2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ）（答案版）

2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、座位號填寫在答題卡上.本試卷滿分150分.

2.作答時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合“{-2,-1,O,1,2,3],O,1},決{工，2},則d(AuB)=()

A.{-2,3}B.{-2,2,3}C.{-2,-1,O,3}P.{-2,-1,O,2,3)

【答案】A

【解析】

【分析】首先進行并集運算，然后計算補集即可.

【詳解】由題意可得：AuB={-l,0,l,2},則^(AB)={—2,3}.

故選：A.

【點睛】本題主要考查并集、補集的定義與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.若才為第四象限角，則()

A.cos2GoB.cos2冰。C.sin2GoD.si八2冰。

【答案】D

【解析】

【分析】由題意結(jié)合二倍角公式確定所給的選項是否正確即可.

37r

【詳解】方法一：由盤為第四象限角，可得一+24%<。<2萬+2左肛左eZ,

2

所以3〃+<2a<4"+4k兀,keZ

此時2a的終邊落在第三、四象限及,軸的非正半軸上，所以sin2a<0

故選：D.

方法二：當(dāng)。=—q時，cos2a=cos［一:-J>o,選項B錯誤;

當(dāng)a=-工時，cos2(z=cos|--|<0,選項A錯誤；

3I3J

由a在第四象限可得：sina<0,cosa>0,則sin2a=2sinacosa<0,選項C錯誤，選項D正確；

故選：D.

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的符號，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化

能力和計算求解能力.

3.在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成120。份訂單的配貨，由于訂單量大

幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓50。份訂單

未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過份的概率為OQS,志愿者每人每天能完成5。份訂單的配貨，

為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于O9S，則至少需要志愿者（）

A.名6.名C.2.4名D.32名

【答案】B

【解析】

【分析】算出第二天訂單數(shù)，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數(shù)即可.

【詳解】由題意，第二天新增訂單數(shù)為500+1600—1200=900,

—=18,故至少需要志愿者18名.

50

故選：8

【點晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)

繞天心石砌Q塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多

9塊，向外每環(huán)依次也增加q塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不

含天心石）（）

A.3699塊8.3474塊C.3402塊D.3339塊

【答案】C

【解析】

【分析】第〃環(huán)天石心塊數(shù)為勺，第一層共有4環(huán)，則伍“｝是以q為首項，q為公差的等差數(shù)列,

設(shè)S,為｛4｝的前4項和，由題意可得S3“-S2“=S2"-S,,+729,解方程即可得到八進一步得到$3”.

【詳解】設(shè)第八環(huán)天石心塊數(shù)為%,第一層共有八環(huán)，

則｛4｝是以q為首項，Q為公差的等差數(shù)列，a“=9+(〃—l)x9=9",

設(shè)S.為｛a.｝的前九項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分

型為S2s筋-S2s3「S筋,因為下層比中層多72Q塊，

所以S3,,一$2“=S2“一工+729，

3〃(9+27〃)2〃(9+18〃)2〃(9+18〃)〃(9+9”)“c

1即1n------------------------=------------------------(?729

2222

即9后=729，解得〃=9，

/卜…_e_27(9+9x27)_

所以§3”—$27---3402.

故選：C

【點晴】本題主要考查等差數(shù)列前八項和有關(guān)的計算問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題.

S.若過點(2,i)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x-y-3=0的距離為()

口2石「3小n475

555

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為可得圓的半徑為“，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程，利用點(2,1)在圓上，求得實數(shù)。的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線2x-y-3=0的距

離.

【詳解】由于圓上的點(2,1)在第一象限，若圓心不在第一象限，

則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，

設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,a),則圓的半徑為a,

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—a)2+(y—a)2=a2.

由題意可得（2-。）2+（1-。）2=儲,

可得〃_6。+5=0,解得。=1或a=5,

所以圓心的坐標(biāo)為（1,1）或（5,5）,

圓心（I/）到直線2、1-3「0的距離均為4=色與二6=冬6

y/55

|2x5-5-3|275

圓心（5.5）到直線2.v-3=0的距離均為&

~15—亨

圓心到直線2x—y-3=0的距離均為4叵;

V55

所以，圓心到直線2x—y-3=0的距離為子.

故選：B.

【點睛】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.

6.數(shù)列｛6,｝中，4=2,am+n=a,?an,若%+>％+2++&+io=2”一2$,則％=()

A.28.3C.4D.S

【答案】C

【解析】

【分析】取〃2=1,可得出數(shù)列｛q｝是等比數(shù)列，求得數(shù)列｛《,｝的通項公式，利用等比數(shù)列求和公式可得

出關(guān)于左的等式，由々eN*可求得Z的值.

【詳解】在等式am+n=aman中，令m=l,可得??+,=anax=2an,=2,

所以，數(shù)列｛4｝是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則a“=2x2"T=2",

1010

^+,-(1-2)2^-(1-2)

一ak+\+&+2++4+101-2-1-2

.-.2A,+,=25,則攵+1=5,解得攵=4.

故選：C.

【點睛】本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項公式，考查計算能力,

屬于中等題.

7.如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點在正視圖中對應(yīng)的點為M，在俯視圖中對

應(yīng)的點為N,則該端點在側(cè)視圖中對應(yīng)的點為（）

EF

GH

N

A.EB.FC.GP.H

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖，畫出多面體立體圖形，即可求得M點在側(cè)視圖中對應(yīng)的點.

【詳解】根據(jù)三視圖，畫出多面體立體圖形，

A2上的點在正視圖中都對應(yīng)點“，直線B值上的點在俯視圖中對應(yīng)的點為N,

在正視圖中對應(yīng)“，在俯視圖中對應(yīng)N的點是￡>4，線段42,上的所有點在側(cè)試圖中都對應(yīng)E,；.點、2

在側(cè)視圖中對應(yīng)的點為E.

故選：A

【點睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖判斷點的位置，解題關(guān)鍵是掌握三視圖的基礎(chǔ)知識和根據(jù)三視圖能還

原立體圖形的方法，考查了分析能力和空間想象，屬于基礎(chǔ)題.

22

8.設(shè)。為坐標(biāo)原點，直線x=。與雙曲線C:與-與=1（。＞0力＞0）的兩條漸近線分別交于。,E兩點，若

a~b-

QDE的面積為8,則C的焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16P.32

【答案】B

【解析】

【分析】因為C：《-W=l(a>0,6>0),可得雙曲線的漸近線方程是y=±2x,與直線x=a聯(lián)立方程求

ab'a

得。,E兩點坐標(biāo)，即可求得|ED|,根據(jù)cQDE的面積為8,可得值，根據(jù)2c=2>/7萬，結(jié)合均

值不等式，即可求得答案.

【詳解】。:=-==1(a>0力>0)

ab~

b

二雙曲線的漸近線方程是y=±-x

a

22

直線x=。與雙曲線C:二-馬=1(〃>0力>0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點

ah~

不妨設(shè)。為在第一象限，E在第四象限

x-a(

%一Q

聯(lián)立〈b,解得《,

Ia

故￡>(a,b)

x=a

聯(lián)立1hx=a

解得《

y=一一xy^-b

Ia

故E(a,-b)

:.\ED\^2b

二，。。石面積為：S.DE=ga義2b=ab=8

雙曲線C:0-*=l(a>O/>O)

其焦距為2c=2址+及>2=2屈=8

當(dāng)且僅當(dāng)a=。=2&取等號

二。的焦距的最小值：8

故選：B.

【點睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求

最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.

Q.設(shè)函數(shù)/(x)=ln|2x+l|-ln|2x-l|,則4M()

A.是偶函數(shù)，且在己,+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(-L3單調(diào)遞減

222

C.是偶函數(shù)，且在(—,-；)單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出/(x)為奇函數(shù)，排除AC；當(dāng)xe(一卜)，利用函數(shù)單調(diào)性的性

質(zhì)可判斷出/(x)單調(diào)遞增，排除8當(dāng)xe1-oo,-;)時，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷出/(x)單調(diào)遞減,

從而得到結(jié)果.

【詳解】由〃力=In|2^+l|-ln|2x-l|得/(x)定義域為卜|xw±g},關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，

又/(-^)=ln|l-2A|-ln|-2x-l|=ln|2x-l|-In|2%+l|=-/(x),

???/(x)為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；

當(dāng)時，/(x)=ln(2x+l)-ln(l-2x),

Qy=ln(2x+1)在(一；,￡)上單調(diào)遞增，y=ln(l—2x)在(一；,￡|上單調(diào)遞減，

???/(%)在上單調(diào)遞增,排除8

+

當(dāng)xG|-co,-—10^,/(x)=In(-2x-l)-ln(l-2x)-jn_]n|i_|-------],

〃=1+二一在(一8,一1]上單調(diào)遞減，/(〃)=ln〃在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：/(X)在[-8,一；)上單調(diào)遞減，D正確.

故選：D.

【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，根

據(jù)f(-x)與

的關(guān)系得到結(jié)論；判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)“同

增異減”性得到結(jié)論.

1O已知叼是面積為外叵的等邊三角形，且其頂點都在球〃的球面上.若球夕的表面積為工6兀，則

4

〃到平面a叼的距離為（）

A.733.-C.1P.—

22

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)球。的表面積和ABC的面積可求得球。的半徑R和八A8C外接圓半徑「，由球的性質(zhì)可

知所求距離d=J/??一產(chǎn).

【詳解】

設(shè)球。的半徑為R,則4萬用=16萬，解得：R=2.

設(shè)外接圓半徑為「，邊長為。，

?.?△ABC是面積為外叵的等邊三角形，

4

2口一;=百,

1269拒ASzg.2

：.—ax--=---,解得：a=3,r=—x=-X

22433

???球心。到平面ABC的距離d=JR2f2="互=].

故選：C.

【點睛】本題考查球的相關(guān)問題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是明

確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面.

21.若2'-2'<3一、一3一，則（)

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

【答案】A

【解析】

【分析】將不等式變?yōu)?*-3-*<2>'-37,根據(jù)/(。=2'-3T的單調(diào)性知》<丁,以此去判斷各個選項

中真數(shù)與1的大小關(guān)系，進而得到結(jié)果.

【詳解】由22y<3r-3T得：2'-3"<2-v-3r，

令/(r)=2'_3-'，

<丁=2*為/?上的增函數(shù)，y=3一、為R上的減函數(shù)，.../。)為R上的增函數(shù)，

.”<y,

Qy-x>0,.,.y-x+l>l,.-.In(y-x+l)>0,則A正確，B錯誤；

Q|x-y|與1的大小不確定，故CD無法確定.

故選：A.

【點睛】本題考查對數(shù)式的大小的判斷問題，解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的單調(diào)性得

到樂丁的大小關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

12.0-1?周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用,若序列4a24滿足4€{0,l}(i=l,2,),且存在正整數(shù)

陽，使得《+,“=4。=1,2,)成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足以,“=4(，=1,2,)的最小正整數(shù)加為

1

這個序列的周期.對于周期為陽的O-Z序列4”,,C(%)=—伏=1,2,，機-1)是描述其性質(zhì)的

重要指標(biāo)，下列周期為$的0-1序列中，滿足c(幻4g(左=1,2,3,4)的序列是()

A.11010B.11011C.10001P,11001

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)新定義，逐一檢驗即可

【詳解】由《+,“=%知，序列％的周期為加，由已知，m=5,

15

C伏)=三苫的2，％=1，2,3,4

5/=1

對于選項A,

C(l)——)——(q/+為%+。304+。4“5+。5。6)=一(1+°+°+°+°)=———

5(-15555

[5[]2

C(2)=—〉：q.Q注2=—(%/+a2a&++.4+a5a7)=—(0+1+0+1+0)=—，不滿足;

5j=i555

對于選項B，

[5]]3

C(1)=-Z?A=一(qa,++。304+”4“5+。5“6)=—(1+0+0+1+1)=一，不滿足;

5,?=]+1555

對于選項D,

1a1i2

C*(l)=—>:區(qū)4+]=一(%。2+。2,3+。3“4+。4,5+。5“6)=—(1+0+0+0+1)=—，不滿足;

5j=]555

故選：C

【點晴】本題考查數(shù)列的新定義問題，涉及到周期數(shù)列，考查學(xué)生對新定義的理解能力以及數(shù)學(xué)運算能力,

是一道中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知單位向量的夾角為45。，與：垂直，則公.

【答案】Y2

2

【解析】

【分析】首先求得向量的數(shù)量積，然后結(jié)合向量垂直的充分必要條件即可求得實數(shù)E的值.

TTx/2

【詳解】由題意可得：a-^=lxlxcos45=-1

2

由向量垂直的充分必要條件可得：（ka-'b^-a=Q,

f2Tf072

即：kxa-ab=k-—=0,解得：k=—.

22

故答案為：也.

2

【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積定義與運算法則，向量垂直的充分必要條件等知識，意在考查學(xué)

生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

14.4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué),

則不同的安排方法共有種.

【答案】36

【解析】

【分析】根據(jù)題意，有且只有2名同學(xué)在同一個小區(qū)，利用先選后排的思想，結(jié)合排列組合和乘法計數(shù)原

理得解.

【詳解】4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名

同學(xué)

二先取2名同學(xué)看作一組，選法有：C；=6

現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個小區(qū)，分法有：A；=6

根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法6x6=36種

故答案為：36.

【點睛】本題主要考查了計數(shù)原理的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握分步乘法原理和捆綁法的使用，考查了分

析能力和計算能力，屬于中檔題.

15■.設(shè)復(fù)數(shù)Z1,Z2滿足等|=同=2,Z1+z?=J5+i,則|4-2|=.

【答案】273

【解析】

【分析】方法一：令Z1=a+4,(aeA力eR),z2=c+di,(cGR,deR),根據(jù)復(fù)數(shù)的相等可求得

ac+bd=-2，代入復(fù)數(shù)模長的公式中即可得到結(jié)果.

方法二：設(shè)復(fù)數(shù)4/2所對應(yīng)的點為21,22，?！?02I+。22，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的模，判定平行

四邊形ozpz2為菱形，|OP|=|OZJ=|OZ2|=2,進而根據(jù)復(fù)數(shù)的減法的幾何意義用幾何方法計算

Z

|ZI~2\-

【詳解】方法一：設(shè)Z]=a+〃i,(aeR力eH),z2=c+di,(cGR,d€R),

Z|+z2=a+c+(b+d)i=V3+z,

,，又|Z]|=|zJ=2,所以〃2+32=4,。2+〃2=4，

b+d=1

222

(Q+C)2+(〃+d)2-cr+c+b-vd+2(。。+，)=4

.\ac+hd=-2

??區(qū)—Z2I=|(a—c)+S—d)i\—yj(a-c)2+(h—d)2=小8-2(ac+bd)

=J8+4=2A/3?

故答案為：2G.

方法二：如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)z”Z2所對應(yīng)的點為Z”Z2,op=oZi+OZ2,

由己知團==2=|OZ.=|OZ21,

平行四邊形0Z/Z2為菱形，且,。尸4，...。以2都是正三角形，.?./ZQZ2=120°,

2222

|Z,Z21=10Z||2+10Z21-2|0Z,\\OZ2|COS120°=2+2-2-2-2-(-^)=12

|z,—z2|=|Z]Z2|=25/3.

【點睛】方法一：本題考查復(fù)數(shù)模長的求解，涉及到復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用；考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算求解能力，是

一道中檔題.

方法二：關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)及其運算的幾何意義，轉(zhuǎn)化為幾何問題求解

16.設(shè)有下列四個命題：

月：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).

必：過空間中任意三點有且僅有一個平面.

"3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

々：若直線/U平面4,直線川_1_平面/,則

則下述命題中所有真命題的序號是.

①PlAP4②PlAP2③力2VP3④fVf

【答案】①③④

【解析】

【分析】利用兩交線直線確定一個平面可判斷命題P1的真假；利用三點共線可判斷命題”2的真假；利用異

面直線可判斷命題〃3的真假，利用線面垂直的定義可判斷命題P4的真假.再利用復(fù)合命題的真假可得出結(jié)

論.

【詳解】對于命題Pi，可設(shè)4與4相交，這兩條直線確定的平面為。；

若4與4相交，則交點A在平面a內(nèi),

同理，4與4交點B也在平面a內(nèi),

所以，ABue,即gua,命題P1為真命題;

對于命題P2,若三點共線，則過這三個點的平面有無數(shù)個，

命題〃2為假命題；

對于命題〃3,空間中兩條直線相交、平行或異面，

命題〃3為假命題；

對于命題，4,若直線平面a,

則m垂直于平面a內(nèi)所有直線，

直線/u平面a,二直線加J_直線/,

命題，4真命題.

綜上可知，P1,凡為真命題，P、,/八為假命題，

。1八。4為真命題，P|八P2為假命題，

->P2VP3為真命題，V為真命題.

故答案為：①③④.

【點睛】本題考查復(fù)合命題的真假，同時也考查了空間中線面關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力，

屬于中等題.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每

個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.A8C中，$/認(rèn)2%—$譏26一$：八2Gsih房jnC

(1)求4

(2)若33,求.ABC周長的最大值.

【答案】(1)；(2)3+25/3.

【解析】

【分析】（工）利用正弦定理角化邊，配湊出cosA的形式，進而求得A；

（2）利用余弦定理可得到（AC+AB『一AC?A8=9,利用基本不等式可求得AC+A3的最大值，進而

得到結(jié)果.

【詳解】（工）由正弦定理可得：BC2-AC2-AB2=ACAB，

,AC2+AB2-BC21

/.cosA=-----------------=——

2ACAB2

AG（O,TT）,A-

（2）由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC-ABcosA=AC2+AB2+AC-AB=9'

即（AC+A8）2-ACA8=9.

ACA8dA工巧（當(dāng)且僅當(dāng)AC=AB時取等號），

:.9^（AC+ABf-AC-AB＞（AC+ABf-（^^^}=j（AC+AB）2-

解得：AC+A8W2G（當(dāng)且僅當(dāng)=時取等號）,

.-._A6C周長L=AC+A6+6CK3+20，ABC周長的最大值為3+2百.

【點睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識，涉及到正弦定理角化邊的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用、三角形周長最

大值的求解問題；求解周長最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理構(gòu)造的等式中，結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系

求得最值.

18.某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物

數(shù)量，將其分成面積相近的20。個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取2。個作為樣區(qū)，調(diào)查

得到樣本數(shù)據(jù)（巧，鄉(xiāng)）①1，2,…，20）,其中g(shù)和多分別表示第/個樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）

20202020

和這種野生動物的數(shù)量，并計算得￡毛=60,?=1200,2（X,.-X）2=80,2（＞，一刃2=9000,

i=li=\i=\/=1

20

Z（x,—君（y,-了）=800.

i=l

（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均

數(shù)乘以地塊數(shù)）；

（2）求樣本（M，切仁!?，2,…,2。）的相關(guān)系數(shù)（精確到。Q1）；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動

物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.

f（七-元）（％-9）

附：相關(guān)系數(shù)片“，^/2

￡（七—無）文（》一刃2

V/=!/=!

【答案】（2）12000;（2）0.94；（3）詳見解析

【解析】

【分析】（Z）利用野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)野生動物平均數(shù)乘以地塊數(shù)，代入數(shù)據(jù)即可;

20____

Z（%—x）（y.—y）

（2）利用公式，=下滑==-----二計算即可；

V/=1/=1

（3）各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采用分層抽樣.

1201

【詳解】（1）樣區(qū)野生動物平均數(shù)為右Z），=合'1200=60,

地塊數(shù)為200,該地區(qū)這種野生動物的估計值為200*60=12000

（2）樣本（%％）（上1,2,…，2。）的相關(guān)系數(shù)為

20

Z（%—亍）（%一刃

一/8。°.=述。094

「二20

x）2￡（X-y）2780x90003

V/=1/=1

（3）由（2）知各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān)性,

由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從俄各地塊間這種野生動物的數(shù)量差異很大，

采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行，提高了樣本的代表性,

從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計.

【點晴】本題主要考查平均數(shù)的估計值、相關(guān)系數(shù)的計算以及抽樣方法的選取，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力,

是一道容易題.

工Q.已知橢圓會［+［之⑺縱?)的右焦點尸與拋物線乙的焦點重合，G的中心與心的頂點重合.

a~h

4

過尸且與*軸垂直的直線交公于46兩點，交乙于C7兩點，且|可=§|44

(1)求G.的離心率；

（2）設(shè)〃是4與乙的公共點，若|“4=5,求乙與乙的標(biāo)準(zhǔn)方程.

1丫22

【答案】（1）V；（2）C,:—+-^-=1,C,：y2=12x.

213627-,

【解析】

【分析】Q）求出|/明、利用|。。|=m4卻可得出關(guān)于。、。的齊次等式，可解得橢圓G的離心

率的值；

22

（2）由（工）可得出C的方程為:3+3=1,聯(lián)立曲線q與。2的方程，求出點M的坐標(biāo)，利用拋物

線的定義結(jié)合|"目=5可求得c的值，進而可得出G與Q的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】（1）F（c,o）,AB_Lx軸且與橢圓G相交于A、B兩點,

則直線A3的方程為*=。,

2b2

a

x=c.,

解得《,.*.CD=4c,

y=±2c1?

\CD\=^\AB\,即4c=等，2投=3ac，

即2c2+3ac—2/=0,即2片+3e—2=0，

QO<e<l,解得e=g,因此，橢圓G的離心率為:；

22

（2）由（工）知a=2c,b=&，橢圓G的方程為三+上7=1，

y2=4cx

聯(lián)立,x2y2「消去了并整理得3f+16cx—l2c2=0，

------1-——二1

4c23c2

2

解得尤=-c或x=-6c（舍去），

3

25c

由拋物線的定義可得|MH=§C+C=W=5,解得C=3.

22

因此，曲線G的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+匕=1，

3627

曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁=12》.

【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，同時也考查了利用拋物線的定義求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查

計算能力，屬于中等題.

20如圖，已知三棱柱46/4阮乙的底面是正三角形，側(cè)面班盤二是矩形，M,〃分別為此3d

的中點，尸為2〃上一點，過為憶和尸的平面交“夕于E交2/于左

（1）證明：AAJ/MN,且平面2工2人93丹

（2）設(shè)〃為△力工員乙的中心，若力〃〃平面9且22/43求直線與平面2工ZMV所成

角的正弦值.

【答案】（［）證明見解析；（2）叵.

10

【解析】

【分析】（1）由M,N分別為BC,gG的中點，MN//CC、,根據(jù)條件可得MUBB,,可證MN//AA,,

要證平面EBgF1平面AAMN,只需證明放J_平面AAMN即可；

（2）連接NP,先求證四邊形ONPA是平行四邊形，根據(jù)幾何關(guān)系求得EP，在gG截取4Q=EP,

由（工）3。，平面44^7,可得NQPN為耳E與平面4AMN所成角，即可求得答案.

【詳解】（1）M,N分別為BC,8cl的中點，

MNIIBB、

又AAJ/BB、

：.MN//AA,

在，A8C中，M為8C中點，則BCJ.AV

又側(cè)面8BCC為矩形，

BC1BB]

■；MNIIBB、

MNLBC

由MNcAM=M,削,4M（=平面44的

/.BCJ_平面A&MN

又B.C.//BC,且4Gtz平面ABC,BCu平面4BC，

，用￡〃平面ABC

又81Gu平面破6/，且平面E4Gpe平面A8C=EE

:.B\G〃EF

EF//BC

又，平面AAMN

斯_|_平面AAMN

EFu平面GF

:.平面尸,平面4AMN

（2.）連接NP

AO//平面EBC/,平面AONPc平面E4C/=NP

AO//NP

根據(jù)三棱柱上下底面平行，

其面ANMAc平面A3C=AW，面AMWAC平面44G=4N

ON//AP

故：四邊形QNP4是平行四邊形

設(shè)t\ABC邊長是6m(m>0)

可得：ON=AP,NP=AO=AB=6m

。為△A4G的中心，且△A4G邊長為6機

ON=—x6xsin60°=

3

故：ON=AP=Cm

EFUBC

.APEP

.△_EP

"3^=T

解得：EP=m

在gG截取4。=EP=m,故QN=2m

B】Q=EP且BQ//EP

，四邊形40PE是平行四邊形,

B.E//PQ

由（工）BC1.平面AAMN

故ZQPN為gE與平面AAMN所成角

在RtAQPN,根據(jù)勾股定理可得：PQ=‘QN?+PN，=J（2"Z）2+（6〃Z）2=2屈m

—翁2mV10

2Mmlo-

二直線用E與平面AAMN所成角的正弦值：叵.

10

【點睛】本題主要考查了證明線線平行和面面垂直，及其線面角，解題關(guān)鍵是掌握面面垂直轉(zhuǎn)為求證線面

垂直的證法和線面角的定義，考查了分析能力和空間想象能力，屬于難題.

2L已知函數(shù)=S/認(rèn)2M譏2*

(2)討論《對在區(qū)間0,用的單調(diào)性；

(2)證明:|/(x)|<^;

3〃

(3)設(shè)證明：S/八2Mm22Ass24比-3八22小一.

4〃

jr、(jr、

[0,-1y(x)>0J(x)單調(diào)遞增,當(dāng)時,/(x)<0,/(x)單調(diào)遞

減，當(dāng)萬卜寸，廠(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】

【分析】(工)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)函數(shù)的零點確定其在各個區(qū)間上的符號，最后確定原函數(shù)

的單調(diào)性即可；

(2)首先確定函數(shù)的周期性，然后結(jié)合(工)中的結(jié)論確定函數(shù)在一個周期內(nèi)的最大值和最小值即可證得題中

的不等式；

(3)對所給的不等式左側(cè)進行恒等變形可得

f(x)=[sinx(sin2xsin2x)(sin22xsin4x)(sin22,,-1xsin2"x)sin22"寸,然后結(jié)合(2)的結(jié)論和三

角函數(shù)的有界性進行放縮即可證得題中的不等式.

【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：/(x)=2sin\cosx,則：

/1(%)=2(3sin2xcos2x-sin4x)=2sin2x(3cos2x-sin2x)

=2sin2x(4cos2x-1)=2sin2x(2cosx+l)(2cosx-l),

尸(x)=0在xw((),乃)上的根為：%=?/=g,

當(dāng)x《0,百時，尸(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

7T2萬

當(dāng)時，/(x)<OJ(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)仔

時，/(x)>O,/(x)單調(diào)遞增.

(2)注意到/(x+^-)=sin2(%+^-)sin[2(x+^-)J=sin2xsin2x=/(x),

故函數(shù)/(x)是周期為乃的函數(shù),

結(jié)合(1)的結(jié)論，計算可得：〃0)=/(%)=0,

Y

7173?5/33G2萬3>/3

X------=-------X

2J282J2J~T~

373

據(jù)此可得：［〃X)L=￥，

即|/(刈￥

o

(力結(jié)合(2)的結(jié)論有:

sin2xsin22xsin24xsin22nx

2

=[sirPxsin32xsin34xsin32"x]§

2

|^sinx(sin2xsin2x)(sin22xsin4x)[in22w-,xsin2,7x)sin22〃元]§

888

X7.UISX--------XX---------X---------XXUIS>

【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)

的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微