2020-2021學(xué)年浙江省湖州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2020-2021學(xué)年浙江省湖州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)?「在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀評(píng)價(jià)他對(duì)自己目前生活狀態(tài)滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間

[0,10]內(nèi)的一個(gè)數(shù)來(lái)表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.現(xiàn)隨機(jī)抽取10位湖州市居

民，他們的幸福感指數(shù)為5,6,6,6,7,7,8,8,9,10.則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)

是（）

A.7.5B.8C.8.5D.9

3.在正方體ABCO-AiBiGDi中，異面直線AB與4A所成的角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.已知贏=（2,3）,0B=（-3,y）,若贏，而，則|靛|等于（）

A.2B.26C.5-^2D.—.I，

5.在一個(gè)袋子中放2個(gè)白球，2個(gè)紅球，搖勻后隨機(jī)摸出2個(gè)球，與“摸出1個(gè)白球1個(gè)

紅球”互斥而不對(duì)立的事件是（）

A.至少摸出1個(gè)白球

B.至少摸出1個(gè)紅球

C.摸出2個(gè)白球

D.摸出2個(gè)白球或摸出2個(gè)紅球

6.在△ABC中，M為邊上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，同=入屈+|1正，則入+U的值

為（）

A.《B.C.士D.1

234

7.已知△A3C的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為a、b、c,則“c=acosB”是“△ABC為

直角三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知球面被互相垂直的兩個(gè)平面所截，得到的兩個(gè)圓公共弦長(zhǎng)為2?.若兩個(gè)圓的半徑

分別為2加和4,則該球的體積是（）

A.36TTB.旦立亙兀C.125nD.嗎兀

33

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.

9.為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某校開(kāi)展“唱紅色歌曲，誦紅色經(jīng)典”歌詠比賽活動(dòng),

甲、乙兩位選手經(jīng)歷了7場(chǎng)初賽后進(jìn)入決賽，他們的7場(chǎng)初賽成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

甲選手：78848585868892

乙選手：72848687899394

則以下結(jié)論正確的是（）

A.甲成績(jī)的極差比乙成績(jī)的極差小

B.甲成績(jī)的眾數(shù)比乙成績(jī)的中位數(shù)小

C.甲成績(jī)的方差比乙成績(jī)的方差小

D.甲成績(jī)的平均數(shù)比乙成績(jī)的平均數(shù)大

10.有一道數(shù)學(xué)難題，學(xué)生甲解出的概率為得，學(xué)生乙解出的概率為《■,學(xué)生丙解出的概率

為若甲，乙，丙三人獨(dú)立去解答此題，則（）

4

A.恰有一人解出的概率為巨

24

B.沒(méi)有人能解出的概率為與

24

C.至多一人解出的概率為a17

24

D.至少兩個(gè)人解出的概率為2令3

24

11.記￡,尸分別是正方形ABCQ邊和的中點(diǎn)，現(xiàn)將AABE繞著邊BE旋轉(zhuǎn)，則在

旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（）

A.AE與B尸不可能垂直B.AB與O尸可能垂直

C.AC與AP不可能垂直D.AF與DE可能垂直

12.如圖，△046,△A1A2&,4A2A3%是全等的等腰直角三角形（05=1,B,G=l,2,

1,A1S,

3）處為直角頂點(diǎn)），且。，Ai,A2,A3四點(diǎn)共線.若點(diǎn)尸2,P3分別是邊4星,

A3B3,,

上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），記/I=0B/0P3,Z2=0320?2,/3=0B30P1,則（）

AA八

A.Zi>3B.b2C./3W/2D.5W6W6

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為2TT的半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)是.

14.如圖，在正三棱柱ABC-AiBiCi中，已知43=1,。在棱上，且BD=1,若與

平面AAiCCi所成的角為a,則sintz=.

/；

15.如圖，A,B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A,8兩點(diǎn)均不可到達(dá)，要測(cè)出A,8的距離，測(cè)量者

可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C,D,若測(cè)得CZ）=4hw,ZADB=ZCDB=30°,ZACD=6Q°,

ZACB=45°,則A,B兩點(diǎn)間的距離是km.

B

D

16.已知平面向量a,b的夾角為45°,|a|=1且c=-2a+九b（入則|C

的最小值是.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.已知直四棱柱ABC。-ABCiOi的所有棱長(zhǎng)均為2,且/49。=60°.

（1）求證：GO〃平面A5C；

（II）求二面角By-AC-Di的余弦值.

18.為普及抗疫知識(shí)、弘揚(yáng)抗疫精神，某學(xué)校組織防疫知識(shí)競(jìng)賽.比賽共分為兩輪，每位參

賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪

比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為旨，4；在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分

54

別為《2，42；甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.

（1）從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰(shuí)參賽贏得比賽的概率更大？

（2）若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.

19.某地統(tǒng)計(jì)局就本地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)了樣本數(shù)據(jù)的頻率

分布直方圖（每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示收入在［1000,1500）.

（1）求居民月收入在［3000,3500）的頻率；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（3）為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再?gòu)倪@10000人中

用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步分析，則月收入在［2500,3000）的這段應(yīng)抽多少人？

月收入（元）

20.請(qǐng)?jiān)冖?bsin（A+：）=a+c;②（2c-a）cosB=bcosA；③△杷c

這三個(gè)條件中任意選擇一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題的橫線上，并進(jìn)行解答.

在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若滿足.

⑴若42且C'，求AMC的面積;

(II)若4a+b=3c,求cosC.

21.如圖，在直角梯形0ABe中，OA//CB,OA1OC,OA=2BC=2OC.E為AB上靠近B

的三等分點(diǎn)，。尸交AC于￡為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(包含端點(diǎn)).

(1)若而=to?(t€R)，求實(shí)數(shù)t的值；

(II)設(shè)而=入族+乩m(xù)(九，|1ER)，求人中的取值范圍.

22.如圖，已知四棱錐尸-ABC，AZ)〃2C且ABLAD,AD=6&,AB=4,BC=4&,△

尸4。的面積等于12加，E是尸。是中點(diǎn).

(I)求四棱錐尸-ABCD體積的最大值；

(II)若PB=4代，tanZPAD^.

(i)求證：AD±PC；

(ii)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

B

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)，是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)；J在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出復(fù)數(shù)呆在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐

1+1

標(biāo)得答案.

解：由a=（rg2-i）卷亭，

可得復(fù)數(shù)點(diǎn)■在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（/，*1）,位于第一象限.

故選：A.

2.“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀評(píng)價(jià)他對(duì)自己目前生活狀態(tài)滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間

[0,10]內(nèi)的一個(gè)數(shù)來(lái)表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.現(xiàn)隨機(jī)抽取10位湖州市居

民，他們的幸福感指數(shù)為5,6,6,6,7,7,8,8,9,10.則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)

是（）

A.7.5B.8C.8.5D.9

【分析】根據(jù)已知條件，運(yùn)用分位數(shù)的定義，即可求解.

解：V10X80%=8,

數(shù)據(jù)5,6,6,6,7,7,8,8,9,10的80%的分位數(shù)是（8+9）=8.5.

故選：C.

3.在正方體山Cid中，異面直線A山與ADi所成的角是（）

A.30°B.45°C,60°D.90°

【分析】由ADi/ZBCr,得到ZAiBCi是異面直線與ADi所成的角（或所成角的補(bǔ)角），

再由AiB=BCi=AiCi,能求出異面直線AiB與ADi所成的角.

【解答】解

.?./A13C1是異面直線A山與ADi所成的角（或所成角的補(bǔ)角），

?.?AiB=BCi=4Ci,

ZAiBCi=60°,

.?.異面直線4B與ADi所成的角是60°.

故選：C.

4.已知水=(2,3),QB=(-3,y),若贏,而，則I屈I等于()

A.2B.弋26C.5-\/2D.—‘I，

【分析】由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，求出y的值，可得靛的坐標(biāo)，從而求得向量獲

的模.

解：..,已知0A=(2，3),0B~(-3,y),若0A，0B，

A0A*0B=-6+3y=0,y=2,??.瓦=(-5,y-3)=(-5,-1),

則I標(biāo)l=J(_5)2+(一1)2=技,

故選：B.

5.在一個(gè)袋子中放2個(gè)白球，2個(gè)紅球，搖勻后隨機(jī)摸出2個(gè)球，與“摸出1個(gè)白球1個(gè)

紅球”互斥而不對(duì)立的事件是()

A.至少摸出1個(gè)白球

B.至少摸出1個(gè)紅球

C.摸出2個(gè)白球

D.摸出2個(gè)白球或摸出2個(gè)紅球

【分析】先得到實(shí)驗(yàn)的必然事件，再根據(jù)互斥事件，對(duì)立事件的定義判斷即可.

解：必然事件為：都是白球，1個(gè)白球，1個(gè)紅球，都是紅球，

A：至少有1個(gè)白球包含1個(gè)白球，1個(gè)紅球和都是白球，故A不對(duì)，

B：至少有1個(gè)紅球包含1個(gè)白球，1個(gè)紅球和都是紅球，故B不對(duì)，

C：摸出1個(gè)白球1個(gè)紅球發(fā)生時(shí)，摸出2個(gè)白球不會(huì)發(fā)生，且在一次實(shí)驗(yàn)中不可能必有

一個(gè)發(fā)生，故C對(duì)，

D：摸出1個(gè)白球1個(gè)紅球和摸出2個(gè)白球或摸出2個(gè)紅球，是對(duì)立事件，故￡>不對(duì)，

故選：C.

6.在△ABC中，M為邊上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，AN=XAB+HAC-則入+U的值

為（）

A.《B.C.-yD.1

234

【分析】設(shè)麗=t正，將向量方用向量筋、正表示出來(lái)，即可找到人和|1的關(guān)系，最

終得到答案.

解：設(shè)而氣標(biāo)

則AN得靠=4（AB+BM）=^AB弓而

卷XtBC=yAB-^-（AC-AB）

=4干正育正

?、t..

??A——~~,IX—

222

X+|1

故選：A.

7.已知△A3C的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為。、b、c,貝!J“c=〃cos3”是“△A3C為

直角三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】由已知結(jié)合正弦定理可得sinC=sinAcosB,利用三角形的內(nèi)角和及和角的正弦

公式化簡(jiǎn)可得A為直角，幾何充分條件及必要條件進(jìn)行判斷即可.

解：因?yàn)閏=acosB

由正弦定理可得，sinC—sinAcosB即sin（A+B）=sinAcosB

所以sinAcosB+sinBcosA=sinAcosB

所以sinBcosA=0

因?yàn)镺VAVir,0<B<n所以sinBWO,cosA=0

則A=：,△ABC為直角三角形

但AABC為直角三角形時(shí)不一定是A=

所以c=acosB是AABC為直角三角形充分不必要條件

故選：A.

8.已知球面被互相垂直的兩個(gè)平面所截，得到的兩個(gè)圓公共弦長(zhǎng)為2?.若兩個(gè)圓的半徑

分別為2加和4,則該球的體積是（）

A.36TtB.於匡兀C.125TTD.區(qū)陰-

33

【分析】先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由公共弦長(zhǎng)為2舊分別求出兩個(gè)圓的圓心到公共弦的距

離NP、MP,可知球心、兩個(gè)圓的圓心、公共弦的中點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)矩形，由勾股定理可求

出球的半徑，根據(jù)公式求出球的體積.

解：如圖，由題可知，和ON是球O被互相垂直的兩個(gè)平面所截得到的圖形，QM

和ON半徑分別為2會(huì)和4,

???兩個(gè)圓的公共弦為AB，取中點(diǎn)為尸，連接NP,MP,ON,OM,

...由圓的性質(zhì)可知NPLAB,MP_LAB,由球的性質(zhì)可知ONLNP,OM±MP,

所以O(shè)MPN為矩形，

?.?公共弦長(zhǎng)42=2愿，

?■-NP=源-（⑨入后,MP=7（2V3）2-（V3）2=3

.*.0M=NP=V13-ON=MP=3,

在RdOMC中，球的半徑滿足：R2=（2V3）2+（V13）2;解得R=5，（或者在Rd

Q4N中,7?2=42+32,解得R=5),

.?.球的體積V=4?冗?R3專(zhuān)打，515嗎兀,

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.

9.為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某校開(kāi)展“唱紅色歌曲，誦紅色經(jīng)典”歌詠比賽活動(dòng),

甲、乙兩位選手經(jīng)歷了7場(chǎng)初賽后進(jìn)入決賽，他們的7場(chǎng)初賽成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

甲選手：78848585868892

乙選手：72848687899394

則以下結(jié)論正確的是（）

A.甲成績(jī)的極差比乙成績(jī)的極差小

B.甲成績(jī)的眾數(shù)比乙成績(jī)的中位數(shù)小

C.甲成績(jī)的方差比乙成績(jī)的方差小

D.甲成績(jī)的平均數(shù)比乙成績(jī)的平均數(shù)大

【分析】根據(jù)已知條件，分別求出極差，中位數(shù)，眾數(shù)，平均值，即可依次求解.

解：由題中的數(shù)據(jù)，可得甲的極差為92-78=14,乙的極差為94-72=22,

，甲成績(jī)的極差比乙成績(jī)的極差小，故A選項(xiàng)正確，

???甲成績(jī)的眾數(shù)為85分，乙成績(jī)的中位數(shù)為87分，

.??甲成績(jī)的眾數(shù)比乙成績(jī)的中位數(shù)小，故8選項(xiàng)正確，

觀察甲、乙數(shù)據(jù)，可得甲成績(jī)的數(shù)據(jù)更集中，乙成績(jī)的數(shù)據(jù)更離散，

甲成績(jī)的方差比乙成績(jī)的方差小，故C選項(xiàng)正確，

可卡任，新%—78+84+85+85+86+88+92.

甲成績(jī)1的V平l均數(shù)為x1=--------------------------------------85.4，

-71任Vaz%此%72+84+86+87+89+93+94

乙成績(jī)1的l平均數(shù)為x=-------------------------------------=86.4，

Z9<

.??甲成績(jī)的平均數(shù)比乙成績(jī)的平均數(shù)小，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC.

10.有一道數(shù)學(xué)難題，學(xué)生甲解出的概率為，學(xué)生乙解出的概率為小學(xué)生丙解出的概率

為若甲，乙，丙三人獨(dú)立去解答此題，則（）

4

A.恰有一人解出的概率為巨

24

B.沒(méi)有人能解出的概率為工

24

C.至多一人解出的概率為1老7

24

22

D.至少兩個(gè)人解出的概率為令

【分析】利用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式求出概率，判斷利用互斥事件的加法公

式求出概率，判斷C,利用對(duì)立事件公式求出概率，判斷D

解：A：VP（恰有一■人解出試題）=J"X（1-X（1-；）+（1--）x1~X（1-

4）

+（1=）*）=殺，'A正確，

乙OTC

B：?./（沒(méi)有人解出試題）=（1-4）X（1-《）義（1-4）=4"，錯(cuò)誤，

2344

C：'：?（至多一人解出試題）=P（恰有一人解出試題）+P（沒(méi)有人解出試題）=4+二

244

=息17，???。正確，

24

D：VP（至少兩個(gè)人解出試題）=1-尸（至多一人解出試題）=1-#17=7/，錯(cuò)

2424

'口

厭.

故選：AC.

11.記耳廠分別是正方形ABC。邊和BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABE繞著邊BE旋轉(zhuǎn)，則在

旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（）

A.A￡與3尸不可能垂直B.與。P可能垂直

C.AC與AP不可能垂直D.AP與DE可能垂直

【分析】將AABE繞著邊BE旋轉(zhuǎn)，A落在四邊形EBCD中時(shí)，記A為4,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程，

A的軌跡是以AAi為直徑的圓，并且A在面ABCD上的投影都在線段AAi上.

A,利用AE在平面ABC。的投影可以與8尸垂直，即可判斷；

B,利用在平面ABCD的投影不可能與。下垂直，即可判斷；

C,利用AC在平面ABCO的投影不可能與AF垂直，即可判斷；

D,利用4尸在平面ABCD的投影可以與DE垂直，即可判斷；

解：如圖，將AABE繞著邊BE旋轉(zhuǎn),A落在四邊形EBC。中時(shí)，記A為4,在旋轉(zhuǎn)過(guò)

程，A的軌跡是以AAi為直徑的圓，并且A在面ABCO上的投影都在線段441上.

對(duì)于A,TAE在平面4BCZ）的投影可以與8尸垂直，故AE與8尸可能垂直，故A錯(cuò)；

對(duì)于8,因?yàn)锳B在平面ABC。的投影不可能與Db垂直，；.48與。尸不可能垂直，故8

錯(cuò)；

對(duì)于C,因?yàn)锳C在平面4BCD的投影不可能與AF垂直，；.AC與4尸不可能垂直，故C

正確；

對(duì)于D,因?yàn)锳P在平面ABC。的投影可以與DE垂直，故AF與DE可能垂直，故。正

確；

故選：CD.

12.如圖，△04B1,△A2A3B3是全等的等腰直角三角形(。81=1,Bi(i=l,2,

3)處為直角頂點(diǎn))，且。，Ai,4,A3四點(diǎn)共線.若點(diǎn)尸1,Pi,P3分別是邊45,

A場(chǎng)上的動(dòng)點(diǎn)(包含端點(diǎn))，記/I=0B],0P3,/2=0B2,0P2，/3=0B3?0PI，貝h)

A./1>3B./32/iC./3W/2D.5W/2W6

【分析】建系，寫(xiě)坐標(biāo)，設(shè)B,2,P3的坐標(biāo)，結(jié)合平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求

得答案.

解：如圖所示，以。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則

0(0,0),Aj(V2,0),A2(2后,0),A3(3^2,。),'?2?3

直線All的方程為y=J^-X,所以設(shè)P[(X[，V2-X?)>X[E十，A/21,

直線人2&的方程為y=2亞-X,所以設(shè)「2(乂2，姐-X2)，X，2€明卜

直線45的方程為y=W^-x,所以設(shè)P3G3，3V2-X3)>X，3€372]-

=<

所以11=OBi,0口3=(^^,3y/2-x3)=^~(x3+2->f2-x3)2^3,故

A錯(cuò)誤;

2+

V2-X2)=V2X226[5,6],故。正確；

&-XI)=2后x[+1UE3,5],所以h<h.

/3>，2,故正確;

13.已知某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為27r的半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)是2

【分析】利用圓錐的母線即為側(cè)面展開(kāi)圖對(duì)應(yīng)扇形的半徑，列式求解即可.

解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,

則母線長(zhǎng)/為側(cè)面展開(kāi)圖的半圓的半徑，

又圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為27t的半圓,

1o

所以高?兀?1'=2兀，

則1=2,

所以圓錐的母線長(zhǎng)為2.

故答案為：2.

14.如圖，在正三棱柱ABC-ASG中，已知AB=1,。在棱上，且BD=1,若與

平面AAiCCi所成的角為a,則sine=.

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)8作BFLAC,過(guò)囪作BiELACi,連接ER過(guò)D作

DGLEF,連接AG,證明DG，面A41C1C,ZDAG=a,解直角三角形ADG即可.

解：如圖所示，過(guò)8作BFLAC,過(guò)Bi作BiELAiG,連接ER過(guò)。作。GLER連接

AG,

在正三棱柱中，有21石_1面441clC,即」面441。1。,

故。G_L面441C1C,

：.ZDAG=a,可求得DG=B尸=",

2

AD=VAB2+BD2=V2-

..DGV6

+故sina=——二—

AD4

15.如圖，A,B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A,8兩點(diǎn)均不可到達(dá)，要測(cè)出A,B的距離，測(cè)量者

可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C,。，若測(cè)得CD=4b",ZADB=ZCDB=3Q°,ZACD=60°,

ZACB=45°,則A,8兩點(diǎn)間的距離是—km.

【分析】在△AOC中求得AC的值，ABCD中利用正弦定理求得BC的值，△A2C中利

用由余弦定理求得AB的值.

解：ZADC=ZADB+ZCDB=60°,

ZACD=60°,

.?.△ADC是等邊三角形，：.AD=CD=AC=4.

在△BCD中，/BCD=60°+45°=105°,ZBDC=30°,/CBD=45

sinZBDC-sinZCBD'sin300-sin450

_^xl

??BC=[2.2=2^/2，

在△ABC中，由余弦定理得

2加考=8,

AB2=AC1+BC1-2AC?BC?cos45°=16+8-2X4X

'.AB—2衣,

即A、B兩點(diǎn)間的距離為2%初1.

故答案為：272.

16.已知平面向量a,b的夾角為45。，|a|=1且c=-2a+人b（入ER））則|cI+1c-a|

的最小值是_/豆_.

【分析】設(shè)Z=5L-2a=0A',A7*C=Xb,則C點(diǎn)在一條直線上運(yùn)動(dòng)，

|c|+|c-7|=|0C1+lACI-于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問(wèn)題，把。點(diǎn)關(guān)于直線/對(duì)稱(chēng)過(guò)

去，設(shè)為O',則最小值即為40'的長(zhǎng).

解：如圖所示，設(shè)之=贏，-2a=0Ay，則A'，O,A三點(diǎn)共線，且。V=20A,

設(shè)工^=入E，入CR，因?yàn)槠矫嫦蛄?；與E的夾角為45。,

所以C點(diǎn)在一條直線上運(yùn)動(dòng)，且這條直線與0A'的夾角為45°,設(shè)這條直線為/,

所以c=-2a+入b=0A'+A'C=0C?c-a=OC-OA=AC>

于是IcI+1c-aI=IOC|+1ACI，

設(shè)。點(diǎn)關(guān)于直線/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為。'，連接。。'交直線/于點(diǎn)M,連接AO,交直線/與

點(diǎn)N,

所以O(shè)C+AC=O'C+AOA0',當(dāng)C點(diǎn)與N點(diǎn)重合時(shí)，不等式取等號(hào).

在△A00'中，OA=1,00'=20M=2>/2，ZMOA=-^-,

由余弦定理可得A0'2=AO2+OO'2-2AOQO'-CO^-=13，即AO'=V13.

故|3|+|3二|的最小值為JTi

故答案為：V13-

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.已知直四棱柱ABC。-A由Cid的所有棱長(zhǎng)均為2,且/4由41=60°.

（I）求證：Ci?！ㄆ矫鍭BC；

（II）求二面角Bi-AC-Di的余弦值.

【分析】（I）先證明四邊形ABiCi。為平行四邊形，可得由線面平行的判

定定理證明即可；

（H）利用等腰三角形的性質(zhì)證明。BiLAC,ODxLAC,得到，NSOA即為二面角3

-AC-A的平面角，在三角形中，由余弦定理求解即可.

【解答】（I）證明：ABC。-AiBiCQi為直四棱柱，

所以AO//B1G,且AO=BiG,

所以四邊形ASG。為平行四邊形，

貝又CiDC面ABCAB,c?ABiC,

所以GD〃面ABC；

（II）解：取AC中點(diǎn)。，連接OB,ODx,

因?yàn)橹彼睦庵鵄BCD-AIBICIDJ的所有棱長(zhǎng)均為2,

則ABx=B\C=D\C=ADx=2近，

貝iJOBi_L4C,ODxLAC,

由二面角定義，NBQDI即為二面角Bt-AC-Di的平面角，

在等腰△age中，0BI=，BIC2-C^AC）2=VF]=V7，

同理，OD[=Q,

099

一一0B1+0D,-BiD,7+7-121

在△30。中，Cos/SOD1=—i--------J--------LJ—=r-r--,

20B,-0D,2乂木義由7

故二面角Bi-AC-Di的余弦值為4.

18.為普及抗疫知識(shí)、弘揚(yáng)抗疫精神，某學(xué)校組織防疫知識(shí)競(jìng)賽.比賽共分為兩輪，每位參

賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪

比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為旨，4；在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分

54

別為《，4；甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.

OD

(1)從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰(shuí)參賽贏得比賽的概率更大？

(2)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.

【分析】(1)設(shè)事件4表示“甲在第一輪比賽中勝出”，事件A2表示“甲在第二輪比

賽中勝出”，事件用表示“乙在第一輪比賽中勝出”，事件&表示“乙在第二輪比賽中

勝出”，則44表示“甲贏得比賽”，表示“乙贏得比賽“，利用相互獨(dú)立事件概

率乘法公式分別求出甲贏得比賽的概率和乙贏得比賽的概率，由此得到派甲參賽贏得比

賽的概率更大.

(2)設(shè)C表示“甲贏得比賽”，。表示“乙贏得比賽”，CU。表示“兩人中至少有一

個(gè)贏得比賽”，P(CUD)=1-P(CD)=1-P(C)P(D)-由此能求出兩人中至少

有一人贏得比賽的概率.

解：(1)設(shè)事件Ai表示“甲在第一輪比賽中勝出”，事件4表示“甲在第二輪比賽中

勝出”，

事件5表示“乙在第一輪比賽中勝出”，事件&表示“乙在第二輪比賽中勝出”，

322

則4血表示“甲贏得比賽”，P(AIA2)=P(AI)P(A2)=號(hào)義5=1，

bo5

99Q

B1B2表示“乙贏得比賽“，P(B1B2)=P(Bi)P(%)=vX4=^

4510

,?哈＞2，派甲參賽贏得比賽的概率更大.

b1U

(2)設(shè)C表示“甲贏得比賽”，。表示“乙贏得比賽”，

—o3

由（1）知尸（C）=1-尸（AIA）=1-言=言，

255

—27

P（D）=1-P（B1B2）=1-*=金，

...CUD表示“兩人中至少有一個(gè)贏得比賽”，

————27

：.P（CUD）=1-P（CD）=1-P（C）P（D）=1-高X3=3.

51050

19.某地統(tǒng)計(jì)局就本地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)了樣本數(shù)據(jù)的頻率

分布直方圖（每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示收入在［1000,1500）.

（1）求居民月收入在［3000,3500）的頻率；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（3）為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再?gòu)倪@10000人中

用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步分析，則月收入在［2500,3000）的這段應(yīng)抽多少人？

月收入（元）

【分析】（1）利用頻率分布直方圖，小矩形的面積即為頻率，從而可得答案；

（2）根據(jù)頻率直方圖，先確定中位數(shù)的位置，再由公式計(jì)算出中位數(shù)；

（3）利用頻率分布直方圖和分層抽樣的方法即可確定抽取的人數(shù).

解：（1）由頻率分布直方圖可知，居民月收入在［3000,3500）內(nèi)的頻率為0.0003X500

=0.15；

（2）由頻率分布直方圖可知，

0.0002X（1500-1000）=0.1,0.0004X（2000-1500）=0.2,0.0005X（2500-2000）

=0.25

V0.1+0.2+0.25=0.55>0.5

樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)2000+0?2）=2400；

U.UUlJb

(3)居民月收入在［2500,3000］的頻率為0.0005X(3000-2500)=0.25,

...10000人中月收入在［2500,3000］的人數(shù)為0.25X10000=2500(人)，

再?gòu)?0000人用分層抽樣方法抽出100人，

...月收入在［2500,3000］的這段應(yīng)抽取100X^=25人.

20.請(qǐng)?jiān)冖?bsin(A+：)=a+c;②(2c-a)cosB=6cosA；③a2+J-b2ng

這三個(gè)條件中任意選擇一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題的橫線上，并進(jìn)行解答.

在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若滿足.

(I)若6=2且cT，求△ABC的面積；

4

(II)若4a+b=3c,求cosC.

【分析】(I)若選擇條件①：展開(kāi)后由正弦定理可得出

sinBcosA-h/3sinBsinA-sinA-sinC=C,再根據(jù)sinC=sinAcosB+cosAsinB可得出

V3sinB-cosB=l,然后即可求出B4；若選擇條件②：根據(jù)正弦定理可得出cosB=^-,

JT

從而得出B一廠；若選擇條件③：根據(jù)余弦定理及三角形的面積公式可得出tanB=?,

從而求出2=:；然后根據(jù)正弦定理可求出然后根據(jù)三角形的面積公式即可

求出△ABC的面積；

(II)根據(jù)正弦定理可得出4sinA+sinB=3sinC,再根據(jù)可得出

O

sinC=2&sC考，然后即可得出52cMe+24c—從而解出cosC即可.

解：若選①，由2bsin(A+^)=a+c展開(kāi)得bcosA+我bsinA-a-c=0,

0

又由正弦定理可矢口sinBeosA+^sinBsinA-sinA-sinCX,

且sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以V^sinBsinA-sinA-sinAcosBY,

兀

又Ae(0,IT),貝!JsinA>0,所以舊sinB-cosB=L所以2sin(B-7-)=L可得

o

/兀、1

sin(B-—)^7，

0N

又BE(0,n),所以B-€(一二，T"?所以—T所以尸

666663

若選②，因?yàn)?2c-〃)cosB=Z?cosA,

又由正弦定理可知：(2sinC-sinA)cosB=sinBcosA,

所以2sinCcosB=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sinC,

1兀

又CE(0,TI),則sinOO,所以COSB=6，又加(0,n),所以B二&;

乙o

J22J=L,22

若選③，a+c-b=—^SAABC由余弦定理得/+c-b=2accosB,

o

SCIU2J3

所以2accosB二一--acsinB^

o

又Be(0,n)且B#3，所以tanB=a，又Be(0,n),所以

/o

(I)由。=2,及正弦定理知c菖號(hào)，

又所以SAABC^bcsinA=—

11.乙乙o

(II)解法一：若4〃+Z?=3c,由正弦定理得4sinA+sinB=3sinC,

兀?7T

又B=^^，所以4sin(—^--C)+sinB=3sinC，

oo

可得4(^^cosC-H^-sinC)+^^=3sinC，

所以sinC=2V^cosC

又sin2C+cos2C=1,所以52cos2。+24cosc-1=0,

L/2

所以(2cosc+l)(26cosC-1)=0,又C€(0,—7T),

o

所以cosC€（-J，1），所以cosC^^"；

（沒(méi)有舍去扣1分）

解法二：若4〃+Z?=3c,又

o

由余弦定理c^+c1-爐=2〃ccos3可知4/2+(?-b2=ac,

即層+廿_QC=〃2=(3C-4。)2=9c2+16a2-24ac,

o

整理得8c2-23〃C+15〃2=O,解得〃=c或a-Fc，

15

71_

若〃=c,B，-，貝ij〃=c=b,與4Q+Z?=3C矛盾;

o

若軟=~^-c，則bH^c，

lblb

a2b2-c21

由余弦定理可得c0sC=+

2ab26

（沒(méi)有舍去扣1分）

21.如圖，在直角梯形04