2015年蘭州市中考數(shù)學(xué)試題解析

2015年蘭州市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)（A）解析者：浙江省杭州市余杭區(qū)臨平一中朱兵一、選擇題（本題有15小題，每小題4分，共60分）【答案】C【考點解剖】本題考查的是二次函數(shù)的概念【解答過程】所謂二次函數(shù)，是指形如的函數(shù)，其中，，都是常數(shù)，且。首先，二次函數(shù)必須是整式函數(shù)，因此D就被排除；其次，函數(shù)的形式，那么它的最高次項是二次，并且由，就保證了它一定要含有二次項，所以A也被排除；再來看B和C的區(qū)別：僅從形式上看，似乎沒什么區(qū)別，但由于二次函數(shù)必須要求，也就是說二次項系數(shù)必須不能為0，而這一點上，B選項是沒有保證的，所以B選項也不對。這樣，只剩下C?！疽族e點津】主要看二次項系數(shù)是確定的具體的數(shù)，還是含有字母的一般的數(shù)【歸納拓展】如函數(shù)或方程，在沒有明確給出字母的取值范圍之前，它們未必是關(guān)于的二次函數(shù)或二次方程【題目星級】★★【答案】B【考點解剖】本題考查了三視圖的相關(guān)知識，以及考生的空間概念能力【解答過程】就本題而言，其三視圖如圖那么容易得知只能是選項B?！绢}目星級】★★【答案】A【考點解剖】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的相關(guān)知識【思路點拔】如果將二次函數(shù)改寫為頂點式：，那么其頂點為（，），對稱軸為直線（也有一些教科書將頂點式表示為的形式，那么其頂點就是（，），對稱軸為直線）【解答過程】這四個函數(shù)中，對稱軸分別是A：；B：；C：；D：，所以只能是選項A【解題策略】在涉及到二次函數(shù)的對稱軸問題時，可以將函數(shù)改寫為頂點式的形式，那么只要令，其對稱軸就便可求之?！绢}目星級】★★★【答案】D【考點解剖】本題考查了直角三角形中角的三角函數(shù)值的定義【思路點拔】直角三角形中，某銳角的余弦值等于夾這個角的那條直角邊與斜邊之比【解答過程】Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=AB2+(2AB)2=5AB2，∴AC=AB，則cosA=，選D【解題策略】一般地說，在涉及到某個銳角的三角函數(shù)值時，只要將之放到直角三角形中去，那么問題往往不難解決。在直角三角形中，我們將夾角α的那條直角邊稱為鄰邊，角α所對的那條邊稱為對邊，那么角阿爾法的各三角函數(shù)值分別為，，。如果原題沒有圖，那么可以自己在草稿紙上畫一個示意圖；如果是在斜三角形中，那么可以根據(jù)實際情況構(gòu)造一個直角三角形出來，將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中去解決?！绢}目星級】★★【答案】B【考點解剖】本題考查了坐標(biāo)和相似的有關(guān)知識【思路點拔】根據(jù)題意：AO:CO=BO:DO=5:2，而位似中心恰好是坐標(biāo)原點O，所以點A的橫、縱坐標(biāo)都是點C橫、縱坐標(biāo)的2.5倍，因此選B?！绢}目星級】★★★【答案】C【考點解剖】本題考查的是等式的基本性質(zhì)，以及乘法公式中的相關(guān)知識?！局R準(zhǔn)備】完全平方公式：【解答過程】將各選項左邊展開，并整理成一般式：A：，；B：，；C：，；D：，，因此正確選項為C【思維模式】此類題的關(guān)鍵在于配方【一題多解】由于在配方過程中，需要在方程的兩邊加上相同的一個數(shù)；而我們在解方程過程中經(jīng)常需要用到的“移項”，其實際上也是在方程兩邊都加上相等的東西，因此，無論方程如何變形，兩邊增減的“量”都是相等的，所以本題亦可采用如下方式進行：在原方程中，取，此時，左邊=-1，右邊=0，在各選擇支中，如果變形是正確的話，左邊應(yīng)該始終比右邊的值小1，在時，A左=16，A右=17；B左=16，B右=15，則(即B被排除)；C左=16，C右=17；D左=16，D右=15，則；現(xiàn)在留下A、C兩個選項，難道兩個都是正確的嗎？當(dāng)然不是。我們再換一個的值試試：取，那么原式左邊=-8，原式右邊=0，也就是說：在同樣的條件下，如果是正確的變形，那么一定是滿足左邊=右邊-8，反之，如果不滿足這一條件，那么就一定是錯的。當(dāng)時，A左=25≠A右-8，所以這里需要提醒注意的是：這樣的方法只能用來排除錯誤，不能保證正確。如在本題中，當(dāng)時，雖然也有C左=C右-8，但不能就此判言C為正確，但因為A，B，D都已被排除，所以唯一留下的C選項必為對的。再啰嗦一句：上面介紹的“特殊值法”，在本題中其實反而顯得很笨拙，但如果換個場合，有可能是一個高效、靈活的解題方法?！绢}目星級】★★【答案】D【考點解剖】本題考查特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定【解答過程】略【題目星級】★★★【答案】A【考點解剖】本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)【知識準(zhǔn)備】一次函數(shù)的圖象是一條直線，當(dāng)時，這條直線從左到右是上升的；反之，它是下降的；反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，當(dāng)時，其圖象分別位于第一、三兩個象限，并且在每個象限（注意：僅僅是在該象限之內(nèi)），圖象上的點越來越低（從左到右）；反之，雙曲線的兩支分別在第二、四象限，在每個象限內(nèi)圖象位置越來越高。【解答過程】觀察A：從直線的方向向下（從左到右），說明其中的；再看雙曲線，位于二、四象限，那么其比例系數(shù)，這樣分析并沒有看出什么不妥，但是我們也不宜急于下結(jié)論就說A是正確選項，因為或許還有哪個地方?jīng)]有被我們注意到呢？觀察B：從直線形態(tài)來看，應(yīng)該有，但是從雙曲線的形態(tài)來說，又應(yīng)該是，這里是矛盾的，所以；同樣道理，C也是錯誤的；再看D：無論是直線還是雙曲線，都滿足，這里并沒有看出什么矛盾。那么問題來了：A和D，到底哪個才是正確的選項？當(dāng)我們感到山重水復(fù)時，如果再靜下心來重新讀題，很有可能會有新的發(fā)現(xiàn)，從而尋找到一條通向柳暗花明之路。在一次函數(shù)中，如果我們將表達式改寫為，那么就會發(fā)現(xiàn)：無論取什么值，當(dāng)時，其函數(shù)值都為0，換句話說：該直線一定通過（1，0）。從這一點分析，D當(dāng)然就不符合這樣的特征，所以D又被排除了，那么只能選A。【題目星級】★★★★【答案】B【考點解剖】本題考查了圓周角的相關(guān)知識點以及平面直角坐標(biāo)系的概念【知識準(zhǔn)備】在同一個圓（或等圓）中，同弧（或等?。┧鶎Φ膱A周角相等；直徑所對的圓周角是直角；當(dāng)圓周角為直角時，其所對的弦是直徑。【解答過程】∠ACB和∠AOB都是⊙P中同一條弧所對的圓周角，所以它們相等【歸納拓展】在其它類似題目中，我們有可能需要區(qū)分優(yōu)弧和劣弧的不同；再換一種場合，如果連結(jié)AB，還有可能需要說明AB是直徑，或者點P在AB上?！绢}目星級】★★【答案】B【考點解剖】本題考查了菱形和正三角形的性質(zhì)中的相關(guān)知識點【知識準(zhǔn)備】菱形的四條邊相等，對角相等，對角線互相垂直平分；等腰三角形底邊上的高線平分底邊和頂角。【思路點拔】由菱形的性質(zhì)以及現(xiàn)有條件，可得△AEF是正三角形，而正三角形的面積等于邊長的平方的倍【解答過程】連結(jié)AC和BD，并記它們的交點為G，則有AC⊥BD，且AG=CG，BG=CG，△ABC中，AB=CB，∠ABC=60°，所以△ABC是正三角形，正三角形△ABC中，AE和BG是中線，也是高線，可求得AE=BG=AB=，△BCD中，因為E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，所以EF∥BD，且EF=BD=BG=，記AC與EF的交點H，因為EF∥BD，AC⊥BD，所以AH⊥EF，且由相似形的性質(zhì)，可得CH=CG=AC=1，則AH=AC-CH=4-1=3，則?！绢}目星級】★★★★【答案】B【考點解剖】本題考查了增長率的概念和方程的基本性質(zhì)【知識準(zhǔn)備】所謂某個量，它增長了，意味著增長部分是，那么它就由原來的，增長到了（），也就是【思路點拔】我們可以將整個原價假設(shè)為1（如果你覺得不放心，也可以假設(shè)為或等與現(xiàn)有字母不沖突的任何字母），那么跌停后的價格就是0.9。之后兩天中的第一天，是在0.9的基礎(chǔ)上增加了，那么就是到了；接下去要注意的是：雖然第二天增長率同樣為，但是起步價變了，已經(jīng)不是0.9，而是前一天收市之后的，它是在的基礎(chǔ)上增加到了倍（請注意增加和增加到的區(qū)別），因此，現(xiàn)在的股價是，也就是?！窘獯疬^程】跌停后，股價為0.9，連續(xù)兩天按照的增長率增長后，股價為，根據(jù)題意，得方程，那么正確選項為B?！疽族e點津】首先必須要分清楚增加（或減少）的這一部分的量和原來的基礎(chǔ)“1”有沒有關(guān)系？其次，這個基礎(chǔ)“1”前后是否發(fā)生了變化?！绢}目星級】★★★【答案】D【考點解剖】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及坐標(biāo)系中的相關(guān)知識點?！舅悸伏c拔】反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，既然，那么必有，所以選D。【題目星級】★★★【答案】A【考點解剖】本題考查的是坐標(biāo)系以及函數(shù)的圖象的相關(guān)知識點【知識準(zhǔn)備】以自變量的值為橫坐標(biāo)，以對應(yīng)函數(shù)值為縱坐標(biāo)所確定的點，稱為函數(shù)圖象上的一個點；所有函數(shù)圖像上的點所構(gòu)成的集合，稱為函數(shù)的圖象?！窘獯疬^程】點C坐標(biāo)為（0，c），因為點C在軸正半軸上，所以CO=，由已知，OA=OC，且點A在軸負(fù)半軸，所以A（，0），A（，0）在拋物線上，則，即，因為（否則點C在原點），所以，即，所以選A?！绢}目星級】★★★★【答案】C【考點解剖】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、直角坐標(biāo)系中的相關(guān)知識點【知識準(zhǔn)備】二次函數(shù)的對稱軸為直線【解答過程】的圖象是一條開口向上，對稱軸為的拋物線，點P（，）在拋物線上，由圖知：當(dāng)點P在軸上方（）時，對應(yīng)部分圖形在直線左側(cè)，或者直線右側(cè)。此時，對應(yīng)的的值（即的值）為，或，所以，；A選項的“當(dāng)時，”，說的是“當(dāng)點P在軸下方時，它位于軸的左側(cè)”，由圖可以看出：而這一點未必正確，因為點P也可能在軸的右側(cè)，所以；由圖我們看到：由于拋物線開口向上，且與軸的交于點A和點B，那么拋物線上位于A，B兩點之間部分在軸下方；翻過來，當(dāng)圖象居于軸下方時，對應(yīng)的點必定在直線和直線之間，也就是說：當(dāng)時，，所以選C?！绢}目星級】★★★★【答案】A【考點解剖】本題考查的是矩形性質(zhì)，弧長的計算【知識準(zhǔn)備】矩形的對角線相等，且互相平分；半徑為，圓心角為的弧的長度為【解答過程】連結(jié)OP，由矩形性質(zhì)知：OP=MN，且它們相交于中點Q，則當(dāng)點P沿著圓周轉(zhuǎn)過45°時，點Q在以O(shè)為圓心，以O(shè)Q=1為半徑的圓周上轉(zhuǎn)過45°，因此只要求出以1為半徑，45°圓心角所對弧的長便可。弧長計算公式忘記了怎么辦？沒關(guān)系，臨時推導(dǎo)一下就行：整個圓的周長是，那么所求弧長就等于45°圓心角在整個周角360°中所占的份額：，即?！绢}目星級】★★★★二、填空題（本題有5小題，每小題4分，共20分）【答案】2015【考點解剖】本題考查了方程的解的概念【知識準(zhǔn)備】能使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值，稱為方程的解?！窘獯疬^程】因為是方程的解，所以，即，所以【題目星級】★★【答案】3【考點解剖】本題考查比例的基本性質(zhì)【解答過程】因為，且，所以，而，即，所以。【一題多解】因為，所以，，，而，即，因為，所以?！绢}目星級】★★★【答案】10【考點解剖】本題考查概率和頻率【知識準(zhǔn)備】當(dāng)獨立隨機實驗的次數(shù)足夠大時，某現(xiàn)象發(fā)生的頻率總在概率附近波動【解答過程】由列表知：摸出黑球的頻率約為0.500，所以所有小球的數(shù)量約10個【題目星級】★★【答案】S1=S2【考點解剖】本題考查的是反比例函數(shù)的圖象，圖形的面積變換，平面直角坐標(biāo)系【知識準(zhǔn)備】坐標(biāo)平面內(nèi)點P（，）到軸和軸的距離分別是和；，等底等高的兩個三角形面積相等【思路點拔】如果點B和點M在原點處，那么我們很容易知道這兩個三角形面積是相等的，但現(xiàn)在這兩個三角形都在半途，我們自然想到如何將之與△APO和△QNO聯(lián)系？畫出圖形后，我們發(fā)現(xiàn)：只要能說明S△PBO=S△QMO，那么問題便可解決。【解答過程】分別連結(jié)PO，QO，設(shè)P（，）則有，因為點P在圖象上，所以，則，同樣：，所以；連結(jié)BM，因為BQ∥軸，PM∥軸，則有，，所以；因為，，所以，即S1=S2【題目星級】★★★★【思維模式】碰到新情況，我們要想辦法如何將問題向我們熟知的場景轉(zhuǎn)化【答案】30°【考點解剖】本題考查同（等）弧所對圓周角和圓心角的關(guān)系，正三角形的性質(zhì)【知識準(zhǔn)備】在同圓或等圓中，圓周角等于同?。ǖ然。┧鶎A心角的一半，在同一個三角形中相等的邊所對的角也相等?！舅悸伏c拔】BC=半徑，那么BC與對應(yīng)的兩條半徑所構(gòu)成的三角形就是等邊三角形，這樣，自然就將構(gòu)造出的圓心角與目標(biāo)中的圓周角建立起了聯(lián)系。【解答過程】分別連結(jié)OB和OC，因為BC=OB=OC，所以∠O=60°，則在⊙O中，∠A=∠B=30°.【題目星級】★★三、解答題（本題有8小題，共70分。解答寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）【考點解剖】本題考查特殊角的三角函數(shù)值和實數(shù)的運算【解答過程】原式=【題目星級】★★【考點解剖】本題考查一元二次方程的解法【解答過程】，，，所以，，【題目星級】★★★【考點解剖】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，基本作圖【知識準(zhǔn)備】角平分線上的點到角兩邊的距離相等，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等【思路點拔】MN是⊙P的弦，那么圓心P到弦的兩個端點的距離相等，所以圓心P在線段MN的垂直平分線上；圓心P到∠AOB兩邊的距離相等，則P在∠AOB的角平分線上，所以，圓心P在線段MN的垂直平分線和∠AOB的角平分線的交點?！窘獯疬^程】作線段MN的垂直平分線；作∠AOB的角平分線，并記之與的交點為P；以P為圓心，PM為半徑作圓，則⊙P為所求圖形?！疽族e點津】無論是否要求寫出作圖過程，千萬不要漏寫結(jié)論。在書寫結(jié)論時，一定要寫明哪個圖形是所求作的圖形，是哪一條線段？還是哪個角？或者是哪個點等，千萬不要籠統(tǒng)地說“如圖為所求圖形”。例如在本題中，所求的圖形是一個圓，那么結(jié)論就應(yīng)該很明確地說“⊙P為所求圖形”。【題目星級】★★★★【考點解剖】本題考查樹狀圖的畫法【解答過程】（1）三次傳球所有可能的情況如圖：（2）由圖知：三次傳球后，球回到甲的概率為P（甲）=，即；（3）由圖知：三次傳球后，球回到乙的概率為P（乙）=，P（乙）>P（甲），所以是傳到乙腳下的概率要大?！绢}目星級】★★【考點解剖】本題考查投影和相似的相關(guān)知識點【知識準(zhǔn)備】太陽光照射下的投影是平行投影；相似圖形對應(yīng)邊的比等于它們的相似比；矩形對邊相等。【思路點拔】假若影子完全落在地面上，那么根據(jù)兩個三角形相似，很容易就可以求出答案；現(xiàn)在既然是落在墻上的投影影響我們的解題，很容易就想到如何消除墻上影子的影響？自然而然地，就想到了只要過墻上影子的頂端，作地平線的平行線，這樣問題就可以解決了?！窘獯疬^程】分別作EM⊥AB，GN⊥CD，垂足分別是M，N，則有△AEM∽△CGN，MB=EF=2，ME=BF=10，ND=GH=3，NG=DH=5，所以，AM=AB-MB=10-2=8，CN=CD-ND=CD-3，∵△CGN∽△AEM，∴,即,∴CD=7【題目星級】★★★25.（本小題滿分9分）如圖，四邊形ABCD中AB∥CD，AB≠CD，BD=AC。（1）求證：AD=BC；（2）若E，F(xiàn)，F(xiàn)，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，求證：線段EF與線段GH互相垂直平分?！究键c解剖】本題考查特殊四邊形的性質(zhì)，和等腰三角形性質(zhì)中的相關(guān)知識點?！局R準(zhǔn)備】在同一個三角形中，相等的邊所對的角相等；平行四邊形對邊相等【思路點拔】（1）要說明AD=BC，只要能說明△ACD≌△BDC，現(xiàn)已有AC=BD，CD=DC，那么關(guān)鍵是如何說明∠1=∠2；這里需要注意的是：由AC=BD，并不能直接得出結(jié)論∠1=∠2，因為AC和BD并非同一個三角形中的元素。能否以某一角為媒介，使得∠1和∠2都與之相等？結(jié)合已知條件中的AC=BD，如果能夠構(gòu)造出以AC和BD為其中兩邊的三角形，那么它們所對的角自然相等。為此，可將AC平移，使點A到點B位置（如圖），那么有∠2=∠K，而∠K=∠1，則有∠2=∠1，問題得以解決；（2）要說明線段EF與線段GH互相垂直平分，只要能說明線段EF與GH是菱形的兩條對角線即可。【解答過程】（1）延長DC至K，使CK=AB，∵ABCK，∴四邊形ABKC是平行四邊形，則在□ABKC中，有ACBK，∴∠1=∠K，∵BD=AC，AC=BK，∴BD=BK，則有∠2=∠K，∵∠2=∠K，∠1=∠K，∴∠1=∠2。△ACD和△BDC中，∵，∴△ACD≌△BDC（SAS），∴AD=BC；（2）分別連結(jié)EH，HF，F(xiàn)G和GE，∵E，H分別是AB，DB的中點，∴EHAD，同理：GFAD，EGBC，HFBC，∵AD=BC，∴EH=HF=FG=GE，∴四邊形EHFG是菱形，∴EF與GH互相垂直平分（菱形的對角線互相垂直平分）。【題目星級】★★★★【解題策略】很多時候，在直接說明某兩個量相等（如本題中需證明∠1=∠2）有困難時，我們往往可以尋找第三方媒介，分別說明目標(biāo)的兩個量與第三方的這個量相等，從而達到說明兩個目標(biāo)量相等的目的。例如證明本題中的∠1=∠2，以及本卷第19題中的，或者S1=S2?！究键c解剖】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，直角坐標(biāo)系，三角形面積，數(shù)形結(jié)合思想【知識準(zhǔn)備】三角形面積=底邊長×高線長，某一點在某函數(shù)的圖象上，那么意味著當(dāng)自變量取值該點的橫坐標(biāo)時，該函數(shù)的函數(shù)值為該點的縱坐標(biāo)。因此，從圖象上我們可以看出：點的位置越往右，對應(yīng)的的值就越大；點的位置越往上，對應(yīng)的函數(shù)值就越大。【思路點拔】（1）所謂的，也就是，說明對于同樣的直線上的點必須在雙曲線的上方，從圖中我們可以看到：在第二象限，只有線段AB（不包括兩個端點）才居于雙曲線的上方，而點A和B的坐標(biāo)均為已知；（3）△PCA和△PDB的面積，均隨著點P位置的改變而改變，而其中AC和BD都是固定的，所以只要確定了點P，這兩三角形的面積也就隨之確定，既然點P在直線AB上，在解決了（2）之后，點P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系也就受到約束，它們之間可以互相用另一個量來表示。【解答過程】（1）由圖象知：當(dāng)時，；（2）∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（-4，），B（-1，2）兩點∴，求得，，∴所求直線為；∵函數(shù)的圖象過B（-1，2），∴，則，，∴所求一次函數(shù)為，；（3）設(shè)點P（，），∵點P在線段AB上，∴-4≤≤-1，∵A（-4，），B（-1，2），∴AC=，BD=1；分別作點P到AC和BD的垂線段PE和PH，E和H是垂足（如圖），則PE=（-4≤≤-1），PH=，∵點P（，）在直線上，∴，則PH=，∴，，∵，即，∴，則∴P（，）【題目星級】★★★★【歸納拓展】如果我們將（3）中的“P是線段AB上一點”改為“P是直線AB上一點”，情況會有什么變化？從上面解答過程中我們不難知道：當(dāng)點P的位置不同時，PE和PH的表達式也會因點P的位置不同而改變：當(dāng)點P在點A的左下方時，，PE=，PH=，此時，根據(jù)建立起來的方程無解，也就是沒有滿足條件的點P存在；當(dāng)點P在點B的右上方時，，PE=，PH=，此時，根據(jù)建立起來的方程無解，也就是沒有滿足條件的點P存在；【考點解剖】本題考查圓與直線的位置關(guān)系，扇形面積計算【知識準(zhǔn)備】過直徑的端點，且與直徑垂直的直線是圓的切線【思路點拔】（1）我們當(dāng)然很容易就猜想到BC是⊙O的切線，為此，只要連結(jié)OD，證明OD⊥BC即可；（2）只要求出△OBD的面積和扇形ODE的面積，那么兩者之差便為陰影部分的面積【解答過程】（1）連結(jié)OD，∵OA=OD，∴∠2=∠3，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，而∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴OD∥AC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∴∠ODB=∠C=90°（兩直線平行，同位角相等）即OD⊥BC，∴BC是⊙O的切線（過直徑的一個端點，且與直徑垂直的直線是圓的切線）；（2）①過點O作AC的垂線段OH，則OH∥BC，∠AOH=∠B=30°，Rt△AOH中，AH=AO·sin∠AOH=AO·sin30°=AO，矩形CDOH中，CH=OD，而OD=OA，∵AC=AH