專題1.2 整式的乘除法【十一大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）

第=1+1頁共sectionpages32頁專題1.2整式的乘除法【十一大題型】 【北師大版】 TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用整式乘法求值】 1【題型2利用整式乘法解決不含某項問題】 2【題型3利用整式乘法解決錯看問題】 5【題型4利用整式乘法解決遮擋問題】 7【題型5整式乘法的計算】 8【題型6整式乘法的應(yīng)用】 9【題型7整式除法的運算與求值】 12【題型8整式除法的應(yīng)用】 16【題型9整式乘法中的新定義問題】 18【題型10整式乘法中的規(guī)律探究】 22【題型11整式乘法與面積的綜合探究】 26【知識點整式的乘法】單項式×單項式：系數(shù)相乘，字母相乘．單項式×多項式：乘法分配律．多項式×多項式：乘法分配律．【題型1利用整式乘法求值】【例1】（2023春·江蘇無錫·七年級期中）若(x?1)(x+b)=x2+ax?2，則a+b的值為．【答案】3【分析】由多項式乘多項式計算得x2＋（b﹣1）x﹣b＝x2＋ax﹣2，根據(jù)對應(yīng)系數(shù)相等即可得出答案．【詳解】解：∵（x﹣1）（x＋b）＝x2＋bx﹣x﹣b＝x2＋（b﹣1）x﹣b，∴x2＋（b﹣1）x﹣b＝x2＋ax﹣2，∴b﹣1＝a，﹣b＝﹣2，解得：b＝2，a＝1，∴a＋b＝3，故答案為：3．【點睛】本題主要考查了多項式乘多項式，熟練掌握多項式乘多項式的法則進行計算是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·七年級單元測試）已知x2+x+1=0，則【答案】9.【分析】觀察發(fā)現(xiàn)，對x3【詳解】解：∵x∴【點睛】本題考查了多項式乘法的逆用，解題的關(guān)鍵在于尋找所求多項式與已知等式的關(guān)系.【變式1-2】（2023春·上海松江·七年級校考階段練習）已知：x2+3x=10，則代數(shù)式(x?2)【答案】19【分析】先把代數(shù)式(x?2)2+x(x+10)?5化簡得2(x【詳解】原式=x把x2+3x=10故答案為19.【點睛】本題主要考查整體代入的數(shù)學思想.【變式1-3】（2023·七年級單元測試）如果a、b、m均為整數(shù)，且x+a?x+b=x2【答案】0【分析】已知等式左邊利用多項式乘以多項式法則計算，利用多項式相等的條件即可求出m的值.【詳解】∵(x+a)?(x+b)=∴a+b=m,ab=15，∴{a=1b=15或{a=?1b=?15或{a=15b=1或{a=?15b=?1或∴m取值有16，-16，8，-8.則所有的m的和為0.故答案為0.【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.【題型2利用整式乘法解決不含某項問題】【例2】（2023春·浙江·七年級專題練習）已知將（x3+mx+n）（x2-3x+4）展開的結(jié)果不含x3和x2項，求m、n的值．【答案】m=-4，n=-12.【分析】先利用多項式乘法法則把多項式展開，那么原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n=x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．由于展開后不含x3和x2項，則含x3和x2項的系數(shù)為0，由此可以得到4+m=0，-3m+n=0，解方程組即可以求出m、n．【詳解】解：原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n=x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．∵不含x3和x2項，∴4+m=0，-3m+n=0，解得m=-4，n=-12.【點睛】考查了多項式乘多項式，關(guān)鍵是根據(jù)多項式相乘法則以及多項式的項的定義解答．【變式2-1】（2023春·廣東佛山·七年級?？茧A段練習）如果（y+5）（y+m）的乘積中不含y的一次項．則m的值為（

）A．-5 B．5 C．0 D．3【答案】A【分析】原式利用多項式乘多項式法則計算，根據(jù)結(jié)果不含y的一次項，確定出m的值即可．【詳解】解：原式=y2+（m+5）y+5m，由結(jié)果不含y的一次項，得到m+5=0，解得：m=-5，故選：A．【點睛】此題考查了多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·四川資陽·七年級統(tǒng)考期末）已知a為任意實數(shù)，有多項式M=x2+3ax+6，N=x+3，且MN=A，當多項式A中不含2次項時，aA．－1 B．0 C．?23【答案】A【分析】根據(jù)題意列出整式相乘的式子，再計算多項式乘多項式，最后進行合并同類項，令二次項的系數(shù)等于0即可．【詳解】解：∵MN==∴A∴3a∴a故選A．【點睛】本題考查的是整式的乘法—多項式乘多項式，正確進行多項式的乘法是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·七年級課時練習）若x2+3mx?13x(1)直接寫出m、n的值，即m=___________，n=___________；(2)求代數(shù)式?m【答案】(1)1，?(2)9【分析】（1）根據(jù)多項式乘多項式法則計算，然后根據(jù)積中不含有x與x3項可以求解m、n（2）將m、n的值代入代數(shù)式求值即可．【詳解】（1）解：x2=x=x4∵積中不含有x與x3∴3m?3=0，3mn+1=0，解得m=1，n=?1故答案為：1，?1（2）解：當m=1，n=?1?====94【點睛】本題考查多項式乘多項式以及代數(shù)式求值，解題關(guān)鍵是熟知多項式乘多項式的計算法則．【題型3利用整式乘法解決錯看問題】【例3】（2023春·四川內(nèi)江·七年級?？茧A段練習）在數(shù)學課堂上，老師寫出一道整式乘法題：2y+a3y+b．王建由于把第一個多項式中的“+a”抄成了“?a”，得到的結(jié)果為6y2（1）求正確的a，b的值；（2）計算這道乘法題的正確結(jié)果．【答案】（1）a=?3b=?2；（2）【分析】（1）先根據(jù)多項式乘以多項式展開，合并同類項，得出兩個二元一次方程，組成方程組，求出方程組的解即可；（2）根據(jù)多項式乘以多項式法則求出答案即可．【詳解】（1）根據(jù)王建的解法得：2y?a3y+b∴2b?3a=5①根據(jù)李楠的解法的：2y+ay+b∴2b+a=?7②聯(lián)立①②得方程組解得：a=?3b=?2（2）這道題的正確解法是：2y?33y?2【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，解二元一次方程組等知識點，能得出關(guān)于a、b的方程組是解此題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春?濰坊期末）小明在進行兩個多項式的乘法運算時，不小心把乘以（x﹣2y）錯抄成除以（x﹣2y），結(jié)果得到（3x﹣y），則正確的結(jié)果是（）A．3x2﹣7xy+2y2 B．3x2+7xy+2y2 C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3 D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3【分析】直接利用多項式乘多項式運算法則計算得出答案．【解答】解：∵小明在進行兩個多項式的乘法運算時，不小心把乘以（x﹣2y）錯抄成除以（x﹣2y），結(jié)果得到（3x﹣y），∴原式＝（3x﹣y）（x﹣2y）＝3x2﹣6xy﹣xy+2y2＝3x2﹣7xy+2y2，則正確計算結(jié)果為：（3x2﹣7xy+2y2）（x﹣2y）＝3x3﹣7x2y+2xy2﹣6x2y+14xy2﹣4y3＝3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3．故選：C．【變式3-2】（2023春?云縣期末）在計算（x+a）（x+b）時，甲錯把b看成了6，得到結(jié)果x2+8x+12；乙錯把a看成了﹣a，得到結(jié)果x2+x﹣6．你能正確計算（x+a）（x+b）嗎？（a、b都是常數(shù)）【分析】根據(jù)甲的做法求出a的值，根據(jù)乙的做法求出b的值，代入原式中計算即可．【解答】解：∵（x+a）（a+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12，∴6+a＝8，∴a＝2；∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+x﹣6，∴b﹣a＝1，∴b＝3，∴（x+a）（a+b）＝（x+2）（x+3）＝x2+5x+6．【變式3-3】（2023春?河源期末）甲、乙兩人共同計算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄錯了a的符號，得到的結(jié)果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二個多項式中x的系數(shù)，得到的結(jié)果是x2+2x﹣3．（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；（2）若整式中的a的符號不抄錯，且a＝3，請計算這道題的正確結(jié)果．【分析】（1）按甲乙錯誤的說法計算得出的系數(shù)的數(shù)值求出a，b的值；（2）將a，b的值代入原式求出整式乘法的正確結(jié)果．【解答】解：（1）甲抄錯了a的符號的計算結(jié)果為：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+（﹣2a+b）x﹣ab＝2x2﹣7x+3，故：對應(yīng)的系數(shù)相等，﹣2a+b＝﹣7，ab＝﹣3；乙漏抄了第二個多項式中x的系數(shù)，計算結(jié)果為：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3．故：對應(yīng)的系數(shù)相等，a+b＝2，ab＝﹣3，∴?2a+b=?7a+b=2解得：a=3b=?1∴（﹣2a+b）（a+b）＝[（﹣2）×3﹣1]（3﹣1）＝﹣7×2＝﹣14；（2）由（1）可知，b＝﹣1正確的計算結(jié)果：（x+3）（2x﹣1）＝2x2+5x﹣3．【題型4利用整式乘法解決遮擋問題】【例4】（2023春?河南月考）今天數(shù)學課上，老師講了單項式乘多項式，放學回到家，小明拿出課堂筆記復習，發(fā)現(xiàn)一道題：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被鋼筆水弄污了，你認為□內(nèi)應(yīng)填寫（）A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy【分析】先把等式左邊的式子根據(jù)單項式與多項式相乘，先用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加，所得結(jié)果與等式右邊的式子相對照即可得出結(jié)論．【解答】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy．故選：A．【變式4-1】（2023春?天津期末）在一次數(shù)學課上，學習了單項式乘多項式，小明回家后，拿出課堂筆記本復習，發(fā)現(xiàn)這樣一道題：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你認為“□”內(nèi)應(yīng)填寫（）A．9x2 B．﹣9x2 C．9x D．﹣9x【分析】根據(jù)單項式與多項式相乘的運算法則計算可得出答案．【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x，故選：B．【變式4-2】（2023春?岳麓區(qū)校級期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄臟了看不清楚的兩處，請求出m2+6mn+9n2的值．【分析】將（x﹣1）（x2+mx+n）展開求得m和n的值后代入代數(shù)式即可求得其值．【解答】解：∵x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n，∴m﹣1＝﹣6，n＝6，∴m＝﹣5，∴m2+6mn+9n2＝（﹣5）2+6×（﹣5）×6+9×62＝25﹣180+324＝169．【變式4-3】（2023春?江都區(qū)期中）今天數(shù)學課上，老師講了單項式乘以多項式，放學后，小華回到家拿出課堂筆記，認真復習老師課上講的內(nèi)容，他突然發(fā)現(xiàn)一道題3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y，空格的地方被鋼筆水弄污了，你認為橫線上應(yīng)填寫﹣3x3y3．【分析】直接利用單項式乘以多項式運算法則計算得出答案．【解答】解：∵3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y，∴橫線上應(yīng)填寫﹣3x3y2，故答案為：﹣3x3y2，﹣3x3y2．【題型5整式乘法的計算】【例5】（2023春·重慶渝中·七年級校考期中）（1）計算：x?2x+x(x?2)；（2）(m+1)(m?5)?m(m?6)【答案】（1）3x2?2x；（2）2m-5【分析】（1）利用整式的混合運算法則求解即可．（2）根據(jù)單項式乘多項式，多項式乘多項式的運算方法計算即可．【詳解】（1）x?2x+x(x?2)=2x2+x2?2x=3x2?2x.（2）（m+1）（m-5）-m（m-6）=m2-5m+m-5-m2+6m=2m-5；【點睛】此題考查整式的混合運算，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則.【變式5-1】（2023春·上?！て吣昙壠谥校?【答案】1【分析】先計算積的乘方，再根據(jù)單項式乘以多項式法則進行計算即可．【詳解】解：原式==1【點睛】本題考查整式的混合運算，能靈活運用知識點進行化簡是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·七年級課時練習）先化簡，再求值：xx+2+1+x【答案】2x＋1，-3【分析】原式根據(jù)單項式乘以多項式運算法則以及平方差公式去括號，合并同類項；再代入求值即可．【詳解】解：x=＝2x＋1，當x＝－2時，原式=2×?2【點睛】本題主要考查整式的化簡求值，熟練掌握整式的混合運算順序和運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·七年級課時練習）計算：(1)(a－1)(a2＋a＋1)；(2)(2x＋5)(2x－5)－(x＋1)(x－4)；(3)(3x－2)(2x＋3)(x－2).【答案】(1)a3－1；(2)3x2＋3x－21；(3)6x3－7x2－16x＋12.【分析】（1）利用多項式乘以多項式，去括號合并即可得到結(jié)果；（2）原式第一項利用平方差公式化簡，第二項利用多項式乘以多項式，去括號合并即可得到結(jié)果；（3）利用多項式乘以多項式，去括號合并即可得到結(jié)果.【詳解】(1)原式＝a·a2＋a·a＋a·1－a2－a－1＝a3－1.(2)原式＝4x2－25－x2＋3x＋4＝3x2＋3x－21.(3)原式＝(6x2＋9x－4x－6)(x－2)＝(6x2＋5x－6)(x－2)＝6x3＋5x2－6x－12x2－10x＋12＝6x3－7x2－16x＋12.【點睛】此題考查了多項式乘以多項式，以及平方差公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.【題型6整式乘法的應(yīng)用】【例6】（2023春·浙江寧波·七年級?？计谥校╅L方形的長和寬分別是a厘米、b厘米,如果長方形的長和寬各減少3厘米．新長方形的面積比原長方形的面積減少了多少平方厘米（用含的代數(shù)式表示）？【答案】3a+3b-9【詳解】分析：根據(jù)題意表示出原來長方形與新長方形的面積，相減即可得到結(jié)果；詳解：根據(jù)題意得，原長方形的面積為：ab平方厘米，新長方形的面積為：(a?2)(b?2)平方厘米，則新長方形的面積比原長方形的面積減少了：ab?(a?3)(b?3)=ab?ab+3a+3b?9=3a+3b?9(平方厘米).點睛：本題考查了長方形的面積和整式的混合運算，長方形的面積=長×寬，整式的混合運算是先算乘方，再算乘除，后算加減.

【變式6-1】（2023春·上海靜安·七年級新中初級中學校考期末）用長為24米的木條，做成一個“目”字形的窗框（如圖所示，窗框外沿ABCD是長方形），若窗框的橫條長度都為x米．（1）用代數(shù)式表示長方形ABCD的面積．（2）當x=3時，求出長方形ABCD的面積．【答案】（1）?2x2+12x【分析】（1）根據(jù)題意“目”字形的窗框，長有4段，總長為4AD＝4x米，則AB＝24?4x2（2）把x＝3代入（1）中關(guān)于面積的代數(shù)式中即可得出答案．【詳解】（1）根據(jù)題意得AB=24?4x2∴S長方形ABCD=(12?2x)?x=?2x（2）當x=3時，?2=?18+36=18m答：長方形ABCD面積為18m【點睛】本題主要考查了列代數(shù)及代數(shù)式的求值，根據(jù)題意列出合理的代數(shù)式是解決本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，用一張高為30cm，寬為20cm的長方形打印紙打印文檔，如果左右的頁邊距都為xcm，上下頁邊距比左右頁邊距多1cm.（1）請用x的代數(shù)式表示中間打印部分的面積.（2）當x=2時，中間打印部分的面積是多少平方厘米？【答案】（1）4x2-96x+560；（2）384cm2.【分析】（1）分別用含x的代數(shù)式表示出中間打印部分的高和寬，利用長方形面積公式即可得答案；（2）把x=2代入（1）中代數(shù)式，即可得答案.【詳解】（1）∵左右的頁邊距都為xcm，上下頁邊距比左右頁邊距多1cm，∴中間打印部分的高為30-2(x+1)=28-2x,寬為20-2x，∴中間打印部分的面積為(28-2x)(20-2x)=4x2-96x+560.（2）由（1）得中間打印部分的面積為4x2-96x+560，∴當x=2時，中間打印部分的面積為4×22-96×2+560=384(cm2).答：當x=2時，中間打印部分的面積是384cm2.【點睛】本題考查了列代數(shù)式，正確理解題意，根據(jù)圖示表示出中間打印部分的高和寬是解題關(guān)鍵.【變式6-3】（2023春·廣東茂名·七年級校聯(lián)考階段練習）有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕的A區(qū)就會自動減去a，同時B區(qū)就會自動加上3a，且均顯示化簡后的結(jié)果．已知A，B兩區(qū)初始顯示的分別是25和﹣16（如圖所示）．例如：第一次按鍵后，A，B兩區(qū)分別顯示：25﹣a，﹣16+3a．(1)那么第二次按鍵后，A區(qū)顯示的結(jié)果為______，B區(qū)顯示的結(jié)果為______．(2)計算（1）中A、B兩區(qū)顯示的代數(shù)式的乘積，并求當a＝1時，代數(shù)式乘積的值．【答案】(1)A區(qū)顯示的結(jié)果為-2a+25；B區(qū)顯示的結(jié)果為6a-16(2)?12a2+182a?400【分析】（1）根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；（2）根據(jù)多項式乘以多項式法則進行計算，然后將a＝1代入求值即可．【詳解】（1）第二次按鍵后，A區(qū)顯示的結(jié)果為25?2a，B區(qū)顯示的結(jié)果為6a?16故答案為：25?2a，6a?16（2）（-2a+25）（6a-16）=?12a當a＝1時原式=﹣12+182﹣400=?230【點睛】本題考查了列代數(shù)式、多項式乘以多項式，準確理解題意，并熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【知識點2整式的除法】單項式÷單項式：系數(shù)相除，字母相除．多項式÷單項式：除法性質(zhì)．多項式÷多項式：大除法．【題型7整式除法的運算與求值】【例7】（2023春·河北承德·七年級統(tǒng)考期末）下列計算27a2÷A．27a2÷(C．(27÷13÷9)【答案】A【分析】本題是單項式的連除運算，根據(jù)運算順序、除法的性質(zhì)及單項式除以單項式的法則即可求解．【詳解】解：A、∵27a2÷(∴27aB、根據(jù)運算順序連續(xù)除以兩個數(shù)即從左往右依次計算，可知27aC、根據(jù)單項式除以單項式的法則，可知27aD、根據(jù)運算順序及除法的性質(zhì)，可知27a故選∶A．【點睛】本題主要考查了連除的運算順序及單項式除以單項式的法則．熟練掌握單項式除以單項式的運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期末）已知4m2?7m+6=0【答案】3【分析】首先求出4m2?7m=?6【詳解】解：∵4∴4∴3=3m?2?=3m?2?4=?4=?=6?3=3．【點睛】本題考查代數(shù)式求值，完全平方公式，多項式除以單項式，得出4m【變式7-2】（2023·四川·石室佳興外國語學校七年級階段練習）已知多項式2x2﹣4x﹣1除以一個多項式A，得商式為2x，余式為x﹣1，則這個多項式A＝_____．【分析】根據(jù)“除式=（被除式-余式）÷商”列式，再利用多項式除單項式，先把多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加，計算即可．【解答】解：由題意可得：A==(2=x?故答案為：x?【變式7-3】（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）閱讀理解：由兩個或兩類對象在某些方面的相同或相似，得出它們在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫類比法.多項式除以多項式可以類比于多位數(shù)的除法進行計算．如圖1：∴278÷12=232，∴x即多項式除以多項式用豎式計算，步驟如下：①把被除式和除式按同一字母的指數(shù)從大到小依次排列（若有缺項用零補齊）．②用豎式進行運算．③當余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時，運算終止，得到商式和余式.若余式為零，說明被除式能被除式整除．例如：x3+2x2?3÷x?1根據(jù)閱讀材料，請回答下列問題：(1)多項式x2+5x+6除以多項式(2)已知x3+2x2?ax?10(3)如圖2，有2張A卡片，21張B卡片，40張C卡片，能否將這63片拼成一個與原來總面積相等且一邊長為a+8b的長方形？若能，求出另一邊長；若不能，請說明理由．【答案】(1)x+3(2)3(3)能，另一邊長為2a+5b【分析】（1）列豎式進行計算即可得到答案；（2）列豎式計算，根據(jù)整除的意義，利用對應(yīng)項的系數(shù)對應(yīng)倍數(shù)即可得到答案；（3）根據(jù)題意，得到63張卡片的總面積為2a2+21ab+40b2【詳解】（1）解：列豎式如下：x+2∴多項式x2+5x+6除以多項式x+2，所得的商式為故答案為：x+3；（2）列豎式如下：x?2∵x3+2∴2（8?a）?10=0，解得：a=3，故答案為：3；（3）解：能，理由如下：根據(jù)題意，A卡片的面積是a2，B卡片的面積是ab，C卡片的面積是b∴2張A卡片，21張B卡片，40張C卡片的總面積為2a列豎式如下：a+8b∵余式為0，∴2a2+21ab+40b2∴可以拼成與原來總面積相等且一邊長為（a+8b）的長方形，另一邊長為（2a+5b）．【點睛】本題考查了利用豎式計算整式的除法，解題關(guān)鍵是注意同類項的對應(yīng)，理解被除式=除式×商式+余式．【題型8整式除法的應(yīng)用】【例8】（2023春·七年級統(tǒng)考期末）某農(nóng)場種植了蔬菜和水果，現(xiàn)在還有兩片空地，農(nóng)場計劃在這兩片空地上種植水果黃瓜、白黃瓜和青黃瓜．已知不同品種的黃瓜畝產(chǎn)量不同，其中白黃瓜的畝產(chǎn)量是青黃瓜的12，如果在空地種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為2：3：4，則水果黃瓜的產(chǎn)量是白黃瓜與青黃瓜產(chǎn)量之和的2倍；如果在空地上種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為5：4：3，則白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的總產(chǎn)量之比為【答案】5:8:12【分析】設(shè)青黃瓜的畝產(chǎn)量為x，則白黃瓜的畝產(chǎn)量為12x，白黃瓜的種植面積為2y，青黃瓜的種植面積為3y，水果黃瓜的種植面積為4y，據(jù)此求出水果黃瓜的產(chǎn)量是8xy，進而得到水果黃瓜的畝產(chǎn)量為【詳解】解：設(shè)青黃瓜的畝產(chǎn)量為x，則白黃瓜的畝產(chǎn)量為12x，白黃瓜的種植面積為2y，青黃瓜的種植面積為3y，水果黃瓜的種植面積為∴青黃瓜的產(chǎn)量為3xy，白黃瓜的產(chǎn)量為xy，∴水果黃瓜的產(chǎn)量是23xy+xy∴水果黃瓜的畝產(chǎn)量為8xy4y∴當種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為5：4：3，則白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的總產(chǎn)量之比為5×1故答案為：5:8:12．【點睛】本題主要考查了整式的加減計算，單項式除以單項式，正確根據(jù)題意求出水果黃瓜的畝產(chǎn)量為2x是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春?渝中區(qū)校級期中）某玩具加工廠要制造如圖所示的兩種形狀的玩具配件，其中，配件①是由大、小兩個長方體構(gòu)成的，大長方體的長、寬、高分別為：52a、2a、32a，小長方體的長、寬、高分別為：2a、a、a（1）生產(chǎn)配件①與配件②分別需要多長體積的原材料（不計損耗）？（2）若兩個配件①與一個配件②可以用于加工一個玩具，每個玩具在市場銷售后可獲利30元，則1000a3體積的這種原材料可使該廠最多獲利多少元？【分析】（1）先算出兩個長方體的體積，再相加，即可得出配件①的體積，求出棱長為a的正方體體積，即可得出配件②的體積；（2）根據(jù)題意列出算式1000a3÷（2×17【解答】解：（1）生產(chǎn)配件①需要的原材料的體積是：52a?2a?32a+2a?a?生產(chǎn)配件②需要的原材料的體積是：a?a?a＝a3；（2）根據(jù)題意得：1000a3÷（2×172a3+a3）×30答：1000a3體積的這種原材料可使該廠最多獲利50003【變式8-2】（2023春?蜀山區(qū)期中）愛動腦筋的麗麗與娜娜在做數(shù)學小游戲，兩人各報一個整式，麗麗報的整式A作被除式，娜娜報的整式B作除式，要求商式必須為﹣3xy（即A÷B＝﹣3xy）（1）若麗麗報的是x3y﹣6xy2，則娜娜應(yīng)報什么整式？（2）若娜娜也報x3y﹣6xy2，則麗麗能報一個整式嗎？若能，則是個什么整式？說說你的理由．【分析】根據(jù)A÷B＝﹣3xy，可知：（1）B＝（x3y﹣6xy2）÷（﹣3xy）=?13x（2）A＝（x3y﹣6xy2）（﹣3xy）＝﹣3x4y2+18x2y3；【解答】解：（1）A＝x3y﹣6xy2，∴B＝（x3y﹣6xy2）÷（﹣3xy）=?13x（2）A＝（x3y﹣6xy2）（﹣3xy）＝﹣3x4y2+18x2y3【變式8-3】（2023·七年級單元測試）甲、乙兩個同學從A地到B地，甲步行的速度為3千米/小時，乙步行的速度是5千米/小時，兩人騎車的速度都是15千米/小時.現(xiàn)在甲先步行，乙先騎自行車，兩人同時從A地出發(fā)，走了一段路程后，乙放下自行車步行，甲到乙放自行車的地方處改騎自行車.后面不斷這樣交替進行，兩人恰好同時到達B地.那么，甲走全程的平均速度是多少？【答案】457【分析】根據(jù)題意甲、乙從A地到B地，即甲步行共走的路程恰好等于乙騎車共走的路程；甲騎車共走的路程恰好等于乙步行共走的路程．故首先設(shè)甲步行共走x千米，騎車共走y千米，則乙騎車共行x千米，步行共行y千米．再根據(jù)路程=速度×時間，且甲、乙兩人行走過程中經(jīng)過的時間相同，那么可列出方程x3+y【詳解】解：設(shè)甲步行共走x千米，騎車共走y千米，則乙騎車共行x千米，步行共行y千米．則根據(jù)題意，得x3解得y=2x．故甲的平均速度為(x+y)÷x3+答：甲走完全程的平均速度457【點睛】考查了一元一次方程的應(yīng)用．本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出路線草圖，明白甲步行共走的路程恰好等于乙騎車共走的路程，甲騎車共走的路程恰好等于乙步行共走的路程；再就是求解過程中能夠約去未知數(shù)．【題型9整式乘法中的新定義問題】【例9】（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）海倫是古希臘數(shù)學家，約公元62年左右活躍于亞歷山大，年青時海倫酷愛數(shù)學，他的代表作《量度論》主要是研究面積、體積和幾何分比問題，其中一段探究三角形面積的方法翻譯如下：如圖，設(shè)三角形面積為S，以三角形各邊為邊向外作正方形，三個正方形的面積分別記作S1、S2、S3，定義：S=S1+S2+S32；S′1=S?S1；S′2=S?S2(1)若S1=3，S2(2)當S′1=x?3；S①求Fs②若S1【答案】(1)6，11(2)①?x2+10x?9【分析】（1）根據(jù)定義計算即可求解；（2）①根據(jù)Fs②先求得S的值，再根據(jù)定義分別求得S1、S2、S3的值，根據(jù)S【詳解】（1）解：∵S1∴S=S′1=S?∴Fs故答案為：6，11；（2）解：①∵S′1=x?3；S∴F=(x?3)(x+3)+(x+3)(5?x)+(5?x)(x?3)==?x②∵S1∴S=∴S1′=S2′=S3′=∴S1∴x=5，∴FS∴S2故三角形的面積S=2．【點睛】本題考查了整式的乘法的應(yīng)用，掌握新定義的內(nèi)容，整式乘法的運算法則是解題的關(guān)鍵.【變式9-1】（2023春·浙江衢州·七年級統(tǒng)考期中）定義新運算abcd（1）計算23（2）化簡：x+y7xy?【答案】（1）19；（2）?y【分析】（1）根據(jù)定義的新運算，把相關(guān)數(shù)值代入計算即可；（2）把相關(guān)式子代入，進行整式運算即可．【詳解】（1）2=19．（2）x+y=?3=?y【點睛】本題考查了新定義下的實數(shù)運算、整式的混合運算，正確理解定義的新運算的含義，根據(jù)數(shù)（式）位置確定a、b、c、d的值是解題關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春·安徽六安·七年級六安市第九中學校考期中）給出如下定義：我們把有序?qū)崝?shù)對(a,b,c)叫做關(guān)于x的二次多項式ax2+bx+c的特征系數(shù)對，把關(guān)于x的二次多項式a(1)關(guān)于x的二次多項式3x(2)求有序?qū)崝?shù)對(1,4,4)的特征多項式與有序?qū)崝?shù)對(1,?4,4)的特征多項式的乘積；(3)有序?qū)崝?shù)對(2,1,1)的特征多項式與有序?qū)崝?shù)對(a,?2,4)的特征多項式的乘積不含x2項，求a【答案】(1)（3，2，-1）；(2)x4(3)-6【分析】（1）根據(jù)定義得到a，b，c的值即可得到答案；（2）根據(jù)特征多項式的定義得到兩個多項式，根據(jù)多項式乘以多項式的計算法則計算可得答案；（3）根據(jù)定義得到特征多項式，計算乘積，根據(jù)特征多項式的乘積不含x2項得到x2項的系數(shù)等于0，由此求出【詳解】（1）解：由定義得a=3，b=2，c=-1，∴二次多項式3x故答案為：（3，2，-1）；（2）有序?qū)崝?shù)對(1,4,4)的特征多項式為x2有序?qū)崝?shù)對(1,?4,4)的特征多項式為x2∴（x2+4x+4）（=x+2=x+2=x=x4（3）有序?qū)崝?shù)對(2,1,1)的特征多項式為2x有序?qū)崝?shù)對(a,?2,4)的特征多項式為ax∴（2x2+x+1）（a∵乘積不含x2∴6+a=0，解得a=-6．【點睛】此題考查了新定義，多項式乘以多項式的計算法則，以及多項式不含項的應(yīng)用，正確理解新定義得到多項式是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2023春·四川宜賓·七年級統(tǒng)考期中）閱讀下列材料，解答下列問題：定義：如果一個數(shù)的平方等于?1，記為i2＝?1，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如a+bi（a，b為實數(shù)）的數(shù)叫做復數(shù)，其中a叫這個復數(shù)的實部，b叫做這個復數(shù)的虛部，它的加、減、乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似．例如計算：(2?i)+(5+3i)＝(2+5)+(?1+3)i＝7+2i；(1+i)×(2?i)＝1×2?i+2×i?i2＝2+(?1+2)i+1＝3+i；根據(jù)以上信息，完成下列問題：（1）填空：i3＝________，i4＝________；（2）計算：（2＋3i）×（3－4i）；（3）計算：i＋i2＋i3＋…＋i2019．【答案】(1)-i，1；(2)18+i；(3)-1.【分析】（1）把i2=-1代入求出即可；（2）根據(jù)多項式乘以多項式的計算法則進行計算，再把i2=-1代入求出即可；（3）先根據(jù)復數(shù)的定義計算，再合并即可求解．【詳解】解：（1）由題意可知，i3=i2×i=-1×i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，故答案為-i，1；（2）（2＋3i）×（3－4i）=6-8i+9i-12i2=6+i-12×（-1）=18+i；（3）由i=i，i2=-1，i3=-i，i4=1，i5=i4?i=i，i6=i4×i2=1×（-1）=-1，i7=i4×i3=1×（-i）=-i，i8=i4×i4=1×1=1…且i+i2+i3+i4=i+（-1）+（-i）+1=0，同理：i5+i6+i7+i8=0，可以看出每隔4位相加都等于0，且第五項第于第一項，第六項等于第二項…∴i+i2+i3+…+i2019=504×0+i2017+i2018+i2019=i-1-i=-1．【點睛】本題考查了整式的混合運算，復數(shù)的定義，能讀懂題意是解此題的關(guān)鍵．【題型10整式乘法中的規(guī)律探究】【例10】（2023春·廣東梅州·七年級統(tǒng)考期末）若正整數(shù)a，b的和為10，則稱a，b“互補”，如果兩個兩位數(shù)的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字“互補”（如24與26，52與58，簡稱它們“首同尾補”）；那么這兩個數(shù)的積是三位數(shù)或四位數(shù)，其末尾的兩位數(shù)等于兩數(shù)的個位數(shù)字之積，其起始的一位或兩位數(shù)等于兩數(shù)的十位數(shù)字與比這個十位數(shù)字大1的數(shù)之積．例如：24×26=624（積中的6=2×2+1，24=4×652×58=3016（積中的30=5×5+1，16=2×8(1)直接寫出下列各式運算結(jié)果：95×95=______，81×89=______；(2)用ab和ac分別表示兩個兩位數(shù)，其中a表示十位數(shù)字，b和c表示它們的個位數(shù)字，且b+c=10，①依據(jù)題意，兩位數(shù)ab表示為______，兩位數(shù)ac表示為______；②上述速算規(guī)律可用等式表示為__________________；③試說明②中等式的正確性．【答案】(1)9025，7209(2)①10a+b，10a+c；②ab×【分析】（1）先判斷95，95與81，89都是“首同尾補”數(shù)，再根據(jù)已知的方法求解即可；（2）①根據(jù)兩位數(shù)的表示方法解答即可；②根據(jù)已知的方法結(jié)合整數(shù)的乘法解答即可；③根據(jù)多項式的乘法結(jié)合已知b+c=10即可解答．【詳解】（1）解：∵95，95與81，89都是“首同尾補”數(shù)，∴95×95=9025，81×89=7209；故答案為：9025，7209；（2）①依據(jù)題意，兩位數(shù)ab表示為10a+b，兩位數(shù)ac表示為10a+c；故答案為：10a+b，10a+c；②上述速算規(guī)律可用等式表示為ab×故答案為：ab×③∵b+c=10，∴ab=100=100=100∵100aa+1∴ab×【點睛】本題考查了整式的運算以及規(guī)律應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握多項式的乘法法則是關(guān)鍵．【變式10-1】（2023春·江蘇·七年級專題練習）在運算中，我們?nèi)绻芸偨Y(jié)規(guī)律，并加以歸納，得出數(shù)學公式，一定會提高解題的速度．在解答下列問題中，請?zhí)骄科渲械囊?guī)律．(1)計算后填空：x+2x+3x?1x+4x?3x?2(2)歸納猜想后填空：x+ax+b=x(3)運用（2）中得到的結(jié)論，直接寫出計算結(jié)果：x?2x+n【答案】(1)x2+5x+6；x(2)a+b，ab(3)x【分析】（1）根據(jù)多項式乘以多項式法則進行計算即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果得出規(guī)律即可；（3）根據(jù)x+ax+b【詳解】（1）(x+2)(x+3)=(x?1)(x+4)=(x?3)(x?2)=故答案為：x2+5x+6；x2（2）x+a故答案為：a+b，ab．（3）x?2故答案為：x2【點睛】本題考查了多項式乘以多項式的應(yīng)用，主要考查學生的計算能力．【變式10-2】（2023春·安徽六安·七年級六安市第九中學?？计谥校┯^察下面的幾個算式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并解決下列問題．①16×14=224=1×1+1②23×27=621=2×2+1③32×38=1216=3×3+1…(1)按照上面的規(guī)律，依照上面的書寫格式，直接寫出81×89的結(jié)果______．(2)試說明上面所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律（提示：可設(shè)這兩個兩位數(shù)分別是10n+a，10n+b，其中n，a，b均為1～9的整數(shù)，且a+b=10）．【答案】(1)7209(2)10n+a【分析】（1）觀察上面幾個式子，發(fā)現(xiàn)：左邊兩個因數(shù)的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字和是10；則右邊的結(jié)果是一個四位數(shù)，其中個位和十位上的數(shù)是左邊兩個因數(shù)的個位相乘，百位和千位上的數(shù)是左邊十位上的數(shù)字和大于十位數(shù)字1的數(shù)相乘．根據(jù)這一規(guī)律即可寫出81×89=7209；（2）根據(jù)（1）發(fā)現(xiàn)的兩個數(shù)的特點，用字母表示出來，然后運用公式展開進行證明即可．【詳解】（1）解：81×89=8×(8+1)×100+1×9=7209，故答案為：7209；（2）解：設(shè)這兩個兩位數(shù)分別是10n+a，10n+b．其中a+b=1010n+a===100=100n【點睛】此題主要考查運算規(guī)律探索與運用，認真觀察算式中存在的規(guī)律，并結(jié)合它們靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，在證明中，整式的運算法則是基礎(chǔ)．【變式10-3】（2023春·江西吉安·七年級統(tǒng)考期末）七年級某班數(shù)學小組研究系列算式：12×21，23×32，34×43．．．．，將算式計算過程進行變形后，得到如下規(guī)律：12×21=121×123×32=121×234×43=121×3……(1)根據(jù)以上規(guī)律，直接寫出78×87的相應(yīng)變形算式；(2)請用含n的代數(shù)式直接表示10n+n+1與10n+10【答案】(1)78×87=121×(2)10n+n+1【分析】（1）根據(jù)規(guī)律寫出等式即可；（2）先根據(jù)規(guī)律寫出結(jié)果，再利用多項式與多項式的乘法法則驗證即可．【詳解】（1）根據(jù)題中規(guī)律，得78×87=121×7（2）10n+n+1驗證如下：10n+==121=121×n【點睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，多項式與多項式的乘法計算，熟練掌握多項式與多項式的乘法法則是解答本題的關(guān)鍵．【題型11整式乘法與面積的綜合探究】【例11】（2023春·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期中）從一個邊長為a的正方形紙片（如圖1）上剪去兩個相同的小長方形，得到一個美術(shù)字“5”的圖案（如圖2），再將剪下的兩個小長方形拼成一個新長方形（如圖3）．

(1)求：新長方形的周長（用含有a，b的式子表示），(2)求：美術(shù)字“5”的圖案的面積（用含有a，b的式子表示）．(3)若a=8，剪去的小長方形的寬為1，求新長方形的周長和美術(shù)字“5”的圖案的面積．【答案】(1)4a?8b(2)4ab?3(3)52【分析】（1）根據(jù)圖1和圖2得出：新長方形的長為a?b，寬為a?3b，然后再進行計算．（2）用正方形的面積減去新長方形的面積，列式計算即可；（3）根據(jù)小長方形的寬為1，可知新長方形的寬為2，所以a?3b=2，再把a=8代入求出b，然后代入（1）（2）所求的周長與面積代數(shù)式，計算即可．【詳解】（1）解：∵新長方形的長為a?b，寬為a?3b，∴新長方形的周長=2a?b（2）解：a===4ab?3b（3）解：∵小長方形的寬為1，可知新長方形的寬為2，∴a?3b=2∵a=8∴b=2∴新長方形的周長=4a?8b=4×8?8×2=16，美術(shù)字“5”的圖案的面積=4ab?3b【點睛】本題考查了整式運算的應(yīng)用，熟練掌握列代數(shù)式和代數(shù)式的求值是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合題意的應(yīng)用．【變式11-1】（2023春·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期中）將兩張大小完全一樣的長方形紙片和另兩張大小完全一樣的正方形紙片按如圖方式不重疊地放置在長方形ABCD內(nèi)，其中長方形紙片和正方形紙片的周長相等．設(shè)大正方形邊長PD=x，小正方形邊長GH=y，則圖中陰影部分的面積．

【答案】2xy【分析】根據(jù)題意表示出