2020-2021學(xué)年安徽省太和某中學(xué)高二10月月考數(shù)學(xué)（理）試題（奧賽班） 解析

安徽省太和第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考奧賽班數(shù)學(xué)

試題

一、單選題

1.直線x+y—3=0被圓d+y2—2y=3截得的弦肱V的長為（）

A.2B.3C.2也D.2A/2

2.直線x+（￡+l）y+l=0的傾斜角的取值范圍是（）

八萬~「八萬、「萬）（「、

A?口力1B.[O.]卜3"刁C.匕71,[A口.[『3%J

3.m^R,動(dòng)直線4：》+加丁一1=0過定點(diǎn)4動(dòng)直線小7巾一丁一2根+3=0過定點(diǎn)3,

若4與4交于點(diǎn)P（異于點(diǎn)A3）,貝||d|+歸目的最大值為（）

A.75B.275C.屈D.2M

4.若m,n,a,bqR,且滿足3m+4〃=6,3a+4Z?=1,則'（加一.+（“_與2的最小值

為（）A.6B.72C.1D.1

5.曲線y=l+〃T^與直線丁=左（%—2）+4有兩個(gè)不同交點(diǎn)，實(shí)數(shù)左的取值范圍

是（）A.k>~B.--<k<--C.k>—D.—<^<-

441212124

6.在棱長為2的正方體ABC。-43GA中，點(diǎn)E,尸分別是棱8C、CG的中點(diǎn)，則下列

結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.三棱錐A-BC尸外接球的表面積為9兀

C.點(diǎn)C到平面AEF的距離為gD.平面AEF截正方體所得的截面面積為g

7.三棱錐D—ABC中，AD=CD=?AB=BC=CA=6,當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),

2

側(cè)棱的長為（）

A.1B.72C.73D.2

8.如圖，梯形ABC。中，ADIIBC,AD=AB=1,AD±AB,ZBCD=45，將AABZ）

沿對角線折起.設(shè)折起后點(diǎn)A的位置為A',并且平面A皿，平面BCD.

給出下面四個(gè)命題：②三棱錐A—5CD的體積為走；

2

③CD,平面A'5￡＞；④平面ABC,平面A'OC.其中正確命題的序號(hào)是（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

9.三棱錐S-A8C的各頂點(diǎn)均在球。的球面上，SC為該球的直徑，AC=BC=2,ZACB=

120°,且三棱錐S-ABC的體積為2,則球。的半徑為（）

A.6B.75C.1D.3

10.直線龍+y+2=o分別與x軸，》軸交于A，3兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在圓（x-2）2+y2=2上,

則AA5P面積的取值范圍是

A.[2,6]B.[4,8]C.[夜，30]D.12夜，3頂]

11.已知點(diǎn)P（%,y）是直線辰+y+4=0（左＞0）上一動(dòng)點(diǎn)Q4、總是圓

。：公+丁2—2y=0的兩條切線，A、3是切點(diǎn)，若四邊形B4cB的最小面積是2,則女的

值為（）

A.3B.叵C.2夜D.2

2

12.已知點(diǎn)點(diǎn)舷是圓Y+（y—iy=J_上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是圓

4

（x—2）2+/=；上的動(dòng)點(diǎn)，則|PN|—田網(wǎng)的最大值是（）

A.75-1B.2C.3D.75

二、填空題

13.過原點(diǎn)。有一條直線/,它夾在兩條直線4：2x—y—2=0與/2：x+y+3=0之間的線

段恰好被點(diǎn)。平分，則直線I的方程為.

14.如圖所示，在上、下底面對應(yīng)邊的比為1：2的三棱臺(tái)中，過上底面一邊4片作一個(gè)平

行于棱的平面A4EF,記平面分三棱臺(tái)兩部分的體積

為匕（三棱柱4與。1-EEC）,匕兩部分，那么K：%=

B

15.過點(diǎn)P(—5,0)作直線(1+2機(jī))x—(m+l)y—4m—3=0(me@的垂線，垂足為M，

已知點(diǎn)7V(3,11),貝ij|肱V|的取值范圍是.

16.在三棱錐。一ABC中，已知平面ABC,且A5c為正三角形，AD=AB=5

點(diǎn)。為三棱錐D—A3C的外接球的球心，則點(diǎn)。到棱DB的距離為.

三、解答題

17.設(shè)直線L的方程為(a+1)x+y+2—a—G(aGR).

(1)若直線L在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線L的方程；

(2)若直線L不經(jīng)過第二象限，求。的取值范圍.

18.在平面四邊形ABC。中，AB=BD=CD=1,ABJ_CD，,將150沿5。

折起，使得平面ABD，平面BCD,如圖.

(1)求證：AB±CD；

(2)若M為A。中點(diǎn)，求直線A。與平面MBC所成角的正弦值.

19.如圖，在五面體ABCDEF中，A3,平面ADE,石尸，平面ADE,AB=CD=2.

(1)求證：AB〃CD；(2)若⑷缶=2,EF=1,且二面角E—DC—A的大小為60°，

求二面角/一6。一￡)的大小.

20.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓。的方程為：(％—1)2+丁=1,直線/過點(diǎn)M(0,3).

(1)若直線/與圓。有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線/的方程;

(2)若直線/與圓。交于不同的兩點(diǎn)A，B,試問：直線。4與08的斜率之和是否為定

值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.

21.已知直線/：%+y—1=0截圓O:x2+y2=r2(r>0)所得的弦長為而.直線人的方程

為(1+2m)x+(m—l)y—3m—0.

(1)求圓。的方程；(2)若直線乙過定點(diǎn)尸，點(diǎn)在圓。上，且PMJLPN,。為線

段MV的中點(diǎn)，求。點(diǎn)的軌跡方程.

22.已知兩個(gè)定點(diǎn)A(0,4),B(0,1),動(dòng)點(diǎn)P滿足|必|=2|尸引，設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為曲

線E,直線/：y—kx-4.

(1)求曲線E的軌跡方程；

(2)若/與曲線E交于不同的C、。兩點(diǎn)，且NCOD=120。(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線/

的斜率；

(3)若左=1,Q是直線/上的動(dòng)點(diǎn)，過Q作曲線E的兩條切線。M、QN,切點(diǎn)為M、N,

探究：直線MN是否過定點(diǎn)，若存在定點(diǎn)請寫出坐標(biāo)，若不存在則說明理由.

參考答案

1.D

【分析】

先將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心到直線的距離，再根據(jù)勾股定理可求得弦長.

解：

將圓好+V—2y=3化為標(biāo)準(zhǔn)方程得尤2+(y-1)2=4,

二圓心為(0,1),半徑r=2,

設(shè)圓心到直線的距離為d,則+1、=應(yīng),

.-.\MN\=/=274^2=272.

故選：D.

點(diǎn)評：

本題考查了由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求圓心和半徑，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，考查了勾股定理，屬

于基礎(chǔ)題.

2.D

解:

設(shè)直線的斜率為左，傾斜角為則左=—-二一，；.一1W左<0,即一lWtane<0

a~+1

3萬)

.??傾斜角的取值范圍是

故選：D

3.B

由題意可得：A(1,0),B(2,3),且兩直線斜率之積等于-1,

二?直線x+my-1=0和直線mx-y-2m+3=0垂直，

則1PA12+|PB12=|AB12=10^(lPAl+lPBl).即\PA\+\PB\<2^5.故選B.

2

點(diǎn)睛：含參的動(dòng)直線一般都隱含著過定點(diǎn)的條件，動(dòng)直線心動(dòng)直線L分別過A(l,

0),B(2,3),同時(shí)兩條動(dòng)直線保持垂直，從而易得|PA|2+|PB|2=|AB「=10,然

后借助重要不等式，得到結(jié)果.

4.C

為直線3x+4y=6上的動(dòng)點(diǎn)，⑼為直線3x+4y=1上的動(dòng)點(diǎn),

m-a)2+(〃-6)2可理解為兩動(dòng)點(diǎn)間距離的最小值,

6-1

顯然最小值即兩平行線間的距離：d=——L=1.

J9+16

故選C

5.D

【分析】

由曲線方程可知曲線為以（0,1）為圓心，2為半徑的圓的y21的部分，又直線恒過A（2,4）,

由數(shù)形結(jié)合可確定臨界狀態(tài)，分別利用圓的切線的求解和兩點(diǎn)連線斜率公式求得臨界狀態(tài)時(shí)

上的取值，進(jìn)而得到結(jié)果.

解：

y=l+，4-V可化為丁+（丁—I），=4（y21）

二曲線y=l+,4.九2表示以（0,1）為圓心,2為半徑的圓的y21的部分

又直線y=—2）+4恒過定點(diǎn)人（2,4）

可得圖象如下圖所示：

y

/、|3-2左|5

當(dāng)直線丁=左"-2）+4為圓的切線時(shí)，可得d=\^^=2,解得：k=—

，左2十112

4—13

當(dāng)直線丁=左（%—2）+4過點(diǎn)3（—2』）時(shí)，Zr=—=1

S3

由圖象可知，當(dāng)丁=左(%—2)+4與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，—<k<-

故選。

點(diǎn)評：

本題考查根據(jù)直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問題,關(guān)鍵是能夠明確曲線所表示的圖形

和直線恒過的定點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的方式得到臨界狀態(tài)，進(jìn)而利用直線與圓的知識(shí)來進(jìn)行求

解.

6.B

三垂線定理可排除B錯(cuò)誤

解：

A.設(shè)AC與交于點(diǎn)M，則〃■是的外心，取Ab中點(diǎn)N,連接則

NMHCF,平面ABCD,N是三棱錐A—5CF外接球的球心，

附=3.=將+(242=g,球表面積為s=4?x1|]=971,A正確；

B.如圖，取。2中點(diǎn)G,連接G”G4,由于歹是cq中點(diǎn)，.?.GE/ADC,而。平

面ADDX\,GF_L平面ADD1A,A,Du平面ADDX\,：.GF_LAiD,若Ap,

由于AFGb=R,4。，平面AbG,又AGu平面AbG,

但正方形ADDJA中，G是。2中點(diǎn)，不可能有A。，AG,B錯(cuò);

C.S^AFC——XECxAB=—x2xl=l,V——S^-FC=—xlxl=—,

ZAAziC22丈F一AfFlC3/\ArFAC,33

AE尸中，AE=V22+12EF=?，AF=3,

AE?+EF?—AF?5+2-9_屈sin/AEP=M^

則cosZAEF=

2AEEF2x75x72-10'10

SAAEF=|AE-EFsmZEF=|xV5xV2x^^=|,設(shè)C到平面AE尸的距離為力，

1312

則匕-Eb=%-A所得§X]/z=3,h=3,C正確;

D.連接尸2,O]A,易證得AD】//Be】//EF,平面AW截正方體所得的截面即為等腰梯

形AD1=2五,EF=4i，AE=DiF=45,梯形的高為

S='x（亞+2后）x^^=2,D正確.

222

DtG

故選：A.

點(diǎn)評：

本題考查立體幾何中命題的真假，考查線線垂直的判斷，三棱錐的外接球問題，等體積法求

點(diǎn)到平面的距離，考查正方體的截面等知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力，運(yùn)算求解能力，分

析并解決問題的能力，屬于中檔題.

7.C

【分析】

首先根據(jù)題意得到當(dāng)平面平面ABC時(shí)，三棱錐D-ABC體積最大，再求的長

即可.

解：

由題知：三棱錐￡>—ABC中，AD=CD=&,AB=BC=CA=6

2

當(dāng)平面平面ABC時(shí)，三棱錐D—A5c體積最大，如圖所示:

D

取AC中點(diǎn)。，連接。O,BO.

因?yàn)锳D=CD,所以。OLAC,DO=

3

又因?yàn)?5=5。，所以BOLAC,BO=

2

又平面ZMC_L平面ABC=AC,DO±AC,所以DO_L平面ABC.

OBu平面ABC,所以。0_L50.

所以BD=

故選：C

點(diǎn)評:

本題主要考查面面垂直的性質(zhì)，同時(shí)考查了三棱錐體積的最值問題，屬于中檔題.

8.B

【分析】

利用折疊前四邊形ABCD中的性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系，可證出然后結(jié)合平面A3D

，平面6C。，可得CDJ_平面A3D，從而可判斷①③；三棱錐4—3CD的體積為

\二后."走=正，可判斷②；因?yàn)镃D，平面A5D，從而證明CDLAB,再

3226

證明43,平面A'OC，然后利用線面垂直證明面面垂直.

解：

①ZBAD=90°,AD^AB,

ZADB=ZABD=45°，

ADIIBC,NBCD=4S,

..BDLDC,

平面A'BD，平面BCD,且平面A'3￡＞平面8。。=應(yīng)＞,

\CDA平面ABD，

AOu平面A'BD,

：.CDLAD,

故AOLBC不成立，故①錯(cuò)誤；

②棱錐A-3co的體積為LL&.血.1=1,故②錯(cuò)誤；

3226

③由①知CDJ_平面A8D,故③正確；

④由①知CD,平面A8D，

又A5u平面A'BD,

：.CDLAB,

又A5J_AO,且A￡＞、COu平面ADC,NDcCD=D,

二4'5，平面4￡＞。，又A3u平面ABC,

平面ABC1平面ADC,故④正確.

故選：8.

點(diǎn)評：

本題通過折疊性問題，考查了面面垂直的性質(zhì)，面面垂直的判定，考查了體積的計(jì)算，關(guān)鍵

是利用好直線與平面、平面與平面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，也要注意利用折疊前后四邊形A3CD中

的性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系.

9.A

【分析】

作出示意圖，求得A5C的面積，并計(jì)算出三棱錐S-A5C的高S。，利用正弦定理計(jì)算

圓E的直徑然后利用勾股定理求出SC,即可求解球的直徑，得到答案.

解：

如圖所示，因?yàn)锳C=3C=2,NACB=120,

可得ABC的面積為S0BC=1AC-BCsinZACB=1x2x2x^=73-

設(shè)A3C的外接圓為圓E,連接0E,則平面ABC,

作圓E的直徑CD,連接S￡),

因?yàn)?,E分別為SC,CD的中點(diǎn)，則SD//OE,所以SDJ_平面ABC,

所以三棱錐S-ABC的體積為V_c-x6xSO=2'解得必=26,

ACAC

由正弦定理，可得CD==4,SC=VCD2+SD2=277-

sinZABCsin30

設(shè)球的半徑為H，則2R=SC=2j7，解得R=5.

故選：A.

點(diǎn)評：

本題主要考查了球的體積的計(jì)算公式及應(yīng)用，其中解答中作出示意圖，根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特

征，找出線面垂直關(guān)系，求得三棱錐的高是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于中

檔試題.

10.A

分析:先求出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到|AB|,再計(jì)算圓心到直線距離,得到點(diǎn)P到直線距離范圍,

由面積公式計(jì)算即可

詳解：直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,B兩點(diǎn)

.?.A（-2,0）,B（0,-2）Jij|AB|=2^

點(diǎn)P在圓（x—2>+丁=2上

|2+0+2|

二圓心為（2,0）,則圓心到直線距離4==20

0

故點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離d2的范圍為[30]

則S?=g|A固&=四&42,6]

故答案選A.

點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于

中檔題.

11.D

【分析】

作出圖形，可知由四邊形B4cB的最小面積是2,可知此時(shí)

=]?同取最小值2,由勾股定理可知?dú)w。的最小值為君，即圓心C到直線

丘+丁+4=0（左＞0）的距離為逐，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求出左的值.

解：

如下圖所示，由切線長定理可得？A=PB，又AC=BC,PC=PC,且

APAC=ZPBC=90，，RMAC=RtAPBC,

所以，四邊形K4cB的面積為AB4c面積的兩倍,

X

Ax+y+4=0\

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為Y+（y_l）2=l,圓心為C（O,1）,半徑為r=l,

四邊形24cB的最小面積是2,所以，AB4C面積的最小值為1,

又S*c=g附-\AC\=^\PA\>1,.'.\PA\mn=2,

由勾股定理|PC|=+戶=JPA|2+I>J5，

當(dāng)直線PC與直線"+y+4=o（左>0）垂直時(shí)，|PC|取最小值有，

即|PC|.=匕±=6整理得左2=4,k>3解得左=2.

1lnunVFTi

故選：D.

點(diǎn)評：

本題考查由四邊形面積的最值求參數(shù)的值，涉及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就

是確定動(dòng)點(diǎn)尸的位置，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

12.B

9191

設(shè)圓好+（y—1）=7圓心為4。/），圓（x—2）+丁=4圓心為3（2,0）,則

\PN\-\PM\<|PB|+1-（|PA|-1）=\PB\-\PA\+I=陷—|PA[+I<|A'B\+1=2

其中4(1,0)為A關(guān)于直線對稱點(diǎn),所以選8.

點(diǎn)睛：與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略

(1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法.一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的

幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解.

(2)與圓上點(diǎn)(x,y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法.①形如u=上心型的最值問題，

x-a

可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(以力)和點(diǎn)Q,y)的直線的斜率的最值問題；②形如。=公+外型的最值問題,

可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問題；③形如(x-a>+(y-〃)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)

點(diǎn)到定點(diǎn)(心初的距離平方的最值問題.

【分析】

設(shè)兩交點(diǎn)分別為A(a,2a—2),利用中點(diǎn)為原點(diǎn)求解a,6,得到A點(diǎn)坐標(biāo)，即

得解.

解：

設(shè)兩交點(diǎn)分別為A(a,2a—2),B(b,—3—b),

a+b=0

2(2-5-Z?=0=>

4

所以直線/的方程為y=《九.

4

故答案為：y=-x

點(diǎn)評:

本題考查了直線與直線的位置關(guān)系，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸的能力，屬于中檔題.

14.3：4

【分析】

設(shè)三棱臺(tái)的高為〃，上底面的面積是S,則下底面的面積是4S,計(jì)算體積得到答案.

解：

設(shè)三棱臺(tái)的高為〃，上底面的面積是S,則下底面的面積是4S,

17-V=Sh--Sh-3

.%=”(S+4s+2S)=產(chǎn).「—=sj4.

3

故答案為：3:4.

點(diǎn)評：

本題考查了三棱臺(tái)的體積問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

15.[13-710,13+^]

【分析】

先將直線化為M2x—y—4)+(x—y—3)=0,可知直線過定點(diǎn)。(1,—2),可得M在以

PQ為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，求出圓心和半徑，由圓的性質(zhì)即可求得最值.

解：

由直線(1+27〃)%—(〃/+1)y一4加一3=0(7〃七尺)化為帆(2》一丁一4)+(刀—丁一3)=0,

2x-y-4=0[x=l/、

令4c八，解得4C，所以直線過定點(diǎn)0(1,—2),因?yàn)镸為垂足，所以AP0M

x-y-3=0[y=-2

為直角三角形，斜邊為PQ,所以刊在以PQ為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)？(-5,0)可知以PQ

為直徑的圓圓心為C(-2,-l),半徑為r=卜5-1)-+(0+2)-=屈,

2

則\MN\的取值范圍|C7V|一廠W\MN\<\CN\+r,又因?yàn)閨CN|=J(3+2p+(11+1『=13，

所以|肱7|的取值范圍是［13-加,13+標(biāo)］.

故答案為：［13-^0,13+^0］.

點(diǎn)評：

本題主要考查直線與圓的綜合問題，考查學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)的能力.

1

16.-

2

【分析】

設(shè)。'為ABC的中心，M為AD中點(diǎn)，連結(jié)OM,OO',AO,求得。4=且，設(shè)平

2

面OZM截得外接球是O,D,A，歹是。表面上的點(diǎn)，結(jié)合圓的性質(zhì)和球的性質(zhì)，

即可求解.

解：

由題意，設(shè)。'為ABC的中心，舷為AD中點(diǎn)，

連結(jié)加，00,,AO,則4?'=1,AM=—，可得。4=也，即球的半徑為立，

222

作平面ODA交于E,交于產(chǎn)，

設(shè)平面ODA截得外接球的截面是O,D,A，F(xiàn)是。表面上的點(diǎn),

又????，平面ABC,所以NZMb=90°,所以。歹是。的直徑，也是球。的直徑,

DF=汨,所以。BL5F.

因?yàn)閆MLAB,DA=BAB=6,所以80=病，所以3尸=1,

做OHLDB,所以O(shè)H//BF,

又由。O=OE,所以O(shè)”是的中位線，所以O(shè)H=LBF,故。"=L

22

故答案為：一

2

點(diǎn)評：

本題主要考查了組合體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用空間幾何體

的幾何結(jié)構(gòu)特征和球的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力.

17.(2)3x+y=0或x+y+2=0；(3)(-co,-l].

解：

(1)由(a+1)x+y+2—a=0整理得：(a+l)x+y=a-2,

當(dāng)a=2時(shí)，直線L的方程為：3x+y=0,此時(shí)直線的橫、縱截距都為0,滿足題意.

當(dāng)aw2時(shí)，直線L的方程可化為：6+1卜+上=i,要使得直線L在兩坐標(biāo)軸上的截

a—2a—2

距相等，貝必+1=1,即：1=0.此時(shí)直線L的方程為：x+y+2=0.

綜上可得：3x+y=0或x+y+2=0.

(2)直線L不經(jīng)過第二象限，貝"'7，解得:a<-l.

a-2<0

點(diǎn)評：

本題主要考查了直線過定點(diǎn)問題，還考查了直線的截距概念，直線圖像特征相關(guān)知識(shí)，屬于

基礎(chǔ)題.

18.(1)證明見解析；(2)逅.

3

【分析】

解：

試題分析：(D由A31.5D,將AABD沿折起，使得平面ABD1平面BCD,即可得AB

垂直于平面BCD.從而得到結(jié)論.

(2)依題意，可得NDBC=45°,又由AB,平面BCD.如圖建立直角坐標(biāo)系.求直線AD與平面

MBC所成角的正弦值.等價(jià)于求出直線與平面的法向量所成的角的余弦值.寫出

相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)以及相應(yīng)的向量,求出法向量即可得到結(jié)論.

試題解析：(1)因?yàn)槠矫鍮CD,平面ABD平面BCD=A3u平面

ABD,AB±5￡),所以AB，平面BCD又COu平面所以AB±CD.

(2)過點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BD的垂線作為左軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

'：AB=BD=CD=1,AB±BD,CD±BD,

：.B(0,0,0),C(1,1,0),A(0,0,1),D(0,1,0),M\0,-,-.

I22

：.AD=(。,1.T)，BC=(1，1,0),=ag1?

n-BC=x+y=0

設(shè)平面BCM的法向量九=(尤，y,z),貝"11

n-BM=—y+—z=0

I22

令》=-1,則x=l,z=l.

n=(1?-1,1).

設(shè)直線AO與平面M8C所成角為e.

考點(diǎn)：1.線面的位置關(guān)系2空間直角坐標(biāo)系3空間想象力.

19.(1)證明見詳解;(2)60°.

【分析】

(1)由兩條直線同時(shí)垂直平面得兩直線平行，再利用線面平行的性質(zhì)定理，即可證明線線

平行；

(2)如圖，取AD的中點(diǎn)為G,連接EG,AC,3。，設(shè)AC與應(yīng)>的交點(diǎn)為。，連接OF,OG,

利用二面角的知識(shí)，求出NADE=60°，連接再利用線面垂直推導(dǎo)線線垂直和二

面角的知識(shí)，得出NOLF即為所求角，把對應(yīng)值代入即可得答案.

解：

(1)：718，面40￡，E尸，面ADE，

AB//EF

又EFu面CDEF,AB<z面CDEF,

AB//面CDEP

又ABi面ABC。，面ABC。面CDEF=CD,

：.AB//CD

(2)設(shè)AD的中點(diǎn)為G,連接EG,AC,5D,

設(shè)AC與BO的交點(diǎn)為。，連接?！闛G,

面ADE，DEu面ADE，；."，可，AB±DE.

VAB//CD,：.CD±DA,CDLDE.

又D4u面ABC。，DEu面CDEF,且面ABCD面CDEF=CD.

；.二面角A—OC—E的平面角NADE=60°.

又在AADE中，AD=AE=2,

/.AADE是邊長為2的正三角形，

?*.EG±AD,

'：AB,平面ADE,

：.AB±EG,

,/ADoAB=A,

?*.EG，面ABC。，

由（1）知AB//CD,又CdM,AB^CD^AD,

四邊形ABC。為正方形，

AOG=-AB=1=EF,又OG〃AB,

2

AOG/ZEF,

.??四邊形OGEF為平行四邊形，

/.OF//EG,

：.OF±BC,

取的中點(diǎn)為X,連接

OHLBC,

OFOH=O,

：.BCL面OFH,

BCLFH,

，ZOHF即為二面角歹—5C—。所成的平面角，

：AADE是邊長為2的正三角形，四邊形ABCD為正方形，

：.OF=6，OH=1,

?*.tanNOHF=與=5

?*.ZOHF=60°，

...二面角尸—BC—。的平面角大小為60°.

點(diǎn)評：

本題主要考查線面平行性質(zhì)定理、線面垂直性質(zhì)定理、二面角的大小求解，考查轉(zhuǎn)化與化歸

思想，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力.屬于較難題.

2

20.(1)光=0或4x+3y—9=0；(2)直線。4與03的斜率之和為定值］.

【分析】

(1)當(dāng)/斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，當(dāng)/斜率存在時(shí)，設(shè)/的方程為y=Ax+3,只有

一個(gè)公共點(diǎn)，即直線與圓相切，可得圓心。(1,0)到直線y^kx+3的距離d=，代入數(shù)據(jù)，

即可得答案；

(2)設(shè)出直線/的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)，則可得自A+的表達(dá)式，聯(lián)立直線和圓的方程,

根據(jù)韋達(dá)定理，可得%+々，%一々的值，代入表達(dá)式，即可得證.

解：

(1)①當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，/的方程為x=0符合題意；

②當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)/的方程為y=Ax+3,由(*-1)2+丁=1得圓心。。,0),半徑

r=L

???直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)，

,I左+3|4

==

yj/kV+1,解得k=一3彳,

；./的方程為4x+3y—9=0,

綜上所述，直線/的方程為x=0或4x+3y—9=0.

(2)直線OA與08的斜率之和為定值，

證明：由(1)知直線/斜率存在，設(shè)/的方程為丁=履+3,

設(shè)A（X，K）,3（9，%），

則%A+G=&+涯="^+生9=24+2+2=24+丸山.

X々石%2%9玉

y=kx+3

聯(lián)立直線與圓的方程:

（x-l）2+y2=1

消去》得（左~+1）龍~+（6左—2）x+9=0,

A=（6Z—2）2—36（左2+1）>0得左<—）,

6k—2

x+x-_

i2―左2+1

根據(jù)韋達(dá)定理得，9

X-X-

x2左2十1

1806

kOA+kOB=2k+—[+1=2：—2k+、=g.

k2+l

2

：.直線。4與03的斜率之和為定值一.

3

點(diǎn)評：

本題考查直線與圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)為需討論斜率是否存在，再進(jìn)行求

解，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬中檔題.

21.(1)x2+y2=4；(2)(x—+('-g]=*

【分析】

(1)利用點(diǎn)到直線的距離公式得到圓心到直線的距離，利用直線截圓得到的弦長公式

2＞/r2-J2=V14可得半徑r，從而得到圓的方程；(2)由己知可得直線L恒過定點(diǎn)P(l,l),

設(shè)腑的中點(diǎn)0(x,y),由已知可得l"N|=2|PQ|,利用兩點(diǎn)間的距離公式化簡可得答案.

解：

(1)根據(jù)題意，圓。：/+9=/2(廠＞0)的圓心為(0,