2019-2020學(xué)年江西省撫州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

2019-2020學(xué)年江西省撫州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）

1.（5分）在某社區(qū)有600個(gè)家庭，其中高收入家庭120戶，中等收入家庭420戶，低收入

家庭60戶.為調(diào)查社會(huì)購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100戶的樣本，記作

①：某學(xué)校高中二年級(jí)有15名男籃運(yùn)動(dòng)員，要從中選出3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況，記作

②；那么完成上述兩項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用適合的抽樣方法是（）

A.①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，②系統(tǒng)抽樣

B.①系統(tǒng)抽樣，②分層抽樣

C.①分層抽樣，②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

D.①分層抽樣，②系統(tǒng)抽樣

2.（5分）某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè).如圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的產(chǎn)品凈重（單位：

克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106],樣本數(shù)據(jù)分組為[96,

98）,[98,100）,[100,102）,[102,104）,[104,106],已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100

克的個(gè)數(shù)是36,則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是（）

3.（5分）假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用），（萬(wàn)元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料:

x12345

y567810

由資料可知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，且線性回歸方程為y=i.2x+a，請(qǐng)估計(jì)使用年限為

20年時(shí)，維修費(fèi)用約為（）

A.26.2B.27C.27.6D.28.2

4.（5分）如圖，該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為（）

開始

,4=15=1

4=彳+1結(jié)束

A.7B.15C.31D.63

5.（5分）命題“若x>l,則/>1”的否命題為（）

A.若x>l,則/W1B.若/>1,則x>1

C.若xWl,則D.若/W1,則xWl

6.（5分）已知向量Z=（l,1,0），1=（-1,0,1），且ka+N5a互相垂直，則A=（）

A.AB.AC.」D.」

3232

7.（5分）已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余3件為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,

至少有一件次品的概率為（）

A.0.4B.0.6C.0.7D.0.8

22

8.（5分）已知橢圓=的左右焦點(diǎn)分別為Fi（-c,0）,F2（c,0）,

2,2-1■

ab

_?n/pp「

若橢圓上存在一點(diǎn)p使得---------」?=曳，則這橢圓的離心率的取值范圍為（）

sinZPFg?1c

A.（0,&-1）B.（0,y）ug,1）D.（V2-l-1）

9.（5分）設(shè)向量Z=（x-1,y）（x,yER）,若Ia1'則的概率為（）

D-4^

A-4

10.（5分）已知過拋物線）2=4x的焦點(diǎn)戶的直線/與該拋物線交于A,B兩點(diǎn)，且|AF|：\BF]

=3：2,則直線/的方程為（）

D.y=±-^-（x-l）

A.y=i-B.y=±2,\/Q（X-1）C.y=i--（x~l）

35

11.（5分）如圖，在正四棱柱ABCD-A\B\C\D\中，A8=3,A4i=4,P是側(cè)面BCC\B\

內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且APLBOi,記AP與平面BCC13所成的角為仇則tan。的最大值為（）

C.2D.魯

22

12.（5分）已知橢圓￥+X^i（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Q，放，尸為橢圓上不與

a%y

左右頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，/,G分別為△PF1F2的內(nèi)心和重心，當(dāng)/G_Lx軸時(shí)，橢圓的

離心率為（）

A.AB.AC.返D.后

3223

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（5分）已知空間單位向量￡7，T*,兩兩互相垂直，且？二2二+?二_4二^則W

C1ClG11OCQHDOCl0

14.（5分）如圖是某賽季甲乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖，則甲乙兩人比賽得

分的中位數(shù)之和是

甲乙

—31

368245

479326378

1457

22

15.（5分）橢圓￡江十/=1的左焦點(diǎn)為Q,直線與橢圓￡交于A,8兩點(diǎn).當(dāng)4

25

F\AB的周長(zhǎng)最大時(shí)，則m的值等于.

16.（5分）己知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面.底面ABCD,

且PA=PB=4,則該四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為.

三、（本大題共6小題，第17題10分，第18?22題每小題10分，共70分）

17.（10分）已知命題p：關(guān)于x的不等式/-4工+2機(jī)<0無(wú)解；命題/指數(shù)函數(shù)/（x）=

（2m-1）”是R上的增函數(shù).

（1）若命題〃八q為真命題，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

（2）若滿足p為假命題且q為真命題的實(shí)數(shù)機(jī)取范圍是集合A,集合B={x|2Ll<x<

13-尸},且AUB,求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

18.（12分）已知橢圓C經(jīng)過兩點(diǎn)A（揚(yáng)顯），B（l,

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知直線/與橢圓C交于C,D,且已知線段C0的中點(diǎn)為兒（\歷，1）,求直線/

的方程.

19.（12分）如圖，已知四棱錐P-A8CO的底面ABCD為棱形，且出，面ABCQ,NBAD

=120°,AB=1,%=2,且E,F分別為尸8,尸力的中點(diǎn).

（1）求證：8。_1_面PAC-,

（2）求二面角P-AE-尸的余弦值.

20.（12分）某樂園按時(shí)段收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：每玩一次不超過1小時(shí)收費(fèi)10元，超過1

小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)8元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.現(xiàn)有甲、乙二人參與但

都不超過4小時(shí)，甲、乙二人在每個(gè)時(shí)段離場(chǎng)是等可能的.為吸引顧客，每個(gè)顧客可以

參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng).

（1）用（10,10）表示甲乙玩都不超過1小時(shí)的付費(fèi)情況，求甲、乙二人付費(fèi)之和為44

元的概率；

（2）抽獎(jiǎng)活動(dòng)的規(guī)則是：顧客通過操作按鍵使電腦自動(dòng)產(chǎn)生兩個(gè)［0,1］之間的均勻隨機(jī)

數(shù)x,并按如圖所示的程序框圖執(zhí)行.若電腦顯示“中獎(jiǎng)”，則該顧客中獎(jiǎng)；若電腦顯

示“謝謝”，則不中獎(jiǎng)，求顧客中獎(jiǎng)的概率.

21.（12分）已知三棱錐P-ABC（如圖1）的平面展開圖（如圖2）中，四邊形ABCQ為

邊長(zhǎng)為&的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在三棱錐P-ABC中：

（I）證明：平面B4C_L平面48C；

（II）求二面角A-PC-B的余弦值;

（III）若點(diǎn)M在棱PC上，滿足史=入,2],點(diǎn)N在棱8尸上，且

CP3」

AN,求典的取值范圍.

BP

22.（12分）已知橢圓巳表」CO）的左右焦點(diǎn)分別為乃（-C,°）,放（c,。）,

ab

已知其離心率為e,，且過點(diǎn)Q（l,》

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線AFi與直線3尸2平行，AF2與

交于點(diǎn)P,探究|Pg|+|PF2|是否為定值？如果為定值，請(qǐng)求出該定值；如果不為定值，請(qǐng)

說明理由.

2019-2020學(xué)年江西省撫州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）

1.（5分）在某社區(qū)有600個(gè)家庭，其中高收入家庭120戶，中等收入家庭420戶，低收入

家庭60戶.為調(diào)查社會(huì)購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100戶的樣本，記作

①：某學(xué)校高中二年級(jí)有15名男籃運(yùn)動(dòng)員，要從中選出3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況，記作

②；那么完成上述兩項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用適合的抽樣方法是（）

A.①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，②系統(tǒng)抽樣

B.①系統(tǒng)抽樣，②分層抽樣

C.①分層抽樣，②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

D.①分層抽樣，②系統(tǒng)抽樣

【分析】利用分層抽樣、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的性質(zhì)直接求解.

【解答】解：在①中：在某社區(qū)有600個(gè)家庭，其中高收入家庭120戶，中等收入家庭

420戶，低收入家庭60戶.

為調(diào)查社會(huì)購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100戶的樣本，

有個(gè)體差異，應(yīng)該用分層抽樣方法；

在②中，某學(xué)校高中二年級(jí)有15名男籃運(yùn)動(dòng)員，要從中選出3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況，

總體個(gè)數(shù)少，應(yīng)該用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽樣方法的判斷，考查分層抽樣、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，

考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.（5分）某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè).如圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的產(chǎn)品凈重（單位：

克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106],樣本數(shù)據(jù)分組為[96,

98）,[98,100）,[100,102）,[102,104）,[104,106],已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100

克的個(gè)數(shù)是36,則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是（）

頻率/組距

9s品點(diǎn)106,克

A.90B.75C.60D.45

【分析】根據(jù)小長(zhǎng)方形的面積=組距乂普寫=頻率求出頻率，再根據(jù)頻率/望贅=.

組距樣本谷里

求出頻數(shù)，建立等式關(guān)系，解之即可.

【解答】解：凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)設(shè)為N2,產(chǎn)品凈重小

于100克的個(gè)數(shù)設(shè)為Ni=36,樣本容量為M(0.1+0.15+0.125)X2XN_375

(0.05+0.1)X2XN~~150

電港X36=90

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問題的一個(gè)基本思想方法.對(duì)于總體分布，總是

用樣本的頻率分布對(duì)它進(jìn)行估計(jì)，頻率分布直方圖：小長(zhǎng)方形的面積=組距X

20年時(shí)，維修費(fèi)用約為（）

A.26.2B.27C.27.6D.28.2

【分析】根據(jù)所給的數(shù)據(jù)求出這組數(shù)據(jù)的橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，即這組數(shù)據(jù)的樣本中心

點(diǎn)，根據(jù)樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上，把樣本中心點(diǎn)代入求出〃的值，寫出線性回歸

方程，代入x的值，預(yù)報(bào)出結(jié)果.

【解答】解：：由表格可知彳=3,7=7.2,

,這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是（3,7.2）,

根據(jù)樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上,

???7.2=a+1.2X3,

??〃=3.6,

/.這組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的線性回歸方程是），=1.2%+3.6,

,."=20,

?.y=1.2X20+3.6=27.6.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性回歸方程，考查樣本中心點(diǎn)，做本題時(shí)要注意本題把利用最小二

乘法來(lái)求線性回歸方程的系數(shù)的過程省掉，只要求〃的值，這樣使得題目簡(jiǎn)化，注意運(yùn)

算不要出錯(cuò).

4.（5分）如圖，該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為（）

【分析】賦值框內(nèi)的循環(huán)變量的賦值A(chǔ)=l,符合條件，進(jìn)行運(yùn)算，累加變量同時(shí)加1替

換，判斷是否符合條件，符合條件再進(jìn)入循環(huán)，否則算法結(jié)束，輸出S.

【解答】解：因?yàn)锳=l,5=1

判斷框內(nèi)的條件1W5成立，執(zhí)行s=2X1+1=3,i=l+l=2；

判斷框內(nèi)的條件2<5成立，執(zhí)行s=2X3+l=7,i=2+l=3；

判斷框內(nèi)的條件3W5成立,執(zhí)行s=2X7+l=15,i=3+l=4；

判斷框內(nèi)的條件4W5成立，執(zhí)行s=2X15+1=31,i=4+l=5；

判斷框內(nèi)的條件5W5成立，執(zhí)行s=2X條+1=63,?=5+1=6；

此時(shí)6>5,判斷框內(nèi)的條件不成立，應(yīng)執(zhí)行否路徑輸出63,所以輸入的加值應(yīng)是5.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序框圖中的當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，當(dāng)型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行，滿足條件

進(jìn)入循環(huán)，不滿足條件，算法結(jié)束.

5.（5分）命題“若x>l,則7>1”的否命題為（）

A.若x>l,則B.若/>1,則x>1

C.若xWl,則/W1D.若/W1,則xWl

【分析】否命題是條件和結(jié)論都要否定，由此寫出即可.

【解答】解：命題“若x>l,則f>l”的否命題是

“若xWl,則/W1”.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與它的否命題的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

6.（5分）已知向量：=（1,1,0>1=（-1,0,1），且ka+詣aE相垂直，則后=（）

A.1B.AC.」D.」

3232

【分析】根據(jù)kZ+痣Z互相垂直，（。+芯）?2=0，列出方程求出人的值.

【解答】解：?.響量￡（1,1,0），b=（-l,0,1），

.,.Aa+b=(左-I,k,1)；

又ka+b^a互相垂直，

aa+b），a=。，

即（％-1）Xl+Z=o,

解得k=l.

2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

7.（5分）已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余3件為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，

至少有一件次品的概率為（）

A.0.4B.0.6C.0.7D.0.8

【分析】利用列舉法列出從5件產(chǎn)品中選2件的事件的結(jié)果有12,13,la,也23,2a,

2b,3a,3b,必共10種，滿足條件的基本事件有l(wèi)a,-2a,2b,3a,3b,必共7種,

根據(jù)古典概率的求解公式即可求解.

【解答】解：記5件產(chǎn)品的編號(hào)分別為1,2,3,a,h,其中1,2,3為合格品，

從5件產(chǎn)品中選2件的事件的結(jié)果有12,13,\a,\b,23,2a,2b,3a,3b,仍共10

種，

滿足條件的基本事件有l(wèi)a,3,2a,2b,3a,3b,"共7種,

故所求的概率為p=>^-=o.7-

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，注意列舉法的合理運(yùn)用.

8.（5分）已知橢圓用表大心心。）的左右焦點(diǎn)分別為乃一，0）,F2（c,0）,

ab

_?n/pp「

若橢圓上存在一點(diǎn)p使得-------」?=亙，則這橢圓的離心率的取值范圍為（）

sinZPFg?1c

A.（0,V2-DB.（0,.1）C.（A（1）D.（V2-l-1）

【分析】利用正弦定理、橢圓的定義，結(jié)合條件，即可求該橢圓的離心率的取值范圍.

sin/PFF

【解答】解：在△PFlF2中，由正弦定理知一=_—=|PF2I

sinZPF2F1|PF1I

???巴也F13???變工=包=工

即|PFi|=e|P五2|,①

sin/PFzF]c|PF]|ce

又在橢圓上，；.|PFi|+|PF2|=2a,

將①代入得|PF2|=上￥（a-c,a+c）,

同除以。得，l-e<_2_Vl+e,

e+1

解得&T<eVl,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的離心率的取值范圍，考查正弦定理、橢圓的定義，考查學(xué)生分

析解決問題的能力，屬于中檔題.

9.（5分）設(shè)向量y）（x,yER>若|Z|《1，則的概率為（）

A.AB.A__C.J__LD.3丘1.一

442兀71442兀

【分析】根據(jù)平面向量的模長(zhǎng)公式得出（x-1）2+/W1,

畫出不等式y(tǒng)Nx表示的平面區(qū)域，計(jì)算對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積比即可.

【解答】解：平面向量a=(x-l,y)(x,y€R),

若|a|<1=>(x-1)2+y2^l,

它表示圓心為(1,0),半徑為1的圓面;

畫出圖形如圖所示；

則陰影部分為弓形，其面積為

Ann2-Axixi=2L-A；

4242

所以事件的概率為

兀__

p：5陰影一工節(jié)=1_

s圖KXI242兀

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的應(yīng)用問題，也考查了幾何概型的概率計(jì)算問題，是基礎(chǔ)

題.

10.(5分)已知過拋物線/=?的焦點(diǎn)F的直線/與該拋物線交于A,B兩點(diǎn),且依小逐回

=3：2,則直線/的方程為()

A.y=+—(-i)B.y=i(X-1)C.y=±2(x-l)D.y=+

x-1)

35

【分析】本題先設(shè)|A/q=3m|BFl=2m根據(jù)公式丁可得依用和|8月的值,

|AF||BF|p

然后設(shè)過焦點(diǎn)尸的直線/的斜率為左，則/：y^k(%-1).聯(lián)立直線與拋物線方程，消去

2

y整理得一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理有xi+m=2(>+2),再根據(jù)公式HQ+|BQ=

k2

X\+X2+p可得k的值，即可得到直線/的方程.

【解答】解：由題意，p=2,F(1,0).

根據(jù)|AQ：\BF]=3：2,

可設(shè)|AF]=3a,\BF]=2a,(aW0)

?-1^1_2

'|AF||BF|7'

.?.工工=1,解得〃=5.

3a2a6

：.\AF]=3X^-=^-,|BF|=2xS=S.

6263

IAF1+IBQ=旦+5=空.

236

設(shè)過焦點(diǎn)F的直線/的斜率為k,則/：y=k(x-1).

fy=k(x-l)

,y=4x

整理，得必f-2(F+2)x+k1=O.

則XI+X2=2(K_+2),,

k2

HFI+IBFI=xi+x2+p-2堂+ZZ+2=空.

k26

解得好=24,即k=±2娓.

.??直線/的方程為y=±2a（x-1）.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與拋物線的綜合問題，考查了拋物線的性質(zhì)及焦點(diǎn)弦的性質(zhì)

應(yīng)用.本題屬中檔題.

11.（5分）如圖，在正四棱柱ABCD-A\B\C\D\中，A8=3,A4i=4,P是側(cè)面BCC\B\

內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且AP_LB￡）i,記AP與平面8CC出所成的角為。，則tan。的最大值為（）

PG

A.AB.$C.2D.空

339

【分析】以O(shè)A,DC,OQi所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向

量法能求出線面角的正切值的最大值.

【解答】解：以DC,所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)PG,3,z),則屈=(x-3,3,z),(-3,-3,4),

APS.BDi,?BD；=，

A-3(x-3)-3X3+4z=0,.；=3丫，

4

加尸百==櫓A/9=嚼(竣產(chǎn)嗡嚕

tan0=--^--^—,

AP3

.*.tan0的最大值為5.

3

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角的正切值的最大值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

22

12.（5分）已知橢圓弓+X^=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Q,F2,尸為橢圓上不與

左右頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，/,G分別為△PF1F2的內(nèi)心和重心，當(dāng)/G，x軸時(shí)，橢圓的

離心率為（）

A.工B.AC.返D.返

3223

【分析】如圖所示，設(shè)尸（油,州），不妨設(shè)yo>O.利用三角形重心性質(zhì)可得G（迎,迎）,

33

根據(jù)/GJ_x軸，可得x/=0??設(shè)三角形內(nèi)切圓的半徑為r.由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得:

3

-lz（2?+2c）=L?2c?yo.可得r=—?—=yz.設(shè)PF\,P&分別與內(nèi)切圓相切于點(diǎn)D,E.可

22a+c

得PD=PE=L（2“-2c）=a-c.在RtZ\P￡）/中，由勾股定理可得：

2

簡(jiǎn)整理即可得出.

【解答】解：如圖所示，設(shè)P(刈，)冶)，不妨設(shè)沖>0.

F\(-c,0),Fi(c,0).

貝I]G(迎，紅)，：/G_Lx軸，：.xi=^-.

333

設(shè)三角形內(nèi)切圓的半徑為

由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得：Ir(2a+2c)=l-2c-yo.

22

解得廠=:為?\，,一丫。

?*yi---------

a+ca+c

設(shè)PFi,PF2分別與內(nèi)切圓相切于點(diǎn)￡>,E.

則PD=PE=L(2a-2c)=a-c.

2

在RtZ\P￡>/中，由勾股定理可得：PD2+/D2=P/2.

化為：丁色一+^§-=1.

卜-c)2b2

22

與橢圓三/fl(a>b>0)比較可得：J=2(a-c)2,

a2b24

.,.a=—(a-c),可得工=_k.

2a3

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、三角形重心性質(zhì)、

三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（5分）已知空間單位向量￡7,右兩兩互相垂直，且1二2之7+3/_417，則

C1epCOclt?C1TOCQTtcoclco

—3.

【分析】直接代入向量的數(shù)量積即可.

【解答】解「.空間單位向量砥兩兩互相垂直;

所以:-==

a*e2=(2e1+3e24e3)*e23e2*e23-

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量數(shù)量積的有關(guān)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題目.

14.（5分）如圖是某賽季甲乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖，則甲乙兩人比賽得

分的中位數(shù)之和是64

甲乙

531

368245

479326378

1457

【分析】中位數(shù)是指一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蛞来闻帕校幵谥虚g位

置的一個(gè)數(shù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，注意：和眾數(shù)不同，中位數(shù)不一定在這組數(shù)

據(jù)中）.故只須依據(jù)莖葉圖寫出甲乙兩人比賽得分，即可找出中位數(shù).

【解答】解：由圖可知甲的得分共有9個(gè)，中位數(shù)為28

...甲的中位數(shù)為28

乙的得分共有9個(gè)，中位數(shù)為36

，乙的中位數(shù)為36

則甲乙兩人比賽得分的中位數(shù)之和是64

故答案為：64.

【點(diǎn)評(píng)】求中位數(shù)的關(guān)鍵是根據(jù)定義仔細(xì)分析.另外莖葉圖的莖是高位，葉是低位，這

一點(diǎn)一定要注意.

22

15.（5分）橢圓E：2_/=1的左焦點(diǎn)為為，直線與橢圓E交于4,B兩點(diǎn).當(dāng)4

259

乃A8的周長(zhǎng)最大時(shí)，則，"的值等于4

【分析】根據(jù)題意，作出橢圓的圖形,結(jié)合橢圓的定義分析可得:B的周長(zhǎng):AB+AF+BF

=A8+(2a-AE)+(2a-BE)^4a+AB-AE-BE,由三角形三邊關(guān)系分析可得直線x

=m過橢圓的右焦點(diǎn)E時(shí)的周長(zhǎng)最大，即可得答案.

【解答】解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E.如圖：

由橢圓的定義得：△E46的周長(zhǎng)：AB+AF+BF=AB+(2a-AE)+(2a-BE)=4a+AB-

AE-BE；

'：AE+BE^AB；

：.AB-AE-BE^：O,當(dāng)AB過點(diǎn)E時(shí)取等號(hào)；

：.AB+AF+BF=4a+AB-AE-BEW4a；

即直線x=加過橢圓的右焦點(diǎn)E時(shí)△硒8的周長(zhǎng)最大；

此時(shí)直線x—m—c=4；

故初的值為4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，關(guān)鍵在于利用橢圓的定義求出周長(zhǎng)的表達(dá)式.

16.(5分)已知四棱錐P-A8C。的底面4BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面出8_L底面4BC￡>,

且必=P8=4,則該四棱錐P-ABCQ的外接球的表面積為.316工..

~15~

【分析】由題意球的底面外接圓的半徑及圓心。I,過圓心做垂直于底面的垂線003求

出三角形PAB外接圓的半徑及圓心G,進(jìn)而求出圓心到AB的距離GE,則GE//00\再

過G做面PAB的垂線交。01于0,則0為外接球的球心，連接C0\,0C,在三角形

OOiC中求出外接球的半徑，進(jìn)而求出外接球的表面積.

【解答】解：如圖分別作出正方形的中心。，

三角形B4B的外心G,取A8的中點(diǎn)E,連EG,E0\,

分別以EG,EOi為鄰邊作一個(gè)矩形如圖，

其中點(diǎn)。就是該外接圓的圓心，

在RdOQC中OC2=R2=OO；+0,2,可計(jì)算得R21|_,

111b

即可求得外接圓的表面積為辿L，

15

故答案為：3162L.

15

【點(diǎn)評(píng)】考查四棱錐的棱長(zhǎng)與外接球的半徑之間的關(guān)系，及球的表面積公式，屬于中檔

題.

三、（本大題共6小題，第17題10分，第18-22題每小題10分，共70分）

17.（10分）己知命題p：關(guān)于x的不等式？-4x+2巾V0無(wú)解；命題中指數(shù)函數(shù)/（x）=

（2根-1）*是R上的增函數(shù).

（1）若命題pAq為真命題，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

（2）若滿足p為假命題且g為真命題的實(shí)數(shù)，"取范圍是集合A,集合8={x|2Ll<x<

13-P},且AU8,求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

【分析】（1）pAq為真命題，所以p,q都是真命題，根據(jù)題意求出p,q的等價(jià)命題，

取交集即可；

（2）由（1）可知I,當(dāng)p為假命題時(shí)，m<2；q為真命題，則2,”-1>1解得：1,

求出集合A,根據(jù)A=2,得到關(guān)于f的不等式，即可求f的范圍.

【解答】解（1）由p為真命題知，△=16-8〃?W0解得機(jī)》2,所以修的范圍是［2,+

8）,

由q為真命題知，2機(jī)-1>1,m'>1,

取交集得到［2,+8）.

綜上，〃?的范圍是［2,+8）.

(2)由(1)可知，當(dāng)p為假命題時(shí)，/7!<2;

q為真命題，則2m-1>1解得：機(jī)>1

則機(jī)的取值范圍是(1,2)即4={刑1<m<2},

而AU8,可得，4

解得：

所以，r的取值范圍是[-JILH.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系可、復(fù)合命題真假的判定方

法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

18.(12分)已知橢圓C經(jīng)過兩點(diǎn)A(、歷，冬，B(l,-1-).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知直線/與橢圓C交于C,D,且已知線段C。的中點(diǎn)為日(加,1),求直線/

的方程.

【分析】(1)設(shè)橢圓C的方程為：mx1+ny2—*4l(.m>0,n>0,/*#〃)，把兩點(diǎn)A(加，^~)，

B(l,-號(hào))代入，即可求出血〃的值，從而求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

(2)設(shè)點(diǎn)CGn,yi),D(X2,)，2),利用點(diǎn)差法求出直線/的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可

求出直線/的方程.

【解答】解：(1)設(shè)橢圓C的方程為：g2+町?2=](加〉0,H>0,也￡〃)，

?.?橢圓C經(jīng)過兩點(diǎn)Ak歷，乎)，B(l,

2m+7Fn=l

???<°,解得：

9r

myn=l

4

22

橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為：江上=1；

43

(2)設(shè)點(diǎn)C(xi,y\),D(x2,"),

...線段CD的中點(diǎn)為11(6,1),???X1+X2=2V2.yi+y2=2-

?.,點(diǎn)C(xi,yi),D(%2,y2)在橢圓上,

2222

Xx

1V12y2兩式相減得

丁F-i'3

⑶+，2）（勺-，2）|（力+丫2）卬「了2）

化簡(jiǎn)得：±1冬=且巨，

xl-x24

.?.直線/的斜率左=一名反，

4

，直線/的方程為：3&x+4y-10=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，是中檔題.

19.（12分）如圖，已知四棱錐P-ABC。的底面A8CD為棱形，且以_1_面48。4ZBAD

=120°,AB=1,PA=2,且E,F分別為尸8,尸。的中點(diǎn).

（1）求證：面PAC；

（2）求二面角P-AE-F的余弦值.

【分析】（1）推導(dǎo)出AC_L8。，PA1.BD,由此能證明3。_L平面以C.

（2）設(shè)ACCBO=。，以。為原點(diǎn)，08為x軸，0c為y軸，過O作平面4BCD的垂線

為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P-AE-尸的余弦值.

【解答】解：（1）證明：二?四棱錐P-ABCD的底面A8CO為棱形，且用，面A8CZ）,

：.ACLBD,PA1.BD,

"：ACr\PA=A,，BO_L平面HC.

（2）設(shè)4CCBO=。，以。為原點(diǎn)，。8為x軸，0C為），軸，

過。作平面ABCQ的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

；NBAO=120°,AB=\,以=2,且E,F分別為P8,PD的中點(diǎn).

：.P(0,-A,2),A(0,-A,o),B(Xl,o,0),D(-xl,o,0),

2222

E(返，-A,i),尸(-返，-A,1),

4444_

標(biāo)=(返,L1),AP=(0,0,2),AF=(-返,L1),

4444

設(shè)平面AEP的法向量口=(x,y,z),

npAE=-^-x-*^y+z=0

取x=l,則口=(1)-Vs.0),

n-AP=2z=0

設(shè)平面AEF的法向量ir=（x,y,z）,

1),

取二面角P-AE-F的平面角為e,

則cose=：呵="1=2相

|m|Tn|2VT717

二面角P-AE-F的余弦值為

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線

面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

20.（12分）某樂園按時(shí)段收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：每玩一次不超過1小時(shí)收費(fèi)10元，超過1

小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)8元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.現(xiàn)有甲、乙二人參與但

都不超過4小時(shí)，甲、乙二人在每個(gè)時(shí)段離場(chǎng)是等可能的.為吸引顧客，每個(gè)顧客可以

參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng).

(1)用(10,10)表示甲乙玩都不超過1小時(shí)的付費(fèi)情況，求甲、乙二人付費(fèi)之和為44

元的概率；

(2)抽獎(jiǎng)活動(dòng)的規(guī)則是：顧客通過操作按鍵使電腦自動(dòng)產(chǎn)生兩個(gè)［0,1］之間的均勻隨機(jī)

數(shù)x,?并按如圖所示的程序框圖執(zhí)行.若電腦顯示“中獎(jiǎng)”，則該顧客中獎(jiǎng)；若電腦顯

示“謝謝”，則不中獎(jiǎng)，求顧客中獎(jiǎng)的概率.

【分析】(1)設(shè)甲付費(fèi)。元，乙付費(fèi)〃元，其中a,6=10,18,26,34,由此利用列舉

法能求出“甲、乙二人付費(fèi)之和為44元”的概率.

\-2y+l<C0

(2)由已知OWxWl,OWyWl點(diǎn)(x,y)在正方形0A8C內(nèi)，作出條件，Q<X<1的

區(qū)域，由此能求出顧客中獎(jiǎng)的概率.

【解答】解：(1)設(shè)甲付費(fèi)a元，乙付費(fèi)b元，其中a,b=10,18,26,34.

則甲、乙二人的費(fèi)用構(gòu)成的基本事件空間為：

(10,10),(10,18),(10,26),(10,34),(18,10),(18,18),(18,26),(18,

34),

(26,10),(26,18),(26,26),(26,34),(34,10),(34,18),(34,26),(34,

34)共16種情形.(4分)

其中，(10,34),(18,26),(26,18),(34,10)這4種情形符合題意.

故“甲、乙二人付費(fèi)之和為44元”的概率為p』」.(6分)

164

(2)由已知OWxWl,OWyWl點(diǎn)(x,y)如圖的正方形。48c內(nèi)，

x-2y+l<C0

由條件，04x《l，得到的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，（9分）

由x-2y+l=0,令x=0得y」；令x=l得y=l；

由條件滿足的區(qū)域面積s』X工XI』.（11分）

224

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法和幾何概型

的合理運(yùn)用.

21.（12分）己知三棱錐P-ABC（如圖1）的平面展開圖（如圖2）中，四邊形ABCD為

邊長(zhǎng)為&的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在三棱錐P-ABC中：

（I）證明：平面附C_L平面48C；

（II）求二面角A-PC-B的余弦值；

（in）若點(diǎn)M在棱尸c上，滿足生=入，xer—,—1-點(diǎn)N在棱即上，且切吐

CP33

AN,求典的取值范圍.

BP

【分析1（I）法一：設(shè)AC的中點(diǎn)為0,連接8。，PO.推導(dǎo)出POLAC,POVOB,從

而POJ_平面A8C,由此能證明平面兩C_L平面ABC.

法二：設(shè)AC的中點(diǎn)為O,連接8。，P0.推導(dǎo)出PO_LAC,△POA絲△尸。8絲△POC,

ZPOA=ZPOB=ZPOC=90a,進(jìn)而PO_LOB,由此能證明POJ_平面4BC,從而平面

%C_L平面ABC.

法三：設(shè)AC的中點(diǎn)為0,連接P0,推導(dǎo)出POLAC,設(shè)AB的中點(diǎn)Q,連接PQ,0Q

及0B.推導(dǎo)出OQ_LAB.PQLAB.從而ABJ_平面OPQ,進(jìn)而。P_LA8,由此能證明

POJ_平面ABC,從而平面以C_L平面ABC.

（II）由P。，平面ABC,OBLAC,建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A

-PC-B的余弦值.

（III）設(shè)而=|1而，OWRWI,利用向量法能求出現(xiàn)的取值范圍.

BP

【解答】（本題滿分14分）

證明：（I）證法一：設(shè)AC的中點(diǎn)為0,連接BO,PO.

由題意PA=PB=PC=V^,尸。=1,AO=2O=CO=1

因?yàn)樵凇鰾4C中，PA=PC,。為AC的中點(diǎn)

所以POLAC,

因?yàn)樵凇魇?中，PO=1,OB=1,PB=V2

所以POLOB

因?yàn)锳CHOB=O,AC,OBu平面ABC

所以POJ_平面ABC

因?yàn)镻Ou平面PAC（4分）

所以平面用C_L平面ABC

證法二：

設(shè)AC的中點(diǎn)為。，連接80,P0.

因?yàn)樵凇髯釩中，PA=PC,。為AC的中點(diǎn)，

所以POLAC,

因?yàn)镻A=PB=PC,PO=PO=PO,AO=BO=CO

所以△POAgZiPOB絲/XPOC

所以NPOA=NPOB=/POC=90°

所以POLOB

因?yàn)锳CHOB=O,AC,08u平面ABC

所以PO_L平面ABC

因?yàn)镻Ou平面PAC(4分)

所以平面用C_L平面ABC

證法三：設(shè)AC的中點(diǎn)為。，連接P。，因?yàn)樵凇髋驝中，PA=PC,

所以POLAC

設(shè)A8的中點(diǎn)0,連接P。，OQ及OB.

因?yàn)樵凇鱋AB中，OA=OB,。為AB的中點(diǎn)

所以O(shè)QLAB.

因?yàn)樵凇鱎W中，PA=PB,Q為A3的中點(diǎn)

所以PQLAB.

因?yàn)镻QCOQ=Q,PQ,OQu平面OPQ

所以A8_L平面OPQ

因?yàn)镺Pu平面OPQ

所以O(shè)P_LAB

因?yàn)锳8AAC=4,AB,ACu平面ABC

所以PO_L平面ABC

因?yàn)镻Ou平面PAC(4分)

所以平面附CJ_平面ABC

解：(II)由POJ_平面ABC,OBA.AC,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

O(0,0,0),C(1,0,0),B(0,1,0),A(-1,0,0),P(0,0,1)

由08,平面APC,故平面"C的法向量為比=(o,1,o)

由前=(1,-1,0>PC=(1,0,-1)

設(shè)平面