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文檔簡(jiǎn)介
2020-2021學(xué)年山西省呂梁市高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷
一、單項(xiàng)選擇題(共8小題,每小題5分,共40分).
1.復(fù)數(shù)盒-的虛部為()
.1.?1?2「2.
A.—IB.—C.--D.--I
5555
2.甲,乙兩人下棋,甲不輸?shù)母怕适?.7,兩人下成平局的概率是0.5,則甲勝的概率是()
A.0.2B.0.5C.0.6D.0.7
3.設(shè)a,0是空間兩個(gè)不重合的平面,/,相是空間兩條不重合的直線,下列命題不正確的
是()
A.若/J_a,/±p,則a〃BB.若/J_a,則/〃機(jī)
C.若/La,/〃0,貝D.若/La,a±p,則/〃0
4.圓錐的母線長(zhǎng)是2,側(cè)面積是2ir,則該圓錐的高為()
A.5y3B.yfsC.MD.2
5.“故人西辭黃鶴樓,煙花三月下?lián)P州”出自唐朝詩(shī)人李白的《黃鶴樓送孟浩然之廣陵》,
黃鶴樓位于今湖北武漢市,自古享有“天下江山第一樓”之稱.下面是黃鶴樓的示意圖,
某位游客(身高忽略不計(jì))從地面。點(diǎn)看樓頂點(diǎn)A的仰角為30°,沿直線前進(jìn)37.5米
到達(dá)E點(diǎn),此時(shí)看樓頂點(diǎn)A的仰角為45°,則樓高AB約為()
(參考數(shù)據(jù):73^1,73)
D.73米
6.已知在一次射擊預(yù)選賽中,甲,乙兩人各射擊10次,兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,
則下列四個(gè)選項(xiàng)中判斷正確的是()
A.甲的成績(jī)的平均數(shù)大于乙的成績(jī)的平均數(shù)
B.甲的成績(jī)的中位數(shù)大于乙的成績(jī)的中位數(shù)
C.甲的成績(jī)的方差大于乙的成績(jī)的方差
D.甲的成績(jī)的極差小于乙的成績(jī)的極差
7.如圖,在邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。中,E,尸分別是AB,BC的中點(diǎn),將△AED,ABEF,
△DCE分別沿DE,EF,。尸折起,使A,B,C三點(diǎn)重合于點(diǎn)4,則四面體4-DEF的
外接球的表面積為()
A.24nB.12TTC.6HD.3H
8.如圖,在△ABC中,。是BC的中點(diǎn),£在線段A3上,且BE=3EA,AD與CE交于點(diǎn)
O.設(shè)訪=x7E+y而則x+y=()
二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)在每小題給出的選項(xiàng)中,有多
項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分.
9.盒子中裝有紅色,黃色和黑色小球各2個(gè),一次取出2個(gè)小球,下列事件中,與事件“2
個(gè)小球都是紅色”互斥但不對(duì)立的事件是()
A.2個(gè)小球都是黑色
B.2個(gè)小球恰有1個(gè)是紅色
C.2個(gè)小球都不是紅色
D.2個(gè)小球至多有1個(gè)是紅色
10.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知6=6,C=30°,則使得角B
有兩個(gè)解的c的值可以是()
A.3B.3>/3C.5D.7
11.如圖,由Ai,4,4,4四個(gè)電子元件分別組成甲、乙兩種系統(tǒng),設(shè)每個(gè)電子元件能
正常工作的概率均為P,則()
A.甲、乙系統(tǒng)都正常工作的概率為*4
B.甲系統(tǒng)正常工作的概率為2P2-04
C.乙系統(tǒng)正常工作的概率為1-(1-/?)2
D.甲系統(tǒng)正常工作的概率小于乙系統(tǒng)正常工作的概率
12.如圖,正方體用4Qi的棱長(zhǎng)為1,線段BQi上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F(尸靠近3),
且EF],則下列結(jié)論中正確的是()
A.AC±BF
B.存在點(diǎn)E,尸使得AF,BE相交
C.三棱錐A-BEE的體積為定值
D.AF+BF的最小值為4
三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.某公司對(duì)旗下的某門店1至9月份的營(yíng)業(yè)額(單位:萬(wàn)元)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到的數(shù)據(jù)為12,
18,24,21,25,32,28,23,30,則此門店1至9月份的營(yíng)業(yè)額的第一四分位數(shù)是.
14.已知向量|彳|=2,b=(l,1),且向量力與E的夾角為十,則|2+2三|等
于.
15.已知正三棱柱中4BC-4BC1中,AB=2,BBi=4,D,E分別是棱4G,3囪的中點(diǎn),
則異面直線BiD與AE所成角的正切值為.
16.如圖,在△ABC中,COSZBAC=-4>AC=2,。是邊BC上的點(diǎn),且BO=2OC,AD
=DC,則4B等于.
四、解答題(本大題共6小題,共70分)解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.已知平面向量彳=(3,-2),b=(l.-y)且E-Z與w=(2,1)共線.
(1)求y的值;
(2)若i=2;+E,n=a-c-求向量7與向量三所夾角的余弦值.
18.在中國(guó)扶貧志愿服務(wù)促進(jìn)會(huì)的指導(dǎo)和地方政府的協(xié)助下,某平臺(tái)希望通過“萬(wàn)村主播培
養(yǎng)計(jì)劃”建立起跨部門,跨行業(yè),跨單位的多元主體扶貧工作體系,打造“新媒體+精準(zhǔn)
扶貧”,“短視頻,直播+消費(fèi)扶貧”等行業(yè)扶貧模式,發(fā)揮網(wǎng)絡(luò)視聽新媒體在產(chǎn)銷助農(nóng),
品牌強(qiáng)農(nóng)等方面的積極作用.某村為蘋果種植基地,村播的加入給村民帶來(lái)了較好的收
益,該村決定從甲,乙兩個(gè)村播中評(píng)選一人作為年度優(yōu)秀村播.現(xiàn)從觀看過甲,乙村播
的觀眾中隨機(jī)抽取200人,對(duì)甲,乙兩人進(jìn)行評(píng)分,得到如下頻率分布直方圖和頻數(shù)分
布表:
乙村播所得分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表
分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)
[4.5,5.5)20
[5.5,6.5)10
[6.5,7.5)46
L7.5,8.5)84
[8.5,9.5]60
(1)若以觀眾評(píng)分的平均分作為該村年度優(yōu)秀村播的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn),試問甲,乙兩人誰(shuí)能被
評(píng)為年度優(yōu)秀村播?(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)
(2)對(duì)于(1)中被大家選中的年度優(yōu)秀村播,為了進(jìn)一步優(yōu)化他的直播,決定對(duì)200
名觀眾中對(duì)其評(píng)分為[4.5,6.5)的觀眾進(jìn)行走訪,先從這些觀眾中按評(píng)分用分層抽樣抽
取6人,再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行深入座談,求深入座談的觀眾中至少有1人評(píng)
分為[5.5,6.5)的概率.
甲村播所得分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖
而立
0.33............................
0.30......................
0.22.................................
010---1—
0.05--
0^---------------------------------
4.55.5657.58595得分
19.已知直三棱柱ABC-4SG中,側(cè)面為正方形.AB=BC=2,AF=3,E,F
分別為BC和CG的中點(diǎn).
(1)求三棱錐P-ACE的體積;
(2)證明:AF±BiE.
20.隨著小汽車的普及,“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”證件之一.駕駛證考試,需要
通過四個(gè)科目的考試,其中科目二為場(chǎng)地考試.在每一次報(bào)名中,每個(gè)學(xué)員有5次參加
科目二考試的機(jī)會(huì)(這5次考試機(jī)會(huì)中任何一次通過考試,就算通過,即進(jìn)入下一科目
考試,如果5次都沒有通過,則需要重新報(bào)名),其中前2次參加科目二考試免費(fèi),若
前2次都沒有通過,則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補(bǔ)考費(fèi).某駕校通過
幾年的資料統(tǒng)計(jì),得到如下結(jié)論:男性學(xué)員參加科目二考試,每次通過的概率均為冷,
D
女性學(xué)員參加科目二考試,每次通過的概率均為號(hào)3.現(xiàn)有一對(duì)夫妻報(bào)名參加駕駛證考試,
在本次報(bào)名中,若這對(duì)夫妻參加科目二考試的原則為:通過科目二考試或者用完所有機(jī)
會(huì)為止.假設(shè)每個(gè)人科目二5次考試是否通過互不影響,且夫妻二人每次考試是否通過
也互不影響.
(1)求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率;
(2)求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為200元的概率.
21.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面尸。UL平面ABC。,AD//BC,AD±DC,PD±PB,
AD^-BC=bCD=3,E是尸C的中點(diǎn).
(1)證明:OE〃平面尸49;
(2)證明:尸£>,平面P2C;
(3)已知直線AB與平面PBC所成角的正弦值為柒,求尸。的長(zhǎng).
5
22.在銳角△ABC中,其內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,現(xiàn)有以下三個(gè)條件:
①。2+。2-序=(4c2-2Z?c)cosA;②b二acosC+^^csinA;③asin(A+B)=csin^^.請(qǐng)
從以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)完成下列求解.
(1)求角A的大小;
(2)若△A2C的面積為2?,求邊。的取值范圍.
參考答案
一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,
只有一項(xiàng)是最符合題目要求的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母標(biāo)號(hào)在答題卡相應(yīng)位置涂黑.
1.復(fù)數(shù)盒-的虛部為()
1.1廠2「2.
AA.—iBD.—C.--D.--i
5555
鏟??1_"iJ_2.
'l+2i-(l+2i)(l-2i)-5T1'
i2
,復(fù)數(shù)7*的虛部為-9
1+21t>
故選:C.
2.甲,乙兩人下棋,甲不輸?shù)母怕适?.7,兩人下成平局的概率是0.5,則甲勝的概率是()
A.0.2B.0.5C.0.6D.0.7
解:甲、乙兩人下棋,甲不輸?shù)母怕适?.7,兩人下成平局的概率是0.5,
則甲勝的概率是P=0.7-0.5=02.
故選:A.
3.設(shè)a,0是空間兩個(gè)不重合的平面,I,m是空間兩條不重合的直線,下列命題不正確的
是()
A.若/J_a,/±p,則a〃0B.若/J_a,貝U/〃加
C.若/La,/〃d則D.若/La,a±p,則/〃B
解:對(duì)于A,由面面平行的判定定理得A正確;
對(duì)于8,由直線與平面垂直的性質(zhì)定理得B正確;
對(duì)于C,Z±a,/〃印則在日中一定0存在直線與/平行,由面面垂直的判定可得
故C正確;
對(duì)于,若La,a±p,則/〃0或/u0,故£>正確;
故選:D.
4.圓錐的母線長(zhǎng)是2,側(cè)面積是2m則該圓錐的高為()
A.B.C.D.2
解:設(shè)圓錐的高為心底面圓的半徑為r,
由題意可知,母線長(zhǎng)/=2,側(cè)面積是2m
則^'叩冗廣1=兀廣2=2兀,解得廠=1,
所以h=712-r2=V3-
故選:A.
5.“故人西辭黃鶴樓,煙花三月下?lián)P州”出自唐朝詩(shī)人李白的《黃鶴樓送孟浩然之廣陵》,
黃鶴樓位于今湖北武漢市,自古享有“天下江山第一樓”之稱.下面是黃鶴樓的示意圖,
某位游客(身高忽略不計(jì))從地面。點(diǎn)看樓頂點(diǎn)A的仰角為30。,沿直線前進(jìn)37.5米
到達(dá)E點(diǎn),此時(shí)看樓頂點(diǎn)A的仰角為45°,則樓高48約為()
(參考數(shù)據(jù):^3^1.73)
A.45米B.51米C.62米D.73米
解:因?yàn)樵凇鰽ED中,ZD=3Q°,ZEAD=45°-30°=15°,DE=3T.5
[5X]
由F核定理——匹——=杷?TH■得AE=DEFnD=37.5X—=_2
~sinz_EADsinDsinz_EAD.oV6V2
sinl1bR,
4
37-5xl加
7573+7575X1.73+75
在△ABE中,可得AB=AEcos45°=—r=LX”
44
4
51.
故選:B.
6.已知在一次射擊預(yù)選賽中,甲,乙兩人各射擊10次,兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,
則下列四個(gè)選項(xiàng)中判斷正確的是()
A.甲的成績(jī)的平均數(shù)大于乙的成績(jī)的平均數(shù)
B.甲的成績(jī)的中位數(shù)大于乙的成績(jī)的中位數(shù)
C.甲的成績(jī)的方差大于乙的成績(jī)的方差
D.甲的成績(jī)的極差小于乙的成績(jī)的極差
解:對(duì)于4甲的成績(jī)的平均數(shù)為:
一1
乂甲=啟(5+6X2+7X2+8X2+9X2+10X1)=7.5,
乙的成績(jī)的平均數(shù)為:
一1
X-=-^-(6+7X3+8X2+9X3+10X1)=8,
乙10
???甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù),故A錯(cuò)誤;
對(duì)于8,甲的成績(jī)的中位數(shù)為等=7.5,
乙的成績(jī)的中位數(shù)為等=8.5,
.?.甲的成績(jī)的中位數(shù)小于乙的成績(jī)的中位數(shù),故2錯(cuò)誤;
對(duì)于C,由條形統(tǒng)計(jì)圖得甲的成績(jī)相對(duì)分散,乙的成績(jī)相對(duì)集中,
甲的成績(jī)的方差大于乙的成績(jī)的方差,故C正確;
對(duì)于。,甲的成績(jī)的極差為10-5=5,乙的成績(jī)的極差為10-6=4,
甲的成績(jī)的極差大于乙的成績(jī)的極差,故。錯(cuò)誤.
故選:C.
7.如圖,在邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。中,E,尸分別是AB,3c的中點(diǎn),將/XBEF,
△DCF分別沿DE,EF,折起,使A,B,C三點(diǎn)重合于點(diǎn)4,則四面體A-D所的
外接球的表面積為()
B.12nC.6irD.3n
解:由題意可知AA'Eb是等腰直角三角形,且A'。,平面A'EF.
三棱錐的底面A,EF擴(kuò)展為邊長(zhǎng)為1的正方形,
然后擴(kuò)展為正四棱柱,三棱錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個(gè)球,
正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)度就是外接球的直徑,直徑為:V12+12+22=V6-
???球的半徑為陣,
2_
則四面體A'-DEF的外接球的表面積為4nX(半)2=6TT.
故選:C.
8.如圖,在AABC中,。是BC的中點(diǎn),E在線段上,且BE=3EA,與CE交于點(diǎn)
0.設(shè)苗=乂族+7正,貝1Jx+y=()
解:(1)△A2C中,。是BC的中點(diǎn),BE=3EA,AD與CE交于點(diǎn)0.
.?.?..
則AO=xAB+yAC=4xAE+yAC,
因?yàn)镋,O,C三點(diǎn)共線,
所以4x+y=l①,
因?yàn)锳,0,。三點(diǎn)共線,
..[..*1...1.
所以A0=〉A(chǔ)D=5)(AB+AC)=51(4AE+AC)=2入AE+q入AC,
所以由平面向量的基本定理可得4x=2入,y=^X,
所以x=y②,
由①②組成方程組解得x=y=^,
D
2
所以x+y=—.
D
故選:D.
二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)在每小題給出的選項(xiàng)中,有多
項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分.
9.盒子中裝有紅色,黃色和黑色小球各2個(gè),一次取出2個(gè)小球,下列事件中,與事件“2
個(gè)小球都是紅色”互斥但不對(duì)立的事件是()
A.2個(gè)小球都是黑色
B.2個(gè)小球恰有1個(gè)是紅色
C.2個(gè)小球都不是紅色
D.2個(gè)小球至多有1個(gè)是紅色
解:盒子中裝有紅色,黃色和黑色小球各2個(gè),一次取出2個(gè)小球,
總的基本事件有:“2個(gè)小球都是紅色”,“2個(gè)小球都是黃色”,“2個(gè)小球都是黑色”,
“2個(gè)小球分別為1紅1黑”,“2個(gè)小球分別為1紅1黃”,“2個(gè)小球分別為1黃1
里,,
選項(xiàng)A:“2個(gè)小球都是黑色”與“2個(gè)小球都是紅色”互斥不對(duì)立,故A正確,
選項(xiàng)B:“2個(gè)小球恰有1個(gè)紅色”包含“1紅1黑與1紅1黃”,與“2個(gè)小球都是紅
色”互斥不對(duì)立,故2正確,
選項(xiàng)C:“2個(gè)小球都不是紅色”與“2個(gè)小球都是紅色”互斥不對(duì)立,故C正確,
選項(xiàng)D:“2個(gè)小球至多有1個(gè)是紅色”的對(duì)立事件為“2個(gè)小球都是紅色”,故D錯(cuò)誤,
故選:ABC.
10.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b=6,C=30°,則使得角B
有兩個(gè)解的c的值可以是()
A.3B.3yC.5D.7
解:如圖,過A作垂足為,
CDB
?:b=6,C=30°,且使得角2有兩個(gè)解,
:.AD<c<AC,即3<c<6.
故選:BC.
11.如圖,由4,42,4,4四個(gè)電子元件分別組成甲、乙兩種系統(tǒng),設(shè)每個(gè)電子元件能
正常工作的概率均為p(0<p<l),則()
A.甲、乙系統(tǒng)都正常工作的概率為8獷
B.甲系統(tǒng)正常工作的概率為2P2-p4
C.乙系統(tǒng)正常工作的概率為1-(1-p)2
D.甲系統(tǒng)正常工作的概率小于乙系統(tǒng)正常工作的概率
解:甲系統(tǒng)正常工作的對(duì)立事件是4,4中至少一個(gè)元件不能正常工作,
且4,4中至少一個(gè)元件不能正常工作,
甲系統(tǒng)正常工作的概率為:
P=1-(1-P2)(1-P2)=2p2-p4,
故A錯(cuò)誤,B正確;
乙系統(tǒng)正常工作的情況為:
Ai,4中至少一個(gè)元件能正常工作,且A3,4中至少一個(gè)元件能正常工作,
乙系統(tǒng)正常工作的概率為:
P=[l-(1-p)2][1-(1-0)2]=p4-4p3+402,故C錯(cuò)誤;
VO<P<1,
22
(2p2-p4)-(p4-4p3+4p2)=_2p(1-p)<0,
...甲系統(tǒng)正常工作的概率小于乙系統(tǒng)正常工作的概率,故。正確.
故選:BD.
12.如圖,正方體ABCO-AiBCOi的棱長(zhǎng)為1,線段B01上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F(尸靠近囪),
且EF-",則下列結(jié)論中正確的是()
A.AC±BF
B.存在點(diǎn)E,尸使得AF,BE相交
C.三棱錐A-BEE的體積為定值
D.AF+BF的最小值為4
解:對(duì)于A,連接B。,交AC于O,則ACLBD,又22」平面ABC。,則AC_LBBi,
則有AC_L平面BDD山i,BDDyBx,所以AC_LBR故A對(duì);
對(duì)于3,由于BE是平面2D。出i內(nèi)一直線,尸不在直線BE上,且尸在平面BDDIi內(nèi),
點(diǎn)A不在平面8DAB1內(nèi),由異面直線的判定可得,AF與BE為異面直線,故8錯(cuò);
對(duì)于C,由幾何體的性質(zhì)及圖形知,三角形BEF的面積是定值,A點(diǎn)到面DDiBiB的距
離為定值,故可得三棱錐A-BE尸的體積為定值,故C正確;
對(duì)于。,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,可得A(1,1,0),2(0,1,0),設(shè)廠(1-f,
1)哼WW1),
22+22=2+2
AF+BF=yjt+(t-l)+lV(1-t)+(t-l)+lV2<Vt-t+l^t-2t+y),
令于G)=(Vt2-t+l+^t2-2t+-^-)=J。總)(t-1)2+(0-^^'
f⑺可以看作在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)尸G,0)到點(diǎn)A(p亨)和點(diǎn)B(1,零)
的距離之和,
如圖8關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C(l,-乎),連結(jié)AC交x軸于點(diǎn)尸(m0),顯然劭£哼
1],
G)的最小值為AC=
:.AF+BF的最小值為收壇,故。正確.
AB
\I
-------^-1----
O
?C
三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.某公司對(duì)旗下的某門店1至9月份的營(yíng)業(yè)額(單位:萬(wàn)元)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到的數(shù)據(jù)為12,
18,24,21,25,32,28,23,30,則此門店1至9月份的營(yíng)業(yè)額的第一四分位數(shù)是21.
9
解::9X25%=子,
此門店1至9月份的營(yíng)業(yè)額的第一四分位數(shù)是從小到大排序后的第3個(gè)數(shù),
而此門店1至9月份的營(yíng)業(yè)額從小到大排序的前三個(gè)數(shù)是12,18,21,
故此門店1至9月份的營(yíng)業(yè)額的第一四分位數(shù)是21,
故答案為:21.
14.已知向量|a|=2,b=(l,1),且向量;與E的夾角為子,則|7+2三|等于_2泥_.
解:Ia+2bI=V|a|2+4|b|2+4a?b-^4+4X2+4X2X-\/2Xcos-^-=V20-
2后,
故答案為:2^/g-
15.已知正三棱柱中ABC-A/iG中,A8=2,BBi=4,D,石分別是棱4G,的中點(diǎn),
則異面直線與AE所成角的正切值為率.
—3―
解:以C為原點(diǎn),過C作3c的垂線為X軸,C3為y軸,CG為Z軸,建立空間直角坐
標(biāo)系,
C(0,0,0),A(?,1,0),B(0,2,0),Al(遮,1,4),Bi(0,2,4),
Cl(0,0,4)
則D(半,y,4),£(0,2,2),
所以彳=(除0),標(biāo)=(-?,1,
2),
設(shè)異面直線BiD與AE所成角為0,
BjD'AE-3Lv'6
則COS0=|-iBpD|-|AEII,X2加~T
2=2/10
則正弦值sin?=
4
710
sin?
???異面直線BiD與AE所成角的正切值tan9=
cos8加3
T
-4,AC=2,。是邊BC上的點(diǎn),1.BD=2DC,AD
o
=DC,則AB等于3
解:設(shè)AB=c,BD=2CD=2AD=2x,
在△ABC中,由余弦定理BC1=AB2+AC2-2AB-AC-cosZBAC,
、、、14.
可得9\2=。2+22-2*cX2X(--),BP9x2=c2+4+—c,"??"
oo
-*—?9—?1—?9—>
AD=AB號(hào)BC=與AB號(hào)AC,
.癡2嗎而尊)2,
整理可得:x24-c2-^-lf??…②,
yunf
聯(lián)立①②消去x可得c=3.
故答案為:3.
四、解答題(本大題共6小題,共70分)解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.已知平面向量短⑶-2),b=(l,-了)且石三與混(2,1)共線.
(1)求y的值;
(2)若三=2彳+石,n^-'c;求向量7與向量W所夾角的余弦值.
解:(1)由題意得:b-a=(~2,2~y),c=(2,1),
因?yàn)閎-a與c共線,
所以(-2)XI-2(2-y)=0,
解得>=3.
(2)由(1)可知E=(l,-3),
于是m=2a+b=(7,-7),n=a-c=(l>_3)>
設(shè)向量7與向量:夾角為0>
m,n_28
則cos9
Im||n|7企,V105
18.在中國(guó)扶貧志愿服務(wù)促進(jìn)會(huì)的指導(dǎo)和地方政府的協(xié)助下,某平臺(tái)希望通過“萬(wàn)村主播培
養(yǎng)計(jì)劃”建立起跨部門,跨行業(yè),跨單位的多元主體扶貧工作體系,打造“新媒體+精準(zhǔn)
扶貧”,“短視頻,直播+消費(fèi)扶貧”等行業(yè)扶貧模式,發(fā)揮網(wǎng)絡(luò)視聽新媒體在產(chǎn)銷助農(nóng),
品牌強(qiáng)農(nóng)等方面的積極作用.某村為蘋果種植基地,村播的加入給村民帶來(lái)了較好的收
益,該村決定從甲,乙兩個(gè)村播中評(píng)選一人作為年度優(yōu)秀村播.現(xiàn)從觀看過甲,乙村播
的觀眾中隨機(jī)抽取200人,對(duì)甲,乙兩人進(jìn)行評(píng)分,得到如下頻率分布直方圖和頻數(shù)分
布表:
乙村播所得分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表
分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)
[4.5,5.5)20
[5.5,6.5)10
[6.5,7.5)46
[7.5,8.5)84
[8.5,9.5]60
(1)若以觀眾評(píng)分的平均分作為該村年度優(yōu)秀村播的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn),試問甲,乙兩人誰(shuí)能被
評(píng)為年度優(yōu)秀村播?(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)
(2)對(duì)于(1)中被大家選中的年度優(yōu)秀村播,為了進(jìn)一步優(yōu)化他的直播,決定對(duì)200
名觀眾中對(duì)其評(píng)分為[4.5,6.5)的觀眾進(jìn)行走訪,先從這些觀眾中按評(píng)分用分層抽樣抽
取6人,再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行深入座談,求深入座談的觀眾中至少有1人評(píng)
分為[5.5,6.5)的概率.
甲忖播所得分致販率分布直方圖
解:(1)由甲村播所得分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖,得
x甲=0.05X5+0.10X6+0.30X7+0.33X8+0.22X9=7.5
;
由乙村播所得分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表,得元=20X5+10X6+4^7+64X8+60X9=7.67
200
因?yàn)閤甲<x乙,
所以乙能被評(píng)為年度優(yōu)秀村播
(2)因?yàn)橐夷鼙辉u(píng)為年度優(yōu)秀村播,200名觀眾中對(duì)乙評(píng)分為[4.5,6.5)的觀眾有30名,
其中評(píng)分為[4.5,5.5)有20名,評(píng)分為[5.5,6.5)有10名.
用分層抽樣從中抽取6人,則其中評(píng)分為[4.5,5.5)的有20琮6=4名,
oU
評(píng)分為[5.5,6.5)的有景X6=2名.
記評(píng)分為[4.5,5.5)的4名觀眾為4,A2,A3,A4,
評(píng)分為[5.5,6.5)的2名觀眾為Bi,B2,
從中隨機(jī)選取2人,結(jié)果可以是:
(Ai,4),(Ai,A3),(Ai,4),(Ai,Bi),(Ai,&),
(A2,A3),(A2,A4),(A2,Bi),(A?,B2),(A3,4),
(A3,Bi),(A3,&),(A4,BI),(A4,B2),(Bi,&),共15種.
其中事件4=“至少有1人評(píng)分為[5.5,6.5)”包括的結(jié)果有:
(Ai,B\),(Ai,&),(A2,Bi),(A2,B2),(As,Bi),(A3,B?),
(A4,BI),(A4,B2),(Bi,B2)共9種.
所以深入座談的觀眾中至少有1人評(píng)分為[5.5,6.5)的概率為P(A)=3.
b
19.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形.AB=BC=2,AF=3,E,F
分別為BC和CG的中點(diǎn).
(1)求三棱錐F-ACE的體積;
(2)證明:AF_LBiE.
解:(1)為正方形,且AB=2,:.CCi=2,
又尸為CG的中點(diǎn),,尸C=l,
則AC=7AF2-FC2=2V2-
又AB=BC=2,:.AB-+BC2=AC2,
.?.△ABC為等腰直角三角形.
是CB的中點(diǎn),:.CE=1,
???VACE=yXCFxsAACE-xlX-^xIX2=4-;
r川匚OOO
證明:(2)連接BR
由(1)知ABLBB\,BCCBBi=B,CC\BiB,
又BiEu平面CCBB,C.AB^BiE.
BE1pc1
,.,tanZBBiE=g^-=y,tan/FBC嗡甘,且這兩個(gè)角都是銳角,
/BBiE=ZFBC,得BF±BiE.
y.AB_LBiE,ABCBF=B,平面ABP,
:AFu平面ABF,:.BiE±AF.
20.隨著小汽車的普及,“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”證件之一.駕駛證考試,需要
通過四個(gè)科目的考試,其中科目二為場(chǎng)地考試.在每一次報(bào)名中,每個(gè)學(xué)員有5次參加
科目二考試的機(jī)會(huì)(這5次考試機(jī)會(huì)中任何一次通過考試,就算通過,即進(jìn)入下一科目
考試,如果5次都沒有通過,則需要重新報(bào)名),其中前2次參加科目二考試免費(fèi),若
前2次都沒有通過,則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補(bǔ)考費(fèi).某駕校通過
幾年的資料統(tǒng)計(jì),得到如下結(jié)論:男性學(xué)員參加科目二考試,每次通過的概率均為看,
5
2
女性學(xué)員參加科目二考試,每次通過的概率均為等.現(xiàn)有一對(duì)夫妻報(bào)名參加駕駛證考試,
在本次報(bào)名中,若這對(duì)夫妻參加科目二考試的原則為:通過科目二考試或者用完所有機(jī)
會(huì)為止.假設(shè)每個(gè)人科目二5次考試是否通過互不影響,且夫妻二人每次考試是否通過
也互不影響.
(1)求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率;
(2)求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為200元的概率.
解:(1)設(shè)4=“丈夫在科目二考試中第i次通過",Bi="妻子在科目二考試中第i
次通過”,
則P(A])=4,
其中i=l,2,3,4,5.
設(shè)事件A="丈夫參加科目二考試不需要交補(bǔ)考費(fèi)”,
事件2=”妻子參加科目二考試不需要交補(bǔ)考費(fèi)”,
事件C="這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)”
——41494
則P(A)=P(A1+A1A2)=P(A1)+P(A1A2)-1-tyXy=^-,
——31315
,
P(B)=P(B1+B1B2)=P(B1)+P(B1B2)^4TX-=I^
P(O=P(AB)41xf4-
Q
因此,這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率為完
(2)設(shè)事件"丈夫參加科目二考試需交補(bǔ)考費(fèi)200元”,
事件E="妻子參加科目二考試需交補(bǔ)考費(fèi)200元”,
事件F="這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為200元”
--------1144--------1122
則P(D)=P(A]A2A3)=yX至X石下,P(E)=P(B1B2B3)=Tx-x-^,
D玲
P(F)=P(AE+BD)愛X弓虐X』條
/J4?lb5?4U
因此,這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為200元的概率為二.
40
21.如圖,在四棱錐尸-ABCL(中,平面PDC_L平面ABCD,AD//BC,AD±DC,PDLPB,
AD=yBC=bCD=3,E是PC的中點(diǎn).
(1)證明:DE〃平面PAB;
(2)證明:尸。_L平面尸2C;
(3)已知直線AB與平面PBC所成角的正弦值為柒,求尸。的長(zhǎng).
5
【解答】(1)證明:取尸8中點(diǎn)E連接EF,AF.
Pi
因?yàn)镋是尸。的中點(diǎn),
所以E尸〃BC,且EF=^BC,
因?yàn)锳O〃BC,AD-^BC,
所以EP〃A£>,且£F=AD,
所以ADEE為平行四邊形,DE//AF.
又DEC平面FABAFc^F?PAB,
所以〃平面PAB.
(2)證明:因?yàn)锳O〃BC,AD±DC,
所以8CLLOC.
因?yàn)槠矫鍼DCJ_平面ABCD,平面PDCC1平面ABCD=OC,BCu平面ABCZ),
所以BC_L平面PDC.
因?yàn)镻Du平面PDC,
所以BCL尸。.
XPDLPB,BCCPB=B,
所以PO_L平面PBC.
(3)解:過D作DG〃A2
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