2019中考數(shù)學(xué)壓軸題3

2019中考數(shù)學(xué)壓軸題

24.（2016福建省龍巖市）如圖1?4,在直角邊分別為3和4的直角三角形中，每多作一條斜邊上的

高就增加一個(gè)三角形的內(nèi)切圓，依此類推，圖10中有10個(gè)直角三角形的內(nèi)切圓，它們的面積分別記

為SI,S2,S3,…，S10,則S1+S2+S3+…+S10=

【答案】".

【分析】（1）圖1,作輔助線構(gòu)建正方形0ECF,設(shè)圓0的半徑為r,根據(jù)切線長(zhǎng)定理表示出AD和BD

a^t-b-c

的長(zhǎng)，利用AD+BD=5列方程求出半徑尸一2—（a、b是直角邊，c為斜邊），運(yùn)用圓面積公式=萬(wàn)〃求

出面積="；

a+b-c

（2）圖2,先求斜邊上的高CD的長(zhǎng)，再由勾股定理求出AD和BD,利用半徑r=-2—（a、b是直

角邊，c為斜邊）求兩個(gè)圓的半徑，從而求出兩圓的面積和="；

a+b-c

（3）圖3,繼續(xù)求高DM和CM、BM,利用半徑廠―2—（a、b是直角邊，c為斜邊）求三個(gè)圓的半

徑，從而求出三個(gè)圓的面積和=n；

綜上所述:發(fā)現(xiàn)S1+S2+S3+…+S10=n.

【解析】（1）圖1，過(guò)點(diǎn)。做OE_LAC,OF1BC,垂足為E、F,則N0EC=/0FC=90°.

VZC=90°,四邊形OECF為矩形.V0E=0F,，矩形OECF為正方形.

3+4-5

2

設(shè)圓0的半徑為r,則0E=0F=r,AD=AE=3-r,BD=4-r,A3-r+4-r=5,r=2=1,.-.si=^xl=?.

11空、32一(U)2223

(2)圖2,由S4ABC=2X3X4=2X5XCD,，CD=5.由勾股定理得:AD=、5=5,BD=5-5=5.

i（2+^-3）3乙乜+叵4）1

由（1）得：。。的半徑=255=5,0E的半徑=255=5

1121614812.48.36

-X---X-------Z)2—()---

(3)圖3,由SACDB=255=2X4XMD,，MD=25.由勾股定理得：CM='525=25,

4_36643J_(48+36_12)12

MB=25=25,由(1)得：。0的半徑=S,：0E的半徑25255=25,0F的半徑

1,486416、16,3、212J6

—(一+-----)—nx(-)+^-xz(——x)2/+乃x(—x)2

=225255=25,.?.Sl+S2+S3=52525=“，.?.圖4中的Sl+S2+S3+S4=n,

則S1+S2+S3+…+S10=w.故答案為：n.

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；規(guī)律型：圖形的變化類；綜合題.

1

y=-x

25.(2016遼寧省葫蘆島市)如圖，點(diǎn)Al(2,2)在直線y=x上，過(guò)點(diǎn)A1作AlBl〃y軸交直線2

于點(diǎn)B1,以點(diǎn)A1為直角頂點(diǎn)，A1B1為直角邊在A1B1的右側(cè)作等腰直角△A1B1C1,再過(guò)點(diǎn)C1作A2B2

1

y=—x

〃y軸，分別交直線y=x和-2于A2,B2兩點(diǎn)，以點(diǎn)A2為直角頂點(diǎn)，A2B2為直角邊在A2B2的右

側(cè)作等腰直角4A2B2c2…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則等腰直角△AnBnCn的面積為.(用含正整數(shù)

n的代數(shù)式表示)

【答案】22"-1.

【分析】先根據(jù)點(diǎn)A1的坐標(biāo)以及AlBl〃y軸，求得B1的坐標(biāo)，進(jìn)而得到A1B1的長(zhǎng)以及△A1B1C1面

積，再根據(jù)A2的坐標(biāo)以及A2B2〃y軸，求得B2的坐標(biāo)，進(jìn)而得到A2B2的長(zhǎng)以及4A2B2c2面積，最

后根據(jù)根據(jù)變換規(guī)律，求得AnBn的長(zhǎng)，進(jìn)而得出△AnBnCn的面積即可.

1

y=-x

【解析】???點(diǎn)A1(2,2),AlBl〃y軸交直線2于點(diǎn)Bl,，B1(2,1)

/.A1B1=2-1=1,即△A1B1C1面積=2=2.

13

y——x-

VA1C1=A1B1=1,AA2(3,3),又?.,A2B2〃y軸，交直線2于點(diǎn)B2,.,.B2(3,2),.,.A2B2=3-

9

33

8-

2=2,即4A2B2c2面積=22

981

1X(9)2

以此類推，A3B3=4,即4A3B3c3面積=54=32.

271,27、2729

——x(—)

A4B4=8,即4A4B4c4面積=28=128.

io12〃-2

AnBn=，即△AnBnCn的面積=萬(wàn)"［（2）；，"、聲

考點(diǎn)：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；等腰直角三角形；規(guī)律型；綜合題.

26.（2016黑龍江省齊齊哈爾市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形A0CB的兩邊0A、0C分別在x軸

3

和y軸上，且0A=2,0C=l.在第二象限內(nèi)，將矩形A0CB以原點(diǎn)0為位似中心放大為原來(lái)的5倍，得

到矩形A10C1B1,再將矩形A1OC1B1以原點(diǎn)0為位似中心放大2倍,得到矩形A20c2B2…,以此類推,

得到的矩形AnOCnBn的對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為

【分析】根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k,那么位似圖形

對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k,即可求得Bn的坐標(biāo)，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)即可求得對(duì)角線交點(diǎn)的坐

標(biāo).

3

【解析】???在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點(diǎn)0為位似中心放大為原來(lái)的5倍，.?.矩形A10C1B1與

矩形AOCB是位似圖形，點(diǎn)B與點(diǎn)B1是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，?.?0A=2,0C=l.

33

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2,1）,.?.點(diǎn)Bl的坐標(biāo)為（-2x5,1x2）,?.?將矩形A10C1B1以原點(diǎn)0為位

33332至￡

似中心放大5倍，得到矩形A20c2B2…，...B2(-2義51X5X萬(wàn))，，Bn(-2X2",1x2"),

3"

￡！r1

???矩形AnOCnBn的對(duì)角線交點(diǎn)（-2x2”x2,1X2"X2),即(-2"2）,故答案為：（-2,

3"

尹),

考點(diǎn)：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；綜合題.

27.(2015慶陽(yáng))如圖，定點(diǎn)A(-2,0),動(dòng)點(diǎn)B在直線)=苫上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐

試題分析：過(guò)且作.”>1直線產(chǎn)X,過(guò)。作DElx軸于E,則NDQ4=N04D=NEDONEQ4=45°,\\4(-

2,0),.?.QGZ,.,.OE=DE=1,二。的坐標(biāo)為(-1,-1),即動(dòng)點(diǎn)5在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段.45最

短時(shí)，點(diǎn)5的坐標(biāo)為(-1,-1),故答案為：(-1,-1).

考點(diǎn)：1.一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；2.垂線段最短；3.動(dòng)點(diǎn)型；4.最值問(wèn)題；5.綜合題.

28.(2015涼山州)菱形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，頂點(diǎn)B(2,0),ZD0B=60°,

點(diǎn)P是對(duì)角線0C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E(0,-1),當(dāng)EP+BP最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

【答案】(26-3,2-6).

【解析】

試題分析：連接ED,如圖，

???點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D,，DP=BP,，ED即為EP+BP最短，..?四邊形ABCD是菱形，頂點(diǎn)B(2,0),

ND0B=60°,.?.點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,6)，，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,6)，.?.可得直線0C的解析式為：)yw3苫

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-1,0),...可得直線ED的解析式為：y=(l+b)x7,?.?點(diǎn)P是直線0C和直線ED

〃"尤卜=26一3

的交點(diǎn)，，點(diǎn)p的坐標(biāo)為方程組b'=a+6)xT的解，解方程組得：b=2-百，所以點(diǎn)p的坐標(biāo)

為(26-3,2-百)，故答案為：(2百-3,2-0).

考點(diǎn)：1.菱形的性質(zhì)；2.坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；3.軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；4.動(dòng)點(diǎn)型；5.壓軸題；6.綜

合題.

三、解答題

29.(2017江蘇省連云港市，第26題，12分)如圖，已知二次函數(shù)＞="小+法+3門/。)的圖象經(jīng)過(guò)

點(diǎn)A(3,0),B(4,1),且與y軸交于點(diǎn)C,連接AB、AC、BC.

(1)求此二次函數(shù)的關(guān)系式；

(2)判斷AABC的形狀；若AABC的外接圓記為。M,請(qǐng)直接寫出圓心M的坐標(biāo)；

(3)若將拋物線沿射線BA方向平移，平移后點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為點(diǎn)Al、Bl、Cl,AA1B1C1

的外接圓記為。Ml,是否存在某個(gè)位置，使。Ml經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出此時(shí)拋物線的關(guān)系式；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

1,51,1+屈、217-4V10

y=—x——x+3y=—(%-------)~----------

【答案】(1)22；(2)直角三角形，M(2,2)；(3)228或

l-Vi0.217+4師

【分析】(1)直接利用待定系數(shù)法求出a,b的值進(jìn)而得出答案；

(2)首先得出N0AC=45°,進(jìn)而得出AD=BD,求出N0AC=45°,即可得出答案；

(3)首先利用已知得出圓M平移的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出拋物線的平移規(guī)律，即可得出答案.

i1

ia=—

12

19a+3b+3=0.}.5

【解析】(1)把點(diǎn)A(3,0),B(4,1)代入丫=底+法+3中，得：卜6a+4b+3=l,解得：$一5,,

尸―3

所以所求函數(shù)關(guān)系式為："22

(2)4ABC是直角三角形，過(guò)點(diǎn)B作BD_Lx軸于點(diǎn)D,易知點(diǎn)C坐標(biāo)為：(0,3),所以0A=0C,所以

Z0AC=45°,又?.?點(diǎn)B坐標(biāo)為:(4,1),.\AD=BD,.,.ZOAC=45°,AZBAC=180°-45°-45°=90°,

.'.△ABC是直角三角形，圓心M的坐標(biāo)為：(2,2)；

(3)存在.取BC的中點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作ME_Ly軸于點(diǎn)E,的坐標(biāo)為：(2,2),：.毗=^^=布,

0M=2夜，.?.NMOA=45°,又;NBAD=45。，...0M〃AB,.?.要使拋物線沿射線BA方向平移,且使。Ml

經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則平移的長(zhǎng)度為：2四-石或20+石；

2x/2-75_4-V1O

???NBAD=45°,.?.拋物線的頂點(diǎn)向左、向下均分別平移F—個(gè)單位長(zhǎng)度

2

子”=小叵-2.5x+3=lg_51

或歷2個(gè)單位長(zhǎng)度，222擷28,...平移后拋物線的關(guān)系式為:

11854-xAo214-Vioilfi+Vio17-4V10

y=-fS-----H---------------------------------------y=—.?-------------------------------------

2攝2282,即，2樓28

嘴54+>/10214+71011?1->/10217+4V10

y=~?til-—-+-------------—-------------y———?JI-----------------------------

或2攝2282,即）2攝28

綜上所述，存在一個(gè)位置，使。Ml經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)拋物線的關(guān)系式為：

1-710.217+4質(zhì)

丁■/一一「

點(diǎn)睛：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及二次函數(shù)的平移、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確得出

圓M的平移距離是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；平移的性質(zhì)；動(dòng)點(diǎn)型；存在型；壓軸題.

2

y=—x+c

30.(2017河南省，第23題，11分)如圖，直線3與x軸交于點(diǎn)A(3,0),與y軸交于點(diǎn)

47,

y=——x+/zx+c

B,拋物線-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B.

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；

(2)M(m,0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P,N.

①點(diǎn)M在線段0A上運(yùn)動(dòng)，若以B,P,N為頂點(diǎn)的三角形與4APM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②點(diǎn)M在x軸上自由運(yùn)動(dòng)，若三個(gè)點(diǎn)M,P,N中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)(三點(diǎn)重合除外),

則稱M,P,N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”.請(qǐng)直接寫出使得M,P,N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”的m的值.

或4

【分析】（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式可求得c,則可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B的坐標(biāo)，利用待定系

數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）①由M點(diǎn)坐標(biāo)可表示P、N的坐標(biāo)，從而可表示出MA、MP、PN、PB的長(zhǎng)，分NNBP=90°和NBNP=90°

兩種情況，分別利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值；

②用m可表示出M、P、N的坐標(biāo)，由題意可知有P為線段MN的中點(diǎn)、M為線段PN的中點(diǎn)或N為線段

PM的中點(diǎn)，可分別得到關(guān)于m的方程，可求得m的值.

【解析】

2

y=—c

(1)V3與X軸交于點(diǎn)A(3,0),與y軸交于點(diǎn)B,.*.0=-2+c,解得c=2,AB(0,2),

b,=1—0

12+3〃+c=O

<v3

y=--x2+bx+c解得：h=2?.拋物線解析式為

?拋物線3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,Alc=2

-3%旦+2

33

2.

y=—x+2

(2)①由(1)可知直線解析式為3,VM(m,0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸

24102

--/%+2—lYi2H--機(jī)+2--/〃+2

的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P,N,...PCm,3),N(m,33),.?.PM=3,

41024

—m~2Hm+2—m+2——m2+44〃？

PA=3-m,PN=33-(3)=3,：4BPN和AAPM相似，且NBPN=NAPM,

ZBNP=ZAMP=90°或NNBP=NAMP=90°,分兩種情況：

4D5

—tn2T--771+2—

當(dāng)NBNP=90°時(shí)，則有BNLMN,...點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為2,33=2,解得m=0(舍去)或m=2,

5

AM(2,0)；

PNBP2

---=-----Z72+2

當(dāng)NNBP=90°時(shí)，則有％MP,VA(3,0),B(0,2),P(m,3),

Jm2+(--m+2-2)2巫團(tuán)J(m-3)2+(--m+2)2叵

BP=*3=3AP=V3*5=3(3-m),

4.V13

——m~2+4m---m

3_______二3

(3-nj)一■|〃z+21111

33,解得m=0(舍去)或m=8,(8,o)；

5H

綜上可知當(dāng)以B,P,N為頂點(diǎn)的三角形與aAPM相似時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(5,0)或(8,0)；

2410

--根+2--7TI2T7??+2

②由①可知M(m,0),P(m,3),N(m,33),VM,P,N三點(diǎn)為"共諧點(diǎn)”，

二有P為線段MN的中點(diǎn)、M為線段PN的中點(diǎn)或N為線段PM的中點(diǎn)，當(dāng)P為線段MN的中點(diǎn)時(shí)，則有

2c4210c1

—m+2——m4m+2—

2(3)=33，解得m=3(三點(diǎn)重合，舍去)或m=2；

2410

--7/24-2--1712HJTL+2

當(dāng)M為線段PN的中點(diǎn)時(shí)，則有3+(33)=o,解得m=3(舍去)或m=-1；

--2加+2c--47/72H1/0ZZ+c2--1

當(dāng)N為線段PM的中點(diǎn)時(shí)，則有3=2(33)，解得m=3(舍去)或!11=4.

綜上可知當(dāng)M,P,N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”時(shí)m的值為刁或-1或4.

點(diǎn)睛：本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、相似三角形的判定和性質(zhì)、

勾股定理、線段的中點(diǎn)、方程思想及分類討論思想等知識(shí).在(1)中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在(2)

①中利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵，注意分兩種情況，在(2)②中利用“共

諧點(diǎn)”的定義得到m的方程是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論.本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，分

情況討論比較多，難度較大.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；新定義；閱讀型；動(dòng)點(diǎn)型；分類討論；壓軸題.

31.(2017浙江省臺(tái)州市，第24題，14分)在平面直角坐標(biāo)系中，借助直角三角板可以找到一元二

次方程的實(shí)數(shù)根.比如對(duì)于方程f-5x+2=0,操作步驟是：

第一步：根據(jù)方程的系數(shù)特征，確定一對(duì)固定點(diǎn)A(0,1),B(5,2)；

第二步：在坐標(biāo)平面中移動(dòng)一個(gè)直角三角板，使一條直角邊恒過(guò)點(diǎn)A,另一條直角邊恒過(guò)點(diǎn)B；

第三步：在移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)三角板的直角頂點(diǎn)落在x軸上點(diǎn)C處時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m即為該方程的一

個(gè)實(shí)數(shù)根(如圖1)；

第四步：調(diào)整三角板直角頂點(diǎn)的位置，當(dāng)它落在x軸上另一點(diǎn)D處時(shí)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)n即為該方程的

另一個(gè)實(shí)數(shù)根.

(1)在圖2中，按照“第四步”的操作方法作出點(diǎn)D(請(qǐng)保留作出點(diǎn)D時(shí)直角三角板兩條直角邊的痕

跡)；

(2)結(jié)合圖1,請(qǐng)證明“第三步”操作得到的m就是方程--5犬+2=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根；

(3)上述操作的關(guān)鍵是確定兩個(gè)固定點(diǎn)的位置，若要以此方法找到一元二次方程"2+云+。=0(a

WO,〃-4aceo)的實(shí)數(shù)根，請(qǐng)你直接寫出一對(duì)固定點(diǎn)的坐標(biāo)；

(4)實(shí)際上，(3)中的固定點(diǎn)有無(wú)數(shù)對(duì)，一般地，當(dāng)ml,nl,m2,n2與a,b,c之間滿足怎樣的關(guān)

系時(shí)，點(diǎn)P(ml,nl),Q(m2,n2)就是符合要求的一對(duì)固定點(diǎn)？

hc1b

【答案】(1)作圖見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)A(0,1),B(-。，。)或A(0,〃)，B(-。，

bc

in,+/%=—.——

C)等；(4)'2叫巧+〃&=〃.

【分析】(1)根據(jù)“第四步”的操作方法作出點(diǎn)D即可；

AO_OC1_m

(2)過(guò)點(diǎn)B作BD±x軸于點(diǎn)D,根據(jù)△AOCs^CDB,可得而一8。，進(jìn)而得出=一彳，即

nr-5m+2=0,據(jù)此可得m是方程丁-5》+2=0的實(shí)數(shù)根；

2b、c,、

-X4--XH--=0

(3)方程ar+bx+c=O%/0)可化為。,模仿研究小組作法可得一對(duì)固定點(diǎn)的坐標(biāo)；

n}_m2-x

(4)先設(shè)方程的根為X,根據(jù)三角形相似可得X一見(jiàn)〃2,進(jìn)而得到

2%2+生+￡=()

『一(町+色)x+叫啊+々〃2=0,再根據(jù)O?+法+C=O,可得aa,最后比較系數(shù)可得ml,

nl,m2,n2與a,b,c之間的關(guān)系.

【解析】(1)如圖所示，點(diǎn)D即為所求；

(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BDlx軸于點(diǎn)D,根據(jù)NA0C=NCDB=90°,ZACO=ZCBD,可得△AOCs/\CDB,

AO_OC1_m

：.CDBD,：.5-m2,.小(5-m)=2,...機(jī))-5加+2=0,是方程f—5x+2=0的

實(shí)數(shù)根；

2

2x+—X+--0

(3)方-程ar+bx+c=0(a70)可化為aa,模仿研究小組作法可得：A(0,1),B(-

bc1b

。，。)或A(0,〃)，B(-。，c)等；

n,_-x

(4)如圖，P(ml,nl),Q(m2,n2),設(shè)方程的根為x,根據(jù)三角形相似可得“一肛々，上式

2￡+%+￡=0

可化為廠一(町+“2口+叫丐+勺〃2=°,xvax2+bx+c=0,即aa?.比較系數(shù)可得

bc

1TL.+YYtf=--,一

a,mxm2+n\n2=a

點(diǎn)睛：本題屬于三角形綜合題，主要考查的是一元二次方程的解，相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)

用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形，依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，列出比例式并轉(zhuǎn)

化為等積式.

考點(diǎn)：三角形綜合題；一元二次方程的解；相似三角形的判定與性質(zhì)；閱讀型；操作型；壓軸題.

121

V=-X+—x+c

32.(2017浙江省寧波市，第25題，12分)如圖，拋物線44與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,

15

與y軸交于點(diǎn)B,連結(jié)AB,點(diǎn)C(6,2)在拋物線上，直線AC與y軸交于點(diǎn)D.

(1)求c的值及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P在x軸正半軸上，點(diǎn)Q在y軸正半軸上，連結(jié)PQ與直線AC交于點(diǎn)M,連結(jié)M0并延長(zhǎng)交AB

于點(diǎn)N,若M為PQ的中點(diǎn).

①求證：△APMS/\A0N；

②設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,求AN的長(zhǎng)(用含m的代數(shù)式表示).

y=-x+3------

【答案】(1)c=-3,.4；(2)①證明見(jiàn)解析；②2m+4.

【分析】(1)把C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得c的值，令y=0可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法

可求得直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

(2)①在RtAAOB和RtAAOD中可求得NOAB=NOAD,在RtAOPQ中可求得MP=MO,可求得NMP0=N

MOP=ZAON,則可證得△APMS^AON；

②過(guò)M作MELx軸于點(diǎn)E,用m可表示出AE和AP,進(jìn)一步可表示出AM,利用△APMs^AON可表示出

AN.

”=9+。

【解析】(1)把C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得22，解得c=-3,.?.拋物線解析式為

y=—x2+—x-3—x2+—%-3=0

'44,令y=0可得44,解得x=-4或x=3,.'.A(-4,0),設(shè)直線AC的函數(shù)表

0=-4k+b,3

k=—

15",-4

—=6k+b,解得：〔”=3.直線AC的函數(shù)表達(dá)

達(dá)式為y=kx+b(kWO),把A、C坐標(biāo)代入可得:12

y=-x+3

式為4

OB3OD3

(2)①?.?在RtAAOB中，tan/OAB=°A=了，在RtAOD中，tanZ0AD=OA=4,ZOAB=ZOAD,；

在RtZ^POQ中，M為PQ的中點(diǎn),.,.OM=MP,AZM0P=ZMP0,且NM0P=NA0N,，NAPM=NA0N,AAAPM

s/SAON；

3

②如圖，過(guò)點(diǎn)M作MEJ_x軸于點(diǎn)E,則OE=EP,?.?點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,.\AE=m+4,AP=2m+4,VtanZ0AD=4,

4AE45_5(〃z+4)AM_AP

.,.cosZEAM=cosZ0AD=5,AM=5,.\AM=4AE=4,VAAPM^AAON,...ANAO,即

5(m+4)

4_2m+45m+20

AN4,；.AN=2/n+4.

點(diǎn)睛：本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、

等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及方程思想等知識(shí).在（1）中注意函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿

足函數(shù)解析式，以及待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）①中確定出兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵，在（2）

②中用m表示出AP的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，注意利用相似三角形的性質(zhì).本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性

較強(qiáng)，難度較大.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；壓軸題.

33.（2017浙江省湖州市，第24題，12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)

分別為（-4,0）,（4,0）,C（m,0）是線段AB上一點(diǎn)（與A,B點(diǎn)不重合），拋物線L1：卜=加+/*+4

ax+bx+c

（a<0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,C,頂點(diǎn)為D,拋物線L2：y='2i（a<0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,B,頂點(diǎn)為E,AD,

BE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.

(1)若a=2,m=-l,求拋物線LI,L2的解析式;

(2)若a=-1,AF1BF,求m的值；

(3)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a（a<0）,無(wú)論m取何值，直線AF與BF都不可能互相垂直？若存在，請(qǐng)

直接寫出a的兩個(gè)不同的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

y=--x*2-*-x-2

【答案】（1）拋物線LI解析式為.22，拋物線L2解析式為-22;(2)m=±2V3.

（3）存在，例如：a=3,4（答案不唯一）.

【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將A,B,C的坐標(biāo)代入解析式即可求得二次函數(shù)的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DG_Lx軸于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)E作EH_Lx軸于點(diǎn)H,易證4ADG?AEBH,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)

邊比例相等即可解題；

（3）開(kāi)放性答案，代入法即可解題；

12

一5入(_1)._4+6=04

4=一一

【解析】（1）將/、。點(diǎn)帶入y=G?+4x+q中，可得：'；,解得一2，

——x(—4)'—44+q=0q=-2

2

1、5

???拋物線辦解析式為片一了-『2

[12

——x(-1)—么+c?=0=9,?.?拋物線L解析式為卜=一:/+：》+2

同理可得：;，解得：.4

22

2=2

--x4+45,+c2=0

-16-4/?,+Cj=0

V

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG_Lx軸于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)E作EH_Lx軸于點(diǎn)H,由題意得：-mZ?'+c'=0,解

b]=772-4

得:$=4，〃，二拋物線口解析式為3=*+（加一4?+4/〃；

m-4m2+8m+16/n2+8?/i+16(m+4)2m+4

.?.點(diǎn)D坐標(biāo)為(2,4),，DG=4=4,AG=2；

同理可得：拋物線L2解析式為丁=一/+?！?4比-4%

m2-8m+16(m-4)24-〃z

/.EH=4=4,BH=2,VAF1BF,DG±xtt,EH±xft,ZAFB=ZAGD=ZEHB=90°,

VZDAG+ZADG=90°,ZDAG+ZEBH=90°,：.ZADG=ZEBH,在aADG和aEBH中，VZADG=ZEBH,

("2+4)2m+4

4—2

DG_AG4-m(m-4)2

ZAGD=ZEHB=90°,AAADG-AEBH,:.BHEH,24化

簡(jiǎn)得：加=12,解得：m=±2百；

(3)存在，例如：a=3,4(答案不唯一)；

當(dāng)a=W時(shí)，代入A,C可以求得：

y=——1x2+-1（m,-4八）x+—4m

拋物線L1解析式為333.

y=——1x2+—1.Q〃+4八）x——4m

同理可得：拋物線L2解析式為.333.

m-4（機(jī)+4尸機(jī)+4（加一4『

點(diǎn)D坐標(biāo)為（2,12），點(diǎn)E坐標(biāo)為（2,12）.

(m+4)2(m-4)2

1212

4+mm-4

直線AF斜率為2，直線BF斜率為2

0+4)2(m-4)2

1212

4+mm-4

若要AFLBF,則直線AF,BF斜率乘積為-1,即2x2=-晨化簡(jiǎn)得：加=-20,無(wú)解;

1

點(diǎn)睛：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了相似三角形的判定和相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例相等的

性質(zhì)；本題作出輔助線并證明4ADG?ZXEBH是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；探究型；開(kāi)放型；分類討論；存在型；壓軸題.

34.(2017浙江省紹興市，第24題，14分)如圖1,已知DABCD,AB〃x軸,AB=6,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,

-4),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,4),點(diǎn)B在第四象限，點(diǎn)P是DABCD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)若點(diǎn)P在邊BC上，PD=CD,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(2)若點(diǎn)P在邊AB、AD上，點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)Q,落在直線＞=上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)若點(diǎn)P在邊AB,AD,CD上，點(diǎn)G是AD與y軸的交點(diǎn)，如圖2,過(guò)點(diǎn)尸作y軸的平行線PM,過(guò)

點(diǎn)G作x軸的平行線GM,它們相交于點(diǎn)M,將aPCM沿直線PG翻折，當(dāng)點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上時(shí)，

求點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫出答案).

5

【答案】(1)P(3,4)；(2)(-3,4)或(-1,0)或(5,-4)或(3,-4)；(3)P(2,-4)或(-2,

述述

3)或(-5,4)或(5,4).

【分析】(1)點(diǎn)P在BC上，要使PD=CD,只有P與C重合；

(2)首先要分點(diǎn)P在邊AB,AD上時(shí)討論，根據(jù)“點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)Q"，即還要細(xì)分“點(diǎn)P

關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q和點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q”討論，根據(jù)關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱點(diǎn)的特征(關(guān)于x

軸對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變成相反數(shù)；關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，相反；)將得到的點(diǎn)Q的坐標(biāo)代

入直線y=x-l,即可解答；

(3)在不同邊上，根據(jù)圖象，點(diǎn)M翻折后，點(diǎn)M'落在x軸還是y軸，可運(yùn)用相似求解.

【解析】(1)?；CD=6,...點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,4).

(2)①當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上時(shí)，由已知得，直線AD的函數(shù)表達(dá)式為：丁=-2》-2,設(shè)pg,-2a-2),

且-3WaW1.

若點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)QI(a,2a+2)在直線y=xT上，...22+2=2-1,解得a=-3,此時(shí)P(-3,4).

若點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)Q2(-a,-2a-2)在直線y=x-l±,：.-2a-2=-a~l,解得a=-l,此時(shí)P(-1,0).

②當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，設(shè)P(a,-4),且lWaW7.

若點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)Q3(a,4)在直線y=x-l上，.Mua-l,解得a=5,此時(shí)P(5,-4).

若點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)Q4(-a,-4)在直線y=x-l上，.?.-4=-aT,解得a=3,此時(shí)P(3,-4).

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,4)或(-1,0)或(5,-4)或(3,-4).

(3)因?yàn)橹本€AD為y=-2x-2,所以G(0,-2).

①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在CD邊上時(shí)，可設(shè)P(m,4),且-3Wm<3,則可得M'P=PM=4+2=6,M'G=GM=|m|,

OM'GM'即等—同

易證得△OGM'^AHMZP,則HP-M'P,在RtZ\OGM'中，由勾股

定理得，(刎，解得-竿或半，則P(一竿，4)或(竿，4)；

②如下圖，當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上時(shí)，設(shè)P(m,-2m-2),則PM'=PM=-2m|,GM'=MG=|m|,易證得△OGM'

OM'GM'OM'_\m\]

即卜2m-2|卜2時(shí)，則OM，=5回+2,在RQOGM，中，由勾股定理

/△HM'P,則HPM'P

(-|2//2+2|)2+22=m2--

1

得，2,整理得1n=-2,則p"2,3)；

如下圖，當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，設(shè)P(m,-4),此時(shí)M'在y軸上，則四邊形PM'GM是正方形，所以

GM=PM=4-2=2,則P(2,-4).

5述述

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-4)或(-2,3)或(-5,4)或(5,4).

點(diǎn)睛：本題考查一次函數(shù)綜合題、平行四邊形的性質(zhì)、翻折變換、勾股定理、正方形的判定和性質(zhì)等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題；平行四邊形的性質(zhì)；翻折變換(折疊問(wèn)題)；動(dòng)點(diǎn)型；分類討論；壓軸題.

35.(2017衢州，第24題，12分)在直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)0及點(diǎn)A(8,0),C(0,6)作矩形OABC、

連結(jié)0B,點(diǎn)D為0B的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE,作DFJ_DE,交0A于點(diǎn)F,連結(jié)EF.已

知點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段AB上移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)如圖1,當(dāng)t=3時(shí)，求DF的長(zhǎng).

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)的過(guò)程中，NDEF的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理

由；如果不變，請(qǐng)求出tan/DEF的值.

(3)連結(jié)AD,當(dāng)AD將aDEF分成的兩部分的面積之比為1：2時(shí)，求相應(yīng)的t的值.

3_7575

【答案】(1)3；(2)NDEF的大小不變，tanNDEF=1；(3)t的值為41或17.

2_

【分析】(1)當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，由三角形中位線定理得出DE〃OA,DE=2QA=4,再由矩形

的性質(zhì)證出DEJ_AB,得出N0AB=NDEA=90°,證出四邊形DFAE是矩形，得出DF=AE=3即可；

(2)作DM_LOA于M,DN_LAB于N,證明四邊形DMAN是矩形，得出NMDN=90°,DM〃AB,DN〃OA,由

BDBNDOOM]_

平行線得出比例式。?！狽A,BD~MA,由三角形中位線定理得出DM=5AB=3,DN=5()A=4,證明

DFDM3

△DMF-ADNE,得出赤一。N=I,再由三角函數(shù)定義即可得出答案；

(3)作作DM_LOA于M,DN_LAB于N,若AD將4DEF的面積分成1：2的兩部分，設(shè)AD交EF于點(diǎn)G,

則點(diǎn)G為EF的三等分點(diǎn)；

3325