎng)三角形”．若等腰△ABC是“倍長(zhǎng)三角形”，腰AB的長(zhǎng)為4，則底邊BC的長(zhǎng)為2．【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚牡走呴L(zhǎng)BC是腰長(zhǎng)AB的2倍時(shí)，當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)AB是底邊長(zhǎng)BC的2倍時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚牡走呴L(zhǎng)BC是腰長(zhǎng)AB的2倍時(shí)，∵腰長(zhǎng)AB＝AC＝4，∵底邊BC的長(zhǎng)為8，∵4+4＝8，∴不能組成三角形；當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)AB是底邊長(zhǎng)BC的2倍時(shí)，∵腰長(zhǎng)AB＝AC＝4，∴底邊BC的長(zhǎng)為2；綜上所述：底邊BC的長(zhǎng)為2，故答案為：2．3．（2024?喀什地區(qū)一模）如圖，△ABC中，AB＝AC，以點(diǎn)B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AC于點(diǎn)C，E，再分別以點(diǎn)C與點(diǎn)E為圓心，大于CE長(zhǎng)的一半為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)F，連接BF交AC于點(diǎn)D，若∠A＝40°，則∠EBD是20°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠CBE，即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ACB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，由題意可知，BC＝BE，∴∠BEC＝∠ACB＝70°，∴∠CBE＝180°﹣70°×2＝40°，∴∠EBD＝∠CBE＝20°．故答案為：20°．4．（2024?咸豐縣模擬）已知A（2，0），B（0，2），點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，且△ABC為等腰三角形，滿足條件的C有（）個(gè)．A．5 B．6 C．7 D．8【分析】分三種情況：當(dāng)AB＝AC時(shí)；當(dāng)BA＝BC時(shí)；當(dāng)CA＝CB時(shí)；即可解答．【解答】解：如圖：分三種情況：當(dāng)AB＝AC時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作圓，交坐標(biāo)軸于點(diǎn)C1，C2，C3；當(dāng)BA＝BC時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，以BA長(zhǎng)為半徑作圓，交坐標(biāo)軸于點(diǎn)C4，C5；當(dāng)CA＝CB時(shí)，作AB的垂直平分線，交y軸于點(diǎn)C6；綜上所述：滿足條件的C有6個(gè)，故選：B．5．（2024?惠安縣一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是邊AC的中線，根據(jù)下列作圖步驟：①分別以B，C為圓心，大于為半徑作弧，兩弧分別相交于M，N兩點(diǎn)；②連接M，N并延長(zhǎng)，交BD于點(diǎn)P；③連接AP，CP．則下列結(jié)論正確的是（）A．延長(zhǎng)CP，則CP垂直平分AB B．AP平分∠BAC C．△APB是等腰三角形 D．AP＝BP＝CP【分析】由作圖可知MN是BC的垂直平分線，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得A，P，M，N在同一條直線上，則點(diǎn)P為△ABC的重心，因此只有當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，延長(zhǎng)，CP垂直平分AB，據(jù)此可對(duì)選項(xiàng)A進(jìn)行判斷；根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可對(duì)選項(xiàng)B進(jìn)行判斷；根據(jù)只有當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，PA＝PB，據(jù)此可對(duì)選項(xiàng)C進(jìn)行判斷；根據(jù)只有當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，AP＝BP＝CP，據(jù)此可對(duì)選項(xiàng)D進(jìn)行判斷，綜上所述可得出答案．【解答】解：由作圖可知：MN是BC的垂直平分線，又∵AB＝AC，∴A，P，M，N在同一條直線上，即AP是BC邊上的中線，∴點(diǎn)P為△ABC的重心，延長(zhǎng)CP，則CP平分AB，只有當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，CP垂直平分AB，故選項(xiàng)A不正確，不符合題意；∵AB＝AC，AP是BC邊上的中線，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得：AP平分∠BAC，故選項(xiàng)B正確，符合題意；∵點(diǎn)P為△ABC的重心，∴只有當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，PA＝PB，即△APB是等腰三角形，故選項(xiàng)C不正確，不符合題意；∵點(diǎn)P為△ABC的重心，∴只有當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，AP＝BP＝CP，故選項(xiàng)D不正確，不符合題意．故選：B．6．（2023?紫金縣三模）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格的交點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，已知A，B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】分三種情況：當(dāng)AB＝AC時(shí)，當(dāng)BA＝BC時(shí)，當(dāng)CA＝CB時(shí)，即可解答．【解答】解：如圖：分三種情況：當(dāng)AB＝AC時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作圓，則點(diǎn)C1，C2，C3即為所求；當(dāng)BA＝BC時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，以BA長(zhǎng)為半徑作圓，則點(diǎn)C4，C5，C6即為所求；當(dāng)CA＝CB時(shí)，作AB的垂直平分線，則點(diǎn)C7，C8即為所求；綜上所述：符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是8，故選：B．7．（2024?道里區(qū)校級(jí)一模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC，∠C＝2∠B，AB﹣BE＝4，AD＝BE，則BE的長(zhǎng)6．【分析】延長(zhǎng)BC到F，使DE＝DF，連接AF，設(shè)∠B＝2α，則∠ACB＝2∠B＝4α，則∠BAC＝180°﹣6α，根據(jù)角平分線的定義得∠BAE＝∠BAC＝90°﹣3α，進(jìn)而得∠AEF＝∠B+∠BAE＝90°﹣α，則∠F＝∠AEF＝90°﹣α，由此得∠CAF＝∠ACB﹣∠F＝5α﹣90°，∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝90°﹣α＝∠F，進(jìn)而得AB＝FB＝BE+EF，再根據(jù)AB﹣BE＝EF得EF＝4，則DE＝DF＝2，設(shè)BE＝a，則AD＝BE＝a，AB＝BE+4＝a+4，BD＝BE+DE＝a+2，然后Rt△ABD中利用勾股定理求出a的值即可得BE的長(zhǎng)．【解答】解：延長(zhǎng)BC到F，使DE＝DF，連接AF，如圖所示：設(shè)∠B＝2α，則∠ACB＝2∠B＝4α，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣6α，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝×（180°﹣6α）＝90°﹣3α，∴∠AEF＝∠B+∠BAE＝2α+90°﹣3α＝90°﹣α，∵AD⊥BC，DE＝DF，∴AD為EF的垂直平分線，∴AE＝AF，∴∠F＝∠AEF＝90°﹣α，∵∠ACB＝∠F+∠CAF，∴∠CAF＝∠ACB﹣∠F＝4α﹣（90°﹣α）＝5α﹣90°，∴∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝180°﹣6α+5α﹣90°＝90°﹣α，∴∠F＝∠BAF＝90°﹣α，∴AB＝FB，即AB＝BE+EF，∴AB﹣BE＝EF，又∵AB﹣BE＝4，∴EF＝4，∴DE＝DF＝2，設(shè)BE＝a，則AD＝BE＝a，AB＝BE+4＝a+4，BD＝BE+DE＝a+2，在Rt△ABD中，AB＝a+4，BD＝a+2，AD＝a，由勾股定理得：AD2+BD2＝AB2，即a2+（a+2）2＝（a+4）2，整理得：a2﹣4a﹣12＝0，解得：a1＝6，a2＝﹣2（不合題意，舍去），∴BE＝a＝6．故答案為：6．8．（2024?利津縣一模）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，MN過(guò)點(diǎn)O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N．則△AMN的周長(zhǎng)為18．【分析】由在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作MN∥BC，易證得△BOM與△CON是等腰三角形，繼而可得△AMN的周長(zhǎng)等于AB+AC．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠ABO＝∠OBC，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∴∠ABO＝∠MOB，∴BM＝OM，同理CN＝ON，∴△AMN的周長(zhǎng)是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝10+8＝18．故答案為：18．9．（2023?黑龍江模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB﹣AC＝3，BC＝8，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點(diǎn)D，則S△BDC的值為（）A．24 B．12 C．6 D．3【分析】延長(zhǎng)AC、BD相交于點(diǎn)E，證明△ADE≌△ADB（ASA），可得AE＝AB，ED＝BD，從而可得，再由AB﹣AC＝3，求得CE＝3，即可求得面積．【解答】解：延長(zhǎng)AC、BD相交于點(diǎn)E，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴∠EAD＝∠BAD，∠ADE＝∠ADB＝90°，在△ADE和△ADB中，，∴△ADE≌△ADB（ASA），∴AE＝AB，ED＝BD，∴，∵AB﹣AC＝3，∴AE﹣AC＝CE＝3，∴．故選：C．10．（2023?長(zhǎng)春二模）如圖，直線y＝4x+4與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，∠CAB＝45°．則點(diǎn)C的坐標(biāo)是．【分析】過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，交直線AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)題意易得A（0，4），B（﹣1，0），OA＝4，OB＝1，△ABD為等腰直角三角形，得到AB＝BD，由同角的余角相等可得∠BAO＝∠DBE，于是可通過(guò)AAS證明△ABO≌△BDE，得到OB＝DE＝1，OA＝BE＝4，則OE＝5，進(jìn)而得出D（﹣5，1），再利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為，最后求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，交直線AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，∵直線y＝4x+4與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，∴A（0，4），B（﹣1，0），∴OA＝4，OB＝1，∵∠CAB＝45°，BD⊥AB，∴△ABD為等腰直角三角形，∠ABD＝90°，∴AB＝BD，∵∠ABO+∠DBE＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠DBE，在△ABO和△BDE中，，∴△ABO≌△BDE（AAS），∴OB＝DE＝1，OA＝BE＝4，∴OE＝OB+BE＝1+4＝5，∴D（﹣5，1），設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b（k≠0），將點(diǎn)A（0，4），D（﹣5，1）代入得，，解得：，∴直線AC的解析式為，令y＝0得，，解得：x＝，∴C．故答案為：．題型02等邊三角形的性質(zhì)和判定解題大招01：等邊三角形的判定方法重點(diǎn)記憶有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形，但是如果一個(gè)三角形中出現(xiàn)2個(gè)60°內(nèi)角，也要往等邊三角形方向想。解題大招02：等邊三角形面積的求解方法：【中考真題練】1．（2023?金昌）如圖，BD是等邊△ABC的邊AC上的高，以點(diǎn)D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作弧交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠DEC＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝60°，根據(jù)等邊三角形三線合一可得∠CBD＝30°，再根據(jù)作圖可知BD＝ED，進(jìn)一步可得∠DEC的度數(shù)．【解答】解：在等邊△ABC中，∠ABC＝60°，∵BD是AC邊上的高，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝30°，∵BD＝ED，∴∠DEC＝∠CBD＝30°，故選：C．2．（2023?綿陽(yáng)）如圖，在等邊△ABC中，BD是AC邊上的中線，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE＝CD，若DE＝，則AB＝（）A． B．6 C．8 D．【分析】先由等邊三角形的性質(zhì)，得BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，再根據(jù)CE＝CD，得∠E＝∠CDE，進(jìn)而得∠CBD＝∠E＝30°，則BD＝DE＝4，然后在Rt△ABD中，由勾股定理求出AB即可．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴AC＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD是AC邊上的中線，∴BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝2AD，∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，∴60°＝2∠E，∴∠E＝30°，∠CBD＝∠E＝30°，∴BD＝DE＝4，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2﹣AD2＝BD2，即（2AD）2﹣AD2＝（4）2，解得：AD＝4，∴AB＝2AD＝8．故選：C．3．（2023?江西）將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α＝60°，點(diǎn)B，C表示的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長(zhǎng)為2cm．【分析】先由平行線的性質(zhì)可得∠ACB的度數(shù)，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)定理可得AB＝BC，則可得出AB的長(zhǎng)．【解答】解：∵直尺的兩對(duì)邊相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）．故答案為：2．4．（2023?涼山州）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別在兩條射線OM、ON上滑動(dòng)，若OM⊥ON，則OC的最大值是1+．【分析】取AB的中點(diǎn)D，連接OD及DC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到OC小于等于OD+DC，只有當(dāng)O、D及C共線時(shí)，OC取得最大值，最大值為OD+CD，由等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，根據(jù)D為AB中點(diǎn)，得到BD為1，根據(jù)三線合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根據(jù)勾股定理求出CD的長(zhǎng)，在直角三角形AOB中，OD為斜邊AB上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OD等于AB的一半，由AB的長(zhǎng)求出OD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出DC+OD，即為OC的最大值．【解答】解：取AB中點(diǎn)D，連OD，DC，∴OC≤OD+DC，當(dāng)O、D、C共線時(shí)，OC有最大值，最大值是OD+CD，∵△ABC為等邊三角形，D為AB中點(diǎn)，∴BD＝1，BC＝2，∴CD＝＝，∵△AOB為直角三角形，D為斜邊AB的中點(diǎn)，∴OD＝AB＝1，∴OD+CD＝1+，即OC的最大值為1+．故答案為：1+．5．（2023?雅安）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于點(diǎn)E，BC＝8，AE＝6，則AB的長(zhǎng)為2．【分析】連接AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，交AC于點(diǎn)F，先證明△BCD是等邊三角形，AC垂直平分BD，求得∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°，AE＝EC＝6，再解三角形求出AO＝AC﹣CO＝2，最后運(yùn)用勾股定理求得AB即可．【解答】解：如圖：連接AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，交AC于點(diǎn)F，又∵BC＝DC，∠C＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴BD＝BC＝CD＝8，∵AB＝AD，BC＝DC，∴AC⊥BD，BO＝DO＝BD＝4，∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD＝30°，又∵AE∥CD，∴∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°．∴AE＝EC＝6，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，交AC于點(diǎn)F，∴CF＝CE?cos30°＝6×＝3，AF＝AE?cos30°＝6×＝3，CO＝BC?cos30°＝8×＝4，∴AC＝CF+AF＝6，∴AO＝AC﹣CO＝6﹣4＝2．在Rt△BOA中，AB＝＝＝2．故答案為：2．【中考模擬練】1．（2023?黔東南州二模）如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若AE＝AC，則∠AEC的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．65° D．75°【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得∠CAE＝30°，由等腰三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴∠CAE＝30°，∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝75°，故選：D．2．（2024?長(zhǎng)沙縣一模）如圖，AB∥CD，△ACE為等邊三角形，∠DCE＝45°，則∠EAB等于（）A．40° B．30° C．20° D．15°【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ECA＝∠EAC＝60°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DCA+∠BAC＝180°，然后根據(jù)角的和差計(jì)算即可．【解答】解：∵△ACE為等邊三角形，∴∠ECA＝∠EAC＝60°，∵AB//CD，∴∠DCA+∠BAC＝180°，∴∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，∵∠DCE＝45°，∴45°+60°+60°+∠EAB＝180°，解得∠EAB＝15°．故選：D．3．（2023?團(tuán)風(fēng)縣模擬）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P是三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周長(zhǎng)為12，則PD+PE+PF＝（）A．12 B．8 C．4 D．3【分析】過(guò)點(diǎn)P作平行四邊形PGBD，EPHC，進(jìn)而利用平行四邊形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)即可．【解答】解：延長(zhǎng)EP、FP分別交AB、BC于G、H，則由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，四邊形PGBD，EPHC是平行四邊形，∴PG＝BD，PE＝HC，又△ABC是等邊三角形，又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等邊三角形，∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，又△ABC的周長(zhǎng)為12，∴PD+PE+PF＝DH+HC+BD＝BC＝×12＝4，故選：C．4．（2023?肥西縣二模）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)