2020年山西省中考數(shù)學試卷 （解析版）

2020年山西省中考數(shù)學試卷

一、選擇題（共10小題）.

1.計算（-6）+（-；）的結果是（）

A.-18B.2C.18D.-2

2.自新冠肺炎疫情發(fā)生以來，全國人民共同抗疫，各地積極普及科學防控知識，下面是科

學防控知識的圖片，圖片上有圖案和文字說明，其中的圖案是軸對稱圖形的是（）

「（3）

打噴嚏捂口鼻噴嚏后慎揉眼

C@

勤洗手勤通風戴口罩講衛(wèi)生

3.下列運算正確的是（）

A.3a+2a=5/B.-8a?+4a=2aC.(-2c2)3=-8<7(D.4^.3^=12al

4.下列幾何體都是由4個大小相同的小正方體組成的，其中主視圖與左視圖相同的幾何體

5.泰勒斯是古希臘時期的思想家，科學家，哲學家，他最早提出了命題的證明.泰勒斯曾

通過測量同一時刻標桿的影長，標桿的高度，金字塔的影長，推算出金字塔的高度，這種

測量原理，就是我們所學的（）

L

A.圖形的平移B.圖形的旋轉C.圖形的軸對稱D.圖形的相似

6.不等式組的解集是（）

[4—r<-1

A.x>5B.3<r<5C.r<5D.r>-5

7.已知點4X，2,5（x2,為），力）都在反比例函數(shù)y=m0<。）的圖象上，且

<r2<0<r3,則入，%,%的大小關系是（）

A.B.力>%>入C.D.力

8.中國美食講究色香味美，優(yōu)雅的擺造型出會讓美食錦上添花.圖①中的擺盤，其形狀是

扇形的一部分，圖②是其幾何示意圖（陰影部分為擺盤）,通過測量得到47=m=12cm,

C,D兩點之間的距離為4cm,圓心角為6?！?則圖中擺盤的面積是（

A.80見cm?B.AOficm1C.240cm?D.2萬cm'

9.豎直上拋物體離地面的高度與運動時間2）之間的關系可以近似地用公式

A=-5產(chǎn)+%>+%表示，其中%（m）是物體拋出時離地面的高度，是物體拋出時的速

度.某人將一個小球從距地面1.5m的高處以20m/s的速度豎直向上拋出，小球達到的離地

面的最大高度為（）

A.23.5mB.22.5mC.21.5mD.20.5m

10.如圖是一張矩形紙板，順次連接各邊中點得到菱形，再順次連接菱形各邊中點得到一

個小矩形.將一個飛鏢隨機投擲到大矩形紙板上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是（）

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11.計算：（&+隹）?-用=.

12.如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相等的正三角形組合而成，第1個圖案有4

個三角形，第2個圖案有7個三角形，第3個圖案有10個三角形…按此規(guī)律擺下去，第口

個圖案有個三角形（用含尺的代數(shù)式表示）.

第1個第2個第3個第4個

13.某校為了選拔一名百米賽跑運動員參加市中學生運動會，組織了6次預選賽，其中甲,

乙兩名運動員較為突出，他們在6次預選賽中的成績（單位：秒）如下表所示：

甲12.012.012.211.812.111.9

乙12.312.111.812.011.712.1

由于甲，乙兩名運動員的成績的平均數(shù)相同，學校決定依據(jù)他們成績的穩(wěn)定性進行選拔,

那么被選中的運動員是.

14.如圖是一張長12cm,寬10cm的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩

形，剩余部分（陰影部分）可制成底面積是24“?？的有蓋的長方體鐵盒.則剪去的正方形的

15.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,CDLAB,垂足為D,E為BC

的中點，壁與CD交于點F,則DF的長為.

B

三、解答題（本大題共8個小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.(1)計算：(―4)，x(——(_4+1).

（2）下面是小彬同學進行分式化簡的過程，請認真閱讀并完成相應任務.

r2-9_2r+l

x2+6r+92x+6

(r+3)(r-3)2r+l

.第一步

(X+3)?21+3)

x-32x+l

…第二步

x+32(x+3)

第三步

2(x+3)2(x+3)…

2r-6-(2x+l)

…第四步

2(X+3)

2r-6-2r+l

第五步

2(r+3)

盛…第六步

任務一：填空:

①以上化簡步驟中，第步是進行分式的通分，通分的依據(jù)是.或填為:

②第一步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是;

任務二：請直接寫出該分式化簡后的正確結果；

任務三：除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學習經(jīng)驗，就分式化簡時還需要注意的事項

給其他同學提一條速議.

17.2020年5月份，省城太原開展了“活力太原?樂購晉陽”消費暖心活動，本次活動中的

家電消費券單筆交易滿600元立減128元（每次只能使用一張）.某品牌電飯煲按進價提

高50%后標價，若按標價的八折銷售，某顧客購買該電飯煲時，使用一張家電消費券后，

又付現(xiàn)金568元.求該電飯煲的進價.

18.如圖，四邊形QABC是平行四邊形，以點。為圓心，為半徑的0。與超相切于點

B,與火。相交于點D,火。的延長線交0。于點E,連接E8交。。于點9.求NC和NE

的度數(shù).

B

19.202()年國家提出并部署了“新基建”項目，主要包含“特高壓，城際高速鐵路和城市

軌道交通，5G基站建設，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)，大數(shù)據(jù)中心，人工智能，新能源汽車充電樁”等.《2020

新基建中高端人才市場就業(yè)吸引力報告》重點刻畫了“新基建”中五大細分領域(5G基站

速設，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)，大數(shù)據(jù)中心，人工智能，新能源汽車充電樁)總體的人才與就業(yè)機會.如

圖是其中的一個統(tǒng)計圖.

■2020年“新基建”七大領域預計投資規(guī)模(單位：億元)

-2020年一季度五大細分領域在線職位與2019年同期相比增長率

路和城市軌建設中心車充電樁

道交通

請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

(1)填空：圖中2020年“新基建”七大領域預計投資規(guī)模的中位數(shù)是一億元；

(2)甲，乙兩位待業(yè)人員，僅根據(jù)上面統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，從五大細分領域中分別選擇了“5G

基站建設”和“人工智能”作為自己的就業(yè)方向.請簡要說明他們選擇就業(yè)方向的理由各

是什么；

（3）小勇對“新基建”很感興趣，他收集到了五大細分領域的圖標，依次制成編號為印，

G,D,R,X的五張卡片（除編號和內容外，其余完全相同），將這五張卡片背面朝上，

洗勻放好，從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張.請用列表或畫狀圖的方

法求抽到的兩張卡片恰好是編號為@（5G基站建設）和R（人工智能）的概

率

5G基站建設工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)

獷G

20.閱讀與思考

如圖是小宇同學的數(shù)學日記，請仔細閱讀，并完成相應的任務.

X年X月X日星期日

沒有直角尺也能作出直角

今天，我在書店一本書上看到下面材料：木工師傅有一塊如圖①所示的四邊形木板，他已

經(jīng)在木板上畫出一條裁割線壁，現(xiàn)根據(jù)木板的情況，要過壁上的一點。，作出的垂

線，用鋸子進行裁割，然而手頭沒有直角尺，怎么辦呢？

辦法一：如圖①，可利用一把有刻度的直尺在45上量出CD=3（km,然后分別以D,。為

圓心，以50cm與40cMi為半徑畫圓弧，兩弧相交于點E,作直線CE,則NDCE必為90°.

圖①圖②圖③

辦法二：如圖②，可以取一根筆直的木棒，用鉛筆在木棒上點出“，N兩點，然后把木棒

斜放在木板上，使點河與點。重合，用鉛筆在木板上將點N對應的位置標記為點。，保持

點"不動，將木棒繞點及旋轉，使點河落在壁上，在木板上將點〃對應的位置標記為點

R.然后將尺2延長，在延長線上截取線段0S=,得到點S,作直線SC,則NRCS=90°.

我有如下思考：以上兩種辦法依據(jù)的是什么數(shù)學原理呢？我還有什么辦法不用直角尺也能

作出垂線呢？

任務：

(1)填空：“辦法一”依據(jù)的一個數(shù)學定理是___;

(2)根據(jù)“辦法二”的操作過程，證明/正/=90。；

(3)①尺規(guī)作圖：請在圖③的木板上，過點。作出店的垂線(在木板上保留作圖痕跡，

不寫作法)；

②說明你的作法所依據(jù)的數(shù)學定理或基本事實(寫出一個即可).

21.圖①是某車站的一組智能通道間機，當行人通過時智能同機會自動識別行人身份，識

別成功后，兩側的圓孤翼間會收回到兩側間機箱內，這時行人即可通過.圖②是兩圓弧翼

展開時的截面圖，扇形板和D斷是間機的''圓弧翼"，兩圓弧翼成軸對稱，BC和EF均

垂直于地面，扇形的圓心角即=28°,半徑H4=ED=60cm,點火與點D在同

一水平線上，且它們之間的距離為10cm.

(1)求間機通道的寬度，即8。與即之間的距離(參考數(shù)據(jù)：sin28°~0.47,cos28°~0.88,

tan28°與0.53)：

(2)經(jīng)實踐調查，一個智能間機的平均檢票速度是一個人工檢票口平均檢票速度的2倍，

180人的團隊通過一個智能間機口比通過一個人工檢票口可節(jié)約3分鐘，求一個智能間機平

均每分鐘檢票通過的人數(shù).

22.綜合與實踐

問題情境：

如圖①，點E為正方形壁CD內一點，NX郎=90°,將RtAABE繞點8按順時針方向旋轉

90°,得到ABE'(點火的對應點為點C).延長越交CE'于點9，連接DE.

猜想證明：

(1)試判斷四邊形死為？的形狀，并說明理由；

(2)如圖②，若DA=DE,請猜想線段CT與反&的數(shù)量關系并加以證明;

解決問題：

(3)如圖①，若45=15,CF=3,請直接寫出DE的長.

圖①圖②

23.綜合與探究

如圖，拋物線-x-3與x軸交于力，B兩點(點力在點8的左側)，與『軸交于點

C.直線？與拋物線交于R,D兩點，與P軸交于點E,點D的坐標為(4,.

(1)請直接寫出R,B兩點的坐標及直線？的函數(shù)表達式；

(2)若點F是拋物線上的點，點F的橫坐標為雙泡減)，過點P作月軸，垂足為

M.RW與直線？交于點N,當點N是線段如1的三等分點時，求點尸的坐標；

(3)若點。是」軸上的點，且NXD0=45°,求點。的坐標.

參考答案

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項中,

只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.計算（-6）+（-；）的結果是（）

A.-18B.2C.18D.-2

解：（-O-（-1）=（-6）X（-3）=18.

故選：C.

2.自新冠肺炎疫情發(fā)生以來，全國人民共同抗疫，各地積極普及科學防控知識，下面是科

學防控知識的圖片，圖片上有圖案和文字說明，其中的圖案是軸對稱圖形的是（）

3（3）

打噴嚏捂口鼻噴嚏后值揉眼

C@

勤洗手勤通風戴口罩講衛(wèi)生

解：A>不是軸對稱圖形；

8、不是軸對稱圖形；

。、不是軸對稱圖形；

D、是軸對稱圖形.

故選：D.

3.下列運算正確的是（）

A.3a+2a=5a1B.-8a?+4a=2aC.(-2a2)5=-8<7<D.4d*3〃=12a'

解：A>3a+2a=5a,故此選項錯誤;

B、-8a?+4a=-2a,故此選項錯誤；

C、（-2〃y=-8a‘，正確；

D、=12t/,故此選項錯誤;

故選：c.

4.下列幾何體都是由4個大小相同的小正方體組成的，其中主視圖與左視圖相同的幾何體

解：A.主視圖的底層是兩個小正方形，上層右邊是一個小正方形；左視圖底層是兩個小

正方舷，上層左邊是一個小正方形，故本選項不合題意；

B.主視圖和左視圖均為底層是兩個小正方形，上層左邊是一個小正方形，故本選項符合

題意；

C.主視圖底層是三個小正方形，上層中間是一個小正方形；左視圖是一列兩個小正方形，

故本選項不合題意；

D.主視圖底層是三個小正方形，上層右邊是一個小正方形；左視圖是一列兩個小正方形，

故本選項不合題意；

故選：B.

5.泰勒斯是古希臘時期的思想家，科學家，哲學家，他最早提出了命題的證明.泰勒斯曾

通過測量同一時刻標桿的影長，標桿的高度，金字塔的影長，推算出金字塔的高度，這種

測量原理，就是我們所學的（）

A.圖森的平移B.圖形的旋轉C.圖形的軸對稱D.圖形的相似

解：泰勒斯曾通過測量同一時刻標桿的影長，標桿的高度，金字塔的影長，推算出金字塔

的高度，這種測量原理，就是我們所學的圖形的相似,

故選：D.

;二【:‘的解集是（）

6.不等式組

A.x>5B.3<r<5C.x<5D,x>-5

解:儼6>?

[4-x<-1

解不等式2x-6>0,得：r>3,

解不等式得：x>5,

則不等式組的解集為x>5.

故選：A.

Jr

7.已知點義4,2,%,為），C（r3,力）都在反比例函數(shù)了=彳0<0）的圖象上，且

x1<x1<0<r3,則入，為，『3的大小關系是（）

A.y2>y3B.c.『1>%>出D.」3>」i>為

解：??,反比例函數(shù)j=￡（kv。）的圖象分布在第二、四象限，

X

在每一象限J隨工的增大而增大，

而Z<r2<0<r3,

H<°</1<『??

即為>71”

故選：A.

8.中國美食講究色香味美，優(yōu)雅的擺造型出會讓美食錦上添花.圖①中的擺盤，其形狀是

扇形的一部分，圖②是其幾何示意圖（陰影部分為擺盤），通過測量得到47=m=12cm,

C,D兩點之間的距離為4cm,圓心角為60°,則圖中擺盤的面積是（

B.40月cmC.24xrcmD.20M/

-,-OC=OD,ZO=60°,

■ACOD是等邊三角形，

OC=OD=CD=4cm,

6016260;742

—5.=$壇成CMB=400,

-360-360

故選：B.

9.豎直上拋物體離地面的高度h（m）與運動時間*s）之間的關系可以近似地用公式

A=-5P+%>+%表示，其中%（根）是物體拋出時離地面的高度，埒加門）是物體拋出時的速

度.某人將一個小球從距地面1.5m的高處以20m”的速度豎直向上拋出，小球達到的離地

面的最大高度為1）

A.23.5mB.22.5mC.21.5mD.20.5m

解：由題意可得，

^=-5f+20t+1.5=-5(f-2)2+21.5,

故當t=2時，R取得最大值，此時h=21.5,

故選：C.

10.如圖是一張矩形紙板，順次連接各邊中點得到菱形，再順次連接菱形各邊中點得到一

個小矩形.將一個飛鏢隨機投擲到大矩形紙板上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是（）

解：由圖形知陰影部分的面積是大矩形面積的L,

4

飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是1,

4

故選：B.

二、填空題(本大題共5個小題，每小題3分，共15分)

11.計算：(昌、⑵?-席=5.

解：原式=3+2汽+2-2巡

=5.

故答案為5.

12.如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相等的正三角形組合而成，第1個圖案有4

個三角形，第2個圖案有7個三角形，第3個圖案有10個三角形按此規(guī)律擺下去，第口

個圖案有_(3n+l)_個三角形(用含n的代數(shù)式表示).

▲MvWv川人

第1個第2個第3個第4個

解：第1個圖案有4個三角形，即4=3xl+l

第2個圖案有7個三角形，即7=3x2+l

第3個圖案有10個三角形，即10=3x3+1

按此規(guī)律擺下去，

第尺個圖案有(3月+1)個三角形.

故答案為：(3n+l).

13.某校為了選拔一名百米賽跑運動員參加市中學生運動會，組織了6次預選賽，其中甲,

乙兩名運動員較為突出，他們在6次預選賽中的成績(單位：秒)如下表所示：

甲12.012.012.211.812.111.9

乙12.312.111.812.011.712.1

由于甲，乙兩名運動員的成績的平均數(shù)相同，學校決定依據(jù)他們成績的穩(wěn)定性進行選拔,

那么被選中的運動員是甲.

解:甲的平均成績?yōu)椋骸?2.0+12.0+12.2+11.8+12.1+11.9)=12秒,

6

乙的平均成績?yōu)椋?(12.3+12.1+11.8+12.0+11.7+12.1)=12秒；

6

分別計算甲、乙兩人的跳高成績的方差分別：

4=1[(12.2-12)2+(11.8-12)2+(12.1-12)2+(11.9-12)2]=^,

4=1[(12.3-12)2+2(12.1-12)2+(11.8-12)2+i11.7-12)2]=A.,

..1,1

,60<25，

甲運動員的成績更為穩(wěn)定；

故答案為：甲.

14.如圖是一張長12。山，寬10。制的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩

形，剩余部分(陰影部分)可制成底面積是24cm?的有蓋的長方體鐵盒.則剪去的正方形的

解：設底面長為或巾，寬為bcm,正方形的邊長為xc制，根據(jù)題意得：

r2(x+i)=12

2r=10,

[加=24

解得。=1。-2了，b=6-x,

代入加=24中，得：

(10-2r)(6-r)=24,

整理得：x2-llx+18=0,

解得x=2或x=9(舍去)，

答；剪去的正方形的邊長為2cm.

故答案為：2.

15.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,CDLAB,垂足為D,E為BC

54

的中點，AE與CD交于點、F,則DF的長為

B

解：如圖，過點尸作用_L4c于H.

在RtMBC中，vZ4C?=90°,AC=3,BC=4,

AB=JCB2+工。'=J4?+3'=5,

-CDA.AB9

\-FH!!EC9

.FHAH

面■女'

?；EC=EB=2,

FH2

號■彳，設陽=2k，AH=3k9CH=3-3k9

???tan4CHFH_AD

CH=AD

9

5-

-

3

12

5-

CF=JCHi+陽?=J（存+令=',

故答案為嬴

三、解答題(本大題共8個小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(1)計算：(―4)'x(—4+1).

(2)下面是小彬同學進行分式化簡的過程，請認真閱讀并完成相應任務.

x2-9_2r+l

x2+6r+92r+6

(x+3)(x-3)2x+l

.第一步

(x+3)22(x+3)

x-32x+l

…第二步

x+32(x+3)

第三步

2(x+3)2(x+3)"

2r-6-(2x+l)

…第四步

2(r+3)

2r-6-2r+l

…第五步

2(x+3)

二一…第六步

2r+6

任務一：填空:

①以上化簡步驟中，第三步是進行分式的通分,通分的依據(jù)是.或填為：；

②第一步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是___;

任務二：請直接寫出該分式化簡后的正確結果；

任務三：除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學習經(jīng)驗，就分式化簡時還需要注意的事項

給其他同學提一條建議.

解：(1)(-4/X(-1)5-(-4+1)

=16X(-1)+3

=-2+3

=1;

(2)①以上化簡步驟中，第三步是進行分式的通分，通分的依據(jù)是分式的基本性質.或填

為：分式的分子分母都乘(或除以)同一個不為0的整式，分式的值不變；

②第五步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是括號前面是“一"，去掉括號后，括號里面

的第二項沒有變號；

r2-92r+l

任務二:

x2+6x+92x+6

6+次工$於+1第一步

(x+3)22(1+3)

X-32r+l

…第二步

x+32(r+3)

2（"3）2r+l

雨”一行歷…第二步

2r-6-(2x+l)

.第四步

2(x+3)

2x—6-2x—1

.第五步

-2(-+3)-

7

——:——...第六步;

21+6

任務三：答案不唯一，如：分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應先根據(jù)題目

的特點，運用乘法的運算律運算，會簡化運算過程.

故答案為：三；分式的基本性質；分式的分子分母都乘（或除以）同一個不為（）的整式，

分式的值不變；五；括號前面是“一”，去掉括號后，括號里面的第二項沒有變號.

17.2020年5月份，省城太原開展了“活力太原?樂購晉陽”消費暖心活動，本次活動中的

家電消費券單筆交易滿600元立減128元（每次只能使用一張）.某品牌電飯煲按進價提

高50%后標價，若按標價的八折銷售，某顧客購買該電飯煲時，使用一張家電消費券后,

又付現(xiàn)金568元.求該電飯煲的進價.

解：設該電飯煲的進價為x元，則標價為（l+50%）x元，售價為80%x（l+50%）x元，

根據(jù)題意，得80%x（l+50%）x-128=568,

解得x=580.

答：該電飯煲的進價為580元.

18.如圖，四邊形是平行四邊形，以點。為圓心，OC為半徑的0。與超相切于點

B,與火。相交于點D,火。的延長線交0。于點E,連接交。。于點尸.求NC和NE

的度數(shù).

E

解：連接OB,如圖，

???0。與壁相切于點B,

■OBLAB,

■/四邊形4BCO為平行四邊形,

..ABHOC,OAHBC,

OB1OC,

ZBOC=90°,

■：OB=OC,

瓜?。8為等腰直角三角形，

ZC=ZOBC=450,

■：AO!IBC,

40B=N0BC=45。，

ZE=-ZAOB=22.50.

2

19.2020年國家提出并部署了“新基建”項目，主要包含“特高壓，城際高速鐵路和城市

軌道交通，5G基站建設，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)，大數(shù)據(jù)中心，人工智能，新能源汽車充電樁”等.《2020

新基建中高端人才市場就業(yè)吸引力報告》重點刻畫了“新基建”中五大細分領域（5G基站

建設，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)，大數(shù)據(jù)中心，人工智能，新能源汽車充電樁）總體的人才與就業(yè)機會.如

圖是其中的一個統(tǒng)計圖.

■2020年“新基建”七大領域預計投資規(guī)模（單位：億元）

一2020年一季度五大細分領域在線職位與2019年同期相比增長率

路和城市軌建設中心車充電樁

道交通

請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

（1）填空：圖中2020年“新基建”七大領域預計投資規(guī)模的中位數(shù)是300億元:

（2）甲，乙兩位待業(yè)人員，僅根據(jù)上面統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，從五大細分領域中分別選擇了“5G

基站建設”和“人工智能”作為自己的就業(yè)方向.請簡要說明他們選擇就業(yè)方向的理由各

是什么；

（3）小勇對“新基建”很感興趣，他收集到了五大細分領域的圖標，依次制成編號為用，

G,D,R,X的五張卡片（除編號和內容外，其余完全相同），將這五張卡片背面朝上，

洗勻放好，從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張.請用列表或畫狀圖的方

法求抽到的兩張卡片恰好是編號為@（5G基站建設）和R（人工智能）的概

解：（1）2020年“新基建”七大領域預計投資規(guī)模按照從小到大排列為100、160、200、

300、300、50（）、640,

圖中2020年“新基建”七大領域預計投資規(guī)模的中位數(shù)是300億元，

故答案為：300;

（2）甲更關注在線職位的增長率，在“新基建”五大細分領域中，2020年一季度“5G基

站建設”在線職住與2019年同期相比增長率最高；

乙更關注預計投資規(guī)模，在“新基建”五大細分領域中，“人工智能”在2020年預計投資

規(guī)模最大；

（3）列表如下:

WGDRX

W(G")(D,W)(RW)(X齡

G?,G)(D,s(R,G)(了,6

D（吃功CD)(尺D)區(qū)功

RMB9，為(D,尺(工㈤

X(巴㈤(G㈤(。㈤(尺㈤

由表可知，共有20種等可能結果，其中抽到“用”和“R”的結果有2種，

21

.抽到的兩張卡片恰好是編號為陽5G基站建設）和R（人工智能）的概率堯=去.

20.閱讀與思考

如圖是小宇同學的數(shù)學日記，請仔細閱讀，并完成相應的任務.

x年x月x日星期日

沒有直角尺也能作出直角

今天，我在書店一本書上看到下面材料：木工師傅有一塊如圖①所示的四邊形木板，他已

經(jīng)在木板上畫出一條裁割線壁，現(xiàn)根據(jù)木板的情況，要過壁上的一點。，作出715的垂

線，用鋸子進行裁割，然而手頭沒有直角尺，怎么辦呢？

辦法一：如圖①，可利用一把有刻度的直尺在上量出CD=3（km,然后分別以D,。為

圓心，以50cm與40cm為半徑畫圓弧，兩弧相交于點E,作直線CE,則NDCE必為90°.

圖①圖②圖③

辦法二：如圖②，可以取一根筆直的木棒，用鉛筆在木棒上點出“，浦兩點，然后把木棒

斜放在木板上，使點河與點C重合，用鉛筆在木板上將點N對應的位置標記為點。，保持

點改不動，將木棒繞點及旋轉，使點河落在壁上，在木板上將點河對應的位置標記為點

R.然后將至延長，在延長線上截取線段QS=孫，得到點S,作直線SC,則NRCJ=90°.

我有如下思考：以上兩種辦法依據(jù)的是什么數(shù)學原理呢？我還有什么辦法不用直角尺也能

作出垂線呢？

任務：

(1)填空："辦法一”依據(jù)的一個數(shù)學定理是勾學定理的逆定理；

(2)根據(jù)“辦法二”的操作過程，證明/正俗=90。；

(3)①尺規(guī)作圖：請在圖③的木板上，過點。作出壁的垂線(在木板上保留作圖痕跡，

不寫作法)；

②說明你的作法所依據(jù)的數(shù)學定理或基本事實(寫出一個即可).

解：(1)vCD=30,DE=50,CE=40,

-CD?+=302+402=502=DE2,

ZDCE=90°,

故“辦法一”依據(jù)的一個數(shù)學定理是勾股定理的逆定理；

故答案為：勾股定理的逆定理；

(2)由作圖方法可知，QP=QC,QS=QC,

/QCR=NQ8,NQCS=NQSC,

-ZSRC+NR7S+NQR7+ZQSC=180。，

-2(N0CR+NQCS)=18O。，

?Z.QCR+ZQCS=9Q0,

即NRCS=90。;

(3)①如圖③所示，直線R7即為所求；

②答案不唯一，到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.

21.圖①是某車站的一組智能通道間機，當行人通過時智能間機會自動識別行人身份，識

別成功后，兩側的圓弧翼間會收回到兩側間機箱內，這時行人即可通過.圖②是兩圓孤翼

展開時的截面圖，扇形壁。和DM是間機的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對稱，BC和即均

垂直于地面，扇形的圓心角41FC=ND即=28°,半徑H4=￡D=6(km,點力與點D在同

一水平線上，且它們之間的距離為10cm.

(1)求同機通道的寬度，即&。與即之間的距離(參考數(shù)據(jù)：sin28°-0.47,cos280~0.88,

tan280^0.53)；

(2)經(jīng)實踐調查，一個智能伺機的平均檢票速度是一個人工檢票口平均檢票速度的2倍，

180人的團隊通過一個智能同機口比通過一個人工檢票口可節(jié)約3分鐘，求一個智能間機平

均每分鐘檢票通過的人數(shù).

解：(1)連接勸，并向兩方延長，分別交BC,EF于M,",

由點火，。在同一條水平線上，BC,EF均垂直于地面可知，

所以的長度就是BC與即之間的距離，

同時，由兩圓弧翼成軸對稱可得，AM=DN,

在RtMBM中，ZAMB=90^,ZABM=28°,-45=60,

,/sinZ/lBW=^~,

AB

AM=AB^stnZABM=60*sin28^60x0.47=28.2,

=AM+DN+AD=2AM+AD=28.2x2+10=66.4,

B。與即之間的距離為66.4cm;

(2)設一個人工檢票口平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為x人，

根據(jù)題意得，—-3=—,

xlx

解得：r=30,

經(jīng)檢驗，x=3。是原方程的根,

當x=30時，2r=60,

答：一個智能閘機平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為60人.

問題情境：

如圖①，點E為正方形壁如內一點，ZAEB=90°,將RtAABE繞點B按順時針方向旋轉

90°,得到ACBE'(點力的對應點為點Q.延長AE交CE'于點F,連接DE.

猜想證明：

(1)試判斷四邊形BEWE的形狀，并說明理由；

(2)如圖②，若請猜想線段⑦與F&的數(shù)量關系并加以證明;

解決問題：

圖①圖②

解：(1)四邊形物母是正方形,

理由如下：

?/將RtAABE繞點B按順時針方向旋轉90°,

二4￡S=NCE'B=90°,BE=BE',ZEBE'=90°,

又N5期1=90°,

:.四邊形BE尸E是矩形,

又,：BE=BE',

四邊形死尸E是正方形；

(2)CF=EF;

理由如下：如圖②，過點D作花于

圖②

-.■DA=DE,DH1AE,

二版=*,DHLAE,

ZADff+ZDAff=90°,

?.?四邊形71BCD是