1994全國(guó)碩士研究生數(shù)學(xué)真題及答案解析

1994年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題

填空題(本題共5個(gè)小題,每小題3分,滿分15分.)

,11、

(1)limcotx(-------)=____________.

工.osinxx

⑵曲面z—e「+2孫=3在點(diǎn)(1,2,0)處的切平面方程為.

⑶設(shè)Msin則在點(diǎn)(2,一)處的值為___________.

ydxdy兀

22

(4)設(shè)區(qū)域。為V+V4店，則口(1_+?dxdy=.

已知a=(1,2,3),，=(1,；,；),設(shè)A=a?尸，其中是a的轉(zhuǎn)置,則41=.

⑸

—?■、選擇題(本題共5個(gè)小題,每小題3分,滿分15分.)

34234

⑴設(shè)Af=J：sn：cos4xdx,(sinx+cosx)dx,P=j(xsinx-cosx)dx,

則()

(A)N<P<M(B)M<P<N

(C)N<M<P(D)P<M<N

⑵二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(尤0,%)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)￡(毛，%)、于久x0,y0)存在是f(x,y)在

該點(diǎn)連續(xù)的()

(A)充分條件但非必要條件(B)必要條件而非充分條件

(0充分必要條件(D)既非充分條件又非必要條件

00001

⑶設(shè)常數(shù)X〉0,且級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)Z(—1)"I5()

y/n2+A.

n=ln-1

(A)發(fā)散(B)條件收斂

(0絕對(duì)收斂(D)收斂性與幾有關(guān)

atanx+Z?(l-cosx)_,，八、，*

(4)hm------------------4=2,其中礦+c-H0,則必有

1°。111(1一2九)+磯1一"￡)

(A)b=4d(B)b=-4d

(C)a=4c(D)a=-4c

⑸已知向量組%、仁、%、%線性無(wú)關(guān)，則向量組

(A)%+。2、。2+。3、。3+。4、%+%線性無(wú)關(guān)

(B)。1一%、。2一。3、￡3-14、%-4線性無(wú)關(guān)

(C)/+%、I2+23、。3+。4、%-4線性無(wú)關(guān)

(D)/+%、。2+。3、。3一。4、%一火線性無(wú)關(guān)

三、(本題共3小題，每小題5分，滿分15分.)

x=cos(r2),

朱、言在的值.

⑴設(shè)2dl求

y=tcos?)--cosudu,

Ji2,沅

(2)將函數(shù)/(x)=Lln^^+Larctanx-x展開成x的幕級(jí)數(shù).

41-x2

⑶求［-----------.

Jsm2x+2smx

四、(本題滿分6分)

計(jì)算曲面積分jj，其中S是由曲面d+y2=店及兩平面2=R,

sx+y+z

Z=—R(R>0)所圍成立體表面的外側(cè).

五、(本題滿分9分)

設(shè)/(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，/(0)=0,尸(0)=1,且

［肛(x+y)—/(x)"fc+"'(x)+x2刃力=。為一全微分方程，求/(x)及此全微分方程的

通解.

六、(本題滿分8分)

設(shè)/(%)在點(diǎn)x=0的某一領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且lim3=0,證明級(jí)數(shù)

2。X

001

絕對(duì)收斂.

?=1n

七、(本題滿分6分)

已知點(diǎn)A與8的直角坐標(biāo)分別為(1,0,0)與(0,1,1).線段A8繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成

的旋轉(zhuǎn)曲面為S.求由S及兩平面z=0,z=1所圍成的立體體積.

八、(本題滿分8分)

x+x—0

設(shè)四元線性齊次方程組(I)為《I2'又已知某線性齊次方程組(II)的通解為

32-x4=0,

勺(0,1,10)+左2(T，2,2,1).

(1)求線性方程組(I)的基礎(chǔ)解系；

(2)問線性方程組(I)和(II)是否有非零公共解？若有，則求出所有的非零公共解.若沒

有,則說(shuō)明理由.

九、(本題滿分6分)

設(shè)A為”階非零方陣，A*是A的伴隨矩陣，4是A的轉(zhuǎn)置矩陣，當(dāng)A*=4"時(shí)，證明

|A|w0.

十、填空題(本題共2小題，每小題3分，滿分6分.)

(1)已知A、B兩個(gè)事件滿足條件P(AB)=P(AB),且P(A)=p,則P(B)=.

(2)設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量X、丫具有同一分布律，且X的分布律為

X01

11

P——

22

則隨機(jī)變量Z=max{X,F}的分布律為.

十一、(本題滿分6分)

已知隨機(jī)變量(x,y)服從二維正態(tài)分布,且x和丫分別服從正態(tài)分布NQ,3?)和

1VY

N(0,42),X與丫的相關(guān)系數(shù)Ay=-5，設(shè)2=一+—,

232

(1)求z的數(shù)學(xué)期望E(Z)和方差￡>(Z)；

(2)求X與Z的相關(guān)系數(shù)Q立；

(3)問X與Z是否相互獨(dú)立？為什么？

1994年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析

一、填空題(本題共5個(gè)小題,每小題3分,滿分15分.)

(1)【答案】7

【解析】原式變形后為“°”型的極限未定式，又分子分母在點(diǎn)o處導(dǎo)數(shù)都存在，所以連

o

續(xù)應(yīng)用兩次洛必達(dá)法則，有

Eq「cosx(x-sinx)「「x-sinx

原式=lim------------------=limcosx-lim-----------

%-。%sinx％-。x

「1-cosx「sinx1/,注加sinx

=lim----------=lim------=—.(由重要極限lim------=1)

3x6x6%-。x

⑵【答案】2x+y-4=0

【解析】所求平面的法向量〃為平行于所給曲面在點(diǎn)(1,2,0)處法線方向的方向向量/,

取〃=/,又平面過已知點(diǎn)M(l,2,0).

已知平面的法向量(AS。)和過已知點(diǎn)(％,%,z0)可唯一確定這個(gè)平面：

A(x—x0)+B(y—y0)+C(z—z0)=0.

因點(diǎn)(1,2,0)在曲面F(x,y,z)=0±.曲面方程方(x,y,z)=z—eZ+2孫一3.

曲面在該點(diǎn)的法向量

dFdF，魯={2—九2。)={4,2,0}=2{2,1,0},

n—<—,—

dxdy

故切平面方程為2(九—l)+(y—2)=0,即2x+y—4=0.

(3)【答案】

【解析】由于混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)條件下與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān),為了簡(jiǎn)化運(yùn)算,所以本題可以先

/

I、duh—d(du

求丁，再求------

dy&(②

dux_xx

——二——-ecos—,

dyyy、

22

du_duddu2—x

i-7CxeCOS71X

^(2.1)^(2,1)dx\^dyy=~

x=2

=（一廿e'（1—x）cos7cx）|x=2+0=—-.

（可邊代值邊計(jì)算,這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算量.）

【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果函數(shù)"=9（龍》）#=〃（蒼?。┒荚邳c(diǎn)（羽》）具

有對(duì)x及對(duì)〉的偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)z=/（〃#）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)（a,v）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)

z=于（（p（x,y）,〃（蒼y））在點(diǎn)（x,y）的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,且有

&dzdudzdvdu.dv

-+—frsf+r力；

dxdudxdvdxdxdx

dzdzdudzdv—dudv

-i—A+fy

獷dudydvdydydy

⑷【答案】/（』+,）

【解析】很顯然,根據(jù)此題的特征用極坐標(biāo)變換來(lái)計(jì)算:

(2zi,2zi、，2

rR2COS6Sin07廣2?COS6

原式=de\r123——+——rdr=——

JoJ。a2b2Joa2

注意：『渥田人『sin?田6=

則原式=%?，/1

1

1

23

2

(5)【答案】3"T21

3

3

31

2

【解析】由矩陣乘法有結(jié)合律，注意13aT

而（是一個(gè)三階矩陣）

于是,

An=(aTj0)(aTjff)(aTjff)(a?="(的，)(的?)[j3a)/3

7

=3""￡=3"T211

二、選擇題（本題共5個(gè)小題,每小題3分,滿分15分.）

（1）【答案】（D）

【解析】對(duì)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的積分,應(yīng)該關(guān)注被積函數(shù)的奇偶性.

由對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)積分的性質(zhì)，被積函數(shù)是奇函數(shù),積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則積分

為0,故V=0,且

由定積分的性質(zhì)，如果在區(qū)間l［a,可r上，被積函數(shù)/'（x）20,則/〃無(wú)）必;20（a<b）.

n%

所以N=2j,cos4xdx〉0,P=-2^cos4xdx^-N<0.

因而P<M<N,應(yīng)選（D）.

⑵【答案】（D）

【解析】/（%,y）在點(diǎn)（/，%）連續(xù)不能保證于（x,y）在點(diǎn)（尤。,兄）存在偏導(dǎo)數(shù)￡（40,為），

4（/,為）.反之，/（%y）在點(diǎn)（無(wú)o,為）存在這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)工'（九0，%），4（％,為）也不能保

證于（x,y）在點(diǎn)（無(wú)0,%）連續(xù),因此應(yīng)選（D）.

二元函數(shù)于（X,y）在點(diǎn)（尤0,為）處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在和在點(diǎn)（不，為）處連續(xù)并沒有相關(guān)性?

⑶【答案】（0

【解析】考查取絕對(duì)值后的級(jí)數(shù).因

|后J|2"2n2+A2n2n2,

（第一個(gè)不等式是由a20,。20,<g（4+/）得到的.）

00001001

又￡片收斂，收斂，（此為P級(jí)數(shù)：當(dāng)?〉1時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散?）

〃=1n-12〃及=1TI

_oo11oo(-1/KI

所以收斂，由比較判別法，得X收斂.

/;z2+2

?=i22nn=l

故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,因此選(C).

(4)【答案】(D)

【解析】因?yàn)?-cosx=6>(x),1-e~xx=°(九),

故atanx+優(yōu)l-cosx)ax(awO),

cln(l-2x)+d(l-e~x)-2cx(cw0),

因此原式左邊=lim-^=，一=2=原式右邊，na=—4c.

x->0—lex—2c

當(dāng)a=0,cwO時(shí),極限為0；

當(dāng)aw0,c=。時(shí),極限為oo，均與題設(shè)矛盾,應(yīng)選⑻.

【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.無(wú)窮小的比較：

設(shè)在同一個(gè)極限過程中，?(x),/7(x)為無(wú)窮小且存在極限lim型D=I.

〃(x)

(1)若/H0,稱?(%),伙X)在該極限過程中為同階無(wú)窮??；

(2)若/=1,稱?(%),伙x)在該極限過程中為等價(jià)無(wú)窮小,記為?(x)伙x)；

(3)若/=0,稱在該極限過程中a(x)是"(X)的高階無(wú)窮小,記為

a(x)=o(伙x)).

若lim也?不存在(不為oo),稱?(%),隊(duì)x)不可比較.

隊(duì)X)

2.無(wú)窮小量的性質(zhì)：當(dāng)xf5時(shí)，(z(x),/?(x)為無(wú)窮小，則

a(x).x)=cc(x)="x)+o(/3(x)).

⑸【答案】(0

【解析】這一類題目應(yīng)當(dāng)用觀察法.若不易用觀察法時(shí)可轉(zhuǎn)為計(jì)算行列式.

(A)：由于(4+a2)-(a2+/)+(%+%)-(%+%)=0,所以(A)線性相關(guān).

(B)：由于(%-%)+(4-生)+(生-%)+(%-出)=°，所以⑻線性相關(guān)?

對(duì)于(0,實(shí)驗(yàn)幾組數(shù)據(jù)不能得到0時(shí),應(yīng)立即計(jì)算由a的系數(shù)構(gòu)成的行列式,即

100-1

1100

=2R0,

0110

0011

由行列式不為o,知道(c)線性無(wú)關(guān).故應(yīng)選(0.

當(dāng)然,在處理(C)有困難時(shí),也可來(lái)看(D),由

(?1+4)一(%+%)+(%—%)+(%—%)=0，

知(D)線性相關(guān),于是用排除法可確定選(C).

【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】%,4，,4線性相關(guān)的充分必要條件是存在某q(，=l,2,,s)可以由

%,,aM,,as線性表出.

%,4，,4線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是任意一個(gè)q(，=1,2,,s)均不能由

%,aM,,as線性表出.

=t[t>0),

代入?yún)?shù)值t=

【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】L復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:如果〃=g(x)在點(diǎn)x可導(dǎo),而y=f(x)在點(diǎn)u=g(x)

可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]在點(diǎn)x可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為

■=r(“)Ha)或生。

axaxduax

2.對(duì)積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：若/⑺=[f(x)dx,。⑺，〃⑺均一階可導(dǎo)，則

Ja。)

(2)【解析】/(x)=—ln(l+x)--ln(l-x)+—arctanx-x.

442

先求f'(x)的展開式.將/(X)微分后,可得簡(jiǎn)單的展開式,再積分即得原函數(shù)的幕級(jí)數(shù)

展開.所以由

八\aIa(tz-l)2?(tz-l)(tz-n+1)?..八

(1+X)=1+OCX--------X+H------------j---------X+,(-1<X<1)

該級(jí)數(shù)在端點(diǎn)X=±l處的收斂性,視a而定.特別地,當(dāng)a=-1時(shí)，有

----=l-x+x2-x3++(—1)〃￡+,(-1<X<1)

1+x

----=l+x+x2+%3++xn+,(―1<X<1)

1-X

111111111111

得=-------1--------1------5—I=------7-------5—1

41+x41-x21+x221——21+x2

1008

=『-1二/-1=》4.(⑶<1),

1-%n=0n-1

積分，由牛頓-萊布尼茨公式得

cooo4n+l

/(x)=/(0)+￡'f\x)dx=Z］；嚴(yán)力=-7(IXl<1)?

n=ln=\4〃+1

(3)【解析】方法L利用三角函數(shù)的二倍角公式sin2a=2sina-cosa,并利用換元積分,

結(jié)合拆項(xiàng)法求積分,得

rdx_rdx

Jsin2%+2sinx」2sinx(cosx+l)

smxdx1r1,

----------------cosx-u——--------------du

2sin2x(cosx+1)=2J(l-u)(l+u)

sin2x=l-cos2x)

1r(1+W)+(1—￡/)12

IT-dn—-----1-------7)du

4J(1-M)(1+M)21+w(1+u)

2

=-ln|l-w|-ln|l+u|++c

8(1+M)

12

In(1-cosx)-ln(l+cos%)++C,

81+COSX

其中C為任意常數(shù).

方法2:換元COSX="后,有

dx_rsinxclx1rdu

5」(1-")(1+")2

2sinx(cosx+l)J2sin2x(cosx+1)

用待定系數(shù)法將被積函數(shù)分解:

1ABD

---------7=----1-----1-----7

(1-i/)(l+w)1—U1+W(1+J/)

(A—5)“2+(2A—￡>)“+(A+3+。)

(l-w)(l+u)2

A-B=0

2A-D=QA=B=~,D=~.

42

A+B+D=l

122

于是,原式=—--1-----1------)du=-ln|l-w|-ln|l+w|+-----+C

8u1+u(1+u)81+u

=-In(1-cosx)-ln(l+cosx)+---+C.

81+COSX

四、（本題滿分6分）

【解析】求第二類曲面積分的基本方法：套公式將第二類曲面積分化為第一類曲面積分,再化

為二重積分,或用高斯公式轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的三重積分或簡(jiǎn)單的曲面積分.

這里曲面塊的個(gè)數(shù)不多,積分項(xiàng)也不多,某些積分取零值,如若E垂直yQz平面,則

jjPdydz=0.化為二重積分時(shí)要選擇投影平面,注意利用對(duì)稱性與奇偶性.

先把積分化簡(jiǎn)后利用高斯公式也很方便的.

方法i：注意K。=o,（因?yàn)閟關(guān)于沖平面對(duì)稱,被積函數(shù)關(guān)于z軸對(duì)稱）

"1+y+z

所以/=n?，畔

7x+y+z

S由上下底圓及圓柱面組成.分別記為SpS?,§3.S],S2與平面yOz垂直n

xdydz

rrxdydzff22=o.

“77777

JJx+y+z

2

在53上將%+/=R-代入被積表達(dá)式n/=1蘭絲.

3/?2+z2

%

S3在yz平面上投影區(qū)域?yàn)镈>:—在S3上，x=+^R2-y2,S3關(guān)

于yz平面對(duì)稱,被積函數(shù)對(duì)x為奇函數(shù),可以推出

fJJ小，Jdydz=2x2x戲工

7?2+Z2

Dyz

1八

c萬(wàn)「

=8—R2-1arctan—Z=-7T2R.

4RR。2

rrxdydz

方法2：S是封閉曲面，它圍成的區(qū)域記為。，記/=Jj7?2+z2,

再用高斯公式得I=\\\j-[-^-^\dV=\\\-^dV=\Rdzjj

嵋。+z)藍(lán)R+zJ必R+z

=2〃R2crfR_1dz=1—/oR(先一后二的求三重積分方法)

J。R2+Z22

其中。(z)是圓域：x'+y-^R2.

【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域。是由分片光滑的閉曲面E所圍成，函數(shù)

P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在。上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有

fffl――+―+—=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy,

嵋IOxdydzJ

或討竺+&+空小(Pcosa+Qcos/?+Hcos/)dS,

號(hào)(dydz?

這里￡是Q的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)，cosa.cos/?>cosy是2在點(diǎn)(x,y,z)處的法向量的

方向余弦.上述兩個(gè)公式叫做高斯公式.

五、(本題滿分9分)

【解析】由全微分方程的條件，有

aa

小孫(%+y)-f(x)y]=—[f(x)+x2y],

oyox

即x2+2xy—f(x)=/"(x)+2xy,亦即/"(%)+/(%)=x2.

y"+y=冗2

因而是初值問題..的解，此方程為常系數(shù)二階線性非齊次方程,對(duì)應(yīng)的

必=0，兒0=1，

IIA—VIA-V

齊次方程的特征方程為r2+l=0的根為名=土"原方程右端/=e°，.必中的a=o,不同

于兩個(gè)特征根，所以方程有特解形如Y=AX2+BX+C.

代入方程可求得A=l,B=0,C=2,則特解為V—2.

由題給/(0)=0,/'(0)=1,解得/(x)=2cosx+sinx+x2-2.

于(x)的解析式代入原方程,則有

[xy2+2y-(2cosjr+sinx)y]tZx+[x2y+2x-2sinx+cosx]t/y=0.

先用湊微分法求左端微分式的原函數(shù)：

(-^y2dx2+x2dy2)+2(ydx+xdy)-yd(2sinx-cosx)-(2sinx-cosx)dy=0,

d(gx2y2+2xy+y(cosx-2sinx))=0.

其通解為^x2y2+2xy+y(cosx-2sinx)=C其中C為任意常數(shù).

【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)：設(shè)y*(無(wú))是二階線性非齊次方程

/+P(x)y'+Q(x)y=/(%)的一個(gè)特解.y(x)是與之對(duì)應(yīng)的齊次方程

7+P(尤)y'+Q(x)y=0的通解,則y=7(%)+y(x)是非齊次方程的通解.

2.二階常系數(shù)線性齊次方程通解的求解方法：對(duì)于求解二階常系數(shù)線性齊次方程的通解

Mx),可用特征方程法求解：即y"+P(x)y'+Q(x)y=0中的P(x)、Q(x)均是常數(shù)，方程

變?yōu)閥"+py'+qy=0.其特征方程寫為r2+pr+q=0,在復(fù)數(shù)域內(nèi)解出兩個(gè)特征根小g；

分三種情況：

v

(1)兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根小馬，則通解為y=ge環(huán)+C2e;

1

(2)兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(=弓,則通解為y=(C1+C2x)e";

(3)一對(duì)共軌復(fù)根生=々土i/3,則通解為y=?以(Qcos/3x+C2sin/).其中CrC2

為常數(shù).

3.對(duì)于求解二階線性非齊次方程y"+P{x}y'+Q(.x)y=于(x)的一個(gè)特解y\x),可用待定

系數(shù)法,有結(jié)論如下：

kAx

如果/(x)=匕(X)於,則二階常系數(shù)線性非齊次方程具有形如y*(x)=xQn(x)e

的特解,其中Q“,(x)是與匕,(為相同次數(shù)的多項(xiàng)式,而左按2不是特征方程的根、是特征方

程的單根或是特征方程的重根依次取0、1或2.

如果/(x)=/有(x)cosox十月(x)sincox］,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

y"+p(x)y'+q(x)y=/(%)的特解可設(shè)為

y=］，版［底)(x)coscox+R?(x)sina)x\,

其中R：(x)與R7(九)是根次多項(xiàng)式，m=max{/,"},而%按X+。(或4-。)不是特征

方程的根、或是特征方程的單根依次取為0或1.

六、(本題滿分8分)

【解析】lim/?=0表明x-0時(shí)/(%)是比尤高階的無(wú)窮小,若能進(jìn)一步確定/(%)是x

的P階或高于P階的無(wú)窮小，p>L從而/(』)也是1的P階或高于P階的無(wú)窮小,這就

nn

001

證明了級(jí)數(shù)X/(—)絕對(duì)收斂?

n-1〃

方法一：由lim」@=0及/(x)的連續(xù)性得知/(0)=0,/'(0)=0,再由/(%)在點(diǎn)x=0

3X

的某一領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)以及洛必達(dá)法則，lim/孚為“1”型的極限未定式，又分

子分母在點(diǎn)0處導(dǎo)數(shù)都存在,連續(xù)運(yùn)用兩次洛必達(dá)法則,有

Km-—⑴

52x522

nlim

xf0

心

1

由函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系nlim=^|no）|.

2

001001001

因Y-y收斂ny/（-）收斂,即y/（-）絕對(duì)收斂.

〃=i〃gR〃=1n

方法二：由lim」(2=0得知/(0)=0,/f(0)=C,可用泰勒公式來(lái)實(shí)現(xiàn)估計(jì)./(x)在點(diǎn)

x=0有泰勒公式：

/(X)=/(0)+廣(0)x+1f'XOx)^=1/W)-v2(0<^<l,%e［一反加)

因/(%)在點(diǎn)x=0的某一領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),

nm3>0,/"(%)在xe[-3,5]有界，即三"〉0,有|(尤)區(qū)M,xe\-S,5]

n|/(x)|=||/W)|x2<^MX2,X^[一瓦切.

對(duì)此(5>0,BN,〃>N時(shí)，0<,<Sn<-M\.

n2九2

001001001

又收斂nZ/(-)收斂,即y_/?(L)絕對(duì)收斂

?=in?in?=in

=

【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法：

88

設(shè)y"〃和y乙都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),且Hm2=A則

ZTMiun

0000

⑴當(dāng)0<A<+oo時(shí)，WX和2為同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散;

n-\n-1

00000000

⑵當(dāng)A=0時(shí)，若收斂，則2%收斂；若發(fā)散則發(fā)散;

n-in-1n-1n-1

00000000

⑶當(dāng)A=+8時(shí)，若工匕,收斂，則X"“收斂；若發(fā)散，則?“發(fā)散?

n-1n=\n=ln-1

七、(本題滿分6分)

【解析】方法1：用定積分.

設(shè)高度為z處的截面Dz的面積為S(z),則所求體積V=『S(z)dz.

JO

A3所在的直線的方向向量為(0—1,1—0,1—0)=(—LL1),且過A點(diǎn),

所以A3所在的直線方程為=-=2=：或1.

—ill[y=z

2

截面Dz是個(gè)圓形,其半徑的平方代=%2+9=(1—z)2+Z,則面積

S(z)=71R2=?[(1—z)2+Z2],

由此V=7i[(l-z)2+z2]dz=(1-2z+2z2)dz=7T^z-z2

方法2：用三重積分.

V=ffldV=r呵：dz\f^rdr=^,

Q」

或者V===Jo；r[(l-z)2+z2]dz

=司'()(l-2z+2z2)6fe

(,23丫171

I3Jo3

八、(本題滿分8分)

「1100]

【解析】(1)由己知，(I)的系數(shù)矩陣，A=

010-1

由于〃—r(A)=2,所以解空間的維數(shù)是2.

取X3，乂為自由變量，分別令(七,％)=(1,0),(0,1),求出Ax=0的解.

故(I)的基礎(chǔ)解系可取為(0,0,1,0),(-1,1,0,1).

⑵方程組(I)和(H)有非零公共解.

將(II)的通解